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\newcommand{\TableHead}[1]{\centering {\em #1}}

\title{\bf Algebraische Strukturen}
\author{Christian M. Meyer}
\date{}

\begin{document}
  \maketitle

  \subsection*{Gesetze in algebraischen Strukturen}
    In algebraischen Strukturen gelten bestimmte Gesetzm"a"sigkeiten oder
    Regeln, die man {\bf Axiome} nennt. Aus diesen Axiomen lassen sich neue
    Formeln und Regeln herleiten.
    \bigskip

    \begin{tabular}{llll}
      Abgeschlossenheit: & \aAb & $\forall\, x,y \in M.$ &
        $(x \ast y) \in M$\\
      Assoziativgesetz: & \aA & $\forall\, x,y,z \in M.$ &
        $(x \ast y) \ast z = x \ast y \ast z = x \ast (y \ast z)$\\
      Kommutativgesetz: & \aK & $\forall\, x,y \in M.$ &
        $x \ast y = y \ast x$\\
      Neutralelement: & \aN & $\exists\, e \in M.\; \forall\, x \in M.$ &
        $x \ast e = x$\\
      Inverses: & \aI & $\forall\, x \in M.\; \exists\, y \in M.$ &
        $x \ast y = e$\\
      Distributivgesetz: & \aD & $\forall\, x,y,z \in M.$ &
        $x \ast (y + z) = x \ast y + x \ast z$
    \end{tabular}

  \subsection*{Strukturen mit einer Operation}
    Strukturen mit nur einer Operation hei"sen {\bf Monoid} oder {\bf Gruppe},
    je nachdem welche Axiome erf"ullt werden. Alle diese Strukturen bestehen
    aus einer {\em Menge} und einer {\em Verkn"upfung}. Eine {\bf kommutative
    Gruppe} hei"st auch {\bf Abel'sche Gruppe}.
    \bigskip

    \begin{tabular}{l|p{1.8cm}|p{1.8cm}|p{2.2cm}|p{2.2cm}|p{2.2cm}p{0cm}}
      Struktur: & \TableHead{Halbgruppe} & \TableHead{Monoid} &
        \TableHead{Kommutativer Monoid} & \TableHead{Gruppe} &
        \TableHead{Abel'sche Gruppe} & \\
      \cline{1-6}
      Definition: & $(M; \ast)$ & $(M; \ast, e)$ & $(M; \ast, e)$ &
        $(M; \ast, e, ^{-1})$ & $(M; \ast, e, ^{-1})$ & \\
      \cline{1-6}
      Gesetze:    & \aAb & \aAb & \aAb & \aAb & \aAb & \\
                  & \aA  & \aA  & \aA  & \aA  & \aA  & \\
                  &      &      & \aK  &      & \aK  & \\
                  &      & \aN  & \aN  & \aN  & \aN  & \\
                  &      &      &      & \aI  & \aI  & \\
      \cline{1-6}
      Beispiel:   & $(\N; +)$ & $(\N; \cdot, 1)$ & $(\N; +, 0)$ &
        $(\Z; \cdot, 1, ^{-1})$ & $(\Z; +, 0, -)$ &
    \end{tabular}

  \subsection*{Strukturen mit zwei Operationen}
    Strukturen, die aus einer {\em Menge} und {\em zwei Verkn"upfungen}
    bestehen, hei"sen {\bf Ringe} oder {\bf K"orper}. Ein Ring besteht aus
    einer Gruppe der additiven und einem Monoid der multiplikativen
    Verkn"upfung. Ein K"orper dagegen wird aus einem additiven und
    kommutativen Ring und einer multiplikativen kommutativen Gruppe
    zusammengesetzt. In beiden Strukturen gilt au"serdem das
    Distributivgesetz.
    \bigskip

    \begin{tabular}{l|ll|ll|ll}
      Struktur:   & \multicolumn{2}{|c}{\em Ring} &
        \multicolumn{2}{|c}{\em Kommutativer Ring} &
        \multicolumn{2}{|c}{\em K"orper} \\\hline
      Definition: & \multicolumn{2}{|l}{$(M; +, \cdot, e^+, e^\cdot)$} &
        \multicolumn{2}{|l}{$(M; +, \cdot, e^+, e^\cdot)$} &
        \multicolumn{2}{|l}{$(M; +, \cdot, e^+, e^\cdot)$} \\\hline
      Gesetze:    & \aAb[\cdot] & \aAb[+] & \aAb[\cdot] & \aAb[+] &
                    \aAb[\cdot] & \aAb[+] \\
                  & \aA[\cdot]  & \aA[+]  & \aA[\cdot]  & \aA[+]  &
                    \aA[\cdot]  & \aA[+]  \\
                  &             &         & \aK[\cdot]  & \aK[+]  &
                    \aK[\cdot]  & \aK[+]  \\
                  & \aN[\cdot]  & \aN[+]  & \aN[\cdot]  & \aN[+]  &
                    \aN[\cdot]  & \aN[+]  \\
                  &             & \aI[+]  &             & \aI[+]  &
                    \aI[\cdot]  & \aI[+]  \\
                  & \aD[\cdot]  &         & \aD[\cdot]  &         &
                    \aD[\cdot]  &         \\\hline
      Beispiel:   & \multicolumn{2}{|l}{$(\R^{m \times n}; +, \cdot, 0, E)$} &
        \multicolumn{2}{|l}{$(\Q, +, \cdot, 0, 1)$} &
        \multicolumn{2}{|l}{$(\R; +, \cdot, 0, 1)$}
    \end{tabular}

  \subsection*{Zusammengesetzte Strukturen}
    Es gibt Strukturen, die aus anderen Strukturen zusammengesetzt sind, wie
    die Struktur des {\bf $K$-Vektorraums} oder der {\bf $K$-Algebra}. Beide
    diese Strukturen bestehen aus einem {\em K"orper} (z.B. $\R$), der die so
    genannten {\bf Skalare} beinhaltet und einer weiteren Struktur, der Struktur
    der {\bf Vektoren}.

    \subsubsection*{Vektorr"aume}
      Bei $K$-Vektorr"aumen ist diese Struktur der Vektoren eine
      {\em kommutative Gruppe} mit den Verkn"upfungen der Addition. Au"serdem
      ist eine Verkn"upfung definiert, die einen Vektor mit einem Skalar
      multipliziert. In einem Vektorraum $V$ "uber den K"orper $K$ gelten die
      folgenden Gesetze:
      \bigskip

      \begin{tabular}{llll}
        Abgeschlossenheit: & \aX{Ab} & $\forall\, \vec{v}, \vec{w} \in V.$ &
          $(\vec{v} + \vec{w}) \in V$\\
        &  & $\forall\, \vec{v} \in V.\;
          \forall\, r \in K.$ & $r \vec{v} \in V$\\
        Assoziativgesetz: & \aX{V1} & $\forall\, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}
          \in V.$ & $(\vec{w} + \vec{v}) + \vec{u} = \vec{w} + (\vec{v} +
          \vec{u})$\\
        Kommutativgesetz: & \aX{V2} & $\forall\, \vec{v}, \vec{w} \in V.$ &
          $\vec{v} + \vec{w} = \vec{w} + \vec{v}$\\
        Neutralelement: & \aX{V3} & $\exists\, \vec{0} \in V.\;
          \forall\, \vec{v} \in V.$ & $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$\\
        Inverses: & \aX{V4} & $\forall\, \vec{v} \in V.\;
          \exists\, \vec{w} \in V.$ & $\vec{v} + \vec{w} = \vec{0}$\\
        Distributivgesetz: & \aX{V5} & $\forall\, \vec{v}, \vec{w} \in V.\;
          \forall\, r \in K.$ &
          $r(\vec{v} + \vec{w}) = r \vec{v} + r \vec{w})$\\
        Neutralelement: & \aX{V6} & $\exists\, 1 \in K.\;
          \forall\, \vec{v} \in V.$ & $1 \vec{v} = \vec{v}$\\
        Distributivgesetz: & \aX{V7} & $\forall\, \vec{v} \in V.\;
          \forall\, r, s \in K.$ & $(r + s) \vec{v} = r \vec{v} + s \vec{v}$\\
        Assoziazivgesetz: & \aX{V8} & $\forall\, \vec{v} \in V.\;
          \forall\, r, s \in K.$ & $r (s \vec{v}) = (r s) \vec{v}$\\
      \end{tabular}
      \bigskip

      Ein Beispiel f"ur einen $K$-Vektorraum ist der Anschauungsraum $\R^3$ der
      Vektoren. Aber auch der abstrakte Raum $\R^n$ mit $n \in \N^+$ (sowohl
      Zeilen- als auch Spaltenraum) ist ein Vektorraum. Es gibt nat"urlich
      noch viele weitere Beispiele.

    \subsubsection*{Algebren}
      In der Struktur der $K$-Algebra gibt es au"ser der Vektoraddition auch
      eine multiplikative Verkn"upfung der Vektoren. Die Struktur der Vektoren
      ist hier ein {\em Ring}, folglich wird der $K$-Vektor"-raum mit den
      folgenden Axiomen zu einer $K$-Algebra $A$ erweitert:
      \bigskip

      \begin{tabular}{llll}
        Abgeschlossenheit: & \aX{Ab} & $\forall\, \vec{a}, \vec{b} \in A.$ &
          $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \in A$\\
        Assoziativgesetz: & \aX{A1} & $\forall\, \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}
          \in A.$ & $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} =
            \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$\\
        Assoziativgesetz: & \aX{A2} & $\forall\, \vec{a}, \vec{b} \in A.\; 
          \forall\, r \in K.$ & $r (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 
          (r \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (r \vec{b})$\\
        Neutralelement: & \aX{A3} & $\exists\, \vec{e} \in A.\;
          \forall\, \vec{a} \in A.$ & $\vec{a} \cdot \vec{e} = \vec{a}$
      \end{tabular}
      \bigskip

      Ein Beispiel f"ur eine $K$-Algebra ist die Menge der Matrizen $\R^{m
      \times n}$. Hier sieht man auch, dass ein Vektorraum beziehungsweise eine
      Algebra nicht unbedingt aus Vektoren bestehen muss. Die Struktur der
      Vektoren kann eine Menge von Matrizen oder auch von Abbildungen sein.

    \subsubsection*{Affine R"aume}
      Ein {\bf affiner Raum} besteht aus einem Punktraum $\PR$ und einem
      $K$-Vektorraum V sowie einer Abbildung $\phi\colon V \times \PR
      \longrightarrow \PR$. Es gelten die folgenden Axiome:
      \bigskip

      \begin{tabular}{llll}
        Antragen von Vektoren: & \aX{A1} & $\forall\, \vec v \in V.\; 
          \forall\, P,Q \in \PR.$ & $Q = \vec v + P$ \\
        Abstand zweier Punkte: & \aX{A2} & $\forall\, \vec v \in V.\; 
          \forall\, P,Q \in \PR.$ & $\vec v = \,\overline{PQ} = Q - P$ \\
        Assoziativgesetz: & \aX{A3} & $\forall\, P \in \PR.\;
          \forall\, \vec{v}, \vec{w} \in V.$ & $(\vec{w} + \vec{v}) + P =
          \vec{w} + (\vec{v} + P)$\\
        Neutralelement: & \aX{A4} & $\exists\, \vec{0} \in V.\;
          \forall\, P \in \PR.$ & $P + \vec{0} = P$
      \end{tabular}
      \bigskip
      
      Beispiel f"ur einen affinen Raum ist der Anschaungsraum $\R^3$ mit den
      Punkten im kartesischen Koordinatensystem.

\end{document}
