\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{headings}
\setlength{\parindent}{0pt}
\makeindex

% =============== Packages ===============
\usepackage{amssymb} % For \mathbb
\usepackage{latexsym} % For \Box
\usepackage{ngerman} % German habits
\usepackage{makeidx} % For index
\usepackage{stmaryrd} % For \lightning
\usepackage[bookmarks,bookmarksnumbered]{hyperref}
%\usepackage{bbm} % For \mathbbm{1}
%\usepackage[dvips]{graphicx} % For images
\hypersetup{
  pdftitle={Allgemeine Algebra WS 2004/05 f\"ur Informatiker und Wirtschatsinformatiker},
  pdfauthor={Simon Fuhrmann, Christian M. Meyer, Christian Sch\"ack},
  pdfcreator={dvipdf frontend for dvips(k) 5.92b and EPS Ghostscript 7.07},
  pdfkeywords={Allgemeine Algebra}
}

% =============== Macros ===============
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\PM}{\mathcal{P}}
\newcommand{\bild}{\mathrm{bild}}
\newcommand{\degree}{\mathrm{deg}}
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Eq}{\mathrm{Eq}}
\newcommand{\Con}{\mathrm{Con}}
\newcommand{\Kern}{\mathrm{Kern}}
\newcommand{\Angle}[1][\phantom{x}]{{\langle}{#1}{\rangle}}
\newcommand{\CP}{\mathfrak{Z}}
\newcommand{\qq}[1]{{\glqq}#1{\grqq}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\HSP}{\mathrm{HSP}}
\newcommand{\At}{\mathrm{At}}

\newcounter{algocount}
\newcommand{\al}{\item\tt}
\newenvironment{algorithm}
  {\begin{list}{\sf\scriptsize (\arabic{algocount})}
      {\usecounter{algocount} 
       \setlength{\itemsep}{-3pt}
       \setlength{\labelsep}{1em}
       \setlength{\leftmargin}{3em}}}
  {\end{list}}

% ==================== Content ===============
\title{Allgemeine Algebra WS 2004/05 \\
  \large f\"ur Informatiker und Wirtschaftsinformatiker \\
  \normalsize von Prof. Thomas Ihringer}
\author{Simon Fuhrmann $\;\cdot\;$ Christian M. Meyer \\
  Christian Sch\"ack}

\begin{document}
  \pagenumbering{Roman}
  \maketitle
  \hrulefill
  \bigskip

  % Einleitung
  \index{Vorbemerkungen}
  \index{B\"ucher}
  \index{Literatur}
  \paragraph{Vorbemerkungen:}Dieses Skript besch\"aftigt sich
    mit {\em strukturellen} Grundlagen der Mathematik, n\"amlich
    solchen aus den Bereichen
    \medskip

    \begin{itemize}
      \item{Kapitel 0: Grundlagen (Mengensprache, Kombinatorik,
          Beweistechniken)}
      \item{Kapitel 1: Diskrete Mathematik (kombinatorischen Strukturen)}
      \item{Kapitel 2: Algebra (algebraischen Strukturen)}
      \item{Kapitel 3: Logik (logischen Strukturen)}
    \end{itemize}
    \medskip

    Hierzu k\"onnen, in der Reihenfolge dieser Kapitel, die folgenden
    B\"ucher als \qq{Basis} dienen. Aber das Skript enth\"alt alles
    Wesentliche, und au\ss erdem gibt es viele andere passende B\"ucher
    (wor\"uber sich jeder Interessierte selbst informieren m\"oge):

    \begin{itemize}
      \item{Christoph Meinel, Martin Mundhenk: Mathematische Grundlagen
        der Informatik. Teubner, Stuttgart, 2002.}
      \item{Thomas Ihringer: Diskrete Mathematik. \\ Heldermann, Lemgo, 2002}
      \item{Thomas Ihringer: Allgemeine Algebra. \\ Heldermann, Lemgo, 2003}
      \item{Uwe Sch\"oning: Logik f\"ur Informatiker. \\ Spektrum, Heidelberg,
        2002}
    \end{itemize}

  \newpage
  \tableofcontents
  \newpage
  \pagenumbering{arabic}

  % =============== SECTION 0 ===============
  \setcounter{section}{-1}
  \section{Grundlagen}
    Dieses Kapitel besch\"aftigt sich mit der f\"ur die moderne Mathematik als
    Sprachmittel grundlegenden Mengensprache, mit einigen damit verbundenen
    kombinatorischen Sachverhalten sowie mit elementaren Beweistechniken.

    \subsection{Mengen, Relationen, Abbildungen}
      \index{Mengenlehre}
      Der Begr\"under der {\bf Mengenlehre} war Ende des 19. Jahrhunderts
      {\em Georg Cantor}. Er verwendete folgende recht informelle Definition:

      \begin{quote}
        Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten
        wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
        (welche die Elemente der Menge genannt werden) zu einem Ganzen.
      \end{quote}

      Dieser Gedanke war bahnbrechend f\"ur die moderne Mathematik, weil er
      eine einheitliche formale Sprache begr\"undete. Aber er stellte sich
      als zu \qq{naiv} heraus. Dazu sp\"ater mehr!
      \medskip

      \subsubsection{Operationen auf Mengen}
        \index{Vereinigunsmenge}
        \index{Mengen, Vereinigung}
        \index{Schnittmenge}
        \index{Mengen, Schnitt}
        \index{Potenzmenge}
        \index{Mengen, Potenz}
        Zun\"achst einige elementare Tatsachen \"uber Mengen. Es gibt eine
        Reihe wichtiger {\bf Operationen auf Mengen}, mit denen man aus
        bekannten Mengen (z.B. $A$ und $B$) neue Mengen erh\"alt.
        Beispielsweise:
        \bigskip

        \begin{tabular}{p{5cm}l}
          $A \cup B := \{x \mid x \in A$ oder $x \in B \}$ & {\bf Vereinigung}
            von $A$ und $B$ \\
          $A \cap B := \{x \mid x \in A$ und $x \in B \}$ &
            {\bf (Durch-)Schnitt} von $A$ und $B$ \\
          $\PM(A) := \{X \mid X \subseteq A \}$ & {\bf Potenzmenge}
            von $A$
        \end{tabular}
        \bigskip

        Man kann {\bf Eigenschaften} verwenden, um aus bekannten Mengen neue
        Mengen zu erhalten. Ein Beispiel f\"ur $\N$ (Menge der
        {\bf nat\"urlichen Zahlen}):
        \bigskip

        \begin{tabular}{p{5cm}l}
          $\N_g := \{n \in \N \mid 2$ teilt $n\}$ &
              Menge der geraden nat\"urlichen Zahlen
        \end{tabular}

      \subsubsection{Das kartesische Produkt}
        \index{Tupel}
        \index{Direktes Produkt}
        \index{Produkt, direktes}
        \index{Kartesisches Produkt}
        \index{Produkt, kartesisches}
        \index{Produktmenge}
        \index{Mengen, Produkt}
        Eine allgemeine Konstruktion f\"ur beliebige Mengen $A_1, \dots, A_n$
        enth\"alt alle $n$-{\bf Tupel} $(a_1, \dots, a_n)$ mit $a_1 \in A_1,
        \dots, a_n \in A_n$:
        \bigskip

        \begin{tabular}{l}
          $A_1 \times \dots \times A_n := \{(a_1, \dots, a_n)
          \mid a_i \in A_i\}$
        \end{tabular}
        \bigskip

        Dies ist das {\bf direkte} (oder {\bf kartesische}) {\bf Produkt} der
        Mengen $A_i$.
        \medskip

        Im Sonderfall $A_1 = \cdots = A_n = A$ ergibt dies
        \bigskip

        \begin{tabular}{l}
          $A^n := A \times \cdots \times A$
        \end{tabular}
        \bigskip

        die $n$-te {\bf Potenz} von $A$.

      \subsubsection{Relationen}
        \index{Relationen}

        Jede Teilmenge $R \subseteq A_1 \times \cdots \times A_n$ wird eine
        $n$-stellige {\bf Relation} zwischen den Mengen $A_i$ genannt.
        Mathematische Relationen sind \"uberall, sogar im
        \qq{wir\-kli\-chen} Leben:

        \paragraph{Beispiel:} Sei
          \bigskip

        \begin{tabular}{l}
          $A_1$ $:=$ Menge aller Darmst\"adter Haltestellen, \\
          $A_2$ $:=$ Menge aller Darmst\"adter Bus- und Bahnlinien, \\
          $A_3$ $:=$ Menge aller m\"oglichen Endstationen, \\
          $A_4$ $:=$ Menge aller m\"oglichen Abfahrtszeiten \\
          \phantom{$A_4$ $:=$} (z.B. $A_4 = \{0.00, 0.01, 0.02,
            \dots, 23.59\}$).
        \end{tabular}
        \bigskip

        Die Fahrpl\"ane s\"amtlicher Haltestellen k\"onnen (zum Beispiel) in
        einer Relation $R \subseteq A_1 \times A_2 \times A_3 \times A_4$
        zusammengefasst werden. Hierzu ein m\"ogliches Element von $R$
        (ohne Gew\"ahr!):
        \bigskip

        \begin{tabular}{llll}
          Station & Linie & Endstation & Abfahrtszeit \\\hline
          (Hofgasse, & 8, & Alsbach, & $19.02$) $\in R$
        \end{tabular}

        \paragraph{Bemerkung:} Relationen k\"onnen das Grundmaterial von
          {\em Datenbanken} bilden. In obigem Beispiel sollte es eine
          {\em Datenbankoperation} geben, die zum Beispiel alle
          Direktverbindungen von Hofgasse nach Eberstadt zwischen 19 und 20
          Uhr findet, also etwa die Menge:
          $$\{(a_1, a_2, a_3, a_4) \mid a_1 = \mbox{Hofgasse}, a_3 =
          \mbox{Eberstadt $\vee$ Alsbach}, 19.00 \le a_4 \le 20.00\}$$

        \index{Relationen, bin\"are}
        Besonders wichtig sind {\bf bin\"are} (das hei\ss t $2$-stellige)
        Relationen von der Form $R \subseteq A^2$, also bin\"are Relationen auf
        einer Menge $A$. Nachfolgend zwei bedeutende Typen solcher Relationen:

      \subsubsection{\"Aquivalenzrelationen}
        \index{\"Aquivalenzrelationen}
        \index{Relationen, \"Aquivalenz-}

        Sei $A$ eine beliebige Menge. Eine Teilmenge $R \subseteq A^2$ hei\ss t
        {\bf \"Aquivalenzrelation} auf $A$, falls folgendes gilt: F\"ur alle
        $a, b, c, \in A$ (wie \"ublich wird $xRy$ anstelle von $(x, y) \in R$
        geschrieben)
        \bigskip

        \begin{tabular}{cll}
          \sf (Refl)  & $aRa$ & {\bf Reflexivit\"at} \\
          \sf (Sym)   & $aRb \quad\Rightarrow\quad bRa$ & {\bf Symmetrie} \\
          \sf (Trans) & $aRb\:$ und $\:bRc \quad\Rightarrow\quad aRc$
                      & {\bf Transitivit\"at}
        \end{tabular}

      \subsubsection{Ordnungsrelationen}
        \index{Ordnungsrelation}
        \index{Relationen, Ordnungs-}
        \index{Gleichheitsrelation}
        \index{Relationen, Gleichheits-}

        Eine Teilmenge $R \subseteq A^2$ hei\ss t {\bf Ordnung} oder
        {\bf Ordnungsrelation} auf $A$ (und das Paar $(A, R)$ eine
        {\bf geordnete Menge}), falls f\"ur alle $a, b, c \in A$ die
        folgenden Axiome gelten:
        \bigskip

        \begin{tabular}{cll}
          \sf (Refl)  & $aRa$ & {\bf Reflexivit\"at} \\
          \sf (Anti)  & $aRb\:$ und $\:bRa \quad\Rightarrow\quad a = b$
                      & {\bf Antisymmetrie} \\
          \sf (Trans) & $aRb\:$ und $\:bRc \quad\Rightarrow\quad aRc$
                      & {\bf Transitivit\"at}
        \end{tabular}

        \paragraph{Beispiel (a):} Jede Relation der Form $R = \{(a, a) \mid
          a \in A\}$ (genannt {\bf Gleichheitsrelation} auf $A$) ist
          trivialerweise eine \"Aquivalenzrelation {\em und} eine
          Ordnungsrelation (in der nichts geordnet ist),

        \paragraph{Beispiel (b):} \"Aquivalenzrelationen beschreiben oft, dass
          gewisse Objekte be\-z\"ug\-lich bestimmter {\em Eigenschaften}
          {\em gleich} sind. Sei zum Beispiel $A$ die Menge aller
          Informatikstudenten an der TUD, die im Herbst 2005 ihr Vordiplom
          abschlie\ss en. F\"ur $a, b \in A$ sei
          $$aRb \quad:\Leftrightarrow\quad \mbox{$a$ und $b$ haben die selbe
          Vordiplomsnote in Mathematik.}$$

          Dann ist $R$ eine \"Aquivalenzrelation auf $A$.

        \index{\"Aquivalenzklasse}
        \index{\"Aquivalenzrelation, Klassen}
        \paragraph{Beispiel (c):} F\"ur $x, y \in \Z$, sei $xRy \;
          :\Leftrightarrow \; 2$ teilt $x - y$. Dann ist $R$ eine
          \"Aquivalenzrelation. Sie hat zwei {\bf \"Aquivalenzklassen}
          (n\"amlich Teilmengen von $\Z$ maximaler Gr\"o{\ss}e, die aus
          paarweise \"aquivalenten Elementen bestehen):
          \bigskip

          \begin{tabular}{ll}
            $[0]_R := \{x \in \Z \mid xR0\} =
                \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\}$ & (gerade Zahlen) \\
            $[1]_R := \{x \in \Z \mid xR1\} =
                \{\dots, -3, -1, 1, 3, 5\dots\}$ & (ungerade Zahlen) \\
          \end{tabular}
          \bigskip

          \index{Parition}
          \index{\"Aquivalenzrelation, Parition}
          {\em Ohne formale Definition:} Die \"Aquivalenzklassen jeder
          \"Aquivalenzrelation bilden eine {\bf Partition} der Grundmenge $A$,
          das hei{\ss}t sie sind paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ist
          ganz $A$.

        \paragraph{Beispiel (d):} Jetzt eine vielleicht auf den ersten Blick
          umst\"andlich definierte Ordnungsrelation: Die Sch\"uler einer Klasse
          haben folgende Noten (andere F\"acher werden der Einfachheit halber
          nicht betrachtet):
          \bigskip

          \begin{tabular}{l|cccccc}
            & Adam & Bernd & Chris & Doris & Emma & Ferdi \\\hline
            Deutsch    & $2$ & $3$ & $3$ & $5$ & $4$ & $1$ \\
            Mathematik & $2$ & $2$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$
          \end{tabular}
          \bigskip

          F\"ur alle Sch\"uler $x$ gelte $xRx$ und f\"ur je zwei verschiedene
          Sch\"uler $x$ und $y$ werde definiert:
          \bigskip

          \begin{tabular}{rcl}
            $xRy$ & $:\Leftrightarrow$ & $x$ hat in keinem Fach eine
                schlechtere Note als $y$\\
           & & und in mindestens einem Fach eine bessere Note.
          \end{tabular}
          \bigskip

          \index{Ordnungsrelation}
          \index{Hasse-Diagramm}
          \index{Liniendiagramm}
          Dann ist $R$ eine Ordnungsrelation. Sie kann durch ein
          {\bf Hasse-Diagramm} (auch: {\bf Liniendiagramm}) dargestellt
          werden. Eine Linie aufw\"arts von $x$ nach $y$ hei{\ss}t: $xRy$,
          und kein Element dazwischen.

          % Graph: Liniendiagramm.
          \begin{figure}[h]
            \centering
            \begin{picture}(100,50)
              \put(30,40){\circle*{2}}
              \put(25,40){\makebox(0,0){$d$}}
              \put(70,40){\circle*{2}}
              \put(75,39){\makebox(0,0){$e$}}
              \put(30,20){\circle*{2}}
              \put(25,20){\makebox(0,0){$b$}}
              \put(30,20){\line(2,1){40}}
              \put(30,20){\line(0,1){20}}
              \put(70,20){\circle*{2}}
              \put(75,19){\makebox(0,0){$c$}}
              \put(70,20){\line(-2,1){40}}
              \put(70,20){\line(0,1){20}}
              \put(100,20){\circle*{2}}
              \put(95,20){\makebox(0,0){$f$}}
              \put(50,10){\circle*{2}}
              \put(50,10){\line(2,1){20}}
              \put(50,10){\line(-2,1){20}}
              \put(50,5){\makebox(0,0){$a$}}
            \end{picture}
            \caption{Liniendiagramm}
          \end{figure}

        \paragraph{Beispiel (e):} F\"ur jede Menge $M$ ist $(\PM(M),
          \subseteq)$ eine geordnete Menge: Die Teilmengen von $M$, geordnet
          durch Inklusion.

        \paragraph{Bemerkung:} F\"ur Ordnungsrelationen wird sehr oft $\le$
          geschrieben, statt $R$ oder anderen Symbolen; $\le$ wird \qq{kleiner
          gleich} gelesen.
          \medskip

          Die folgende Sorte von Relationen ist sehr wichtig:

      \subsubsection{Abbildungen}
        \index{Abbildung}
        \index{Funktion}
        \index{Definitionsbereich}
        \index{Wertebereich}
        \index{Bild}
        \index{Urbild}

        \paragraph{Definition:}Eine {\bf Abbildung} (oder {\bf Funktion})
          ist ein Tripel $(A, B, f)$, bestehend aus einer Menge $A$ (dem
          {\bf Definitionsbereich} oder {\bf Urbild}), eine Menge $B$
          (dem {\bf Wertebereich}) und einer $2$-stelligen Relation $f
          \subseteq A \times B$ mit:
          \bigskip

        \begin{tabular}{ll}
          \sf (Abb) & $\forall x \in A \; \dot{\exists}
            y \in B\colon (x,y) \in f$
        \end{tabular}
        \bigskip

        \index{Allquantor}
        \index{Existenzquantor}
        Lies: \qq{F\"ur jedes $x \in A$ existiert genau ein $y \in B$
        mit\dots}.
        Man nennt $\forall$ einen {\bf Allquantor}, $\exists$ einen {\bf
        Existenzquantor}, und der Punkt, $\dot{\exists}$, bedeutet \qq{genau
        ein}.
        \medskip

        Man nennt $f$ eine Abbildung von $A$ nach $B$ und schreibt daf\"ur
        kurz $f\colon A \longrightarrow B$. Statt $(x,y) \in f$ wird
        \"ublicherweise $f(x) = y$ geschrieben, und $y$ hei\ss t das {\bf
        Bild} von $x$, und $x$ das {\bf Urbild} von $y$ (m\"oglicherweise
        nicht das einzige). Die Menge aller Bilder von $f$ hei\ss t der
        {\bf Bildbereich} von $f$, kurz $f(A)$ oder auch:
        $$\bild(f) := \{f(x) \mid x \in A\}$$

        \paragraph{Beispiel:}Sei $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B
            = \{a, b, c\}$, $f = \{(1,a),
        (2,a), (3,c), (4,a)\}$. Das ist eine Abbildung $f\colon A
        \longrightarrow B$ mit $\bild(f) = \{a, c\}$.

        \index{Pfeildiagramm}
        \index{Wertetabelle}

        % Graph: Pfeildiagramm von f.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(200,50)
            \put(20,40){\circle*{2}}
            \put(18,38){\makebox(0,0){\scriptsize $1$}}
            \put(20,30){\circle*{2}}
            \put(18,28){\makebox(0,0){\scriptsize $2$}}
            \put(20,20){\circle*{2}}
            \put(18,18){\makebox(0,0){\scriptsize $3$}}
            \put(20,10){\circle*{2}}
            \put(18, 8){\makebox(0,0){\scriptsize $4$}}
            \put(12,3){\framebox(14,44){}}
            \put(5,35){\makebox(0,0){$A$}}

            \put(60,30){\circle*{2}}
            \put(63,28){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
            \put(60,20){\circle*{2}}
            \put(63,18){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
            \put(60,10){\circle*{2}}
            \put(63, 8){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
            \put(52,3){\framebox(14,34){}}
            \put(75,35){\makebox(0,0){$B$}}

            \put(22,40){\vector(4,-1){36}}
            \put(22,30){\vector(4,0){36}}
            \put(22,20){\vector(4,-1){36}}
            \put(22,10){\vector(2,1){36}}

            \put(150,40){\makebox(0,0){\sf Wertetabelle von $f$:}}
            \put(150,15){\makebox(0,0){\begin{tabular}{c|cccc}
              $x$    & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\\hline
              $f(x)$ & $a$ & $a$ & $c$ & $a$ \\
            \end{tabular}}}
          \end{picture}
          \caption{Pfeildiagramm von $f$}
        \end{figure}

        In der Wertetabelle wird die vollst\"andige Information im Grunde
        in der unteren Zeile gegeben: Wenn die Reihenfolge $1, 2, 3, 4$ der
        Urbildelemente vorgegeben ist, wird $f$ durch das $4$-Tupel $(a, a,
        c, a)$ beschrieben. In derselben Weise entspricht jede Abbildung
        $f\colon A \longrightarrow B$ einem
        $$\mbox{$A$-Tupel } \big(f(x)\big)_{x \in A} \in B^A$$

        und jedes Tupel in $B^A$ entspricht einer Abbildung $A$ in $B$. Also:
        $$\mbox{Die Menge aller Abbildungen $f\colon A \longrightarrow B$
        kann als $B^A$ geschrieben werden.}$$

        Weitere wichtige, hoffentlich schon vertraute Begriffe:

      \subsubsection{Injektivit\"at, Surjektivit\"at, Bijektivit\"at}
        \paragraph{Definition:}Eine Abbildung $f\colon A \longrightarrow B$
          hei\ss t
          \bigskip

        \index{Injektivit\"at}
        \index{Surjektivit\"at}
        \index{Bijektivit\"at}
        \begin{tabular}{cll}
          \sf (i) & {\bf injektiv}, & falls $\forall x, y \in A\colon
            f(x) = f(y) \Longrightarrow x = y$, \\
          \sf (ii) & {\bf surjektiv} & falls $\forall y \in B
            \exists x \in A\colon f(x) = y$, \\
          \sf (iii) & {\bf bijektiv}, & falls sie injektiv und surjektiv ist.
        \end{tabular}

        \paragraph{Beispiel (a):} Die Funktion $f\colon A \longrightarrow B$
          aus Abbildung 2 ist weder injektiv noch surjektiv.

        \paragraph{Beispiel (b):} Sei $f\colon \R \longrightarrow \R$, $f(x) :=
          x^2$. Diese Abbildung ist weder injektiv noch surjektiv. Aber mit
          abge\"andertem Definitions- oder Wertebereich l\"asst sich das
          \"andern, ohne die Abbildungsvorschrift zu \"andern.
          \medskip

          Beispielsweise ist die Abbildung $g\colon \R \longrightarrow
          \R^+_0$, $g(x) := x^2$ (Einschr\"ankung des Wertebereichs auf die
          nichtnegativen reellen Zahlen) surjektiv, aber immer noch nicht
          injektiv. Mit \"ahnlichen Einschr\"ankungen lassen sich aus $f$
          auch injektive, nicht surjektive oder bijektive Abbildungen
          gewinnen.
          \medskip

        % Graph: Injektivitaet, Surjektivitaet, Bijektivitaet
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(100,50)
            \put(6,6){\vector(1,0){88}}
            \put(50,0){\vector(0,1){50}}
            \put(50,6){\qbezier(0,0)(15,4)(20,40)}
            \put(50,6){\qbezier(0,0)(-15,4)(-20,40)}
            \put(49,15){\line(1,0){2}}
            \put(49,24){\line(1,0){2}}
            \put(49,33){\line(1,0){2}}
            \put(49,42){\line(1,0){2}}
            \put(45,15){\makebox(0,0){\scriptsize $1$}}
            \put(23,5){\line(0,1){2}}
            \put(32,5){\line(0,1){2}}
            \put(41,5){\line(0,1){2}}
            \put(59,5){\line(0,1){2}}
            \put(68,5){\line(0,1){2}}
            \put(77,5){\line(0,1){2}}
            \put(41,0){\makebox(0,0){\scriptsize $-1$}}
            \put(59,0){\makebox(0,0){\scriptsize $1$}}
            \put(100,40){\makebox(0,0){$f(x) = x^2$}}
          \end{picture}
          \caption{Injektivit\"at, Surjektivit\"at, Bijektivit\"at}
        \end{figure}

      \subsubsection{Russel'sches Paradoxon}
        \index{Russel'sches Paradoxon}

        Zum Abschluss dieses Abschnitts noch einmal zu Cantors
        Mengendefinition: Nach Cantor ist sicherlich
        $$A:=\{X \mid X        \mbox{ ist eine Menge}\}$$

        eine Menge, n\"amlich {\bf die Menge aller Mengen}. Sicherlich
        sollte es immer m\"oglich sein, mit Hilfe bestimmter Eigenschaften
        f\"ur die Elemente einer vorhandenen Menge, {\bf Teilmengen} dieser
        Mengen zu gewinnen. Dem entsprechend sollte, wenn $A$ eine Menge
        ist, auch die Gesamtheit
        $$B:=\{X \in A \mid X \not\in X\}$$

        die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten,
        eine Menge sein. Enth\"alt $B$ sich selbst als Element? Es
        gibt zwei M\"oglichkeiten, die beide zu einem Widerspruch f\"uhren:
        \bigskip

        \begin{tabular}{lll}
          Fall 1: & $B \in B$ & Nach Definition folgt sofort $B \not\in B$ \\
          Fall 2: & $B \not\in B$ & Doch das impliziert $B \in B$!
        \end{tabular}
        \hfill $\lightning$
        \bigskip

        Dieser Widerspruch wird {\bf Russellsches Paradoxon} genannt, nach
        seinem Entdecker, dem Philosophen und Mathematiker {\bf Bertrand
        Russell}.

        \paragraph{Randbemerkung:}
          Nat\"urlich gibt es solche \qq{Gesamtheiten} wie die
          \qq{Ge\-samt\-heit aller Mengen}. Solche Gesamtheiten
          werden {\bf Klassen} genannt.
          Alle Mengen sind auch Klassen, aber nicht bei allen Klassen
          handelt es sich um Mengen. Faustregel: Mengen m\"ussen rein
          mengensprachlich mit Hilfe schon bekannter Mengen definierbar
          sein.

    \subsection{Kombinatorik}
      In der Kombinatorik besch\"aftigt man sich mit der Bestimmung der
      {\bf Elementzahlen} verschiedener (endlicher) Mengen. Dabei werden
      verschiedenste Z\"ahltechniken verwendet. Ein typisches
      Z\"ahlproblem: Wieviele Elemente hat die Potenzmenge (= Menge aller
      Teilmengen) einer gegebenen endlichen Menge?

      \subsubsection{Die Kardinalit\"at von Mengen}
        \index{Mengen, Kardinalit\"at}
        \index{Kardinalit\"at}

        \paragraph{Definition:}
          Die Anzahl der Elemente einer Menge $A$ hei\ss t die {\bf
          Kardinalit\"at} (oder {\bf M\"achtigkeit}) von $A$, in Zeichen:
          $|A|$. Beispielsweise gilt:
          \bigskip

        \begin{tabular}{p{5cm}l}
          $|\emptyset| = 0$ & $|\{1, 2, 3\}| = |\{x, \Box, 5\}| = 3$ \\
            $|\{1, 2, \dots, 100\}| = 100$ & $|\{100, 102, 104, \dots, 200\}| =
          51$
        \end{tabular}
        \bigskip

        F\"ur endliche Mengen ist klar, was obige Definition
        bedeutet. F\"ur unendliche Mengen ist die Situation komplizierter.
        Die folgenden wichtigen Tatsachen gelten f\"ur beliebige Mengen $A$
        und $B$ (werden aber hier nicht n\"aher erl\"autert oder bewiesen):

      \subsubsection*{Satz:}

        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          (a) & F\"ur zwei Mengen $A$ und $B$ gilt genau dann
            $|A| = |B|$, wenn es eine bijektive Abbildung $f\colon A
            \longrightarrow B$ gibt. \\
          (b) & F\"ur jede Menge $A$ gilt: $|A| < |\PM(A)|$.
        \end{tabular}

      \subsubsection*{Bemerkungen:}
        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          (a) & Die Menge $\Q$ der rationalen Zahlen hat scheinbar
          \qq{unendlich mal soviele} Elemente wie die Menge der
          natr\"ulichen Zahlen. Dennoch gilt (\"uberraschenderweise) $|\Q| =
          |\N|$. \\
          (b) & Es gilt $|\Q| < |\R|$, das hei{\ss}t $\Q$ ist {\bf
          abz\"ahlbar unendlich}. (Und es ist unentscheidbar, ob es
          \qq{zwischen} $|\Q|$ und $|\R|$ noch eine weitere Kardinalit\"at
          gibt.)
        \end{tabular}
        \bigskip

      Es folgen einige wichtige Abz\"ahlprinzipien:

      \subsubsection{Additionsprinzip}
        \index{Abz\"ahlprinzipien}
        \index{Additionsprinzip}

        Die Mengen $A$ und $B$ seien disjunkt
        (das hei{\ss}t $A \cap B = \emptyset$). Dann gilt:
        $$|A\cup B| = |A| + |B|$$

        \paragraph{Beispiel:}Wenn ein Verein $8$ m\"annliche und $13$
          weibliche Mitglieder hat, dann hat der Verein insgesamt $8+13=21$
          Mitglieder.
          \medskip

        Das n\"achste Prinzip benutzt {\bf direkte Produkte}:

      \subsubsection{Multiplikationsprinzip}
        \index{Multiplikationsprinzip}

        F\"ur beliebige Mengen $A$ und $B$ gilt:
        $$|A \times B| = |A| \cdot |B|$$

        \paragraph{Beispiel:} Wieviele m\"ogliche Nummernschilder
          Darmst\"adter Fahrzeuge sind m\"oglich? Jedes Nummernschild f\"angt
          mit DA an, gefolgt von 1-2 Buchstaben (des \"ublichen
          26-elementigen Alphabets), gefolgt von einer h\"ochstens
          4-stelligen nat\"urlichen Zahl. Der Buchstaben-Teil hat $26+26^2$
          M\"oglichkeiten (Additionsprinzip!), und der Zahlen-Teil hat $9999$
          M\"oglichkeiten. Das Multiplikationsprinzip liefert deshalb
          insgesamt $(26+26^2) \cdot 9999$ m\"ogliche Nummernschilder.
          \medskip

        Die n\"achste Regel wurde schon erw\"ahnt. Sie ist zwar sehr wichtig,
        wird aber dennoch oft verwendet, ohne explizit erw\"ahnt zu werden:

      \subsubsection{Gleichheitsprinzip}
        \index{Gleichheitsprinzip}

        Wenn $f\colon A \longrightarrow B$ eine bijektive Abbildung ist,
        dann gilt:
        $$|A| = |B|$$

        Es folgt ein letztes Prinzip (obwohl es nat\"urlich viele weitere
        gibt). Es beruht auf der offensichtlichen Tatsache, dass es nicht
        darauf ankommt, in welcher Reihenfolge man die Elemente einer Menge
	z\"ahlt. Dies wird hier verwendet, um die Elemente einer
        zweistelligen Relation $R \subseteq A \times B$ auf zwei Arten zu
        z\"ahlen. F\"ur jedes $a \in A$ und f\"ur jedes $b \in B$ sei:
        \begin{eqnarray*}
          & r_1(a) := |\{y \in B \mid (a,y) \in R\}| \\
          & r_2(b) := |\{x \in A \mid (x,b) \in R\}|
        \end{eqnarray*}

        Es macht keinen Unterschied, ob man die Elemente von $R$
        \qq{$A$-weise} oder \qq{$B$-weise} z\"ahlt:

      \subsubsection{Prinzip der doppelten Abz\"ahlung}
        \index{Doppelte Abz\"ahlung}
        \index{Abz\"ahlprinzipien, doppelte}

        F\"ur jede zweistellige Relation $R \subseteq A \times B$ gilt:
        $$\sum_{a \in A} r_1(a) \; = \; \sum_{b \in B} r_2(b)$$

        Beide Seiten dieser Gleichung ergeben $|R|$, die Anzahl der
        Elemente von $R$. Viele Mathemetiker betrachten dieses Prinzip als
        das wichtigste der Kombinatorik. Sp\"ater werden wichtige
        Anwendungen betrachtet. Zum Warmwerden folgt hier ein etwas
        k\"unstliches Beispiel:

        % Graph: Kreuztabelle von R.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(100,50)
            \put(48,40){\makebox(0,0){$\begin{array}{cccc}
                a & b & c & d \\\hline
                \phantom{\times} & \phantom{\times} &
                \phantom{\times} & \phantom{\times}
              \end{array}$}}
            \put(50,15){\makebox(0,0){$R:\quad \left(\begin{array}{cccc}
                \times &        & \times &        \\
                       & \times & \times & \times \\
                \times & \times & \times &
              \end{array}\right) \quad \left|\begin{array}{c}
                1 \\
                2 \\
                3
              \end{array}\right.$}}
          \end{picture}
          \caption{Kreuztabelle von $R$}
        \end{figure}

        \paragraph{Beispiel:}Sei $A = \{1, 2, 3\}$ und $B = \{a, b, c,
          d\}$. Die Relation $R \subseteq A \times B$ sei durch obige
          Kreuztabelle gegeben (ein Kreuz an Stelle $ix$ bedeutet $(i,x) \in
          R$).
          \medskip

          Es gilt:
          \begin{eqnarray*}
            & r_1(1) = 2, \quad r_1(2) = r_1(3) = 3 \\
            & r_2(a) = r_2(b) = 2, \quad r_2(c) = 3, \quad r_2(d) = 1
          \end{eqnarray*}
          Tats\"achlich gilt (keine \"Uberaschung):
          \begin{eqnarray*}
            & r_1(1) + r_1(2) + r_1(3) = 2+2+3 = 8 \\
            & r_2(a) + r_2(b) + r_2(c) + r_2(d) = 2+2+3+1 = 8
          \end{eqnarray*}

      \subsubsection{Teilmengen endlicher Mengen}
        \index{Potenzmenge}
        \index{Teilmengen}
        Jetzt werden die Teilmengen endlicher Mengen gez\"ahlt. Der K\"urze
        halber wird jede $n$-elementige Menge eine $n$-Menge genannt. Die
        Menge aller Teilmengen einer Menge $N$ wird mit $\PM(N)$ bezeichnet
        (Potenzmenge von $N$).

        \paragraph{Bemerkung:}
          \label{PAnzahl}
          Jede $n$-Menge $N$ hat genau $2^n$ Teilmengen, das hei{\ss}t
          $$|\PM(N)| = 2^n$$

        \paragraph{Beweis:}Sei oBdA. (ohne Beschr\"ankung der Allgemeinheit)
          $N = \{1,2,\dots,n\}$. Jede Teilmenge $S \subseteq N$ ist durch
          ihre Elemente bestimmt. F\"ur $1 \in N$ gibt es zwei
          M\"oglichkeiten: $1 \in S$ oder $1 \not\in S$. Und zwei
          M\"oglichkeiten f\"ur $2 \in N$: $2 \in S$ oder $2 \not\in S$.
          Ebenso zwei M\"oglichkeiten f\"ur $3 \in N$. \dots. Zwei
          M\"oglichkeiten f\"ur $n \in N$.

          Diese M\"oglichkeiten werden multipliziert (Multiplikationsprinzip).
          Zusammen ergeben sich $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 = 2^n$
          M\"oglichkeiten f\"ur Teilmengen von $N$. \hfill $\square$

        \paragraph{Aufgabe:}Finde einen streng formalen Beweis f\"ur obige
          Bemerkung, der das Gleichheitsprinzip und das
          Multiplikationsprinzip verwendet.

        \paragraph{Beispiel:}Sei $N = \{1,2,3\}$. Es gibt genau $2^3 = 8$
          Teilmengen von $N$:
          $$\emptyset, \; \{1\}, \; \{2\}, \; \{3\}, \; \{1,2\}, \; \{1,3\},
          \; \{2,3\}, \; \{1,2,3\}$$

      \subsubsection{\texorpdfstring{$k$}{k}-Teilmengen endlicher Mengen}
        \index{Binomialkoeffizienten}
        Jetzt werden die Teilmengen einer $n$-Menge $N$ in detaillierter
        Weise betrachtet: Die Menge aller $k$-Teilmengen ($k$-elementige
        Teilmengen) von $N$ wird mit $\PM_k(N)$ bezeichnet. Weiter sei
        ${n \choose k} := |\PM_k(N)|$ (die M\"achtigkeit von
        $\PM_k(N)$). Man spricht ${n \choose k}$ als {\em $n$
        \"uber $k$}. Aus Gr\"unden, die sp\"ater klar werden, nennt man die
        Zahlen ${n \choose k}$ {\bf Binomialkoeffizienten}.

        \paragraph{Beobachtung:}Seien $n,k \in \N_0$ (der Menge der
          nat\"urlichen Zahlen plus $0$). Dann gilt:
          \bigskip

          \begin{tabular}{ll}
            (a) & ${n \choose 0} = {n \choose n} = 1, \quad
              {n \choose 1} = {n \choose n-1} = n$ \\
            (b) & ${n \choose k} = {n \choose n-k}$
          \end{tabular}
          \bigskip

        \paragraph{Beweis:} (a) ist offensichtlich. F\"ur (b) beachte man,
          dass durch
          $$\PM_k(N) \longrightarrow \PM_{n-k}(N),\quad S \mapsto N
          \setminus S := \{x \in N \mid x \not\in S\}$$

          eine bijektive Abbildung gegeben ist. Also folgt (b) mit dem
          Gleichheitsprinzip.
          \medskip

          Das Additionsprinzip liefert mit der Bemerkung von Seite
          \pageref{PAnzahl} sofort:

        \paragraph{Folgerung:}
          \label{PAnzahlSumme}
          $\sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n$
          f\"ur alle $n \in \N_0$.
          \medskip

          Als n\"achstes wird eine Formel f\"ur ${n \choose k}$ entwickelt:
          Es wird das Prinzip der doppelten Abz\"ahlung auf die durch
          $$(x,S) \in R \quad :\Leftrightarrow \quad x \in S$$

          definierte Relation $R \subseteq N \times \PM_k(N)$ angewandt
          (wieder mit $N = \{1,2,\dots,n\}$). F\"ur jedes $x \in N$ gilt
          dann:
          \begin{eqnarray*}
            r_1(x) & = & |\{S \in \PM_k(N) \mid x \in S\}| \\
                   & = & |\PM_{k-1}(N \setminus \{x\})| \\
                   & = & {n-1 \choose k-1}
          \end{eqnarray*}

          F\"ur jedes $S \in \PM_k(N)$ gilt offenbar $r_2(S) = |S| = k$.
          \medskip

          Also liefert $\sum r_1(x) = \sum r_2(S)$:
          $$\underbrace{\quad n \quad}_{\stackrel{\mbox{\scriptsize
          Anzahl Ele-}}{\mbox{\scriptsize mente in $N$}}} \cdot \quad
          \underbrace{{n-1 \choose k-1}}_{r_1(x)} \quad = \underbrace{\quad
          {n \choose k} \quad }_{\stackrel{\mbox{\scriptsize Anzahl
          Ele-}}{\mbox{\scriptsize
          mente in $\PM_k(N)$}}} \cdot \quad \underbrace{k}_{r_2(S)}$$

          Dies l\"asst sicht schreiben als
          $$\varoast \qquad \quad {n \choose k} = \frac{n}{k}
	  {n-1 \choose k-1}$$

          Hiermit l\"asst sich sofort die gew\"unschte Formel herleiten:

        \paragraph{Satz:} Es gilt ${n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot
          \dots \cdot (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdot \dots \cdot 1}$ f\"ur alle
          $n, k \in \N_0$ mit $k \leq n$.

        \paragraph{Beweis} mit einer etwas informell durchgef\"uhrten
          Induktion \"uber $n$. Bekanntlich gilt ${n-k \choose 0} = 1$. Jetzt
          wird $\varoast$ der Reihe nach auf ${n \choose k}$,
          ${n-1 \choose k-1}$, ${n-2 \choose k-2}$, \dots, ${n-k+1 \choose 1}$
          angewandt:
          \begin{eqnarray*}
            {n \choose k} & = & \frac{n}{k} {n-1 \choose k-1} = \frac{n}{k}
              \cdot \frac{n-1}{k-1} \cdot {n-2 \choose k-2} \\
            & = & \frac{n}{k} \cdot \frac{n-1}{k-1} \cdot \frac{n-2}{k-2}
              \cdot {n-3 \choose k-3} = \dots \\
            & = & \frac{n}{k} \cdot \frac{n-1}{k-1} \cdot \frac{n-2}{k-2}
              \cdot \dots \cdot \frac{n-k+1}{1} \cdot {n-k \choose 0} \\
            & = & \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)}
              {k \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdot \dots \cdot 1}
          \end{eqnarray*}

          wie behauptet. \hfill $\square$

        \paragraph{Frage:}Warum gilt diese Formel auch f\"ur $k=0$?

        \paragraph{Beispiel:}Eine B\"ackerei bietet $8$ verschiedene
          Brotsorten an. Wieviele M\"og\-lich\-keiten hat ein Kunde, in dieser
          B\"ackerei 3 Brote zu kaufen, die alle von unterschiedlicher
          Sorte sind (rein von den Kombinationsm\"oglichkeiten her)?
	  
	  {\bf Antwort:} Es gibt genau ${8 \choose 3} = \frac{8 \cdot 7
	  \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$ M\"oglichkeiten.
          \medskip

          Jetzt folgt die Anwendung der Binomialkoeffizienten, die ihnen den
          Namen gibt:

      \subsubsection{Die Binomische Formel}
        F\"ur alle $n \in \N_0$ und alle $x,y \in \C$ (komplexe Zahlen)
        gilt:
        $$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k y^{n-k}$$

        \paragraph{Beweis:}Die Multiplikation der $n$ Klammern von
        $$(x+y)^n = (x+y) \cdot \dots \cdot (x+y)$$

        f\"uhrt man \"ublicherweise so durch:
        \bigskip

        \begin{tabular}{cl}
          \sf (i) & Entscheide in jeder Klammer, ob $x$ oder $y$ genommen
            werden soll, \\
          \sf (ii) & Tue dies auf alle m\"oglichen Arten.
        \end{tabular}
        \bigskip

        Ein Produkt $x^ky^{n-k}$ ergibt sich genau dann, wenn in {\sf(i)} in
        genau $k$ Klammern $x$ gew\"ahlt wird und in den anderen Klammern
        $y$. Da es genau ${n \choose k}$ M\"oglichkeiten gibt, $k$ von $n$
        Klammern auszuw\"ahlen, ergibt sich genau ${n \choose k}$ mal
        $x^ky^{n-k}$. \hfill $\square$

      \paragraph{Beispiel:}\hfill % \hfill prevents LaTeX warning.
        \begin{eqnarray*}
          (x+y)^3 & = & {3 \choose 0}x^0y^3 + {3 \choose
            1}x^1y^2 + {3 \choose 2}x^2y^1 + {3 \choose 3}x^3y^0 \\
          & = & y^3 + 3xy^2 + 3x^2y + x^3
        \end{eqnarray*}

        Bekanntlich gilt ${n \choose k} =  \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)
        \cdot \dots \cdot (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdot \dots
        \cdot 1}$. Man kann die Binomialkoeffizienten aber auch mit
        folgender Formel berechnen:

      \subsubsection{Binomialrekursion}
        \index{Binomialrekursion}
        \index{Rekursion}
        \index{Pascal'sches Dreieck}
        F\"ur alle $n,k \in \N$ gilt
        $${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$$

        Diese Gleichung kann mit obiger \"ublicher Formel f\"ur die
        Binomialkoeffizienten leicht nachgerechnet werden. (Ein ganz
        anderer, begrifflicher Beweis wird in den \"Ubungen vorgestellt!)
        \medskip

        Mit Hilfe der Binomialrekursion k\"onnen die Binomialkoeffizienten
        {\bf rekursiv} berechnet werden, das hei{\ss}t Schritt f\"ur
        Schritt f\"ur $n = 1, 2, 3, \dots$. Auf diese Art ergibt sich das
        {\bf Pascal'sche Dreieck}.
        \medskip

        % Graph: Das Pascal'sche Dreieck.
        % FIXME: LaTeX Warning: `h' float specifier changed to `ht'.
        \begin{figure}[ht] % [h] -> [ht] to prevent warnings
          \centering
          \begin{picture}(100,70)
            \put(10,60){\makebox(0,0){\scriptsize $n = 0$}}
            \put(25,60){\vector(1,0){15}}
            \put(70,80){\makebox(0,0){\scriptsize $k = 0$}}
            \put(65,75){\vector(-1,-1){10}}
            \put(50,60){\makebox(0,0){$1$}}

            \put( 0,50){\makebox(0,0){\scriptsize $n = 1$}}
            \put(15,50){\vector(1,0){15}}
            \put(80,70){\makebox(0,0){\scriptsize $k = 1$}}
            \put(75,65){\vector(-1,-1){10}}
            \put(40,50){\makebox(0,0){$1$}}
            \put(60,50){\makebox(0,0){$1$}}

            \put(-10,40){\makebox(0,0){\scriptsize $n = 2$}}
            \put( 5,40){\vector(1,0){15}}
            \put(90,60){\makebox(0,0){\scriptsize $k = 2$}}
            \put(85,55){\vector(-1,-1){10}}
            \put(30,40){\makebox(0,0){$1$}}
            \put(50,40){\makebox(0,0){$2$}}
            \put(70,40){\makebox(0,0){$1$}}

            \put(-20,30){\makebox(0,0){\scriptsize $n = 3$}}
            \put(-5,30){\vector(1,0){15}}
            \put(100,50){\makebox(0,0){\scriptsize $k = 3$}}
            \put(95,45){\vector(-1,-1){10}}
            \put(20,30){\makebox(0,0){$1$}}
            \put(40,30){\makebox(0,0){$3$}}
            \put(60,30){\makebox(0,0){$3$}}
            \put(80,30){\makebox(0,0){$1$}}

            \put(-30,20){\makebox(0,0){\scriptsize $n = 4$}}
            \put(-15,20){\vector(1,0){15}}
            \put(110,40){\makebox(0,0){\scriptsize $k = 4$}}
            \put(105,35){\vector(-1,-1){10}}
            \put(10,20){\makebox(0,0){$1$}}
            \put(30,20){\makebox(0,0){$4$}}
            \put(50,20){\makebox(0,0){$6$}}
            \put(70,20){\makebox(0,0){$4$}}
            \put(90,20){\makebox(0,0){$1$}}

            \put(-40,10){\makebox(0,0){\scriptsize $n = 5$}}
            \put(-25,10){\vector(1,0){15}}
            \put(120,30){\makebox(0,0){\scriptsize $k = 5$}}
            \put(115,25){\vector(-1,-1){10}}
            \put( 0, 10){\makebox(0,0){$1$}}
            \put(20, 10){\makebox(0,0){$5$}}
            \put(40, 10){\makebox(0,0){$10$}}
            \put(60, 10){\makebox(0,0){$10$}}
            \put(80, 10){\makebox(0,0){$5$}}
            \put(100,10){\makebox(0,0){$1$}}

            \put(50,0){\makebox(0,0){$\vdots$}}
          \end{picture}
          \caption{Das Pascal'sche Dreieck}
        \end{figure}

        % Was ist das fuer ein scheiss Satz?
        \paragraph*{Satz:}
        Jede der folgenden Gleichungen kann man in diesem Schema
        veranschaulichen. Es gibt unz\"ahlige weitere Gleichungen f\"ur
        Binomialkoeffizienten, zum Teil von geradezu \qq{magischer}
        Sch\"onheit.
        Die nachfolgenden Gleichungen verdeutlicht man
        sich am Besten an dem Pascal'schen Dreieck:
        \bigskip

        \index{Vandermondesche Gleichung}
        \begin{tabular}{lll}
          (a) & $\sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n$ & f\"ur alle $n
            \in \N_0$ \\
          (b) & $\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} = 0$ & f\"ur
            alle $n \in \N_0$ \\
          (c) & $\sum\limits_{i=k-1}^{n-1} {i \choose k-1} = {n \choose k}$ &
            f\"ur alle $n \in \N_0, k \in \N$ \\
          (d) & $\sum\limits_{i=0}^k {n-1-k+i \choose i} = {n \choose k}$
            & f\"ur alle $n \in \N, k \in \N_0, n > k$ \\
          (e) & $\sum\limits_{i=0}^k (-1)^i {n+1 \choose i} = (-1)^k {n
            \choose k}$ & f\"ur alle $n,k \in \N_0$ \\
          (f) & $\sum\limits_{i=0}^k {n \choose i} {m \choose k-i} = {n+m
            \choose k}$ & f\"ur alle $n,m,k \in \N_0$ \\
          & \multicolumn{2}{l}{({\bf Vandermondesche Gleichung})}
        \end{tabular}

      \subsubsection*{Beweis:}
        \index{Vollst\"andige Induktion}
        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          (a) & Das wurde bereits auf Seite \pageref{PAnzahlSumme} gezeigt.
            Alternative Argumentation: Verwende die Binomische Formel
            mit $x = y = 1$. \\
          (b) & Binomische Formel mit $x = 1, y = -1$! \\
          (c) & Hier wird (erstmals) eine {\bf vollst\"andige Induktion}
            verwendet. N\"aheres zu diesem Beweisprinzip folgt sp\"ater in
            diesem Kapitel!

            Induktion \"uber $n$:

            {\bf Induktionsbasis:} Die Behauptung gilt f\"ur $n = 0$: Die
            Summe auf der linken Seite ist leer, ergibt also $0$. Die
            rechte Seite ist ${0 \choose k}$, wegen $k \geq 1$ ebenfalls
            $0$.

            {\bf Induktionsvoraussetzung:} Es werde vorausgesetzt, dass die
            Behauptung f\"ur (irgend ein) $n \in \N_0$ gilt:
            \medskip

            \begin{tabular}{ll}
              \sf (Vor) & $\sum\limits_{i=k-1}^{n-1} {i \choose k-1} = {n
                \choose k}$
            \end{tabular}
            \medskip

            {\bf Indukionsschritt:} Jetzt wird die Induktionsvoraussetzung
            {\sf (Vor)} verwendet, um die Behauptung f\"ur $n+1$ zu zeigen. Das
            funktioniert folgenderma{\ss}en:
        \end{tabular}

        \begin{tabular}{lp{10cm}} &
            \begin{eqnarray*}
              \sum\limits_{i=k-1}^{n} {i \choose k-1} & = & \left(
              \sum\limits_{i=k-1}^{n-1} {i \choose k-1} \right) + {n
              \choose k-1} \\
              & \stackrel{\mbox{\scriptsize\sf (Vor)}}{=} & {n \choose k} +
              {n \choose k-1} = {n+1 \choose k}
            \end{eqnarray*} \\
          (d) & Dieser Beweis kann ebenfalls mit Induktion durchgef\"uhrt
            werden. Die restlichen Beweise sind dem interessierten Leser
            \"uberlassen. \\
          (e) & ist sehr trickreich, \\
          (f) & bei geeigneter Idee recht einfach.
        \end{tabular}

      \subsubsection{Permutationen}
        \index{Permutation}
        Bei den Elementen einer Menge kommt es nicht auf die Reihenfolge an
        (die Elemente sind \qq{ungeordnet}) und Elemente k\"onnen nicht
        doppelt vorkommen. Das kann man auch anders betrachten. Zuerst
        das {\em geordnete Analogon}: Eine {\bf $k$-Permutation} einer
        Menge $N$ ist eine Folge $(a_1, \dots, a_k) \in N^k$ mit $a_i \neq
        a_j$ f\"ur $i \neq j$, also ein $k$-Tupel mit $k$ unterschiedlichen
        Elementen.

        \paragraph{Satz:}Es gibt genau $n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot
          (n-k+1)$ $k$-Permutationen in einer gegebenen $n$-Menge $N$.

        \paragraph{Beweis:}F\"ur eine $k$-Permutation $(a_1, \dots, a_k)
          \in N^k$ gibt es $n$ M\"oglichkeiten f\"ur $a_1$, $n-1$
          M\"oglichkeiten f\"ur $a_2, \dots, n-k+1$ M\"oglichkeiten f\"ur
          $a_k$. Insgesamt ergibt das $n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot
          (n-k+1)$ M\"oglichkeiten. \hfill $\square$
          \medskip

      \subsubsection{Multimengen}
        \index{Multimengen}

        In $k$-Mengen und in $k$-Permutationen gibt es keine Wiederholungen
        von Elementen. Jetzt werden Wiederholungen erlaubt. Zuerst eine sehr
        informelle Definition: Eine {\bf $k$-Multimenge} einer Menge $N$
        ist eine \qq{Ansammlung} $\{\{a_1, \dots, a_k\}\}$ von $k$
        Elementen $a_1, \dots, a_k \in N$, wobei Wiederholungen von
        Elementen vorkommen d\"urfen. Die Anzahl der $k$-Multimengen in
        einer gegebenen $n$-Menge $N$ wird mit $\left( \! {n \choose
        k} \! \right)$ bezeichnet.

        \paragraph{Beispiel:}Sei $N = \{a,b\}$. Es gibt folgende
          $3$-Mulimengen in $N$:
          $$\{\{a,a,a\}\}, \{\{a,a,b\}\}, \{\{a,b,b\}\}, \{\{b,b,b\}\}$$

          also (mit $n = 2, k = 3$):
          $\left(\!{2 \choose 3}\!\right) = 4$.

        \paragraph{Satz:} Die Anzahl aller $k$-Multimengen, die in einer
          gegebenen $n$-Menge $N$ enthalten sind, betr\"agt
          $$\left(\!\! {n \choose k}\!\! \right) = {n+k-1 \choose k}$$

        {\bf Beweis} mit Hilfe eines Beispiels: Es werde die
          $5$-Multimenge
          $$K = \{\{1,1,4,6,6\}\} \quad \mbox{in} \quad N = \{1,2,3,4,5,6\}$$

          betrachtet. Man kann $K$ folgenderma{\ss}en mit $k=5$ Kreuzen und
          $n-1=5$ Strichen kodieren: $\times\times|||\times||\times\times$.
          Bedeutung: Erst zwei Einsen, dann null Zweien, dann null Dreien,
          dann eine Vier, dann null F\"unfen, dann zwei Sechsen. In der
          Kreuz-Strich-Kodierung ist $K$ durch die Positionen der $k=5$ Kreuze
          (Positionen 1, 2, 6, 9, 10) innerhalb der $k+n-1 = 10$ Zeichen langen
          Kreuz-Strich-Folge eindeutig bestimmt. Es gibt genau ${10 \choose 5}
          = {k+n-1 \choose k}$ Auswahlm\"oglichkeiten f\"ur diese Positionen
          der Kreuze, also ebensoviele $k$-Multimengen in $\{1,\dots,6\}$.
          \hfill $\square$
          \medskip

        Es bleibt die Anzahl aller $k$-Tupel $(a_1, \dots, a_k) \in N^k$
        zu bestimmen. Doch das ist einfach (Multiplikationsregel):

        \paragraph{Satz:}Es gibt genau $n^k$ verschiedene $k$-Tupel in einer
          gegebenen $n$-Menge $N$.
          \medskip

        Die Tabelle fasst obige Resultate zusammen:
        \bigskip

        \begin{tabular}{c|c|c}
          \qq{Zusammenstellung} von $k$ & & \\
              Objekten einer $n$-Menge & nicht geordnet & geordnet  \\\hline
          ohne Wiederholungen & $k$-Mengen: & $k$-Permutationen: \\
              & ${n \choose k}$ & $n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$
              \\\hline
          mit Wiederholungen & $k$-Multimengen: & $k$-Tupel: \\
            & $\left(\!{n \choose k}\!\right) = {n+k-1 \choose k}$ & $n^k$
        \end{tabular}
        \bigskip

        Die folgende Aufgabe gibt einfache Anwendungen:

        \paragraph{Aufgabe:}Eine B\"ackerei bietet 8 Brotsorten an. Wieviele
          M\"oglichkeiten (von den Kombinationsm\"oglichkeiten der Brotsorten)
          gibt es dort f\"ur $5$ Studenten
          \bigskip

        \begin{tabular}{ll}
          (a) & insgesamt $5$ Brote zu kaufen (alles verschiedene Sorten), \\
          (b) & insgesamt $5$ Brote zu kaufen (Sortenwiederholungen
            m\"oglich), \\
          (c) & $5$ Brote zu kaufen, f\"ur jeden Studenten eins (ohne
            Wiederholungen), \\
          (d) & $5$ Brote zu kaufen, f\"ur jeden Studenten eins (beliebige
            Sorten)?
        \end{tabular}
        \bigskip

        Dieser Abschnitt wird mit dem {\em Z\"ahlen von Abbildungen}
        abgeschlossen:

      \subsubsection{Z\"ahlen von Abbildungen}
        \paragraph{Satz:}Sei $N$ eine $n$-Menge und $K$ eine $k$-Menge.
          \bigskip

        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          (a) & Es gibt genau $n^k$ Abbildungen $K \longrightarrow N$ \\
          (b) & Es gibt genau $n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$
            injektive Abbildungen $K \longrightarrow N$ \\
          (c) & Es gibt genau $S(k,n)$ surjektive Abbildungen $K
            \longrightarrow N$ mit
            $$S(k,n) = \sum\limits_{i=1}^n (-1)^{n-i} {n \choose i} i^k$$
        \end{tabular}

      \subsubsection*{Beweis}
        \begin{tabular}{ll}
          (a) & Hierf\"ur muss man alle $k$-Tupel in $N$ z\"ahlen (siehe
                vorherige Seite) \\
          (b) & Das bedeutet, alle $k$-Permutationen in $N$ zu z\"ahlen \\
          (c) & Der Beweis ist recht schwierig und wird hier weggelassen\hfill
                $\square$
        \end{tabular}

        \paragraph{Aufgabe:}Man \qq{teste} Aussage (c) f\"ur kleine Werte,
          zum Beispiel f\"ur $n=3$, $k=4$.

    \subsection{Beweismethoden}
      \index{Beweismethoden}
      \index{Aussagen}
      \index{Wahrheitstafel}
      Mathematische {\bf Aussagen} haben h\"aufig die Form \qq{wenn $p$,
      dann $q$}, in symbolischer Schreibweise: $p \rightarrow q$. Dabei
      sind dann $p$ und $q$ selbst Aussagen, die {\bf wahr} ($=w$) oder
      {\bf falsch} ($=f$) sein k\"onnen. Die Aussage $p \rightarrow q$ hat
      folgende {\bf Wahrheitstafel}:

      \begin{center}
      \begin{tabular}{cc|c}
        $p$ & $q$ & $p \rightarrow q$ \\ \hline
        $w$ & $w$ & $w$ \\
        $w$ & $f$ & $f$ \\
        $f$ & $w$ & $w$ \\
        $f$ & $f$ & $w$ \\
      \end{tabular}
      \end{center}

      \index{Hypothese}
      \index{Behauptung}
      Also muss man sich beim Nachweis der Aussage $p \rightarrow q$ nur um
      den Fall k\"um\-mern, dass $p$ wahr ist, und muss dann nachweisen,
      dass auch $q$ wahr ist. Dabei wird $p$ die {\bf Hypothese} genannt,
      (und $q$ zum Beispiel die {\bf Behauptung}).
      \medskip

      Ein {\bf direkter Beweis} von $p \rightarrow q$ besteht darin,
      dass man eine Reihe von Aussagen $p \rightarrow p_1 \rightarrow
      p_2 \rightarrow \dots \rightarrow p_k \rightarrow q$ nachweist (wobei
      man alle schon bekannten Tatsachen \qq{verwenden}, das hei{\ss}t
      voraussetzen darf). Andere Stategien bestehen darin, dass man zu $p
      \rightarrow q$ logisch \"aquivalente Aussagen nachweist. Logisch
      \"aquivalent zu $p \rightarrow q$ ist zum Beispiel $\neg q
      \rightarrow \neg p$. Wenn man dies verwendet, muss man aus der
      Aussagen $\neg q$ die Aussage $\neg p$ herleiten ({\bf
      Kontraposition}). Zu $p \rightarrow q$ ist aber auch die Aussage $(p
      \wedge \neg q) \rightarrow f$ \"aquivalent. Man muss also aus der
      G\"ultigkeit von $p$ und von $\neg q$ die Aussage $f$ (falsch)
      herleiten ({\bf Widerspruchsbeweis}).
      \medskip

      Diese Methoden werden im Folgenden anhand von Beispielen vorgestellt.
      Au{\ss}erdem wird das Beweisprinzip der {\bf vollst\"andigen
      Induktion} vorgestellt.

      \subsubsection{Direkter Beweis}
        \index{Direkter Beweis}
        \index{Beweis, direkter}
        Es soll schrittweise die Behauptung

        \begin{quote}
          wenn $a$ durch $6$ teilbar ist, dann ist $a$ auch durch $3$
          teilbar
        \end{quote}

        nachgewiesen werden (f\"ur $a \in \Z$). Die Hypothese ist

        \begin{quote}
          $p: \quad a$ ist durch $6$ teilbar,
        \end{quote}

        und die Behauptung ist

        \begin{quote}
          $q: \quad a$ ist durch $3$ teilbar.
        \end{quote}

        F\"ur den Nachweis werden mehrere Zwischenschritte verwendet. Nach
        Definition bedeutet $p$:

        \begin{quote}
          $p_1: \quad a = 6k$ f\"ur ein $k \in \Z$.
        \end{quote}

        Wegen $6 = 3 \cdot 2$ l\"asst sich dies schreiben als

        \begin{quote}
          $p_2: \quad a = (3\cdot 2)k$ f\"ur ein $k \in \Z$.
        \end{quote}

        Bekanntlich gilt $(3 \cdot 2)k = 3(2 \cdot k)$ (Assoziativit\"at),
        also

        \begin{quote}
          $p_3: \quad a = 3 (2 \cdot k)$ f\"ur ein $k \in \Z$.
        \end{quote}

        Da mit $k$ auch $k' = 2 \cdot k$ eine ganze Zahl ist, folgt

        \begin{quote}
          $p_4: \quad a = 3 k'$ f\"ur ein $k' \in \Z$.
        \end{quote}

        Letzteres bedeutet, dass $a$ durch $3$ teilbar ist. Also ist die
        Behauptung $q$ jetzt bewiesen. Die {\bf Beweisstruktur} in diesem
        Fall war
        $$p \rightarrow p_1 \rightarrow p_2 \rightarrow p_3
        \rightarrow p_4 \rightarrow q$$

        Nat\"urlich lassen sich Aussage und Beweis oft  viel informeller
        und knapper formulieren, in diesen Fall zum Beispiel so:

        \paragraph{Behauptung:}Wenn eine ganze Zahl $a$ durch $6$ teilbar
        ist, dann ist $a$ auch durch $3$ teilbar.

        \paragraph{Beweis:}Ist $a$ durch $6$ teilbar, dann gilt $a=6k$
        f\"ur ein $k \in \Z$. Umformung ergibt $a = (2\cdot 3)k = 3(2k)$
        und da mit $k \in \Z$ auch $2k \in \Z$ gilt, folgt schie{\ss}lich,
        dass $a$ durch $3$ teilbar ist. \hfill $\square$

      \subsubsection{Beweis durch Kontraposition}
        \index{Kontraposition}
        \index{Beweis, Kontraposition}
        Anstelle einer Implikation $p \rightarrow q$ wird die dazu logisch
        \"aquivalente Implikation $\neg q \rightarrow \neg p$ direkt
        bewiesen (die {\bf Kontraposition} von $p \rightarrow q$). Ein
        Beispiel:

        \label{Kontraposition}
        \paragraph{Behauptung:}Sei $a \in \Z$. Wenn $a^2$ ungerade ist,
        dann ist $a$ ungerade.
        \medskip

        In diesem Beispiel ist $p$ die Aussage \qq{$a^2$ ungerade} und $q$
        die Aussage \qq{$a$ ungerade}. Jetzt wird aus der Aussage $\neg q$
        (\qq{$a$ gerade}) direkt die Aussage $\neg p$ (\qq{$a^2$ gerade})
        bewiesen:

        \paragraph{Beweis der Behauptung:}\qq{$a$ gerade} bedeutet $a = 2k$
        f\"ur ein $k \in \Z$. Dann gilt $a^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$,
        wobei $2k^2 \in \Z$ gilt. Doch das bedeutet \qq{$a^2$ gerade}.
        \hfill $\square$

      \subsubsection{Widerspruchsbeweis}
        \index{Widerspruchsbeweis}
        \index{Beweis, Widerspruch}
        Anstelle einer Implikation $p \rightarrow q$ wird die dazu logische
        \"aquivalente Implikation $(p \wedge \neg q) \rightarrow f$
        bewiesen (also: $p$ {\em und} $\neg q$ k\"onnen nicht gleichzeitig
        gelten). Hier ein ber\"uhmtes Beispiel:

        \paragraph{Behauptung:}Es gibt unendlich viele Primzahlen.
        \medskip

        Hier handelt es sich um einen degenerierten Widerspruchsbeweis. Die
        Aussage $q$ sei \qq{es gibt unendlich viele Primzahlen} und die
        Aussage $p$ sei \qq{wahr}, also $p = w$. Zu zeigen ist $(w \wedge
        \neg q) \rightarrow f$, also $\neg q \rightarrow f$. Dabei bedeutet
        $\neg q$ \qq{es gibt nur endlich viele Primzahlen}.

        \paragraph{Beweis der Behauptung:}Werde
        angenommen, dass es nur endlich viele Primzahlen $z_1, \dots, z_k$
        gibt. Dann ist $z=z_1 \cdot \dots \cdot z_k + 1$ eine ganze Zahl,
        die aber durch keine der Primzahlen $z_1, \dots, z_k$ teilbar ist
        (denn teilt man $z$ durch $z_i$, bleibt immer Rest $1$). Also muss
        auch $z$ eine Primzahl sein. $\lightning$ \hfill $\square$
        \medskip

        Noch zwei Beweisprinzipien, die oben nicht angek\"undigt waren:

      \subsubsection{\"Aquivalenzbeweis}
        \index{\"Aquivalenzbeweis}
        \index{Beweis, \"Aquivalenz}
        Eine Aussage der Form $p \leftrightarrow q$ bedeutet: \qq{$p$ gilt
        {\bf genau dann, wenn} $q$ gilt}. Sie ist logisch \"aquivalent zu $(p
        \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$. Man muss also zwei
        Beweise f\"uhren, n\"amlich einen f\"ur $p \rightarrow q$ und einen
        f\"ur $q \rightarrow p$. Ein Beispiel:

        \paragraph{Behauptung:}Sei $a \in \Z$. Dann ist $a^2$ genau dann
        gerade, wenn $a$ gerade ist.
        Hier werden die Aussagen $p$ (\qq{$a^2$ gerade}) und $q$ (\qq{$a$
        gerade}) betrachtet:

        \paragraph{Beweis der Behauptung:}Aus \qq{$a$ gerade} folgt
        \qq{$a^2$ gerade}. Das erh\"alt man mit Kontraposition aus der
        Behauptung aus Seite \pageref{Kontraposition}. Jetzt sei $a^2$
        gerade. Zu zeigen ist, dass dann auch $a$ gerade ist. Auch das
        gelingt sehr einfach mit Kontraposition: Sei $a$ ungerade, also von
        der Form $a = 2k+1, k \in \Z$. Dann ist $a^2 = (2k+1)^2 =
        4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, wobei $2k^2 + 2k \in \Z$ gilt.
        Doch das bedeutet \qq{$a^2$ ungerade}. \hfill $\square$

      \subsubsection{Fallunterscheidung}
        \index{Fallunterscheidung}
        \index{Beweis, Fallunterscheidung}
        Jede Aussage $p$ ist logisch \"aquivalent zur Aussage $(q
        \rightarrow p) \wedge (\neg q \rightarrow p)$, wobei (im Prinzip)
        $q$ irgendeine Aussage sein kann. Also ist $p$ logisch \"aquivalent
        zu: \qq{Wenn $q$, dann $p$ {\em und} wenn nicht $q$, dann $p$}.
        Nat\"urlich w\"ahlt man kein beliebiges $q$, sondern ein zur
        Aussage $p$ passendes $q$. Ein Beispiel:

        \paragraph{Behauptung:}Sei $a \in \Z$. Teilt man $a^2$ durch $4$,
        so ergibt sich immer Rest $0$ oder Rest $1$.
        \medskip

        Als Aussage $p$ nimmt man hier nat\"urlich die Aussage der
        Behauptung. Als Aussage $q$ eignet sich \qq{$a$ gerade}:

        \paragraph{Beweis der Behauptung:}Mit Fallunterscheidung:

        Fall 1: Sei $a$ gerade, also von der Form $a = 2k, k \in \Z$. Dann
        gilt $a^2 = (2k)^2 = 4k^2$, wobei $k^2 \in \Z$ gilt. Das bedeutet,
        dass $a^2$ durch $4$ den Rest $0$ ergibt.

        Fall 2: Sei $a$ ungerade, also von der Form $a = 2k+1, k \in \Z$.
        Dann gilt $a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k)+1$, wobei
        $k^2+k \in \Z$ gilt. Doch das bedeutet, dass $a^2$ durch $4$ den
        Rest $1$ ergibt. \hfill $\square$

      \subsubsection{Vollst\"andige Induktion}
        \index{Vollst\"andige Induktion}
        \index{Beweis, Induktion}
        \index{Induktionsbasis}
        \index{Induktionsschritt}
        Damit kann man (bisweilen) unendliche \qq{Serien} von Aussagen
        beweisen, zum Beispiel die Aussagen $p(n), n \in \N_0$. Diese kann
        man beweisen, indem man die beiden folgenden Aussagen zeigt:
        \medskip

        {\bf Induktionsbasis:} Es wird $p(0)$ gezeigt.

        {\bf Induktionsschritt:} Es wird gezeigt, dass folgende Aussage gilt:
          $$\forall n \in \N_0\colon p(n) \rightarrow p(n+1)$$

        Die letzte Zeile liest man \qq{f\"ur alle $n$ aus $\N_0$ gilt: die
        Aussage $p(n)$ impliziert die Aussage $p(n+1)$}. Wenn
        Induktionsbasis und Induktionsschritt nachgewiesen sind, dann
        wei{\ss} man die G\"ultigkeit aller in folgender
        Implikationstabelle vorkommenden Aussagen:
        $$p(0) \rightarrow p(1) \rightarrow p(2) \rightarrow
        p(3) \rightarrow p(4) \rightarrow \dots$$

        Also:

        \index{Induktionssatz}
        {\bf Induktionssatz}: Gelten die beiden Aussagen $p(0)$ und
        $$\forall n \in \N_0\colon p(n) \rightarrow p(n+1)$$

        dann gilt auch die Aussage $\forall n \in \N_0\colon p(n)$.
        Das folgende Beispiel kann allerdings auch anders bewiesen werden:
        \medskip

        {\bf Behauptung:} F\"ur alle $n \in \N_0$ gilt:
        $$p(n)\colon \quad \sum^n_{k=0} k = \frac{n \cdot (n+1)}{2}$$

        {\bf Beweis} mit Induktion \"uber $n$.

        {\bf Induktionsbasis:} Sei $n=0$. Dann ergibt die linke Seite
        $p(0): \sum^0_{k=0}k=0$. Die rechte Seite von $p(0)$ ist $\frac{0
        \cdot (0+1)}{2}=0$. Damit ist $p(0)$ gezeigt.

        {\bf Induktionsschritt:} Es wird $p(n)$ vorausgesetzt (die
        sogenannte {\bf Induktionsvoraussetzung}) und $p(n+1)$ muss
        gezeigt werden. Das funktioniert so:

        \begin{eqnarray*}
          \sum^{n+1}_{k=0} k & = & \left(\sum^n_{k=0} k \right) + n + 1
            = \frac{n \cdot (n+1)}{2} + n + 1 \\
          & = & (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1) \cdot (n+2)}{2}
        \end{eqnarray*}
        \medskip

        Die linke und die rechte Seite dieser Gleichungskette bilden
        insgesamt die nachzuweisende Gleichung $p(n+1)$. \hfill $\square$
        \medskip

        Der obige Induktionssatz l\"a{\ss}t sich verallgemeinern:

        {\bf Verallgemeinerter Induktionssatz:} Gelten die beiden Aussagen
        $p(0)$ und $\forall n\in\N_0\colon (p(0)\wedge p(1)\wedge ... \wedge
        p(n))\rightarrow p(n+1)$, dann gilt auch die Aussage $\forall
        n\in\N_0:p(n)$.
        \medskip

        Ein sehr simples Beispiel hierf\"ur:
        \medskip

        {\bf Behauptung:} Jede nat\"urliche Zahl $n\geq 2$ ist ein
        Produkt von Primzahlen.
        \medskip

        {\bf Beweis} mit Induktion \"uber $n$.

        {\bf Induktionsbasis} (f\"ur $n=2$). Die Zahl $2$ ist das Produkt
        von {\em einer} Primzahl, n\"amlich der Zahl $2$ selbst.

        {\bf Induktionsschritt} mit Fallunterscheidung: Gelte die
        Behauptung f\"ur alle na\-t\"ur\-li\-chen Zahlen zwischen $2$
        und $n$ (jeweils inklusive). Jetzt wird die Zahl $n+1$ behandelt:
        \medskip

        Fall 1: Sei $n+1$ eine Primzahl. Dann ist n+1 das Produkt einer
        Primzahl (n\"amlich sich selbst).
        \medskip

        Fall 2: Sei $n+1$ keine Primzahl. Dann gilt $n+1=n_1 \cdot n_2$ mit
        $2\leq n_1,n_2<n+1$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es
        Primzahlen $s_1,...,s_k$, $t_1,...,t_\ell$ mit $n_1=s_1 \cdot
        \dots \cdot s_k$ und $n_2=t_1 \cdot \dots \cdot t_\ell$, also
        mit $n+1=s_1 \cdot \dots \cdot s_k \cdot t_1 \cdot \dots \cdot
        t_\ell$, womit die Behauptung f\"ur $n+1$ gezeigt ist. \hfill $\square$
        \medskip

        \index{Induktive Definition}
        \index{Rekursion}
        Es gibt {\bf induktive Definitionen}, auch {\bf Rekursionen}
        genannt. Oft lassen sich Eigenschaften der so {\bf rekursiv}
        definierten Objekte per vollst\"andiger Induktion beweisen.
        \medskip

        \index{Fibbonacci-Zahlen}
        Ein ber\"uhmtes Beispiel: Die {\bf Fibonacci-Zahlen}
        $f_0,f_1,f_2,...$ werden rekursiv definiert durch
        $$f_0=0, \quad  f_1=1, \quad f_{n+2}=f_{n+1}+f_n \quad
        \mbox{f\"ur alle $n \geq 0$}$$

        Die ersten Zahlen dieser Folge sind:
        \bigskip

        % TODO: Tabelle zentrieren?
        \begin{tabular}[h]{c|ccccccccccc}
          $n$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\
          \hline
          $f_n$ & $0$ & $1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $5$ & $8$ & $13$ & $21$ & $34$
        \end{tabular}
        \bigskip

        Tats\"achlich gilt folgendes Ergebnis (sehr erstaunlich, da eine
        Folge ganzer Zahlen mittels Wurzeln und Br\"uchen beschrieben
        wird):

        \paragraph{Behauptung:} F\"ur alle Fibonacci-Zahlen $f_n$ gilt:

        $$f_n=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(
        \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}$$

        Der Beweis ist eine \"Ubungsaufgabe (aber ohne vollst\"andige
        Induktion!)

  \newpage
  \section{Diskrete Mathematik}
    \index{Diskrete Mathematik}
    Die {\bf Diskrete Mathematik} besch\"aftigt sich mit endlichen
    Strukturen, die unter kombinatorischen Gesichtspunkten betrachtet
    werden k\"onnen. Vieles in der Diskreten Mathematik ist f\"ur moderne
    Anwendungen, speziell in der Informatik, von gr\"o{\ss}ter Bedeutung.
    Das gilt besonders f\"ur {\bf Graphen} (und speziell {\bf B\"aume}). Es
    gibt viele interessante {\bf Algorithmen} f\"ur Graphenprobleme, anhand
    von Graphen kann man die Begriffe {\bf Symmetrie} und {\bf Gruppe}
    einf\"uhren, und (Permutations-)Gruppen sind ein wichtiges Hilfsmittel
    f\"ur eine ber\"uhmte kombinatorische Abz\"ahlmethode, n\"amlich die
    {\bf P\'olya-Methode}. Damit endet dieses Kapitel!

    \subsection{Graphen: Beispiele und Grundlagen}
      Zuerst ein sehr anschauliches Problem, das gleich auf (mindestens)
      zwei Arten graphentheoretisch betrachtet werden kann:

      \paragraph{Beispiel:}Ein Tischtennisturnier mit f\"unf Teilnehmern und
        einem Spieltisch. Regeln:
        \medskip

      \begin{tabular}{lp{10.7cm}}
        1. & Jeder Teilnehmer spielt genau einmal gegen jeden anderen
          Teilnehmer \\
        2. & Kein Teilnehmer spielt in zwei aufeinanderfolgenden Spielen
      \end{tabular}

      \paragraph{Aufgabe:}Finde einen Spielplan!

      \paragraph{Erster Versuch:} Die f\"unf Punkte entsprechen den
      Teilnehmern, die Linien den Spielen. Das Diagramm gibt keinen
      Spielplan. Man kann so vorgehen: Das erste Spiel sei oBdA $ab$. Als
      zweites Spiel kommen die zu $a$b \qq{disjunkten} Linien $cd$, $cd$,
      $de$ in Frage. Und so weiter!

      \paragraph{Zweiter Versuch:}Mit einem anderen Graphen, der aber mehr
      Informationen enth\"alt: die zehn Punkte entsprechen den zehn Spielen,
      und eine Linie bedeutet, dass die zugeh\"origen beiden Spiele
      (=Punkte) hintereinander stattfinden d\"urfen. Die dicken Linien
      verbinden dann Spiele zu einem Spielplan!

      % Graph: Turniergraph.
      \begin{figure}[ht]
        \centering
        \begin{picture}(200,50)
          % Erster Graph.
          \put(50,50){\circle*{2}}
          \put(55,55){\makebox(0,0){$a$}}
          \put(80,30){\circle*{2}}
          \put(85,32){\makebox(0,0){$b$}}
          \put(67, 0){\circle*{2}}
          \put(70,-7){\makebox(0,0){$c$}}
          \put(33, 0){\circle*{2}}
          \put(30,-6){\makebox(0,0){$d$}}
          \put(20,30){\circle*{2}}
          \put(15,31){\makebox(0,0){$e$}}

          \put(50,50){\line( 3,-2){30}}
          \put(50,50){\line(-3,-2){30}}
          \put(80,30){\qbezier(0,0)(0,0)(-13,-30)}
          \put(20,30){\qbezier(0,0)(0,0)( 13,-30)}
          \put(33, 0){\line( 1, 0){34}}

          \put(20,30){\line( 1, 0){60}}
          \put(20,30){\qbezier(0,0)(0,0)(47,-30)}
          \put(80,30){\qbezier(0,0)(0,0)(-47,-30)}
          \put(50,50){\qbezier(0,0)(0,0)(17,-50)}
          \put(50,50){\qbezier(0,0)(0,0)(-17,-50)}

          % Zweiter Graph.
          \put(150,50){\circle*{2}}
          \put(155,55){\makebox(0,0){$ab$}}
          \put(180,30){\circle*{2}}
          \put(188,32){\makebox(0,0){$cd$}}
          \put(167, 0){\circle*{2}}
          \put(170,-6){\makebox(0,0){$be$}}
          \put(133, 0){\circle*{2}}
          \put(130,-7){\makebox(0,0){$ac$}}
          \put(120,30){\circle*{2}}
          \put(112,32){\makebox(0,0){$de$}}

          \put(150,50){\line(-3,-2){30}}
          \thicklines
          \put(150,50){\line( 3,-2){30}}
          \put(180,30){\qbezier(0,0)(0,0)(-13,-30)}
          \put(120,30){\qbezier(0,0)(0,0)( 13,-30)}
          \put(133, 0){\line( 1, 0){34}}

          \put(150,35){\circle*{2}}
          \put(155,38){\makebox(0,0){\scriptsize $ce$}}
          \put(165,25){\circle*{2}}
          \put(163,29){\makebox(0,0){\scriptsize $ae$}}
          \put(160,10){\circle*{2}}
          \put(165,12){\makebox(0,0){\scriptsize $ad$}}
          \put(140,10){\circle*{2}}
          \put(135,12){\makebox(0,0){\scriptsize $bd$}}
          \put(135,25){\circle*{2}}
          \put(138,30){\makebox(0,0){\scriptsize $bc$}}

          \thinlines
          \put(150,50){\line( 0,-1){15}}
          \put(167, 0){\qbezier(0,0)(0,0)(-7,10)}
          \put(133, 0){\qbezier(0,0)(0,0)( 7,10)}
          \put(135,25){\line( 1, 0){30}}
          \put(180,30){\qbezier(0,0)(0,0)(-15,- 5)}

          \thicklines
          \put(120,30){\qbezier(0,0)(0,0)( 15,- 5)}
          \put(150,35){\qbezier(0,0)(0,0)(-10,-25)}
          \put(150,35){\qbezier(0,0)(0,0)( 10,-25)}
          \put(165,25){\qbezier(0,0)(0,0)(-25,-15)}
          \put(135,25){\qbezier(0,0)(0,0)( 25,-15)}
         \end{picture}
        \caption{Turniergraph}
      \end{figure}

      \subsubsection{Graphen}
        \index{Graph}
        \index{Kanten}
        \index{Linien}
        \index{B\"ogen}
        \index{Ecken}
        \index{Punkte}
        \index{Knoten}

        \paragraph{Definition:} Ein {\bf Graph} ist ein Paar $G=(V,E)$,
        bestehend aus einer beliebigen Menge $V$ und einer Menge
        $E\subseteq \PM_2(V)$, das hei{\ss}t einer Menge zweielementiger
        Teilmengen von $V$. Die Elemente von $V$ hei{\ss}en {\bf Ecken}
        ({\bf Punkte}, {\bf Knoten}) von $G$, die Elemente von $E$
        {\bf Kanten} ({\bf Linien}, {\bf B\"ogen}) von $G$.
        \medskip

        Es ist klar, dass man mit Hilfe von Graphen gewisse
        einfache Zusammenh\"ange (\qq{Objekte, von denen je zwei
        entweder miteinander in Beziehung stehen oder nicht})
        auf einfache Art darstellen und oft auch mit
        Diagrammen veranschaulichen kann:

        \paragraph{Beispiel:} Sei
        \begin{eqnarray*}
          & V=\{1,2,3,4,5\} \\
          & E=\{\{1,2\}, \{1,4\}, \{1,5\}, \{2,3\},
            \{2,4\}, \{2,5\}, \{3,4\}, \{4,5\}\}
        \end{eqnarray*}

        Dann ist $G=(V,E)$ ein Graph mit $|V| = 5$ Ecken und
        $|E| = 8$ Kanten. Jedes der folgenden drei Diagramme
        zeigt diesen Graphen:
        \medskip

        % Graph: Beispiele fuer Graphen.
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(230,50)
            % Erster Graph.
            \put( 0,40){\circle*{2}}
            \put( 0,50){\makebox(0,0){$1$}}
            \put( 0,10){\circle*{2}}
            \put( 0, 0){\makebox(0,0){$5$}}
            \put(30,10){\circle*{2}}
            \put(30, 0){\makebox(0,0){$4$}}
            \put(30,40){\circle*{2}}
            \put(30,50){\makebox(0,0){$2$}}
            \put(45,25){\circle*{2}}
            \put(45,15){\makebox(0,0){$3$}}

            \put( 0,40){\line( 1, 0){30}}
            \put( 0,10){\line( 0, 1){30}}
            \put( 0,10){\line( 1, 0){30}}
            \put(30,10){\line( 0, 1){30}}
            \put( 0,40){\line( 1,-1){30}}
            \put( 0,10){\line( 1, 1){30}}
            \put(30,10){\line( 1, 1){15}}
            \put(30,40){\line( 1,-1){15}}

            % Zweiter Graph.
            \put( 80,40){\circle*{2}}
            \put( 80,50){\makebox(0,0){$1$}}
            \put( 80,10){\circle*{2}}
            \put( 80, 0){\makebox(0,0){$5$}}
            \put(110,10){\circle*{2}}
            \put(110, 0){\makebox(0,0){$4$}}
            \put(110,40){\circle*{2}}
            \put(110,50){\makebox(0,0){$2$}}
            \put(125,25){\circle*{2}}
            \put(125,15){\makebox(0,0){$3$}}

            \put( 80,40){\line( 1, 0){30}}
            \put( 80,10){\line( 0, 1){30}}
            \put( 80,10){\line( 1, 0){30}}
            \put(110,10){\line( 0, 1){30}}
            \put( 80,40){\line( 1,-1){30}}
            \put( 80,10){\qbezier(0,0)(-30,50)(30,30)}
            \put(110,10){\line( 1, 1){15}}
            \put(110,40){\line( 1,-1){15}}

            % Dritter Graph.
            \put(160,25){\circle*{2}}
            \put(150,25){\makebox(0,0){$1$}}
            \put(190,25){\circle*{2}}
            \put(200,25){\makebox(0,0){$5$}}
            \put(205,10){\circle*{2}}
            \put(205, 0){\makebox(0,0){$4$}}
            \put(205,40){\circle*{2}}
            \put(205,50){\makebox(0,0){$2$}}
            \put(220,25){\circle*{2}}
            \put(230,25){\makebox(0,0){$3$}}

            \put(160,25){\line( 1, 0){30}}
            \put(205,10){\line( 0, 1){30}}
            \put(205,10){\line( 1, 1){15}}
            \put(205,10){\line(-1, 1){15}}
            \put(205,40){\line( 1,-1){15}}
            \put(205,40){\line(-1,-1){15}}
            \put(160,25){\line( 3, 1){45}}
            \put(160,25){\line( 3,-1){45}}
          \end{picture}
          \caption{Beispiele f\"ur Graphen}
        \end{figure}

        In der vorliegenden Definition eines Graphen ist folgendes {\bf nicht}
        vorgesehen:
        \medskip

        % Graph: Weitere Graphentypen.
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(275,50)
            % Multigraph.
            \put( 0,40){\circle*{2}}
            \put( 0,10){\circle*{2}}
            \put(30,10){\circle*{2}}
            \put(30,40){\circle*{2}}

            \put( 0,40){\line( 1, 0){30}}
            \put( 0,10){\line( 0, 1){30}}
            \put( 0,10){\line( 1, 0){30}}
            \put(30,10){\line( 0, 1){30}}
            \put( 0,40){\qbezier(0,0)(15,10)(30,0)}
            \put( 0,40){\qbezier(0,0)(15,-10)(30,0)}
            \put( 0,10){\qbezier(0,0)( 8,22)(30,30)}
            \put( 0,10){\qbezier(0,0)(22, 8)(30,30)}

            \put(15,50){\makebox(0,0){\sf\scriptsize Mehrfachkanten}}
            \put(15, 0){\makebox(0,0){\sf\scriptsize Multigraphen}}

            % Pseudograph.
            \put( 80,10){\circle*{2}}
            \put(110,10){\circle*{2}}
            \put( 95,32){\circle*{2}}

            \put( 80,10){\line( 1, 0){30}}
            \put( 80,10){\line( 2, 3){15}}
            \put(110,10){\line(-2, 3){15}}
            \put( 95,32){\qbezier(0,0)(-5,8)(0,10)}
            \put( 95,32){\qbezier(0,0)( 5,8)(0,10)}


            \put( 95,50){\makebox(0,0){\sf\scriptsize Schlingen}}
            \put( 95, 0){\makebox(0,0){\sf\scriptsize Pseudographen}}

            % Gerichteter Graph.
            \put(160,40){\circle*{2}}
            \put(160,10){\circle*{2}}
            \put(190,10){\circle*{2}}
            \put(190,40){\circle*{2}}

            \put(160,40){\line( 1, 0){30}}
            \put(160,10){\line( 0, 1){30}}
            \put(160,10){\line( 1, 0){30}}
            \put(160,10){\line( 1, 1){30}}
            \put(190,10){\qbezier(0,0)(10,15)(0,30)}
            \put(190,10){\qbezier(0,0)(-10,15)(0,30)}

            \put(160,26){\vector( 0,-1){5}}
            \put(174,40){\vector( 1, 0){5}}
            \put(176,10){\vector(-1, 0){5}}
            \put(182,32){\vector(-1,-1){10}}
            \put(195,26){\vector( 0,-1){5}}
            \put(185,24){\vector( 0, 1){5}}

            \put(175,50){\makebox(0,0){\sf\scriptsize gerichtete Kanten}}
            \put(175, 0){\makebox(0,0){\sf\scriptsize Gerichtete Graphen}}
            
	    % Gewichteter Graph.
            \put(240,40){\circle*{2}}
            \put(240,10){\circle*{2}}
            \put(270,10){\circle*{2}}
            \put(270,40){\circle*{2}}

            \put(240,40){\line( 1, 0){30}}
            \put(240,10){\line( 0, 1){30}}
            \put(240,10){\line( 1, 0){30}}
            \put(270,10){\line( 0, 1){30}}
            \put(240,10){\line( 1, 1){30}}

            \put(255,12){\makebox(0,0){\tiny $a$}}
            \put(255,42){\makebox(0,0){\tiny $1$}}
            \put(255,29){\makebox(0,0){\tiny $\ast$}}
            \put(235,25){\makebox(0,0){\tiny $3,5$}}
            \put(275,25){\makebox(0,0){\tiny $2$}}

            \put(255,50){\makebox(0,0){\sf\scriptsize bewertete Kanten}}
            \put(255, 0){\makebox(0,0){\sf\scriptsize Gewichtete Graphen}}
          \end{picture}
          \caption{Weitere Graphentypen}
        \end{figure}

        \label{Graphenisomorphie}
        Sind die Graphen $G_1$ und $G_2$ identisch? Eindeutig nicht. Aber sie
        sehen identisch aus:

        % Graph: Graphenisomorphie I.
	\index{Graphenisomorphie}
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(110,50)
            % Erster Graph.
            \put( 0,40){\circle*{2}}
            \put( 0,50){\makebox(0,0){$1$}}
            \put( 0,10){\circle*{2}}
            \put( 0, 0){\makebox(0,0){$3$}}
            \put(30,10){\circle*{2}}
            \put(30,50){\makebox(0,0){$2$}}
            \put(30,40){\circle*{2}}
            \put(30, 0){\makebox(0,0){$4$}}

            \put( 0,40){\line( 1, 0){30}}
            \put( 0,10){\line( 0, 1){30}}
            \put( 0,10){\line( 1, 0){30}}
            \put(30,10){\line( 0, 1){30}}
            \put( 0,10){\line( 1, 1){30}}

            \put(15, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $G_1$}}

            % Zweiter Graph.
            \put( 80,40){\circle*{2}}
            \put( 80,49){\makebox(0,0){$a$}}
            \put( 80,10){\circle*{2}}
            \put( 80, 0){\makebox(0,0){$c$}}
            \put(110,10){\circle*{2}}
            \put(110, 1){\makebox(0,0){$b$}}
            \put(110,40){\circle*{2}}
            \put(110,50){\makebox(0,0){$d$}}

            \put( 80,40){\line( 1, 0){30}}
            \put( 80,10){\line( 0, 1){30}}
            \put( 80,10){\line( 1, 0){30}}
            \put(110,10){\line( 0, 1){30}}
            \put( 80,10){\line( 1, 1){30}}

            \put( 95, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $G_2$}}

          \end{picture}
          \caption{Graphenisomorphie I}
        \end{figure}

        \paragraph{Aber:}$G_1$ und $G_2$ sind identisch bis auf die Tatsache,
        dass die Ecken unterschiedliche Namen haben.

      \subsubsection{Isomorphismen}
        \index{Isomorphismus}
        % Seite 39
        \paragraph{Definition:} Zwei Graphen $G_1=(V_1,E_1)$ und
        $G_2=(V_2,E_2)$ hei{\ss}en {\bf isomorph}, falls es eine bijektive
        Abbildung $\varphi\colon V_1 \longrightarrow V_2$ gibt mit:
        $$\forall x,y \in V_1 : \{x,y\}\in E_1 \quad \Leftrightarrow \quad
        \{\varphi(x),\varphi(y)\}\in E_2$$

        Dann hei{\ss}t $\varphi$ ein {\bf Isomorphismus} von $G_1$ auf
        $G_2$, und man schreibt auch $G_1\cong G_2$ oder
        $G_1 \stackrel{\varphi}{\cong} G_2$.
        \medskip

        Ein Isomorphismus bildet also benachbarte Ecken auf benachbarte
        Ecken und nicht benachbarte Ecken auf nicht benachbarte Ecken ab.
        Ein Isomorphismus ist nichts als eine Umbenennung der Ecken.
        In obigem Beispiel wird ein Isomorphismus $\varphi$ gegeben durch

        \begin{center}
        \begin{tabular}{c|cccc}
          $x$ & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
          $\varphi(x)$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$
        \end{tabular}
        \end{center}

        Wie erkennt man in weniger einfachen F\"allen, ob zwei Graphen
        $G_1$ und $G_2$ isomorph bzw. nicht isomorph sind? Es gibt zwei
        M\"oglichkeiten:

        \paragraph{M\"oglichkeit 1:} Probiere alle bijektiven Abbildungen
        $\varphi: V_1 \rightarrow V_2$.

        Im Fall $|V_1| = |V_2| = n$ gibt es $n!$
        (\qq{$n$ Fakult\"at}) solche Abbildungen, also f\"ur gro{\ss}e $n$
        (z.B. $n=50$) eine f\"ur keinen Computer der Welt durchf\"uhrbare
        Aufgabe!

        \paragraph{M\"oglichkeit 2:} Finde eine (graphentheoretisch
        formulierbare) Eigenschaft, in der sich $G_1$ und $G_2$ unterscheiden.
        Wird auch bei nicht isomorphen Graphen nicht immer gelingen!

        \paragraph{\"Ubung:} Finde Eigenschaften, die zeigen, dass die
        folgenden Graphen paarweise nicht isomorph sind:

        % Graph: Graphenisomorphie II.
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(330,50)
            % Erster Graph.
            \put( 50,50){\circle*{2}}
            \put( 80,30){\circle*{2}}
            \put( 67, 0){\circle*{2}}
            \put( 33, 0){\circle*{2}}
            \put( 20,30){\circle*{2}}

            \put( 50,50){\line( 3,-2){30}}
            \put( 50,50){\line(-3,-2){30}}
            \put( 80,30){\qbezier(0,0)(0,0)(-13,-30)}
            \put( 20,30){\qbezier(0,0)(0,0)( 13,-30)}
            \put( 33, 0){\line( 1, 0){34}}

            % Zweiter Graph.
            \put(130,50){\circle*{2}}
            \put(160,30){\circle*{2}}
            \put(147, 0){\circle*{2}}
            \put(113, 0){\circle*{2}}
            \put(100,30){\circle*{2}}

            \put(130,50){\line( 3,-2){30}}
            \put(130,50){\line(-3,-2){30}}
            \put(160,30){\qbezier(0,0)(0,0)(-13,-30)}
            \put(100,30){\qbezier(0,0)(0,0)( 13,-30)}
            \put(113, 0){\line( 1, 0){34}}
            \put(100,30){\line( 1, 0){60}}

            % Dritter Graph.
            \put(210,50){\circle*{2}}
            \put(240,30){\circle*{2}}
            \put(227, 0){\circle*{2}}
            \put(193, 0){\circle*{2}}
            \put(180,30){\circle*{2}}

            \put(210,50){\line(-3,-2){30}}
            \put(240,30){\qbezier(0,0)(0,0)(-13,-30)}
            \put(180,30){\qbezier(0,0)(0,0)( 13,-30)}
            \put(193, 0){\line( 1, 0){34}}
            \put(180,30){\line( 1, 0){60}}
            \put(210,50){\qbezier(0,0)(0,0)(17,-50)}

            % Vierter Graph
            \put(270,45){\circle*{2}}
            \put(270, 5){\circle*{2}}
            \put(310, 5){\circle*{2}}
            \put(310,45){\circle*{2}}

            \put(270,45){\line(1,0){40}}
            \put(270, 5){\line(1,0){40}}
            \put(270, 5){\line(0,1){40}}
            \put(310, 5){\line(0,1){40}}
            \put(270, 5){\line(1,1){40}}

          \end{picture}
          \caption{Graphenisomorphie II}
        \end{figure}

        F\"ur jede Zahl $n \in \N$ gibt es unendlich viele Graphen mit $n$
        Ecken. Aber wie viele \qq{wirklich verschiedene}, das hei{\ss}t
        paarweise nicht isomorphe Graphen mit $n$ Ecken gibt es? Diese
        Frage ist durchaus kompliziert; es ist keine einheitliche Formel
        bekannt.  Hier sind die ersten Zahlen:
        \bigskip

        \begin{tabular}{p{4.7cm}|cccccccc}
          $n$ (Anzahl der Ecken) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
          Anzahl paarweise nicht isomorpher Graphen mit $n$ Ecken &
            1 & 2 & 4 & 11 & 34 & 156 & 1044 & 12344
        \end{tabular}
        \bigskip

        Dieser Abschnitt wird mit einigen wichtigen Begriffen abgerundet:

      \subsubsection{Knotengrad}
        \index{Knotengrad}
        \index{Grad von Knoten}
        \paragraph{Definition:} Sei $G=(V,E)$ ein Graph. F\"ur jedes
          $v \in V$ sei 
          $$deg(v) := | \{ e \in E \mid v \in e \} |,$$
          
          genannt der {\bf Grad} (engl.: degree) von $v$.

        \paragraph{Beispiel:} Der Graph $G_1$ (Seite
          \pageref{Graphenisomorphie}, Abbildung: Graphenisomorphie) erf\"ullt
          $deg(1)=deg(4)=2$, $deg(2)=deg(3)=3$.
          \medskip

        Das erste der beiden folgenden Resultate ist offensichtlich,
        das zweite ergibt sich recht einfach mit doppelten Abz\"ahlen:

        % Seite 41
        \paragraph{Bemerkung:} Ist $\varphi$ ein Isomorphismus eines
        Graphen $G_1$ auf einen Graphen $G_2$, dann gilt
        $deg(v) = deg(\varphi(v))$ f\"ur jede Ecke $v$ von $G_1$.

        \paragraph{Handschlag-Lemma:} F\"ur jeden endlichen Graphen
          $G=(V,E)$ gilt:
          $$\sum_{v \in V} deg(v)=2 |E|$$

        Eine unmittelbare Folgerung hieraus:
        \paragraph{Korollar:} Jeder endliche Graph hat eine gerade
        Anzahl von Ecken ungeraden Grads.

      \subsubsection{Kantenz\"uge}
        \index{Kantenzug}
        \index{Weg}
        \index{Kreis}
        \label{DefKantenzugS41}
        \paragraph{Definition:} Sei $G=(V,E)$ ein Graph. Eine Folge
        $(v_0,v_1,\dots ,v_n)$ von Ecken von $G$ hei{\ss}t ein
        {\bf Kantenzug}, falls $e_i:=(v_i,v_{i+1}) \in E$ gilt f\"ur
        $i=0,1,\dots,n-1$ das hei{\ss}t falls je zwei aufeinanderfolgende
        Ecken duch eine Kante verbunden sind. Im Fall $v_0=v_n$
        handelt es sich um einen {\bf geschlossenen}, sonst um einen {\bf
        offenen Kantenzug}. Wenn alle Kanten eines Kantenzugs verschieden
        sind, spricht man (im offenen Fall) von einem {\bf Weg}, im
        geschlossenen Fall von einem {\bf Kreis}. Kommt au{\ss}erdem auch
        jede Ecke nur einmal vor, dann hei{\ss}t der Weg ein {\bf einfacher
        Weg} bzw. der Kreis ein {\bf einfacher Kreis} (wobei im Fall des
        Kreises nat\"urlich $v_0=v_n$ gilt). Die L\"ange eines Kantenzugs
        ist die Anzahl seiner Kanten. Der Kantenzug $(v_0,v_1,\dots ,v_n)$
        hat also die L\"ange $n$.

        % Seite 42
        \paragraph{Randbemerkung:} In der Graphentheorie-Literatur herrscht
        ein gro{\ss}es Bezeichnungschaos, besonders was die eben gegebenen
        Bezeichnungen betrifft. Beispielsweise werden Wege oft automatisch
        als \qq{einfach} definiert. Man sollte in jedem Buch oder Artikel
        immer zuerst die grundlegenden Bezeichnungen sorgf\"altig checken!

        \paragraph{Beispiele:} In folgendem Graphen $G$ ist
          \bigskip

        \begin{tabular}{ll}
          $(a,b,d,f)$ &  kein Kantenzug, \\
          $(a,c,d,b,c,e)$ & ein Weg der L\"ange 5, aber kein einfacher Weg,\\
          $(a,c,d,b,c,a)$ & ein geschlossener Kantenzug, aber kein Kreis,\\
          $(a,c,a)$ & desgleichen,\\
          $(a,c,d,b,a)$ & ein einfacher Kreis.
        \end{tabular}
        \bigskip

        Und: es gibt genau $6$ verschiedene einfache Wege von $a$ nach $d$.

        % Graph: Zusammenhaengende Graphen.
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(100,50)
            \put( 5,25){\circle*{2}}
            \put( 5,15){\makebox(0,0){$a$}}
            \put(25,40){\circle*{2}}
            \put(25,50){\makebox(0,0){$b$}}
            \put(25,10){\circle*{2}}
            \put(25, 0){\makebox(0,0){$c$}}
            \put(60,10){\circle*{2}}
            \put(60, 0){\makebox(0,0){$e$}}
            \put(60,40){\circle*{2}}
            \put(60,50){\makebox(0,0){$d$}}

            \put(25,10){\line( 0, 1){30}}
            \put(25,10){\line( 1, 0){35}}
            \put(25,40){\line( 1, 0){35}}
            \put(60,10){\line( 0, 1){30}}
            \put(25,10){\qbezier(0,0)(0,0)(35,30)}
            \put( 5,25){\qbezier(0,0)(0,0)(20,15)}
            \put( 5,25){\qbezier(0,0)(0,0)(20,-15)}

            \put(80,10){\circle*{2}}
            \put(80, 0){\makebox(0,0){$f$}}
            \put(80,40){\circle*{2}}
            \put(80,48){\makebox(0,0){$g$}}

            \put(80,10){\line( 0, 1){30}}

            \put(100,25){\makebox(0,0){$G$}}
          \end{picture}
          \caption{Zusammenh\"angende Graphen}
        \end{figure}

      \subsubsection{Zusammenh\"angende Graphen}
        \index{Zusammenh\"angender Graph}
        \index{Graph, zusammenh\"angend}
        \paragraph{Definition:} Ein Graph $G=(V,E)$ hei{\ss}t
        {\bf zusammenh\"angend}, falls je zwei Ecken $x,y\in V$ durch einen
        Kantenzug verbunden sind. Die Relation $R\subseteq V^2$ mit
        $$xRy \quad :\Longleftrightarrow \quad \mbox{es gibt einen
        Kantenzug von $x$ nach $y$}$$

        \index{\"Aquivalenzrelation}
        \index{\"Aquivalenzklasse}
        ist eine \"Aquivalenzrelation auf $V$. F\"ur jede \"Aquivalenzklasse
        $W$ dieser \"Aquivalenzrelation ist der Untergraph
        $G_W := (W, E \cap \PM_2(W))$ seine Zusammenhangskomponente von $G$.

        % Seite 43
        \paragraph{Definition/Anmerkung:}
          \index{Teilgraph}
          \index{Untergraph}
          Sei $G=(V,E)$ ein Graph. Jeder Graph $G'=(V',E')$ mit $V' \subseteq
          V$ und $E' \subseteq E$ ist ein Teilgraph von $G$. Im Fall, dass $E'$
          alle m\"oglichen Kanten enth\"alt, das hei{\ss}t im Fall $E' = E \cap
          \PM_2(V)$, wird $G'$ ein {\bf Untergraph} von $G$ genannt (der von
          $V'$ induzierte Untergraph).

          Die Zusammenhangskomponenten eines Graphen
          sind also die induzierten Untergraphen auf den \"Aquivalenzklassen
          von $R$. Der obige Graph hat zwei Zusammenhangskomponenten, mit
          Eckenmengen $W_1=\{a,b,c,d,e\}$ und $W_2=\{f,g\}$.

    \subsection{B\"aume}
      Die Graphen dieses Abschnitts spielen gerade in vielen informatischen
      Anwendungen eine gro{\ss}e Rolle.

      \paragraph{Definition:}
      \index{Baum}
      Ein Baum ist ein zusammenh\"angender Graph, der
      keine Kreise enth\"alt (au{\ss}er den \qq{trivialen} $1$-elementigen
      Kreisen).

      Hier sind alle B\"aume mit 6 Ecken:
      \medskip

      % Graph: B\"aume mit 6 Ecken.
      \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{picture}(180,50)
          % Erster Baum.
          \put(  0,40){\circle*{2}}
          \put( 10,40){\circle*{2}}
          \put( 20,40){\circle*{2}}
          \put( 30,40){\circle*{2}}
          \put( 40,40){\circle*{2}}
          \put( 50,40){\circle*{2}}

          \put(  0,40){\line(1,0){10}}
          \put( 10,40){\line(1,0){10}}
          \put( 20,40){\line(1,0){10}}
          \put( 30,40){\line(1,0){10}}
          \put( 40,40){\line(1,0){10}}

          % Zweiter Baum.
          \put( 70,40){\circle*{2}}
          \put( 80,40){\circle*{2}}
          \put( 80,30){\circle*{2}}
          \put( 90,40){\circle*{2}}
          \put(100,40){\circle*{2}}
          \put(110,40){\circle*{2}}

          \put( 70,40){\line(1,0){10}}
          \put( 80,40){\line(1,0){10}}
          \put( 80,30){\line(0,1){10}}
          \put( 90,40){\line(1,0){10}}
          \put(100,40){\line(1,0){10}}

          % Dritter Baum.
          \put(140,40){\circle*{2}}
          \put(150,40){\circle*{2}}
          \put(160,40){\circle*{2}}
          \put(160,30){\circle*{2}}
          \put(170,40){\circle*{2}}
          \put(180,40){\circle*{2}}

          \put(140,40){\line(1,0){10}}
          \put(150,40){\line(1,0){10}}
          \put(160,40){\line(1,0){10}}
          \put(160,30){\line(0,1){10}}
          \put(170,40){\line(1,0){10}}

          % Vierter Baum.
          \put(  0,10){\circle*{2}}
          \put( 10,10){\circle*{2}}
          \put( 10,20){\circle*{2}}
          \put( 10, 0){\circle*{2}}
          \put( 20,10){\circle*{2}}
          \put( 30,10){\circle*{2}}

          \put(  0,10){\line(1,0){10}}
          \put( 10, 0){\line(0,1){10}}
          \put( 10,10){\line(0,1){10}}
          \put( 10,10){\line(1,0){10}}
          \put( 20,10){\line(1,0){10}}

          % Fuenfter Baum.
          \put( 70,10){\circle*{2}}
          \put( 80,10){\circle*{2}}
          \put( 80, 0){\circle*{2}}
          \put( 90,10){\circle*{2}}
          \put( 90, 0){\circle*{2}}
          \put(100,10){\circle*{2}}

          \put( 70,10){\line(1,0){10}}
          \put( 80,10){\line(1,0){10}}
          \put( 80, 0){\line(0,1){10}}
          \put( 90,10){\line(1,0){10}}
          \put( 90, 0){\line(0,1){10}}

          % Sechster Baum.
          \put(140,10){\circle*{2}}
          \put(150,10){\circle*{2}}
          \put(150,20){\circle*{2}}
          \put(145, 0){\circle*{2}}
          \put(155, 0){\circle*{2}}
          \put(160,10){\circle*{2}}

          \put(140,10){\line(1,0){10}}
          \put(150,10){\line(0,1){10}}
          \put(145, 0){\line(1,2){5}}
          \put(155, 0){\line(-1,2){5}}
          \put(150,10){\line(1,0){10}}

        \end{picture}
        \caption{B\"aume mit 6 Ecken}
      \end{figure}

      Hier eine vielbenutzte Charakterisierung von B\"aumen:

      \paragraph{Satz:} F\"ur einen Graphen $G$ mit $n$ Ecken sind folgende
      Aussagen \"aquivalent:
      \bigskip

      \begin{tabular}{ll}
        (i) & $G$ ist ein Baum, \\
        (ii) & $G$ ist zusammenh\"angend und hat genau $n-1$ Kanten.
      \end{tabular}

      \paragraph{Beweis:} {\bf (i) $\Rightarrow$ (ii):} Sei $e_1 \in E$,
      $e_1=\{x_1,y_1\}$. Entfernt man $e_1$ aus $G$, so ergibt sich der
      Graph $G\setminus e_1:=(V,E \setminus \{e_1\})$. Dieser Graph hat eine
      Zusammenhangskomponente mehr als $G$, denn $x_1$ und $y_1$ sind jetzt
      in verschiedenen Komponenten. Entfernt man jetzt eine weitere Kante
      $e_2$, so ergibt sich ein Graph $G\setminus e_1,e_2$ mit jetzt drei
      Zusammenhangskomponenten. Setzt man dies schrittweise fort, so
      erh\"alt man schlie{\ss}lich nach Entfernung von $n-1$ Kanten
      $e_1,e_2,\dots,e_{n-1}$ einen Graphen $G\setminus
      {e_1,e_2,\dots,e_{n-1}}$ mit $1+(n-1)=n$ Komponenten. Jetzt bildet
      also jede der $n$ Ecken eine Zusammenhangskomponente f\"ur sich
      selbst, das hei{\ss}t $G\setminus {e_1,e_2,\ldots,e_{n-1}}$ hat keine
      Kanten mehr. Es folgt $E=\{e_1,e_1,\ldots,e_{n-1}\}$.
      \medskip

      {\bf (ii) $\Rightarrow$ (i):} Es ist zu zeigen, dass $G$ keinen
      nichttrivialen Kreis enth\"alt. Werde im Gegenteil angenommen, es
      gebe einen solchen Kreis: $(v_0,v_1,\ldots,v_0)$. Es wird ein
      Widerspruch hergeleitet: Sei $e:=\{v_0,v_1\}$. Dann ist offenbar
      $G\setminus e$ immer noch zusammenh\"angend, denn $(v_1,\ldots,v_0)$
      ist ein Kantenzug von $v_1$ nach $v_0$. Sei $E\setminus
      \{e\}=\{e_1,\ldots,e_{n-2}\}$. Dann hat $G\setminus e,e_1$
      h\"ochstens zwei Zusammenhangskomponenten, $G\setminus e,e_1,e_2$
      h\"ochstens drei Zusammenhangskomponenten, $\dots, G \setminus e,
      e_1, \dots, e_{n-2}$ h\"ochstens $n-1$ Zusammenhangskomponenten.
      $\lightning$ (Denn ein Graph ohne Kanten mit $n$ Ecken hat $n$
      Zusammenhangskomponenten!) \hfill $\Box$

      % Seite 45

      \subsubsection{W\"alder}
        \index{Wald}
        \paragraph{Anmerkung:}Ein Graph ohne nichttriviale Kreise ist ein
        {\bf Wald}. Also sind B\"aume gerade die zusammenh\"angenden
        W\"alder! Das Diagramm zeigt einen Wald mit f\"unf
        Zusammenhangskomponenten (= Teilb\"aumen).
        \medskip

        % Graph: Wald.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(120,50)
            % Erster Baum.
            \put(  0, 0){\circle*{2}}
            \put(  0,25){\circle*{2}}
            \put(  0,50){\circle*{2}}
            \put(  0, 0){\line(0,1){50}}

            % Zweiter Baum.
            \put( 20,25){\circle*{2}}

            % Dritter Baum.
            \put( 30,50){\circle*{2}}
            \put( 30, 0){\circle*{2}}
            \put( 40,25){\circle*{2}}
            \put( 50,50){\circle*{2}}
            \put( 50, 0){\circle*{2}}
            \put( 30, 0){\line(2,5){20}}
            \put( 30,50){\line(2,-5){20}}

            % Vierter Baum.
            \put( 70, 0){\circle*{2}}
            \put( 70,16){\circle*{2}}
            \put( 80,16){\circle*{2}}
            \put( 70,32){\circle*{2}}
            \put( 80,32){\circle*{2}}
            \put( 70,50){\circle*{2}}
            \put( 70, 0){\line(0,1){50}}
            \put( 70,16){\line(1,0){10}}
            \put( 70,32){\line(1,0){10}}

            % Fuenfter Baum.
            \put(110,10){\circle*{2}}
            \put(100,40){\circle*{2}}
            \put(110,40){\circle*{2}}
            \put(120,40){\circle*{2}}
            \put(110,10){\line(1,3){10}}
            \put(110,10){\line(0,1){30}}
            \put(110,10){\line(-1,3){10}}

          \end{picture}
          \caption{Wald}
        \end{figure}

      \subsubsection{Wurzelb\"aume}
        \index{Wurzelbaum}
        \index{Baum, Wurzel-}
        In der Informatik werden oft B\"aume betrachtet, die noch weitere
        Eigenschaften oder Zusatzinformationen tragen. Zuerst ein Beispiel
        hierf\"ur, welches diesen Baum als Grundlage hat:
        \medskip

        % Graph: Wurzelbaeume.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(300,50)
            % Erster Baum.
            \put(  0,30){\circle*{2}}
            \put( 10,30){\circle*{2}}
            \put( 10,20){\circle*{2}}
            \put( 20,30){\circle*{2}}
            \put( 20,20){\circle*{2}}
            \put( 20,40){\circle*{2}}
            \put( 30,30){\circle*{2}}
            \put( 40,30){\circle*{2}}
            \put( 50,30){\circle*{2}}

            \put(  0,30){\line(1,0){50}}
            \put( 10,20){\line(0,1){10}}
            \put( 20,20){\line(0,1){20}}

            \put( 45,45){\makebox(0,0){$G$}}
            \put(  0,34){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
            \put( 10,34){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
            \put( 10,15){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
            \put( 24,34){\makebox(0,0){\scriptsize $e$}}
            \put( 20,15){\makebox(0,0){\scriptsize $f$}}
            \put( 20,45){\makebox(0,0){\scriptsize $d$}}
            \put( 30,25){\makebox(0,0){\scriptsize $g$}}
            \put( 40,26){\makebox(0,0){\scriptsize $h$}}
            \put( 50,26){\makebox(0,0){\scriptsize $i$}}

            \put( 25, 0){\makebox(0,0){\small\sf Grundlage}}

            % Zweiter Baum.
            \put( 80,40){\circle*{2}}
            \put( 95,40){\circle*{2}}
            \put(110,40){\circle*{2}}
            \put(125,40){\circle*{2}}
            \put(103,50){\circle*{2}}
            \put( 90,30){\circle*{2}}
            \put(100,30){\circle*{2}}
            \put(125,30){\circle*{2}}
            \put(125,20){\circle*{2}}

            \put( 80,40){\qbezier(0,0)(0,0)( 23,10)}
            \put( 95,40){\qbezier(0,0)(0,0)(  8,10)}
            \put(110,40){\qbezier(0,0)(0,0)( -8,10)}
            \put(125,40){\qbezier(0,0)(0,0)(-23,10)}
            \put( 95,40){\line(1,-2){5}}
            \put( 95,40){\line(-1,-2){5}}
            \put(125,20){\line(0,1){20}}

            \put( 90,25){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
            \put(100,39){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
            \put(100,25){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
            \put(103,55){\makebox(0,0){\scriptsize $e$}}
            \put(114,38){\makebox(0,0){\scriptsize $f$}}
            \put( 84,39){\makebox(0,0){\scriptsize $d$}}
            \put(131,40){\makebox(0,0){\scriptsize $g$}}
            \put(131,30){\makebox(0,0){\scriptsize $h$}}
            \put(131,20){\makebox(0,0){\scriptsize $i$}}

            \put(102, 0){\makebox(0,0){\small $\mathrm{root}(G) := e$}}

            % Dritter Baum.
            \put(160,30){\circle*{2}}
            \put(175,30){\circle*{2}}
            \put(190,30){\circle*{2}}
            \put(205,30){\circle*{2}}
            \put(175,40){\circle*{2}}
            \put(205,40){\circle*{2}}
            \put(190,50){\circle*{2}}
            \put(170,20){\circle*{2}}
            \put(180,20){\circle*{2}}

            \put(205,30){\line(0,1){10}}
            \put(160,30){\line(3,2){15}}
            \put(175,30){\line(0,1){10}}
            \put(190,30){\line(-3,2){15}}
            \put(175,40){\line(3,2){15}}
            \put(205,40){\line(-3,2){15}}
            \put(170,20){\line(1,2){5}}
            \put(180,20){\line(-1,2){5}}

            \put(170,15){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
            \put(179,32){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
            \put(180,15){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
            \put(175,45){\makebox(0,0){\scriptsize $e$}}
            \put(190,25){\makebox(0,0){\scriptsize $f$}}
            \put(160,26){\makebox(0,0){\scriptsize $d$}}
            \put(190,55){\makebox(0,0){\scriptsize $g$}}
            \put(205,46){\makebox(0,0){\scriptsize $h$}}
            \put(205,25){\makebox(0,0){\scriptsize $i$}}

            \put(182, 0){\makebox(0,0){\small $\mathrm{root}(G) := g$}}

            \put(230, 0){\makebox(80,50){\scriptsize
              \begin{tabular}{c|c}
                Ecke & Kinder \\\hline
                $a$ & $-$ \\
                $b$ & $a, c$ \\
                $c$ & $-$ \\
                $d$ & $-$ \\
                $e$ & $d, b, f, g$ \\
                $f$ & $-$ \\
                $g$ & $h$ \\
                $h$ & $i$ \\
                $i$ & $-$
              \end{tabular}}}

          \end{picture}
          \caption{Wurzelb\"aume}
        \end{figure}

        Es wird eine Ecke als {\bf Wurzel} von $G$ ausgew\"ahlt, genannt
        $\mathrm{root}(G)$. W\"ahlt man in obigem Baum $G$
        $\mathrm{root}(G) := e$, dann l\"a{\ss}t sich der zugeh\"orige
        % DONE: FIXME: "Abbildung (i), (ii)" suckt
        Baum wie in der mittleren Abbildung zeichnen, mit
        $\mathrm{root}(G) := g$ wie in der rechten Abbildung.
        \medskip

        Man zeichnet Wurzelb\"aume \"ublicherweise von der Wurzel an
        abw\"arts (im Unterschied zu B\"aumen in der Natur)!
        \medskip

        % Seite 46

	\index{Blatt}
        In einem Wurzelbaum hat jede Ecke entweder {\bf Kinder}, oder sie
        ist ein {\bf Blatt}. Die Tabelle in der obigen Abbildung gibt eine
        Darstellung f\"ur den Graphen mit $\mathrm{root}(G) = e$ an.
        Die Bl\"atter sind $a,c,d,f,i$.
        \bigskip

      \subsubsection{Bin\"are B\"aume}
        \index{Bin\"arer Baum}
        \index{Baum, bin\"arer}

        Dies sind Wurzelb\"aume mit h\"ochstens zwei Kindern pro Ecke,
        einem {\bf linken Kind} und einem {\bf rechten Kind}.
        Die Abbildung auf Seite \pageref{BinaryTrees} zeigt ein Beipsiel als
        Diagramm und als Tabelle.
        \medskip

        Bin\"are Wurzelb\"aume werden auch {\bf bin\"are Suchb\"aume}
        genannt. Sie k\"onnen zur Suche in linearen Ordnungen verwandt
        werden.

        % Graph: Binaerbaeume.
        \begin{figure}[h]
          \label{BinaryTrees}
          \centering
          \begin{picture}(200,65)
            % Baum.
            \put(  0, 0){\circle*{2}}
            \put( 15,15){\circle*{2}}
            \put( 15,45){\circle*{2}}
            \put( 30,30){\circle*{2}}
            \put( 30,60){\circle*{2}}
            \put( 45,45){\circle*{2}}
            \put( 45,15){\circle*{2}}
            \put( 60,30){\circle*{2}}

            \put(  0, 0){\line( 1, 1){30}}
            \put( 15,45){\line( 1,-1){30}}
            \put( 30,60){\line( 1,-1){30}}
            \put( 15,45){\line( 1, 1){15}}

            \put( 34,64){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
            \put( 11,49){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
            \put( 49,49){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
            \put( 34,34){\makebox(0,0){\scriptsize $d$}}
            \put( 64,34){\makebox(0,0){\scriptsize $e$}}
            \put( 11,19){\makebox(0,0){\scriptsize $f$}}
            \put( 49,19){\makebox(0,0){\scriptsize $g$}}
            \put( -4, 4){\makebox(0,0){\scriptsize $h$}}

            % Tabelle.
            \put(120, 0){\makebox(100,65){\scriptsize
              \begin{tabular}{c|c|c}
                Ecke & linkes Kind & rechtes Kind \\
                $x$ & $l(x)$ & $r(x)$ \\\hline
                $a$ & $b$ & $c$ \\
                $b$ & $-$ & $d$ \\
                $c$ & $-$ & $e$ \\
                $d$ & $f$ & $g$ \\
                $e$ & $-$ & $-$ \\
                $f$ & $h$ & $-$ \\
                $g$ & $-$ & $-$ \\
                $h$ & $-$ & $-$
              \end{tabular}}}

          \end{picture}
          \caption{Bin\"arb\"aume}
        \end{figure}

        \paragraph{Beispiel:}Sei folgendes (sehr kleines) Telefonbuch
        gegeben:
        \bigskip

        \begin{tabular}{l|cccccccc}
          {\small Namen} & {\small Anna} & {\small Bernd} &
            {\small Chris} & {\small Doris} & {\small Emil} &
            {\small Ferdi} & {\small Gerd} & {\small Hans} \\ \hline
          {\small Tel.-Nr.} & {\small 3715} & {\small 8102} & {\small 1519} &
            {\small 2424} & {\small 2426} & {\small 9132} & {\small 2001} &
            {\small 4567}
        \end{tabular}
        \bigskip

        % Seite 47

        % Graph: Telefonbuch I.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(200,100)
            \put( 80,80){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Ferdi\\ 9132}}}
            \put( 40,60){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Anna\\ 3715}}}
            \put(120,60){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Gerd\\ 2001}}}
            \put( 80,40){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Doris\\ 2424}}}
            \put(160,40){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Hans\\ 4567}}}
            \put( 40,20){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Chris\\ 1519}}}
            \put(120,20){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Emil\\ 2426}}}
            \put(  0, 0){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Bernd\\ 8102}}}

            \put(110,90){\line( 2,-1){20}}
            \put( 80,90){\line(-2,-1){20}}
            \put(150,70){\line( 2,-1){20}}
            \put( 70,70){\line( 2,-1){20}}
            \put(110,50){\line( 2,-1){20}}
            \put( 80,50){\line(-2,-1){20}}
            \put( 40,30){\line(-2,-1){20}}

          \end{picture}
          \caption{Telefonbuch I}
        \end{figure}

        Obiges Diagramm erf\"ullt folgende Regel: Nach links von
        einer Ecke mit Namen $X$ kommen nur Namen $Y$ mit $Y<X$ (\qq{vorher
        im Alphabet}), nach rechts kommen nur Namen $Y>X$.
        \medskip

        Suche nach Chris Nummer: Starte bei Wurzel Ferdi. Chris $<$ Ferdi
        $\rightarrow$ nach links zu Anna, Chris $>$ Anna $\rightarrow$ nach
        rechts zu Doris, Chris $<$ Doris $\rightarrow$ nach links zu Chris
        (Nummer $1519$, fertig!)
        \medskip

        \index{Tiefe von B\"aumen}
        \index{Baum, Tiefe}
        Dieser bin\"are Suchbaum hat {\bf Tiefe $4$} (Tiefe = maximale
        Wegl\"ange von der Wurzel nach unten). Klar ist: geringere Tiefe
        ergibt geringere durchschnittliche Suchzeit. Darum ist der folgende
        bin\"are Suchbaum f\"ur dasselbe Telefonbuch besser (er ist sogar
        optimal):
        \medskip

        % Graph: Telefonbuch II.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(270,80)
            \put(200,40){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Ferdi\\ 9132}}}
            \put(  0,20){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Anna\\ 3715}}}
            \put(200, 0){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Gerd\\ 2001}}}
            \put(120,60){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Doris\\ 2424}}}
            \put(240,20){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Hans\\ 4567}}}
            \put( 80,20){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Chris\\ 1519}}}
            \put(160,20){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Emil\\ 2426}}}
            \put( 40,40){\framebox(30,20){\scriptsize
              \shortstack[c]{Bernd\\ 8102}}}

            \put( 40,50){\line(-2,-1){20}}
            \put( 70,50){\line( 2,-1){20}}
            \put(200,50){\line(-2,-1){20}}
            \put(230,50){\line( 2,-1){20}}
            \put(240,30){\line(-2,-1){20}}
            \put(120,70){\line(-6,-1){60}}
            \put(150,70){\line( 6,-1){60}}

          \end{picture}
          \caption{Telefonbuch II}
        \end{figure}

        Dieses Beispiel hat Tiefe $3$. Allgemein: In die \qq{Schichten} $0,
        1, 2, \dots, k$ eines Suchbaumes passen offenbar maximal
        $1 + 2 + 4 + \dots + 2^k = 2^{k+1}-1$ Ecken. Deshalb gilt $n \leq
        2^{k+1}-1$, wobei $n$ die Anzahl der Ecken ist. Es folgt $n <
        2^{k+1}$, also:
        $$\log_2(n)-1 < \mathrm{Tiefe}$$

    % Seite 48

    \subsection{Abst\"ande in (ungerichteten, unbewerteten) Graphen}
      In diesem Abschnit wird der \qq{graphentheoretische Abstand}
      betrachtet, dabei wird jeder Kante die \qq{L\"ange} $1$
      zugeordnet.
      \medskip

      \subsubsection{L\"ange von Kantenz\"ugen}
	\index{Kantenzug}
	\index{L\"ange eines Kantenzugs}
        \paragraph{Definition:}Die {\bf L\"ange} eines {\bf Kantenzugs} ist
        definiert als die Anzahl der Kanten des Kantenzugs (kam schon auf
        Seite \pageref{DefKantenzugS41} vor).  Der Abstand
        $\mathrm{d}(a,b)$ zweier Ecken $a$ und $b$ eines Graphen ist das
        Minimum der L\"angen aller Kantenz\"uge von $a$ nach $b$.  Falls es
        keinen solchen Kantenzug gibt, wird $\mathrm{d}(a,b) = \infty$
        gesetzt.

        \paragraph{Beispiel:}In folgendem Graphen hat der Kantenzug
        $(a,b,d,f,g,c)$ die L\"ange $5$. Ein Kantenzug geringster
        m\"oglicher L\"ange von $a$ nach $c$ ist $(a,b,c)$, er hat L\"ange
        $2$. Daher gilt $\mathrm{d}(a,c) = 2$.
        \medskip

        % Graph: Kantenzuege.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \label{GraphGS48}
          \begin{picture}(100,50)
            \put(  0, 5){\circle*{2}}
            \put(  0,45){\circle*{2}}
            \put( 40, 5){\circle*{2}}
            \put( 40,45){\circle*{2}}
            \put( 80, 5){\circle*{2}}
            \put( 80,45){\circle*{2}}
            \put( 20,25){\circle*{2}}

            \put(  0, 5){\line( 1, 0){80}}
            \put(  0,45){\line( 1, 0){80}}
            \put( 40, 5){\line( 0, 1){40}}
            \put( 80, 5){\line( 0, 1){40}}
            \put(  0, 5){\line( 1, 1){40}}
            \put(  0,45){\line( 1,-1){40}}

            \put(  0,50){\makebox(0,0){\scriptsize $v_0 = a$}}
            \put( 40,50){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
            \put( 80,50){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
            \put( 13,25){\makebox(0,0){\scriptsize $d$}}
            \put(  0, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $e$}}
            \put( 40, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $f$}}
            \put( 80, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $g$}}

            \put(100,25){\makebox(0,0){$G$}}
          \end{picture}
          \caption{Kantenz\"uge}
        \end{figure}

      \subsubsection{Algorithmus von Moore}
        Es wird ein Algorithmus vorgestellt (Algorithmus von Moore, 1959),
        in dem Graphen durch {\bf Adjazenzlisten} gegeben sind, das
        hei{\ss}t f\"ur Listen, die zu jeder Ecke die Nachbarecken
        aufz\"ahlen. In obigem Beispiel sind das (bei alphabetischer
        Anordnung) folgende Listen:
        \bigskip

        \label{AdjaS48}
        \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
          $A_a$ & $A_b$ & $A_c$ & $A_d$ & $A_e$ & $A_f$ & $A_g$ \\ \hline
          $b,d$ & $a,c,d,f$ & $b,g$ & $a,b,e,f$ & $d,f$ & $b,d,e,g$ & $c,f$
        \end{tabular}
        \bigskip

        % Seite 49

        \label{S49MooreAlgo}
	\index{Moore}
	\index{Algorithmus, Moore}
	\index{Adjazenzlisten}
        Sei $G$ ein durch seine Adjazenzlisten $A_v$ gegebener Graph und
	sei $v_0$ eine Ecke dieses Graphen. Es werden Zahlen
	$\mathrm{d}(v)$ sowie Mengen $V(0),V(1),V(2),\dots$ berechnet. Der
	Algorithmus ist in \qq{Pseudo-Pascal} geschrieben.
        
        \begin{algorithm}
          \al $d(v_0) \leftarrow 0, V(0) \leftarrow \{v_0\}, k \leftarrow 1,$
          \al while $V(k - 1) \ne \emptyset$ do 
          \al \quad $V(k) \leftarrow \emptyset,$
          \al \quad for $v \in \bigcup\{A_u \mid u \in V(k - 1)\}$ do
          \al \quad \quad if $d(v)$ {\sl ist undefiniert} then
          \al \quad \quad \quad $d(v) \leftarrow k, V(k) 
              \leftarrow V(k) \cup \{v\},$
          \al \quad \quad end,
          \al \quad end,
          \al \quad $k \leftarrow k + 1$
          \al end.
        \end{algorithm}

        Was dieser Algorithmus tut, ist m\"oglicherweise auf den ersten
        Blick nicht gut sichtbar. Aber die Idee ist einfach: Ausgehend von
        $V(0) = \{v_0\}$ werden sukzessive die Mengen $V(1),V(2)$
        berechnet. Dabei besteht $V(k)$ aus den Ecken, die mit Ecken aus
        $V(k-1)$ benachbart sind, aber nicht in $V(0) \cup V(1) \cup \dots
        \cup V(k-1)$ liegen. Mit Induktion sieht man, dass $V(k)$ genau aus
        den Ecken besteht, die Abstand $k$ von $v_0$ haben. Die Laufzeit
        des Algorithmus ist, in der \"ublichen pauschalen Weise, schnell
        bestimmt: Zeile (1) erfordert drei Rechenschritte, und jede
        % Seite 50
        andere Zeile nicht mehr als insgesamt (das hei{\ss}t bei
        s\"amtlichen Durchl\"aufen) $2m$ Rechenschritte, wobei $m$ die
        Anzahl der Kanten von $G$ bezeichnet. Zu Zeile (4) beachte man,
        dass die Vereinigungsmenge nicht wirklich berechnet werden muss, es
        gen\"ugt die Elemente der jeweiligen Listen $A_u$ der Reihe nach
        aufrufen.  Die Komplexit\"at (= Laufzeit) ist also proportional zu
        $m$, in Symbolen: von der Gr\"o{\ss}enordnung $O(m)$ (sprich:
        \qq{gro{\ss} -$O$ von $m$}). Damit ist insgesamt gezeigt:

        \paragraph{Satz:}Nach der Durchf\"uhrung des Algorithmus von Moore
        gilt f\"ur alle Ecken $v$ von $G$:
        $$\mathrm{d}(v,v_0) = \left\{ \begin{array}{ll}
          \mathrm{d}(v) & \mbox{falls $\mathrm{d}(v)$ definiert ist} \\
          \infty & \mbox{sonst} \end{array} \right. $$

        Der Algorithmus hat die Komplexit\"at $O(m)$.
        \medskip

	\index{BFS, breadth first search}
        Da der Algorithmus ausgehend von Ecke $v_0$, \qq{in die Breite}
        gehend sucht, spricht man auch von {\bf breadth first search}
        (BFS).
        \medskip

        % Graph: Breitensuche.
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(100,50)
            \put(  0,20){\circle*{2}}
            \put( 30,10){\circle*{2}}
            \put( 30,30){\circle*{2}}
            \put( 60, 0){\circle*{2}}
            \put( 60,20){\circle*{2}}
            \put( 60,40){\circle*{2}}
            \put( 90,40){\circle*{2}}

            \put(  0,20){\line( 3, 1){60}}
            \put(  0,20){\line( 3,-1){60}}
            \put( 30,30){\line( 3,-1){30}}
            \put( 60,40){\line( 1, 0){30}}

            \put( -5,25){\makebox(0,0){\scriptsize $v_0 = a$}}
            \put( 30,35){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
            \put( 60,45){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
            \put( 30,15){\makebox(0,0){\scriptsize $d$}}
            \put( 60, 5){\makebox(0,0){\scriptsize $e$}}
            \put( 60,25){\makebox(0,0){\scriptsize $f$}}
            \put( 90,45){\makebox(0,0){\scriptsize $g$}}

            \put(  0,54){\makebox(0,0){\small $V(0)$}}
            \put( 30,54){\makebox(0,0){\small $V(1)$}}
            \put( 60,54){\makebox(0,0){\small $V(2)$}}
            \put( 90,54){\makebox(0,0){\small $V(3)$}}

            \put( 15,-5){\dashbox(0,65){}}
            \put( 45,-5){\dashbox(0,65){}}
            \put( 75,-5){\dashbox(0,65){}}
            \put(105,-5){\dashbox(0,65){}}
          \end{picture}
          \caption{Breitensuche}
        \end{figure}

        F\"ur obiges Beispiel ergibt sich:
	
	$V(0) = \{a\}$, $V(1) = \{b,d\}$, $V(2) = \{c,e,f\}$, $V(3) =
	\{9\}$, $V(4) = \emptyset$.
	\medskip

        %\begin{eqnarray*}
        %  & V(0) = \{a\} \qquad V(1) = \{b,d\} \qquad V(2) = \{c,e,f\} \\
        %  & V(3) = \{9\} \qquad V(4) = \emptyset
        %\end{eqnarray*}
	\begin{center}
        Dementsprechend: $\quad$
        \begin{tabular}{c|ccccccc}
         $v$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ & $e$ & $f$ & $g$ \\ \hline
         $\mathrm{d}(v)$ & 0 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2 & 3
        \end{tabular}
        \end{center}
	\medskip

        Der Algorithmus liefert auch einen Test, ob der Graph $G$
        zusammenh\"angend ist.

        % Seite 51
        \paragraph{Korollar:}Ein endlicher Graph $G$ ist genau dann
        zusammenh\"angend, wenn nach Durchf\"uhrung des Algorithmus von
        Moore f\"ur jede Ecke $v$ die Zahl $d(v)$ definiert ist.
        \medskip

        F\"ur die Laufzeit von Algorithmen ist es sehr wichtig, welche
        Datenstrukturen verwendet werden. Eine M\"oglichkeit f\"ur Graphen
        ist die Darstellung mit Adjazenzlisten wie auf Seite
        \pageref{AdjaS48}.
        Es handelt sich dabei um $n$ Listen, wobei alle Listen zusammen
        $2m$ Eintr\"age haben (zwei Eintr\"age pro Kante). Dabei ist wie
        \"ublich $n$ die Anzahl der Ecken und $m$ die Anzahl der Kanten
        eines Graphen.
        \medskip

      \subsubsection{Inzidenzmatrizen}
        \index{Inzidenzmatrix}
        Graphen k\"onnen auf viele weitere Arten dargestellt werden. Eine
        davon ist die Darstellung mit {\bf Inzidenzmatrizen}\footnote
        {In der Literatur allgemein als Adjazenzmatrizen eingef\"uhrt.}        
        %{F\"ur gew\"ohlich werden diese Matrizen Adjazenzmatrizen genannt}
	.
	Der Graph $G$ auf Seite \pageref{GraphGS48} hat zum Beispiel die
	folgende Inzidenzmatrix $I(G)$:
	\medskip

        % Graph: Inzidenzmatrix von G.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(100,90)
            \put(50,55){\makebox(0,0){$I(G) = \quad \left(\begin{array}{ccccccc}
                0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
                1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
                0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
                1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
                0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
                0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
                0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0
              \end{array}\right) \quad \left|\begin{array}{c}
                a \\
                b \\
                c \\
                d \\
                e \\
                f \\
                g
              \end{array}\right.$}}

            \put(56, 7){\makebox(0,0){$\begin{array}{ccccccc}
               \\\hline
                a & b & c & d & e & f & g
              \end{array}$}}
          \end{picture}
          \caption{Inzidenzmatrix von $G$}
        \end{figure}

        Die Inzidenzmatirx $I(G)$ hat an der Stelle $(i,j)$ eine $1$, falls
        $\{i,j\}$ eine Kante von $G$ ist, und eine $0$ sonst. Jedenfalls
        hat -- ganz allgemein -- $I(G)$ $n^2$ Eintr\"age. W\"urde man im
        Algorithmus von Moore eine Inzidenzmatrix statt der Adjazenzlisten
        verwenden, dann h\"atte der Algorithmus Komplexit\"at $O(n^2)$
        statt $O(m)$, was f\"ur viele Graphen deutlich mehr ist. Allgemein
        gilt:

        % Seite 52
        \begin{quote}
          F\"ur die Komplexit\"at von Algorithmen kommt es darauf an,
          welche Datenstrukturen verwendet werden.
        \end{quote}

        Der Algorithmus von Moore l\"asst sich \"ubrigens auch f\"ur
        Graphen verwenden, deren Kanten eine Richtung haben.

      \pagebreak
      \subsubsection{Gerichtete Graphen}
        \index{Graph, gerichtet}
	\index{gerichteter Graph}
	\index{Digraph}
        \paragraph{Definition:}Ein {\bf gerichteter Graph} oder auch {\bf
        Digraph} (engl.: directed graph) ist ein Paar $G=(V,E)$, wobei $V$
        eine Menge ist und $E$ eine Menge von geordneten Paaren $(v,w)$
        mit $v,w \in V$ und $v \neq w$. Man nennt wieder die Elemente von
        $V$ {\bf Ecken} und die Elemente von $E$ {\bf Kanten} von $G$.
        Anstelle von $(v,w)$ wird oft kurz $vw$ geschrieben, wobei es im
        Unterschied zu ungerichteten Graphen auf die Reihenfolge von $v$
        und $w$ ankommt.
        \medskip

        Viele der Begriffe f\"ur ungerichtete Graphen \"ubertragen sich
        problemlos auf gerichtete Graphen. Beispielsweise hei{\ss}t eine
        Folge $(v_0, v_1, \dots, v_k)$ ein {\bf Kantenzug} des gerichteten
        Graphen $G$, falls $(v_i, v_{i+1})$ eine Kante ist, f\"ur alle $i$.
        Die L\"ange dieses Kantenzuges ist $k$. Entsprechend werden {\bf
        Wege}, {\bf Kreise} und {\bf Abst\"ande} in gerichteten Graphen
        definiert. (Dabei wird zur Verdeutlichung oft der Zusatz
        \qq{gerichtet} verwendet, zum Beispiel von \qq{gerichteten Wegen}
        gesprochen.)
        \medskip

        % Seite 53 (Andreas Goeb)
        In folgendem Digraphen $G$ ist zum Beispiel $d(a,c) = 4$ der Abstand
        zwischen $a$ und $c$. Ein k\"urzester Weg von $a$ nach $c$ ist
        $(a, d, f, g, c)$.

        % Graph: Wege in ungerichteten Graphen.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(100,50)
            \put(  0, 5){\circle*{2}}
            \put(  0,45){\circle*{2}}
            \put( 40, 5){\circle*{2}}
            \put( 40,45){\circle*{2}}
            \put( 80, 5){\circle*{2}}
            \put( 80,45){\circle*{2}}
            \put( 20,25){\circle*{2}}

            \put(  0, 5){\line( 1, 0){80}}
            \put(  0,45){\line( 1, 0){80}}
            \put( 40, 5){\line( 0, 1){40}}
            \put( 80, 5){\qbezier(0,0)(10,20)(0,40)}
            \put( 80, 5){\qbezier(0,0)(-10,20)(0,40)}
            \put(  0, 5){\line( 1, 1){40}}
            \put(  0,45){\line( 1,-1){20}}
            \put( 20,25){\qbezier(0,0)(15,-5)(20,-20)}
            \put( 20,25){\qbezier(0,0)(5,-15)(20,-20)}

            \put( 20, 5){\vector(-1, 0){2}}
            \put( 60, 5){\vector( 1, 0){2}}
            \put( 20,45){\vector( 1, 0){2}}
            \put( 60,45){\vector(-1, 0){2}}
            \put( 40,25){\vector( 0, 1){2}}
            \put(  8,13){\vector(-1,-1){0}}
            \put( 12,33){\vector( 1,-1){0}}
            \put( 28,33){\vector(-1,-1){0}}
            \put( 75,25){\vector( 0,-1){2}}
            \put( 85,25){\vector( 0, 1){2}}
            \put( 30,20){\vector(-1, 1){0}}
            \put( 30,10){\vector( 1,-1){0}}

            \put(  0,50){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
            \put( 40,50){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
            \put( 80,50){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
            \put( 13,25){\makebox(0,0){\scriptsize $d$}}
            \put(  0, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $e$}}
            \put( 40, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $f$}}
            \put( 80, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $g$}}

            \put(100,25){\makebox(0,0){$G$}}
          \end{picture}
          \caption{Wege in ungerichteten Graphen}
        \end{figure}

        \paragraph{Aufgabe:} Wende den Algorithmus von Moore auf diesen
          Digraphen an.
             
    \subsection{Abst\"ande in Netzwerken}
      \index{Netzwerk}
      Jetzt wird jeder Kante eines Graphen eine {\bf L\"ange} zugeordnet.
      Typische Beispiele sind Stra{\ss}ennetze mit Entfernungsangaben.

      \subsubsection{Netzwerke}
        \paragraph{Definition:}
        Ein {\bf Netzwerk} ist ein Paar $(G, w)$, bestehend aus einem
        (gerichteten oder ungerichteten) Graphen $G = (V, E)$ sowie einer
        Bewertung der Kanten von $G$ mit reellen Zahlen, das hei{\ss}t einer
        Funktion $w\colon E \longrightarrow \R$. F\"ur jede Kante $e \in E$ 
        hei{\ss}t $w(e)$ die {\bf L\"ange} (oder das {\bf Gewicht}) von $e$. 
        F\"ur einen Kantenzug $K = (v_0, v_1, \dots, v_k)$ ist
        $$w(K) := w(v_0v_1) + w(v_1v_2) + \dots + w(v_{k-1}v_k)$$

        die {\bf L\"ange} von $K$. (Hierbei steht z. B. $v_0v_1$ als
        Abk\"urzung f\"ur $\{v_0, v_1\}$ bzw. $(v_0, v_1)$.)
        \medskip

        Je nach Anwendung kann es sich bei den L\"angen bzw. Gewichten auch
        um Zeitdauern, Kosten, Gewinne und Verluste und vieles andere
        handeln.  Deshalb ist es gerechtfertigt, auch negative L\"osungen
        zuzulassen. Bei der Definition von Abst\"anden w\"urden negative
        L\"angen aber Probleme machen:

      \subsubsection{Der Abstandsbegriff}
        \paragraph{Definition:}
        Sei $(G, w)$ ein {\em Netzwerk mit nichtnegativen L\"angen}, das
        hei{\ss}t mit $w(e) \geq 0$ f\"ur alle Kanten $e$. Der {\bf
        Abstand} $d(a, b)$ zweier Ecken $a, b$ von $G$ ist definiert als
        das Minimum der L\"ange aller Kantenz\"uge von $a$ nach $b$. Falls
        es keinen Kantenzug von $a$ nach $b$ gibt, wird $d(a, b) = \infty$
        gesetzt.
        \medskip

        Der folgende Algorithmus von Dijkstra (1959) berechnet die
        Abst\"ande von einer gegebenen Ecke $v_0$ eines Netzwerks. Er kann
        -- wie auch der Algorithmus von Moore im vorigen Abschnitt -- f\"ur
        gerichtete und ungerichtete Graphen verwendet werden:

      \subsubsection{Algorithmus von Dijkstra}
        \index{Dijkstra}
	\index{Algorithmus, Dijkstra}
        Gegeben sei ein Netzerk $(G, w)$ mit $G = (V, E)$ und einer
        nichtnegativen L\"angenfunktion $w$ auf $E$, sowie eine Ecke $v_0$
        von $G$. F\"ur jedes $v \in V$ wird ein Wert $\mathrm{d}(v)$
	berechnet:

        \begin{algorithm}
          \al $d(v_0) \leftarrow 0,$
          \al for $v \in V \setminus \{v_0\}$ do       
          \al \quad $d(v) \leftarrow \infty,$
          \al end,
          \al $U \leftarrow V,$
          \al while $U \ne \emptyset$ do
          \al \quad $u \leftarrow \arg \min_{v' \in U} \{d(v')\},$
          \al \quad for $v \in \{v' \in U \mid (u, v) \in E\}$ do
          \al \quad \quad $d(v) \leftarrow \min\{d(v), d(u) + w(u, v)\},$
          \al \quad end,
          \al \quad $U \leftarrow U \setminus \{u\}$
          \al end.
        \end{algorithm}

        %\begin{enumerate}
        %  \item[(1)]{Setze $d(v_0) := 0$, $d(v) := \infty$ f\"ur alle $v \in V
        %    \setminus \{v_0\}$, $U := V$.}
        %  \item[(2)]{Falls $U = \emptyset$, dann STOP. Sonst weiter mit (3).}
        %  \item[(3)]{Finde ein $u \in U$, f\"ur das $d(u)$ minimal ist.}
        %  \item[(4)]{F\"ur alle $v \in U$ mit $uv \in E$ setze $d(v) :=
        %    min\{d(v), d(u) + w(u, v)\}$.}
        %  \item[(5)]{Setze $U := U \setminus \{u\}$. Weiter mit (2).}
        %\end{enumerate}
        %\medskip
        
        %Es ist leicht m\"oglich, diesen Algorithmus in Pseudo-Pascal
        %umzuformulieren. Er leistet das Gew\"unschte:

        \paragraph{Satz:}Nach Durchf\"uhrung des Algorithmus von Dijkstra
        gilt $d(v) = d(v_0, v)$ f\"ur alle $v \in V$. Die Komplexit\"at des
        Algorithmus ist $O(n^2)$.

        \paragraph{Beweis:}Klar ist, dass (nach Beendigung des Algorithmus)
        genau dann $d(v) = \infty$ gilt, wenn $v$ von $v_0$ aus nicht
        erreichbar ist, d. h. im Fall $d(v_0, v) = \infty$. F\"ur alle
        anderen $v \in V$ ist $d(v)$ offenbar die L\"ange eines Weges von
        $v_0$ nach $v$, weshalb $d(v) \geq d(v_0, v)$ gilt.
        \medskip

        Es bleibt $d(v) \leq d(v_0, v)$ zu zeigen. Dies gelingt mit {\em
        Induktion \"uber die Ecken von $G$}, und zwar in der Reihenfolge,
        in der sie aus $U$ entfernt wurden: Zuerst wird $v_0$ entfernt und
        es gilt $d(v_0) = d(v_0, v_0) = 0$. Jetzt wird $d(v) \leq d(v_0,
        v)$ f\"ur alle vor der Ecke $u$ aus $U$ entfernten Ecken $v$
        vorausgesetzt. Zu zeigen ist $d(u) \leq d(v_0, u)$. Werde, im
        Gegenteil, $d(u) > d(v_0, u)$ angenommen und sei $(v_0, v_1, \dots,
        v_k = u)$ ein k\"urzester Weg von $v_0$ nach $u$. Es gibt einen
        Index $i < k$, so dass $v_i$ vor $u$ aus $U$ entfernt wurde, aber
        nicht $v_{i+1}$. Nach Induktionsvoraussetzung gilt $d(v_i) \leq
        d(v_0, v_i)$. Es folgt
        $$d(u) > d(v_0, u) = d(v_0, v_i) + w(v_i v_{i+1}) + \dots
          + w(v_{k-1} u) \geq d(v_i) + w(v_i v_{i+1})$$

        Als $v_i$ aus $U$ entfernt wurde, galt aber $d(v_i) + w(v_i
        v_{i+1}) = d(v_{i+1}) \leq d(v_0, v_{i+1})$, also $u \neq v_{i+1}$.
        Das ist ein Widerspruch, da $u$ vor $v_{i+1}$ aus $U$ entfernt
        wird!
        \medskip

        F\"ur die Absch\"atzung der Komplexit\"at m\"usste Zeile {\sf (7)}
        eigentlich genauer formuliert werden. Aber es ist klar, dass man
        bei jedem Durchlauf von {\sf (7)} mit maximal $|U| - 1$
        Vergleichen auskommt. In {\sf (9)} sind jedesmal maximal $|U|$
        Wertzuweisungen n\"otig. Die Schleife {\sf (6)} bis {\sf (12)} wird 
        insgesamt $|V|$ mal durchlaufen. Da immer $|U| \leq |V|$ gilt, ergibt 
        sich die behauptete Komplexit\"at. \hfill $\square$

        \paragraph{Beispiel:}
        F\"ur folgendes Netzwerk liefert der Algorithmus von Dijkstra die
        Abst\"ande von $v_0$. Die Werte $d(v)$ sind in der Reihenfolge
        aufgelistet, in der die Ecken aus $U$ entfernt werden:
        \medskip

	\begin{center}
	\begin{tabular}{c|ccccccc}
	  $v$ & $a$ & $d$ & $f$ & $e$ & $g$ & $c$ & $b$ \\ \hline
	  $\mathrm{d}(v)$ & 0 & 3 & 4 & 6 & 6 & 6 & 11
	\end{tabular}
	\end{center}

        % Graph: Algorithmus von Dijkstra.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(100,50)
            \put(  0, 5){\circle*{2}}
            \put(  0,45){\circle*{2}}
            \put( 40, 5){\circle*{2}}
            \put( 40,45){\circle*{2}}
            \put( 80, 5){\circle*{2}}
            \put( 80,45){\circle*{2}}
            \put( 20,25){\circle*{2}}

            \put(  0, 5){\line( 1, 0){80}}
            \put(  0,45){\line( 1, 0){40}}
            \put( 40, 5){\line( 0, 1){40}}
            \put( 40,45){\qbezier(0,0)(20,10)(40,0)}
            \put( 40,45){\qbezier(0,0)(20,-10)(40,0)}
            \put( 80, 5){\line( 0, 1){40}}
            \put(  0, 5){\line( 1, 1){40}}
            \put(  0,45){\line( 1,-1){40}}

            \put( 20, 5){\vector(-1, 0){2}}
            \put( 60, 5){\vector( 1, 0){2}}
            \put( 20,45){\vector( 1, 0){2}}
            \put( 40,25){\vector( 0, 1){2}}
            \put(  8,13){\vector(-1,-1){0}}
            \put( 12,33){\vector( 1,-1){0}}
            \put( 28,33){\vector(-1,-1){0}}
            \put( 32,13){\vector( 1,-1){0}}
            \put( 60,40){\vector(-1, 0){2}}
            \put( 60,50){\vector( 1, 0){2}}
            \put( 80,25){\vector( 0, 1){2}}

            \put(-10,50){\makebox(0,0){\scriptsize $v_0 = a$}}
            \put( 40,50){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
            \put( 80,50){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
            \put( 13,25){\makebox(0,0){\scriptsize $d$}}
            \put(  0, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $e$}}
            \put( 40, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $f$}}
            \put( 80, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $g$}}

            \put( 20,50){\makebox(0,0){\tiny $16$}}
            \put( 60,55){\makebox(0,0){\tiny $6$}}
            \put( 60,35){\makebox(0,0){\tiny $5$}}
            \put( 45,25){\makebox(0,0){\tiny $8$}}
            \put( 85,25){\makebox(0,0){\tiny $0$}}
            \put( 20,10){\makebox(0,0){\tiny $2$}}
            \put( 60,10){\makebox(0,0){\tiny $2$}}
            \put( 10,20){\makebox(0,0){\tiny $4$}}
            \put( 10,40){\makebox(0,0){\tiny $3$}}
            \put( 30,20){\makebox(0,0){\tiny $1$}}
            \put( 30,40){\makebox(0,0){\tiny $7$}}

            \put(110,25){\makebox(0,0){$(G, w)$}}
          \end{picture}
          \caption{Algorithmus von Dijkstra}
        \end{figure}

        "Ubrigens: Der Algorithmus von Dijkstra kann leicht so abgewandelt
        werden, dass er nicht nur die Abst\"ande, sondern auch die {\em
        k\"urzesten Wege} berechnet.

    \subsection{Fl\"usse in Netzwerken}
      \index{Fluss}
      \index{Netzwerk, Fluss}
      Dieser Abschnitt stellt ein Beispiel eines \qq{{\bf Min-Max-Satzes}}
      vor, n\"amlich den wohl ber\"uhmtesten (\qq{max flow = min cut},
      Ford-Fulkerson 1956). Es geht da"-rum, wieviel in einem Netzwerk mit
      gegebenen Kapazit\"aten transportiert werden kann. Man denke an ein
      Stromnetz, ein Wasserleitungssystem, ein Stra{\ss}ennetz oder an
      Daten\"ubertragungsnetzwerke.

      \subsubsection{Flussnetzwerke}
        \paragraph{Definition:}Ein {\bf Flussnetzwerk} (auch: {\bf
        Kapazit\"atsnetzwerk}) besteht aus

        \index{Quelle}
	\index{Senke}
        \begin{itemize}
          \item{einem {\bf Digraphen} $G = (V, E)$,}
          \item{einer {\bf Kapazit\"atsfunktion} 
              $c\colon E \longrightarrow \R_0^+$,}
          \item{zwei ausgezeichneten Ecken $s, t \in V$ ({\bf Quelle},
              {\bf Senke}).}
        \end{itemize}

        Ein {\bf Fluss} in einem solchen Netzwerk ist eine Abbildung 
        $f\colon E \longrightarrow \R_0^+$, so dass folgendes gilt:
        \bigskip

        \begin{tabular}{ll}
          \sf (F1) & $0 \leq f(e) \leq c(e) \mbox{ f\"ur alle } e \in E$,
	  \medskip \\
          \sf (F2) & $\sum\limits_{\stackrel{x \in V}{(v, x) \in E}}f(v, x) \;=
            \sum\limits_{\stackrel{y \in V}{(y, v) \in E}}f(y, v)
            \mbox{ f\"ur alle } v \in V, v \neq s, t$.
        \end{tabular}
        \bigskip

        Bedingung {\sf (F1)} bedeutet, dass der Fluss nirgends negativ ist und
        immer die Kapazit\"aten eingehalten werden, {\sf (F2)} bedeutet, dass 
        in jede Ecke soviel hineinflie{\ss}t wie herausflie{\ss}t, allerdings
        mit Ausnahme der Quelle $s$ und der Senke $t$.
        \medskip

        % Graph: Flussnetzwerke.
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \label{S58Network}
          \begin{picture}(100,60)
            \put(  0, 5){\circle*{2}}
            \put(  0,45){\circle*{2}}
            \put( 40, 5){\circle*{2}}
            \put( 40,45){\circle*{2}}
            \put( 80, 5){\circle*{2}}
            \put( 80,45){\circle*{2}}
            \put( 60,55){\circle*{2}}

            \put(  0, 5){\line( 0, 1){40}}
            \put(  0,45){\line( 1, 0){80}}
            \put(  0, 5){\line( 1, 1){40}}
            \put(  0, 5){\qbezier(0,0)(20,10)(40,0)}
            \put(  0, 5){\qbezier(0,0)(20,-10)(40,0)}
            \put( 40, 5){\line( 0, 1){40}}
            \put( 40, 5){\line( 1, 0){40}}
            \put( 40,45){\line( 1,-1){40}}
            \put( 80, 5){\line( 0, 1){40}}
            \put( 40,45){\line( 2, 1){20}}
            \put( 80,45){\line(-2, 1){20}}

            \put( 20,10){\vector(-1, 0){2}}
            \put( 20, 0){\vector( 1, 0){2}}
            \put( 20,45){\vector( 1, 0){2}}
            \put( 22,27){\vector( 1, 1){0}}
            \put( 60, 5){\vector( 1, 0){2}}
            \put( 60,45){\vector(-1, 0){2}}
            \put( 62,23){\vector( 1,-1){0}}
            \put(  0,25){\vector( 0,-1){2}}
            \put( 40,25){\vector( 0,-1){2}}
            \put( 80,25){\vector( 0,-1){2}}
            \put( 52,51){\vector( 2, 1){0}}
            \put( 72,49){\vector( 2,-1){0}}

            \put(  0,49){\makebox(0,0){\scriptsize $s$}}
            \put( 80, 1){\makebox(0,0){\scriptsize $t$}}
            \put( 40,49){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
            \put( 60,60){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
            \put( 80,49){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
            \put(  0, 1){\makebox(0,0){\scriptsize $d$}}
            \put( 40, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $e$}}

            \put( 20,49){\makebox(0,0){\tiny $5(5)$}}
            \put( -8,20){\makebox(0,0){\tiny $2(7)$}}
            \put( 48,20){\makebox(0,0){\tiny $2(4)$}}
            \put( 89,20){\makebox(0,0){\tiny $2(7)$}}
            \put( 60, 0){\makebox(0,0){\tiny $2(2)$}}
            \put( 20,-5){\makebox(0,0){\tiny $0(4)$}}
            \put( 20,14){\makebox(0,0){\tiny $0(4)$}}
            \put( 48,56){\makebox(0,0){\tiny $3(3)$}}
            \put( 72,56){\makebox(0,0){\tiny $3(4)$}}
            \put( 60,40){\makebox(0,0){\tiny $1(2)$}}
            \put( 18,30){\makebox(0,0){\tiny $2(3)$}}
            \put( 65,30){\makebox(0,0){\tiny $3(3)$}}
          \end{picture}
          \caption{Flussnetzwerke}
        \end{figure}

        In diesem Beispiel flie{\ss}t aus der Quelle $s$ ein Gesamtfluss
        von $f(s, a) + f(s, d) = 5 + 2 = 7$, und in die Senke $f(a, t) +
        f(c, t) + f(e, t) = 3 + 2 + 2 = 7$. Die \"Ubereinstimmung der Werte
        ist kein Zufall, denn auf dem Weg von $s$ nach $t$ geht nichts
        verloren und wird nichts gewonnen.

        \paragraph{Bemerkung:}
        F\"ur jede Flussfunktion f eines Flussnetzwerks mit Quelle $s$ und
        Senke $t$ gilt

        $$\sum_{\stackrel{x \in V}{(s, x) \in E}}f(s, x) -
        \sum_{\stackrel{y \in V}{(y, s) \in E}}f(y, s) =
        \sum_{\stackrel{y \in V}{(y, t) \in E}}f(y, t) -
        \sum_{\stackrel{x \in V}{(t, x) \in E}}f(t, x)$$

        \paragraph{Beweis:}
        Die folgende Gleichung gilt, da auf beiden Seiten \"uber alle
        Kanten $e \in E$ summiert wird:

        $$\sum_{v \in V}\sum_{(v, x) \in E}f(v, x) =
        \sum_{v \in V}\sum_{(y, v) \in E}f(y, v)$$

        Hieraus folgt:
        \begin{eqnarray*}
          0 &=& \sum_{v \in V}\left(\sum_{(v, x) \in E}f(v, x) -
	    \sum_{(y, v) \in E} f(y, v) \right) \\
          &=& \left(\sum_{(s, x) \in E}f(s, x) - \sum_{(y, s) \in E}
            f(y, s) \right) + \left(\sum_{(t, x) \in E}f(t, x) - \sum_{(y,
            t) \in E} f(y, t) \right)
        \end{eqnarray*}

        wobei die letzte Gleichheit wegen {\sf (F2)} gilt. \hfill $\square$
        \medskip

      \subsubsection{Maximale Fl\"usse, zunehmende Wege}
        Falls es keine Kanten $(y, s)$ und keine Kanten $(t, x)$ gibt, dann
        schreibt sich die Gleichung der letzten Bemerkung k\"urzer als:
        $$\sum_{x}f(s, x) = \sum_{y}f(y, t)$$

	\index{maximaler Fluss}
	\index{Fluss, maximaler}
        Die Zahl auf beiden Seiten der Gleichung (oder der Gleichung in der
        letzten Bemerkung) wird der {\bf Wert} des Flusses $f$ genannt, in
        Zeichen: $\phi(f)$. Es ist immer das Ziel, einen {\bf maximalen
        Fluss} zu finden, d. h. einen Fluss $f$ mit maximalem Wert
        $\phi(f)$.  Jetzt wird gezeigt, wie dies gelingt:

        \paragraph{Definition:}
	\index{zunehmender Weg}
        Ein {\bf zunehmender Weg} (engl.: augmenting path) bzgl. eines
        gegebenen Flusses f ist eine Folge $(s = v_0, v_1, \dots, v_k =
        t)$, so dass f\"ur jedes $i \in \{1, \dots, k\}$ eine der
        folgenden beiden Bedingungen gilt:
        \bigskip

        \begin{tabular}{ll}
          $(v_{i-1}, v_i) \in E$ und $f(v_{i-1}, v_i) < c(v_{i-1}, v_i)$ &
            \qq{Vorw\"artskante} \\
          $(v_i, v_{i-1} \in E$ und $f(v_i, v_{i-1}) > 0$ &
            \qq{R\"uckw\"uartskante}
        \end{tabular}

        % Graph: Zunehmender Weg.
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(165,30)
            \put(  0, 0){\circle*{4}}
            \put( 20,30){\circle*{2}}
            \put( 40,10){\circle*{2}}
            \put( 60,20){\circle*{2}}
            \put( 80,30){\circle*{2}}
            \put(100,10){\circle*{2}}
            \put(120,23){\circle*{2}}
            \put(140,10){\circle*{2}}
            \put(160,30){\circle*{4}}

            \put(  0, 0){\vector( 2, 3){19}}
            \put( 20,30){\vector( 1,-1){19}}
            \put( 40,10){\vector( 2, 1){19}}
            \put( 80,30){\vector(-2,-1){19}}
            \put( 80,30){\vector( 1,-1){19}}
            \put(100,10){\vector( 3, 2){19}}
            \put(140,10){\vector(-3, 2){19}}
            \put(140,10){\vector( 1, 1){19}}

            \put( -5, 5){\makebox(0,0){\scriptsize $s$}}
            \put(165,35){\makebox(0,0){\scriptsize $t$}}

            \put( 50, 6){\qbezier[8](0,0)(0,4)(0, 8){}}
            \put( 50, 0){\makebox(0,0){\scriptsize\sf Vorw\"artskante}}
            \put(130, 6){\qbezier[8](0,0)(0,4)(0, 8){}}
            \put(130, 0){\makebox(0,0){\scriptsize\sf R\"uckw\"artskante}}
          \end{picture}
          \caption{Zunehmender Weg}
        \end{figure}

      \subsubsection{Augmenting Path Theorem}
        Ein Fluss $f$ in einem Flussnetzwerk ist genau dann ein
        maximaler Fluss, wenn bez\"uglich $f$ kein zunehmender Weg
        existiert.

        \paragraph{Beweisskizze:} $\Longrightarrow$: Beweis mit
        Kontraposition. Sei $W$ ein zunehmender Weg bez\"uglich $f$. Dann
        kann der Flusswert $\phi(f)$ entlang $W$ um das Minimum folgender
        Werte gesteigert werden:
        $$\{c(e) - f(w) \mid e \mbox{ Vorw\"artskante in $W$ } \} \;\cup\;
        \{f(e) \mid  e \mbox{ R\"uckw\"artskante in $W$ } \}$$

        $\Longleftarrow$: Es gebe keinen zunehmenden Weg bez\"uglich $f$.
        Werde definiert:

        % Seite 60
        $S := \{v \in V \mid \mbox{es gibt einen zunehmenden Weg von $s$
        nach $v$}\}$, $T:=V \setminus S$

        Es gilt $s \in S$ und, nach Voraussetzung, $t \in T$. Die Kanten
        zwischen $S$ und $T$ sind \qq{ges\"attigt}:

        \begin{itemize}
          \item{f\"ur jedes $(v,w) \in E$ mit $v \in S$, $w \in T$ gilt
            $f(v,w) = c(v,w)$}
          \item{f\"ur jedes $(w,v) \in E$ mit $w \in T$, $v \in S$ gilt
            $f(w,v) = 0$.}
        \end{itemize}

        % Graph: Minimaler Kantenschnitt.
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(150,50)
            \put( 10,25){\circle*{4}}
            \put( 45,10){\circle*{2}}
            \put( 50,20){\circle*{2}}
            \put( 53,30){\circle*{2}}
            \put( 48,40){\circle*{2}}
            \put( 35,25){\oval(50,40)}

            \put(132,35){\circle*{4}}
            \put( 95,15){\circle*{2}}
            \put( 90,25){\circle*{2}}
            \put( 93,35){\circle*{2}}
            \put(110,25){\oval(50,40)}

            \put( 48,40){\qbezier(0,0)(22,5)(45,-5)}
            \put( 53,30){\qbezier(0,0)(20,-2)(40, 5)}
            \put( 50,20){\qbezier(0,0)(21,0)(43,15)}
            \put( 45,10){\qbezier(0,0)(22,10)(45,15)}
            \put( 45,10){\qbezier(0,0)(25,-5)(50, 5)}

            \put( 75,41){\vector(1,0){0}}
            \put( 70,30){\vector(-1,0){0}}
            \put( 60,20){\vector(1,0){0}}
            \put( 80,21){\vector(1,0){0}}
            \put( 65, 8){\vector(-1,0){0}}

            \put( 71,50){\makebox(0,0){\scriptsize $f(e) = c(e)$}}
            \put( 71, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $f(e) = 0$}}

            \put(  5,25){\makebox(0,0){\small $s$}}
            \put(140,35){\makebox(0,0){\small $t$}}
            \put( 35,25){\makebox(0,0){$S$}}
            \put(110,25){\makebox(0,0){$T$}}
          \end{picture}
          \caption{Minimaler Kantenschnitt}
        \end{figure}

        Also: die Kanten zwischen $S$ und $T$ bilden einen {\em Engpass},
        der eine Flusswertvergr\"o{\ss}erung verhindert. \hfill
        $\square$
        \medskip

        % Seite 61 (Christian Schaeck)
        Der Beweis kann mit Hilfe der Flussregeln {\sf (F1)} und {\sf (F2)}
        streng formal gef\"uhrt werden. Aber das soll hier nicht
        geschehen, auch f\"ur die folgenden \"Uberlegungen nicht:
        Die {\bf Kapazit\"at einer Kantenmenge} $F \subseteq E$ ist
        definiert als
        $$c(F)\colon = \sum_{e \in F} c(e)$$

        Im Fall einer Zerlegung $V = S \; \dot{\cup} \; T$ mit $s \in S$ und $t
        \in T$ (wie auf voriger Seite) werden die Kantenmengen $E_{S
        \rightarrow T}$ und $E_{T \rightarrow S}$ folgenderma{\ss}en
        definiert:
        \begin{eqnarray*}
          E_{S \rightarrow T}\colon = \{ (x,y) \in E \mid x \in S, y \in T \}
            & \quad & \mbox{(Kanten von $S$ nach $T$)} \\
          E_{T \rightarrow S}\colon = \{ (x,y) \in E \mid x \in T, y \in S \}
            & \quad & \mbox{(Kanten von $T$ nach $S$)}
        \end{eqnarray*}

        Intuitiv sollte -- wegen {\sf (F1)} und {\sf (F2)} -- klar sein, dass
        folgendes gilt:

        \paragraph{Lemma:}Sei $f$ ein Fluss und $V = S \; \dot{\cup} \; T$
        mit $s \in S$, $t \in T$. Dann gilt

        $$\phi(f) = \sum_{e \in E_{S \rightarrow T}} f(e) - \sum_{e \in
        E_{T \rightarrow S}} f(e) \leq c(E_{S \rightarrow T})$$

        \index{Trennender Schnitt}
        Insbesondere ist f\"ur jeden Fluss $f$ der Wert $\phi(f)$
        beschr\"ankt durch die Kapazit\"at $c(E_{S \rightarrow T})$ der
        Kantenmenge $E_{S \rightarrow T}$. (Jede solche Kantenmenge wird
        {\bf $s$ und $t$ trennender Schnitt} genannt.)

      \subsubsection{Minimaler Schnitt}
        \index{Minimaler Schnitt}
	\index{Trennender Schnitt}
	\index{Schnitt, minimaler}
	\index{Schnitt, trennender}
        \index{Augmenting Path Theorem}
        Wie in der Beweisskizze des Augmenting Path Theorems
        angedeutet, existiert im Fall eines maximalen Flusses $f$ ein
        $s$ und $t$ {\bf trennender Schnitt} $E_{S \rightarrow T}$ mit $\phi
        (f)=c(E_{S \rightarrow T})$.
        \medskip

        Dieser Schnitt ist ein {\bf minimaler Schnitt}, das hei{\ss}t ein $s$ und
        $t$ trennender Schnitt von minimaler Kapazit\"at (denn sonst w\"are
        $\phi (f)$ durch die Kapazit\"at eines anderen Schnitts
        beschr\"ankt).  Deshalb gilt der ber\"uhmte Satz von L.R. Ford und
        D.R. Fulkerson (1956):

     \subsubsection{Max-Flow Min-Cut Theorem}
        \index{Max-Flow Min-Cut Theorem}
        \paragraph{Satz:}In jedem Flussnetzwerk ist der Wert eines
        maximalen Flusses von Quelle $s$ zur Senke $t$ gleich der
        Kapazit\"at eines minimalen $s$ und $t$ trennenden Schnitts.
        \medskip

        Der Beweis des Augmenting Path Theorems gibt eine Idee f\"ur
        einen Algorithmus zum Auffinden maximaler Fl\"usse und minimaler
        Schnitte.

        \paragraph{Skizze eines Algorithmus:}Sei ein Fluss $f$ von $s$ nach
        $t$ gegeben ($f(e)=0$ f\"ur alle $e \in E$ ist m\"oglich):

        \begin{enumerate}
         \item{Falls es keinen zunehmenden Weg von $s$ nach $t$ gibt, dann
           STOP. Sonst weiter mit 2.}
         \item{Sei $(v_0, v_1, \cdots , v_k)$ ein zunehmender Weg bzgl. $f$.
           Setze

           $z := \min(\{ c(v_{i-1}, v_i) - f(v_{i-1}, v_i)
           \mid (v_{i-1},v_i) $Vorw\"artskante$ \} \; \cup$

           $\quad \{f(v_i,v_{i-1}) \mid (v_i,v_{i-1}) $R\"uckw\"artskante$\})$

           Sei

           $f(v_{i-1}, v_i)\colon = f(v_{i-1}, v_i)+z$
           f\"ur jede Vorw\"artskante und

           $f(v_i,v_{i-1})\colon = f(v_i,v_{i-1})-z$
           f\"ur jede R\"uckw\"artskante. Weiter mit (1).}
        \end{enumerate}
        \bigskip

        % Seite 63

        Wie findet man zunehmende Wege? Dies gelingt schrittweise, indem
        jede Ecke $y$ eines zunehmenden Weges mit drei Werten $v(y)$,
        $r(y)$, $z(y)$ {\bf markiert} wird:
        \medskip

        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          {\bf $v(y)$} & Vorg\"anger von $y$ im zunehmenden Weg,\\
          {\bf $r(y)$} & Richtung der Kante von $v(y)$ nach $y$:
            $r(y)=\rightarrow$ f\"ur Vorw\"artskante, $r(y)=\leftarrow$
            f\"ur R\"uckw\"artskante, \\
          {\bf $z(y)$} & m\"oglicher zus\"atzlicher Flusswert von
            $s$ nach $y$.
        \end{tabular}

      \subsubsection{Markierungs-Algorithmus (Ford-Fulkerson)}
        \index{Ford-Fulkerson}
	\index{Algorithmus, Ford-Fulkerson}
	\index{Markierungsalgorithmus}
	\index{Algorithmus, Markierungs-}
        Sei ein Flussnetzwerk, bestehend aus einem Digraphen $G$ und
        einer Kapazit\"atsfunktion $c$ mit Quelle $s$ und Senke $t$,
        gegeben. Sei $f$ ein Fluss auf diesem Netzwerk.

        %\begin{algorithm}
        %  \al $S \leftarrow \{s\},\; R \leftarrow \{s\},\; z(s) 
        %      \leftarrow \infty,$ 
        %  \al for $x \in R$ do
        %  \al \quad $R \leftarrow R \setminus \{x\},$
        %  \al \quad for $y \in \{y' \in V \setminus S \mid (x, y') \in E 
        %      \wedge f(x, y') < c(x, y')\}$ do
        %  \al \quad\quad $S \leftarrow S \cup \{y\},\; 
        %      R \leftarrow R \cup \{y\},$
        %  \al \quad\quad $v(y) \leftarrow x,\; r(y) \leftarrow [\Rightarrow],\;
        %      z(y) \leftarrow \min\{c(x, y) - f(x, y), z(x)\},$
        %  \al \quad end,
        %  \al \quad for $y \in \{y' \in V \setminus S \mid (y', x) \in E 
        %      \wedge f(x, y') > 0\}$ do
        %  \al \quad\quad $S \leftarrow S \cup \{y\},\; 
        %      R \leftarrow R \cup \{y\},$
        %  \al \quad\quad $v(y) \leftarrow x,\; r(y) \leftarrow [\Leftarrow],\;
        %      z(y) \leftarrow \min\{f(y, x), z(x)\},$
        %  \al \quad end,
        %  \al ???
        %  \al $z \leftarrow z(t),\; y \leftarrow t,$
        %  \al while $y \ne s$ do
        %  \al \quad if $r(y) = [\Rightarrow]$ then
        %  \al \quad \quad $f(v(y), y) \leftarrow f(v(y), y) + z,$
        %  \al \quad end,
        %  \al \quad \quad if $r(y) = [\Leftarrow]$ then
        %  \al \quad \quad $f(y, v(y)) \leftarrow f(y, v(y)) - z,$
        %  \al \quad end,
        %  \al \quad $y \leftarrow v(y),$
        %  \al end,
        %  \al ???
        %\end{algorithm}
        
        \begin{algorithm}
	  \item Setze $S\colon=\{s\}$, $R\colon=\{s\}$,
            $z(s)\colon=\infty$.
          \item W\"ahle eine Ecke $x \in R$. Setze $R:=R\setminus \{x\}$.
          \item F\"uge jede Ecke $y\in V\setminus S$ mit $(x,y)\in E$ und
            $f(x,y)<c(x,y)$ zu $S$ und zu $R$ hinzu und setze
	    $v(y)\colon=x$, $r(y)\colon=\rightarrow$,
            $z(y)\colon=min\{c(x,y)-f(x,y),z(x)\}$.
          \item F\"uge jede Ecke $y \in V \setminus S$ mit $(y,x)\in E$ und
            $f(x,y)>0$ zu $S$ und zu $R$ hinzu und setze:
	    $v(y)\colon=x$, $r(y)\colon=\leftarrow$,
            $z(y)\colon=min\{f(y,x),z(x)\}$.
          \item Falls $R=\emptyset$, dann {\tt STOP}. Falls $t \in S$,
	    dann weiter mit {\sf (6)}. Sonst weiter mit {\sf (2)}.
          \item Setze $z\colon=z(t)$, $y\colon=t$.
          \item Falls $r(y)=\rightarrow$, setze $f(v(y),y)\colon=f(v(y),y)+z$.
            Falls $r(y)=\leftarrow$, setze $f(y,v(y))\colon=f(y,v(y))-z$.
          \item Setze $y\colon=v(y)$. Falls $y=s$, weiter mit {\sf (1)}.
            Sonst weiter mit {\sf (7)}.
        \end{algorithm}
        \medskip

        Die Menge $S$ besteht jeweils aus den Ecken, zu denen von $s$ aus
        ein zunehmender Weg gefunden wurde, und $R$ besteht aus denjenigen
        Ecken in $S$, die noch nicht benutzt wurden, um l\"angere zunehmende
        Wege zu erhalten. Im Fall $R=\emptyset$ gibt es keine weiteren
        zunehmenden Wege, das hei{\ss}t der bis dahin gefundene Fluss $f$ ist
        maximal.
        \medskip

        Falls alle Kapazit\"aten ganzzahlig sind, $c(e)\in \Z$ f\"ur alle
        $e\in E$, dann terminiert der Algorithmus (da alle
        Flusszuw\"achse ganzzahlig sind). Also wird der STOP-Befehl in
        Zeile $(5)$ erreicht. Dasselbe gilt, falls alle Kapazit\"aten
        rationale Zahlen sind, $c(e) \in \Q$.

        \paragraph{Satz:}F\"ur jedes Flussnetzwerk mit rationalen
        Kapazit\"atswerten berechnet der Markierungsalgorithmus einen
        maximalen Fluss $f$ und eine Eckenmenge $S$, so dass (mit
        $T\colon = V \setminus S$) $E_{S\rightarrow T}$ ein minimaler $s$
        und $t$ trennender Schnitt ist.

      \subsubsection*{Bemerkungen}
        \begin{itemize}
          \item[(a)]{Im Fall von irrationalen Kapazit\"atswerten kann es
            vorkommen, dass der Algorithmus unendlich viele
            Flusszunahmen berechnet, also nie stoppt (und
            m\"oglicherweise nicht einmal in die N\"ahe eines maximalen
            Flusses kommt).}

          \item[(b)]{Selbst f\"ur ganzzahlige Kapazit\"aten ist die
            Komplexit\"at des Markierungsalgorithmus nicht polynomial in
            $n=|V|$ oder $m=|E|$, da die Anzahl der Schritte von der
            Kapazit\"atsfunktion $c$ abh\"angen kann. Zeile $(2)$ im
            Algorithmus ist sehr unklar formuliert. Organisiert man in
            $(2)$ die Reihenfolge, in der die Ecken ausgew\"ahlt werden,
            wie im Algorithmus von Moore (Seite \pageref{S49MooreAlgo}), also
            nach dem Schema \qq{breadth first search}, dann wird
            Komplexit\"at $O(nm^2)$ erreicht.} Dies wurde 1992 von {\em
            Edmonds und Karp} gezeigt. Mit noch weiter entwickelten
	    Methoden (zum Beispiel von {\em Sleator und Tarjan}) kann man
	    sogar Komplexit\"at $O(nm \log n)$ eingehalten werden.
        \end{itemize}

        \paragraph{Beispiel:}Es wird der Markierungsalgorithmus auf den
        Fluss auf Seite \pageref{S58Network} angewandt. Dieser hatte
        den Flusswert $\phi(f) = 7$. Es ergibt sich ein minimaler Schnitt
        mit $S = \{s, a, b, d, e\}$ und $T = \{c, t\}$. Damit ist der Fluss
        $f$ maximal mit $\phi(f) = 9$.
        \medskip

        % Graph: Markierungsalgorithmus.
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(300,160)
            % Netzgraph definieren.
            \def\Network{
              \put(  0, 5){\circle*{2}}
              \put(  0,45){\circle*{2}}
              \put( 40, 5){\circle*{2}}
              \put( 40,45){\circle*{2}}
              \put( 80, 5){\circle*{2}}
              \put( 80,45){\circle*{2}}
              \put( 60,55){\circle*{2}}

              \put(  0, 5){\line( 0, 1){40}}
              \put(  0,45){\line( 1, 0){80}}
              \put(  0, 5){\line( 1, 1){40}}
              \put(  0, 5){\qbezier(0,0)(20,10)(40,0)}
              \put(  0, 5){\qbezier(0,0)(20,-10)(40,0)}
              \put( 40, 5){\line( 0, 1){40}}
              \put( 40, 5){\line( 1, 0){40}}
              \put( 40,45){\line( 1,-1){40}}
              \put( 80, 5){\line( 0, 1){40}}
              \put( 40,45){\line( 2, 1){20}}
              \put( 80,45){\line(-2, 1){20}}

              \put( 20,10){\vector(-1, 0){2}}
              \put( 20, 0){\vector( 1, 0){2}}
              \put( 20,45){\vector( 1, 0){2}}
              \put( 22,27){\vector( 1, 1){0}}
              \put( 60, 5){\vector( 1, 0){2}}
              \put( 60,45){\vector(-1, 0){2}}
              \put( 62,23){\vector( 1,-1){0}}
              \put(  0,25){\vector( 0,-1){2}}
              \put( 40,25){\vector( 0,-1){2}}
              \put( 80,25){\vector( 0,-1){2}}
              \put( 52,51){\vector( 2, 1){0}}
              \put( 72,49){\vector( 2,-1){0}}

              \put(  0,49){\makebox(0,0){\scriptsize $s$}}
              \put( 80, 1){\makebox(0,0){\scriptsize $t$}}
              \put( 40,49){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
              \put( 60,60){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
              \put( 80,49){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
              \put(  0, 1){\makebox(0,0){\scriptsize $d$}}
              \put( 40, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $e$}}
            }

            % Ausgangssituation.
            \put(  0, 90){
              \put(  0,60){\makebox(100,20)[l]{\sf\small Ausgangssituation:}}
              \put(  0, 0){\Network}

              \put( 20,49){\makebox(0,0){\tiny $5(5)$}}
              \put( -8,20){\makebox(0,0){\tiny $2(7)$}}
              \put( 48,20){\makebox(0,0){\tiny $2(4)$}}
              \put( 89,20){\makebox(0,0){\tiny $2(7)$}}
              \put( 60, 0){\makebox(0,0){\tiny $2(2)$}}
              \put( 20,-5){\makebox(0,0){\tiny $0(4)$}}
              \put( 20,14){\makebox(0,0){\tiny $0(4)$}}
              \put( 48,56){\makebox(0,0){\tiny $3(5)$}}
              \put( 72,56){\makebox(0,0){\tiny $3(4)$}}
              \put( 60,40){\makebox(0,0){\tiny $1(2)$}}
              \put( 18,30){\makebox(0,0){\tiny $2(3)$}}
              \put( 65,30){\makebox(0,0){\tiny $3(3)$}}

              \put(118,30){\makebox(0,0){\small$\phi(f) = 7$}}
            }

            % Erste Flussaenderung.
            \put(170, 90){
              \put(  0,60){\makebox(100,20)[l]{\sf\small
                Erste Fluss\"anderung:}}
              \thicklines
              \put(  0, 5){\line( 0, 1){40}}
              \put(  0, 5){\line( 1, 1){40}}
              \put( 40,45){\line( 1, 0){40}}
              \put( 80, 5){\line( 0, 1){40}}
              \thinlines
              \put(  0, 0){\Network}

              \put( 20,49){\makebox(0,0){\tiny $5(5)$}}
              \put( 48,20){\makebox(0,0){\tiny $2(4)$}}
              \put( 60, 0){\makebox(0,0){\tiny $2(2)$}}
              \put( 20,-5){\makebox(0,0){\tiny $0(4)$}}
              \put( 20,14){\makebox(0,0){\tiny $0(4)$}}
              \put( 48,56){\makebox(0,0){\tiny $3(5)$}}
              \put( 72,56){\makebox(0,0){\tiny $3(4)$}}
              \put( 65,30){\makebox(0,0){\tiny $3(3)$}}
              \put( -8,20){\makebox(0,0){\tiny $3(7)$}}
              \put( 18,30){\makebox(0,0){\tiny $3(3)$}}
              \put( 60,40){\makebox(0,0){\tiny $0(2)$}}
              \put( 89,20){\makebox(0,0){\tiny $3(7)$}}

              \put(118,38){\makebox(0,0){\tiny \begin{tabular}{c|ccc}
                      & $v \;\: r \:\; z$ \\\hline
                  $s$ & $\phantom{a \leftarrow} \infty$ \\
                  $a$ & $d \rightarrow 1$ \\
                  $b$ & $a \rightarrow 1$ \\
                  $c$ & $a \leftarrow  1$ \\
                  $d$ & $s \rightarrow 5$ \\
                  $e$ & $d \rightarrow 4$ \\
                  $t$ & $c \rightarrow 1$
                \end{tabular}}}
              \put(118,0){\makebox(0,0){\small$\phi(f) = 8$}}
            }

            % Zweite Flussaenderung.
            \put(  0,  0){
              \put(  0,60){\makebox(100,20)[l]{\sf\small
                Zweite Fluss\"anderung:}}
              \thicklines
              \put(  0, 5){\line( 0, 1){40}}
              \put(  0, 5){\qbezier(0,0)(20,-10)(40,0)}
              \put( 40, 5){\line( 0, 1){40}}
              \put( 40,45){\line( 2, 1){20}}
              \put( 80,45){\line(-2, 1){20}}
              \put( 80, 5){\line( 0, 1){40}}
              \thinlines
              \put(  0, 0){\Network}

              \put( 20,49){\makebox(0,0){\tiny $5(5)$}}
              \put( -8,20){\makebox(0,0){\tiny $4(7)$}}
              \put( 48,20){\makebox(0,0){\tiny $1(4)$}}
              \put( 89,20){\makebox(0,0){\tiny $4(7)$}}
              \put( 60, 0){\makebox(0,0){\tiny $0(2)$}}
              \put( 20,-5){\makebox(0,0){\tiny $1(4)$}}
              \put( 20,14){\makebox(0,0){\tiny $0(4)$}}
              \put( 48,56){\makebox(0,0){\tiny $4(5)$}}
              \put( 72,56){\makebox(0,0){\tiny $4(4)$}}
              \put( 60,40){\makebox(0,0){\tiny $1(2)$}}
              \put( 18,30){\makebox(0,0){\tiny $3(3)$}}
              \put( 65,30){\makebox(0,0){\tiny $3(3)$}}

              \put(118,38){\makebox(0,0){\tiny \begin{tabular}{c|ccc}
                      & $v \;\: r \:\; z$ \\\hline
                  $s$ & $\phantom{a \leftarrow} \infty$ \\
                  $a$ & $e \leftarrow 2$ \\
                  $b$ & $a \rightarrow 2$ \\
                  $c$ & $b \rightarrow 1$ \\
                  $d$ & $s \rightarrow 4$ \\
                  $e$ & $d \rightarrow 4$ \\
                  $t$ & $c \rightarrow 1$
                \end{tabular}}}
              \put(118,0){\makebox(0,0){\small$\phi(f) = 9$}}
            }

            % Minimaler Schnitt/Maximaler Fluss.
            \put(170,  0){
              \put(  0,60){\makebox(100,20)[l]{\sf\small
                Minimaler Schnitt/Maximaler Fluss:}}
              \put(  0, 0){\Network}

              \put( 80,-5){\qbezier[50](0,0)(-15,30)(0,60)}

              \put( 20,49){\makebox(0,0){\tiny $5(5)$}}
              \put( -8,20){\makebox(0,0){\tiny $4(7)$}}
              \put( 48,20){\makebox(0,0){\tiny $1(4)$}}
              \put( 89,20){\makebox(0,0){\tiny $4(7)$}}
              \put( 60, 0){\makebox(0,0){\tiny $0(2)$}}
              \put( 20,-5){\makebox(0,0){\tiny $1(4)$}}
              \put( 20,14){\makebox(0,0){\tiny $0(4)$}}
              \put( 48,56){\makebox(0,0){\tiny $4(5)$}}
              \put( 72,56){\makebox(0,0){\tiny $4(4)$}}
              \put( 60,40){\makebox(0,0){\tiny $1(2)$}}
              \put( 18,30){\makebox(0,0){\tiny $3(3)$}}
              \put( 65,30){\makebox(0,0){\tiny $3(3)$}}

              \put(118,38){\makebox(0,0){\tiny \begin{tabular}{c|ccc}
                      & $v \;\: r \:\; z$ \\\hline
                  $s$ & $\phantom{a \leftarrow} \infty$ \\
                  $a$ & $d \rightarrow 1$ \\
                  $b$ & $a \rightarrow 1$ \\
                  $c$ & \\
                  $d$ & $s \rightarrow 5$ \\
                  $e$ & $d \rightarrow 4$ \\
                  $t$
                \end{tabular}}}
              \put(118, 0){\makebox(0,0){\small$\phi(f) = 9$}}
            }
          \end{picture}
          \caption{Markierungsalgorithmus}
        \end{figure}

        Es gibt unz\"ahlige Anwendungen des Markierungsalgorithmus und des
        darauffolgenden Satzes. Beides kann auf viele Situationen
        angepasst werden, beispielsweise

        \begin{itemize}
          \item{auf Flussnetzwerke mit mehreren Quellen und
            Senken,}
          \item{auf Flussnetzwerke mit zus\"atzlichen
            Kapazit\"atsbeschr\"ankungen in Ecken,}
          \item{auf Flussnetzwerke mit Gewinnen und Verlusten in
            den Ecken,}
        \end{itemize}

        und auf vieles mehr.

    \subsection{Gruppen und Permutationen}
      Im Rest dieses Kapitels werden \qq{Symmetrien von Graphen} und das
      Z\"ahlen gewisser Objekte \qq{bis auf Symmetrie} behandelt. Die
      mathematische Betrachtung von {\bf Symmetrie} f\"uhrt direkt zum
      Begriff \qq{{\bf Permutationsgruppe}}. Damit wird - nebenbei - der
      \"Ubergang zum n\"achsten Kapitel \"uber {\bf algebraische
      Strukturen} vorbereitet. Aber zuerst einige gruppentheoretische
      Grundbegriffe:

      \subsubsection{Gruppen}
        \index{Gruppe}
        \index{Gruppe, abelsche}
        \index{Gruppe, kommutative}
        \index{Kommutative Gruppe}
        \index{Abelsche Gruppe}
        \paragraph{Definition:}Eine Gruppe ist ein Paar $(G,\cdot)$,
        bestehend aus einer nichtleeren Menge $G$ sowie einer zweistelligen
        Operation $\cdot$ auf $G$ (das hei{\ss}t eine Abbildung $G\times G
        \rightarrow G$, $(x,y)\mapsto x \cdot y$), so dass folgende Regeln
        erf\"ullt sind:
        \bigskip

        \begin{tabular}{lll}
          (ass) & $\forall x,y,z\in G\colon (x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot
            z)$ & {\bf Assoziativit\"at},\\
          (neu) & $\exists e\in G\forall x\in G\colon e\cdot x = x = x\cdot e$
            & {\bf neutrales Element},\\
          (inv) & $\forall x\in G \exists x^{-1}\in G\colon x\cdot x^{-1}=e=
            x^{-1}\cdot x$ & {\bf inverse Elemente}.\\
        \end{tabular}
        \bigskip

        Gilt au{\ss}erdem noch
        \bigskip

        \begin{tabular}{lll}
          (kom)& $\forall x,y\in G\colon x\cdot y = y\cdot x$
            & {\bf Kommutativit\"at},\\
        \end{tabular}
        \bigskip

        so spricht man von einer {\bf abelschen} (oder {\bf kommutativen})
        {\bf Gruppe}.

      \subsubsection*{Bemerkungen}
        \begin{itemize}
          \item[(a)]{Anstelle von $x\cdot y$ wird oft auch einfach $xy$
            geschrieben.}
          \item[(b)]{Man kann leicht zeigen, dass das neutrale Element
            $e$ einer Gruppe eindeutig bestimmt ist, das hei{\ss}t es kann
            nicht zwei verschiedene solche Elemente geben. Regel (inv)
            bezieht sich auf das (eindeutig bestimmte) neutrale Element
            $e$. F\"ur jedes $x\in G$ ist das inverse Element $x^{-1}$
            ebenfalls eindeutig bestimmt.}
          \item[(c)]{In abelschen Gruppen wird oft $+,-,0$ anstelle von
            $\cdot ,^{-1},e$ geschrieben ({\bf additive Schreibweise}).}
        \end{itemize}

      \subsubsection*{Beispiele}
        \begin{itemize}
          \item[(a)]{$(\Z,+)$, $(\Q,+)$, $(\Q \setminus \{ 0\},\cdot)$ sind
            abelsche Gruppe. Hingegen sind
            $(\Z,\cdot)$, $(\Q,\cdot)$, $(\N,\cdot)$ und $(\N,+)$ keine
            Gruppen. F\"ur jedes $n\in \N$ ist $(\Z_n,+)$ eine abelsche
            Gruppe (auf der Grundmenge $\Z_n=\{0,1,\ldots ,n-1\}$ wird
            \qq{{\bf modulo $n$}} gerechnet).}

          \item[(b)]{Die folgende {\bf Verkn\"upfungstafel} definiert eine
              Gruppenoperation auf der Grundmenge $G=\{e,s,t,u,v,w\}$:
              \medskip
              \begin{center}
              \begin{tabular}{c|cccccc}
                $\cdot $ & $e$ & $s$ & $t$ & $u$ & $v$ & $w$ \\ \hline
                $e$ & $e$ & $s$ & $t$ & $u$ & $v$ & $w$ \\
                $s$ & $s$ & $e$ & $w$ & $v$ & $u$ & $t$ \\
                $t$ & $t$ & $v$ & $e$ & $w$ & $s$ & $u$ \\
                $u$ & $u$ & $w$ & $v$ & $e$ & $t$ & $s$ \\
                $v$ & $v$ & $t$ & $u$ & $s$ & $w$ & $e$ \\
                $w$ & $w$ & $u$ & $s$ & $t$ & $e$ & $v$
              \end{tabular}
	      \end{center}}

          \item[(c)]{Eine Permutation auf einer Menge $A$ ist eine bijektive
            Abbildung $f\colon A\rightarrow A$. Die Menge aller
            Permutationen auf $A$ wird mit $S_A$ bezeichnet. (Im Fall
            $|A|=n$ schreibt man auch $S_n$.) F\"ur zwei Permutationen
            $f,g$ auf $A$ ist die {\bf Verkettung} (Komposition,
            Hintereinanderausf\"uhrung) $f\circ g$ definiert durch
            $$(f\circ g) (x) \colon = f(g(x))$$

            f\"ur alle $x\in A$. F\"ur jede Menge $A$ ist $(S_A,\circ)$
            eine Gruppe (die {\bf symmetrische Gruppe} auf $A$).}
        \end{itemize}

        % Seite 69 (Simon Fuhrmann)
        \index{Untergruppe}
        \paragraph{Definition:}Ist $(G,\cdot)$ eine Gruppe und $H$ eine
        Teilmenge von $G$, die mit der auf $G$ erkl\"arten
        Gruppenoperation selbst eine Gruppe darstellt, dann nennt man $H$
        eine {\bf Untergruppe} von $G$ (in Zeichen: $H \leqslant G$).

        \paragraph{Bemerkungen:} Offenbar ist $H$ genau dann eine
        Untergruppe von $G$, wenn folgendes gilt:
        \bigskip

        \begin{tabular} {ll}
          (1) & $H$ ist nicht leer, \\
          (2) & f\"ur alle $a,b \in H$ gilt $ab \in H$, \\
          (3) & f\"ur alle $a \in H$ gilt $a^{-1} \in H$
        \end{tabular}
        \bigskip

        Man m\"usste $H$ eigentlich genauer die \qq{Grundmenge einer
        Untergruppe} nennen; die Untergruppe selbst ist das Paar $(H,
        \cdot)$, wobei man die Gruppenoperation \qq{$\cdot$} auf
	$H$ eingesch\"antkt betrachten muss.
        \medskip

      \subsubsection{Links- und Rechtsnebenklassen}
        \index{Linksnebenklasse}
        \index{Rechtsnebenklasse}
        Sei $H$ eine Untergruppe von $G$. F\"ur jedes $g \in G$ ist die
        {\bf Linksnebenklasse} von $g$ als die Menge $gH := \{gh \mid h \in
        H\}$ definiert. (Entsprechend nennt man $Hg := \{hg \mid h \in H\}$
        die {\bf Rechtsnebenklasse} von $g$.) Die Menge aller
        Linksnebenklassen der Untergruppe $H$ wird mit $G/H$ bezeichnet.
        F\"ur je zwei Elemente $g_1, g_2 \in G$ gilt entweder $g_1H = g_2H$
        oder $g_1H \cap g_2H = \emptyset$. Die Linksnebenklassen bilden
        also eine {\bf disjunktive \"Uberdeckung} der Menge $G$.
        Au{\ss}erdem sind die Linksnebenklassen alle gleich gro{\ss}, f\"ur
        alle $g \in G$ gilt $|gH| = |H|$. Eine bijektive Abbildung von $H$
        auf $gH$ wird gegeben durch $h \longrightarrow gh$. Es folgt:

      \subsubsection{Satz von Lagrange}
        \index{Lagrange}
        \paragraph{Satz:}Sei $G$ eine endliche Gruppe und $H$ eine
        Untergruppe von $G$. Dann gilt:
        $$|H| \; \big| \; |G|$$

	\index{Ordung einer Menge}
	\index{Menge, Ordnung}
	Die {\bf Ordung} (das hei{\ss}t die Anzahl der Elemente) der
	Untergruppe $H$ teilt also die Ordnung von $G$.
        \medskip

	\index{Zyklische Untergruppe}
	\index{Untergruppe, zyklische}
        Die Ordnung eines Elementes $a \in G$ ist definiert als die Zahl
        $k$ mit $a^k = e$. (Wenn eine solche Zahl nicht existiert, dann
        setzt man $\ord(a) = \infty$.) F\"ur jedes Element $a \in G$ ist
        offenbar $\langle a \rangle := \{a^i \mid i \in \Z \}$ die kleinste
        Untergruppe von $G$, die $a$ enth\"alt (die von $a$ erzeugte
        Untergruppe, solche von einem Element erzeugten Untergruppen werden
        {\bf zyklisch} genannt). Wenn die Ordnung von $a$ endlich ist, dann
        hat die Untergruppe $\langle a \rangle$ genau $\ord(a)$ Elemente,
        n\"amlich $a, a^2, \dots, a^{\ord(a)}$. Mit dem Satz von Lagrange
        folgt hieraus Teil (a) des Korollars. Die Teile (b) und (c) sind
        dann klar:

        \paragraph{Korollar:} F\"ur jedes Element $a$ einer endlichen
        Gruppe $G$ gilt
        $$\ord(a) \;\; \big| \;\; |G|$$

        F\"ur jedes Gruppenelement $a$ einer endlicher Ordnung und jede
        Zahl $k \in \Z$ gilt
        $$a^k = e \quad \Longleftrightarrow \quad \ord(a) \mid k$$

        F\"ur jedes Element $a$ einer endlichen Gruppe $G$ gilt
        $$a^{|G|} = e$$

        Im Rest des Kapitels richtet sich das Interesse auf
        Permutationsgruppen:

      \subsubsection{Permutationsgruppen}
	\index{Grad einer Permutationsgruppe}
	\index{Permutationsgruppe, Grad}
        \paragraph{Definition:} Sei $A$ eine Menge. Jede Untergruppe $G$
        der symmetrischen Gruppe $S_A$ hei{\ss}t {\bf Permutationsgruppe} auf
        $A$. ($S_A$ ist die Menge aller bijektiven Abbildungen $A
	\longrightarrow A$.) Der Anzahl $|A|$ der Elemente von $A$ wird der
	{\bf Grad} der Permutationsgruppe $G$ genannt.
        \medskip

        Eine Permutationsgruppe auf $A$ ist also eine nicht leere Menge von
        Permutationen der Menge $A$, die gegen Verkettung und
        Inversenbildung abgeschlossen ist. Klar ist:

        \paragraph{Bemerkungen:}F\"ur alle $n \in \N$ gilt $|S_n| =
        n!$.

        F\"ur jede Permutationsgruppe $G$ auf $A$ von Grad $n$ (also
        mit $|A| = n$) gilt
        $$|G| \; \big| \; n!$$

        Es gibt verschiedene M\"oglichkeiten, Permutationen darzustellen.
        Eine M\"oglichkeit sind Wertetabellen, zum Beispiel:
        \label{S71Permutationen}
        \begin{eqnarray*}
          & f = \left( \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
           0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
           0 & 5 & 8 & 6 & 1 & 4 & 7 & 3 & 9 & 2
           \end{tabular} \right) \\
          &  g =  \left( \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
           0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
           0 & 1 & 6 & 8 & 5 & 4 & 2 & 9 & 3 & 7
           \end{tabular} \right)
        \end{eqnarray*}

        Als Produkt ziffernfremder Zyklen (kurz: {\bf Zyklendarstellung})
        schreibt man $f$ und $g$ als
        $$f = (154)(289)(367), \qquad g = (26)(38)(45)(79).$$

        Hierbei steht zum Beispiel $(145)$ f\"ur die Permutation, die $1$
        auf $5$, $5$ auf $4$, $4$ auf $1$ abbildet. Solche Permutationen
        hei{\ss}en {\bf Zyklen}, und jede Permutation (auf endlicher
        Grundmenge $A$) ist ein Produkt von endlichen Zyklen.

        \index{Bahn}
        \index{Orbit}
        \index{Stabilisator}
        \index{Standuntergruppe}
        \paragraph{Definition:} Die Permutationsgruppe $G$ operiere auf
        $A$, und es sei $a \in A$. Die Menge
        $$ a^G := \{g(a) \mid g \in G\}$$

        hei{\ss}t {\bf Bahn} (oder {\bf Orbit}) von $a$ unter $G$. Der {\bf
        Stabilisator} (oder die {\bf Standuntergruppe}) von $a$ in $G$ ist
        $$G_a := \{g \in G \mid g(a) = a \}$$

        Allgemeiner definiert man den Stabilisator einer Teilmenge $B
        \subseteq A$ als
        $$G_B := \{g \in G \mid \forall b \in B: g(b) = b\}$$

        Im Fall $B = \{b_1, \dots, b_n\}$ wird statt $G_B$ auch $G_{b_1
        \dots b_n}$ geschrieben.
        \medskip

        Die Bahn von $a$ besteht also aus den Elementen von $A$, zu denen
        man von $a$ aus durch Anwendung von Permutationen aus $G$ gelangen
        kann. Wenn es nur eine einzige Bahn gibt, das hei{\ss}t im Fall $a^G =
        A$, dann nennt man $G$ transitiv. Der Stabilisator von $a$ ist
        selbst eine Permutationsgruppe, also eine Untergruppe von $G$. Die
        n\"achsten beiden Lemmata sind von gr\"o{\ss}ter Bedeutung:

        \paragraph{Lemma:}F\"ur jede Permutationsgruppe $G$ auf $A$ und
        jedes $a \in A$ gilt:
        \label{S72Lemma}
        $$|G| = |a^G| \cdot |G_a|$$

        % Seite 73

        \paragraph{Beweis:}F\"ur $f,g \in G$ gilt genau dann $f(a) = g(a)$,
        wenn $(g^{-1}f)(a) = a$ gilt. Dies ist \"aquivalent zu $(g^{-1}f
        \in G_a)$, was auch als $f \in gG_a$ geschrieben werden kann. Also
        entspricht jedes Element von $a^G$ genau einer Linksnebenklasse
        $gG_a$ von $G_a$ in $G$. Bekanntlich gibt es genau $|G|/|G_a|$
        solcher Nebenklassen. Es folgt $|a^G| = |G|/|G_a|$.
        \medskip

        Bei n\"aherer Betrachtung dieses Beweises erh\"alt man,
        zus\"atzlich zur Bestimmung der Anzahl der Elemente von $G$,
        folgende n\"ahere Beschreibung der Elemente von $G$:

        \label{S73Lemma}
        \paragraph{Lemma:}Die Bahn $a^G$ bestehe aus genau $k$
        verschiedenen Elementen $a_1$, $\dots$, $a_k$, und f\"ur jedes dieser
        Elemete sei $g_i$ eine Permutation $g_i \in G$ mit $g_i(a) = a_i$.
        Dann l\"asst sich jedes $g \in G$ in genau einer Weise in der Form
        $g = g_ih$ mit $i \in \{1, \dots, k\}$ und $h \in G_a$ darstellen.

        \paragraph{Beweis:}$G$ ist die disjunktive Vereinigung der
        Linksnebenklassen $g_1G_a$, $\dots$, $g_kG_a$. \hfill $\square$
        \medskip

        Im n\"achsten Abschnitt folgen Anwendungsbeispiele!

    \subsection{Symmetrien von Graphen}
      Die Symmetrien dieses Abschnitts sind nichts als die Automorphismen
      von Graphen:

      \subsubsection{Automorphismen}
        \index{Automorphismus}
        \paragraph{Definition:}Ein {\bf Automorphismus} eines Graphen
        $\Gamma = (V,E)$ ist eine bijektive Abbildung $\alpha\colon V
        \longrightarrow V$, so dass f\"ur alle $x,y \in V$ folgendes gilt:
        $$\{x,y\} \in E \quad \Longleftrightarrow \quad \{\alpha(x),
        \alpha(y)\} \in E$$

        Ein Automorphismus von $\Gamma$ ist also ein Isomorphismus von
        $\Gamma$ auf sich selbst.

        \paragraph{Anmerkung:} Graphen werden jetzt mit $\Gamma$
        bezeichnet, zur Unterscheidung von Gruppen.

        \paragraph{Beispiel:}
	\index{Petersengraph}
	Die Permutation $f$ und $g$ von Seite
        \pageref{S71Permutationen} sind Automorphismen des {\bf
        Petersengraphen}, wenn man die Ecken so bezeichnet wie in der
        Skizze.

        % Graph: Petersengraph.
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(60,50)
            \put( 30,50){\circle*{2}}
            \put( 35,55){\makebox(0,0){\scriptsize $0$}}
            \put( 60,30){\circle*{2}}
            \put( 68,32){\makebox(0,0){\scriptsize $4$}}
            \put( 47, 0){\circle*{2}}
            \put( 50,-7){\makebox(0,0){\scriptsize $3$}}
            \put( 13, 0){\circle*{2}}
            \put( 10,-7){\makebox(0,0){\scriptsize $2$}}
            \put(  0,30){\circle*{2}}
            \put( -8,32){\makebox(0,0){\scriptsize $1$}}

            \put( 30,50){\line(-3,-2){30}}
            \put( 30,50){\line( 3,-2){30}}
            \put( 60,30){\qbezier(0,0)(0,0)(-13,-30)}
            \put(  0,30){\qbezier(0,0)(0,0)( 13,-30)}
            \put( 13, 0){\line( 1, 0){34}}

            \put( 30,35){\circle*{2}}
            \put( 35,38){\makebox(0,0){\scriptsize $5$}}
            \put( 45,25){\circle*{2}}
            \put( 43,30){\makebox(0,0){\scriptsize $9$}}
            \put( 40,10){\circle*{2}}
            \put( 45,12){\makebox(0,0){\scriptsize $8$}}
            \put( 20,10){\circle*{2}}
            \put( 15,12){\makebox(0,0){\scriptsize $7$}}
            \put( 15,25){\circle*{2}}
            \put( 18,30){\makebox(0,0){\scriptsize $6$}}

            \put( 30,50){\line( 0,-1){15}}
            \put( 47, 0){\qbezier(0,0)(0,0)(-7,10)}
            \put( 13, 0){\qbezier(0,0)(0,0)( 7,10)}
            \put( 15,25){\line( 1, 0){30}}
            \put( 60,30){\qbezier(0,0)(0,0)(-15,- 5)}

            \put(  0,30){\qbezier(0,0)(0,0)( 15,- 5)}
            \put( 30,35){\qbezier(0,0)(0,0)(-10,-25)}
            \put( 30,35){\qbezier(0,0)(0,0)( 10,-25)}
            \put( 45,25){\qbezier(0,0)(0,0)(-25,-15)}
            \put( 15,25){\qbezier(0,0)(0,0)( 25,-15)}
           \end{picture}
          \caption{Petersengraph}
        \end{figure}

        Man kann die Automorphismen als die Symmetrien eines Graphen
        auffassen. Ist $\alpha$ ein Automorphismus von $\Gamma$ mit
        $\alpha(x) = y$, dann bedeutet das, dass $\Gamma$ von $x$ aus
        \qq{genauso aussieht} wie von $y$ aus.
        \medskip

      \subsubsection{Automorphismengruppe}
        \index{Automorphismengruppe}
        F\"ur jeden Graphen $\Gamma = (V, E)$ bilden die Automorphismen
        eine Permutations"-gruppe auf $V$. Diese Gruppe wird die
        {\bf Automorphismengruppe} von $\Gamma$ genannt und mit $G(\Gamma)$
        bezeichnet.

      \subsubsection*{Beispiele}
        \index{Vollst\"andiger Graph}
        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          (a) & Die Automorphismengruppe des {\bf
            vollst\"andigen Graphen} $K_n$ ($n$ Ecken, je zwei Ecken durch
            eine Kante verbunden) ist die volle {\bf symmetrische Gruppe}
            $S_n$. \\
          (b) & Der $n$-elementige Kreis $C_n$ hat f\"ur $n \geq 3$ als
            Automorphismengruppe die {\bf Diedergruppe} $D_n$ (sprich:
            Di-eder).  Diese Gruppe besteht aus $2n$ Elementen. \\
          (c) & Der Graph $\Gamma$ hat nur die identische Abbildung als
            Automorphismus.
        \end{tabular}

        % Graph: Graphenautomorphismen.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(250,50)
            % Erster Graph.
            \put(  0,10){\circle*{2}}
            \put(  0,50){\circle*{2}}
            \put( 40,10){\circle*{2}}
            \put( 40,50){\circle*{2}}

            \put(  0,10){\line(0,1){40}}
            \put(  0,10){\line(1,0){40}}
            \put( 40,10){\line(0,1){40}}
            \put(  0,50){\line(1,0){40}}
            \put(  0,10){\line(1,1){40}}
            \put(  0,50){\line(1,-1){40}}

            \put( 50,35){\makebox(0,0){$K_4$}}
            \put( 20, 0){\makebox(0,0){$G(K_4) = S_4$}}

            % Zweiter Graph.
            \put( 80,10){\circle*{2}}
            \put( 80,50){\circle*{2}}
            \put(120,10){\circle*{2}}
            \put(120,50){\circle*{2}}

            \put( 80,10){\line(0,1){40}}
            \put( 80,10){\line(1,0){40}}
            \put(120,10){\line(0,1){40}}
            \put( 80,50){\line(1,0){40}}

            \put(130,35){\makebox(0,0){$C_4$}}
            \put(100, 0){\makebox(0,0){$G(C_4) = D_4$}}

            % Dritter Graph.
            \put(160,50){\circle*{2}}
            \put(170,30){\circle*{2}}
            \put(180,10){\circle*{2}}
            \put(200,40){\circle*{2}}
            \put(220,10){\circle*{2}}
            \put(238,46){\circle*{2}}

            \put(180,10){\line(-1,2){20}}
            \put(180,10){\line(1,0){40}}
            \put(180,10){\line(2,3){20}}
            \put(220,10){\line(-2,3){20}}
            \put(220,10){\line(1,2){18}}

            \put(248,35){\makebox(0,0){$\Gamma$}}
            \put(200, 0){\makebox(0,0){$G(\Gamma) = \{id\}$}}
          \end{picture}
          \caption{Graphenautomorphismen}
        \end{figure}

        Mit dem Lemma von Seite \pageref{S73Lemma} ergibt sich unmittelbar
        das folgende Verfahren:
        \medskip

      \subsubsection{Bestimmung der Automorphismengruppe}
        Verfahren zur Bestimmung der Automorphismengruppe eines Graphen:

        Der Graph sei $\Gamma = (V, E)$, und die Automorphismengruppe
        $G(\Gamma)$ werde kurz mit $G$ bezeichnet.

        \begin{enumerate}
          \item{W\"ahle eine Ecke $a \in V$. Bestimme eine m\"oglichst
            kleine Menge $A = \{g_1, \dots, g_\ell\} \subseteq G$ mit $a^G
            = \{g_1(a), \dots, g_\ell(a)\}$. Dann gilt $g_i(a) \neq g_j(a)$
            f\"ur $i \neq j$, und jedes $g \in G$ l\"asst sich in genau
            einer Weise in der Form $g = g_ih$ mit $i \in \{1, \dots,
            \ell\}$ und $h = G_a$ schreiben.}
          \item{Falls die Elemente von $G_a$ nicht bekannt sind, kann das
            Verfahren mit $G_a$ anstelle $G$ wiederholt werden: W\"ahle
            eine Ecke $b \neq a$ und bestimme anschlie{\ss}end eine
            m\"oglichst kleine Menge $B = \{h_1, \dots, h_m\} \subseteq
            G_a$ mit $b^{G_a} = \{h_1(b), \dots, h_m(b)\}$. Jedes $g \in G$
            l\"asst sich jetzt genau in einer Weise in der Form $g =
            g_ih_jk$ mit $i \in \{1, \dots, \ell\}$, $j \in \{1, \dots,
            m\}$, $k \in G_{ab}$ schreiben.}
          \item{Diese Prozedur wird solange wiederholt, bis man
            schie{\ss}lich einen Stabilisator erh\"alt, dessen Elemente man
            kennt. Das ist sp\"atestens der Fall, wenn der Stabilisator nur
            noch aus der identischen Abbildung besteht.}
        \end{enumerate}

        Bei der Auswahl der Elemente $a,b,\dots$ kann man mehr oder weniger
        geschickt sein. Im Allgemeinen ist es g\"unstig, wenn die Bahnen
        $a^G, b^{G_a}, \dots$ gro{\ss} sind, da das Verfahren dann nach
        weniger Durchl\"aufen abbricht als bei kleineren Bahnen. Die Mengen
        $A, B, \dots$ findet man im wesentlichen durch Probieren.

        \paragraph{Beispiel:} Es wird der \qq{W\"urfelgraph} $\Gamma$
        behandelt. Klar ist: $\alpha_1 = (abcd)(efgh)$ und $\alpha_2 =
        (ae)(bf)(cg)(dh)$ sind Automorphismen von $\Gamma$. Es gilt:
        % Seite 77 (Christian M. Meyer)
        $$id(a) = a,\; \alpha_1(a) = b,\; \alpha_1^2(a) = c,\;
          \alpha_1^3(a) = d,$$
        $$\alpha_2(a) = e,\; \alpha_1\alpha_2(a) = f,\;
          \alpha_1^2\alpha_2(a) = g,\; \alpha_1^3\alpha_2(a) = h$$

        % Graph: Wuerfelgraph.
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(50,50)
            \put(  0, 0){\circle*{2}}
            \put(  0,30){\circle*{2}}
            \put( 30, 0){\circle*{2}}
            \put( 30,30){\circle*{2}}
            \put( 17,17){\circle*{2}}
            \put( 17,47){\circle*{2}}
            \put( 47,17){\circle*{2}}
            \put( 47,47){\circle*{2}}

            \put(  0, 0){\line(0,1){30}}
            \put(  0, 0){\line(1,0){30}}
            \put( 30, 0){\line(0,1){30}}
            \put(  0,30){\line(1,0){30}}
            \put( 17,17){\line(0,1){30}}
            \put( 17,17){\line(1,0){30}}
            \put( 47,17){\line(0,1){30}}
            \put( 17,47){\line(1,0){30}}
            \put(  0, 0){\line(1,1){17}}
            \put(  0,30){\line(1,1){17}}
            \put( 30, 0){\line(1,1){17}}
            \put( 30,30){\line(1,1){17}}

            \put( -5, 0){\makebox(0,0){\scriptsize $d$}}
            \put( 35,-1){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
            \put( -5,30){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
            \put( 35,30){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
            \put( 11,18){\makebox(0,0){\scriptsize $h$}}
            \put( 52,17){\makebox(0,0){\scriptsize $g$}}
            \put( 12,47){\makebox(0,0){\scriptsize $e$}}
            \put( 52,47){\makebox(0,0){\scriptsize $f$}}

            \put( 70,25){\makebox(0,0){$\Gamma$}}
          \end{picture}
          \caption{W\"urfelgraph}
        \end{figure}

        Das liefert $a^G = \{a, b, c, d, e, f, g, h\} = V$. Daher kann man
        $$A = \{id, \alpha_1, \alpha_1^2, \alpha_1^3, \alpha_2,
        \alpha_1\alpha_2, \alpha_1^2\alpha_2, \alpha_1^3\alpha_2\}$$

        w\"ahlen. Jetzt wird $b^{G_a}$ bestimmt. Klar ist $b^{G_a}
        \subseteq \{b, d, e\}$, denn da $a$ festbleibt, kann $b$ nur auf zu $a$
        benachbarte Ecken abgebildet werden. Mit dem Automorphismus
        $\beta = (bde)(chf)$ (\qq{Drehung um die W\"urfeldiagonale durch $a$
        und $g$}) ergibt sich:
        $$id(b) = b, \quad \beta(b) = d, \quad \beta^2(b) = e$$

        Daher gilt $b^{G_a} = \{b, d, e\}$, und es kann
        $$B = \{id,\; \beta,\; \beta^2\}$$

        gew\"ahlt werden. Offenbar gilt $G_{a_b} = \{id, \gamma\}$ mit
        $\gamma = (cf)(de)$. Damit ist $G$ vollst\"andig bestimmt: Jedes
        $g \in G$ l\"asst sich auf genau eine Weise in folgender Form
        schreiben:
        $$g = \alpha_1^i\alpha_2^j\beta^k\gamma^\ell \quad \mbox{mit }
        i \in \{0, 1, 2, 3\},\; j, \ell \in \{0, 1\},\; k \in \{0, 1, 2\}$$

        Es folgt insbesondere $G = \langle\alpha_1, \alpha_2, \beta,
        \gamma\rangle$, das hei{\ss}t die Gruppe $G$ wird von den Elementen
        $\alpha_1, \alpha_2, \beta, \gamma$ erzeugt (wobei es bei dieser
        Betrachtung nicht darauf ankommt, in welcher Reihenfolge diese
        Elemente multipliziert werden m\"ussen).
        \medskip

        Interessiert man sich nur f\"ur die M\"achtigkeiten, dann liefert
        obiges:
        $$|a^G| = 8,\; |b^{G_a}| = 3,\; |G_{a_b}| = 2$$

        Das Lemma von Seite \pageref{S72Lemma} liefert:
        $$|G_a| = |b^{G_a}| \cdot |G_{a_b}| = 3 \cdot 2 = 6, \quad \mbox{also }
        |G| = |a^G| \cdot |G_a| = 8 \cdot 6 = 48$$

    \subsection{Die P\'olyasche Abz\"ahlmethode}
      \index{P\'olyasche Abz\"ahlmethode}
      In diesem Abschnitt wird eine {\em gruppentheoretische} Methode
      zur L\"osung des folgenden Problems entwickelt (und nat\"urlich
      zur L\"osung vieler anderer Probleme):

      \begin{quote}
        Wieviele Perlenketten nur aus wei{\ss}en und schwarzen Perlen gibt es,
        die genau drei wei{\ss}e und drei schwarze Perlen enthalten?
      \end{quote}

      Hierbei komme es nur auf die Farbe der Perlen an und auf die
      Reihenfolge, in der sie aufeinanderfolgen. Zuerst muss gekl\"art werden,
      wann zwei Perlenketten als \qq{gleich} betrachtet werden sollen. Sind
      die Ketten {\sf (i)} und {\sf (ii)} wesentlich verschieden? Wenn man die
      Ketten {\em drehen} darf, dann wohl nicht. Auch die Ketten {\sf (ii)}
      und {\sf (iii)} sind gleich, wenn man die Ketten {\em wenden} darf. Das
      Problem ist also: Welches sind die zul\"assigen Symmetrien?

      % Graph: Die Pólyasche Abzaehlmethode.
      \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{picture}(195,50)
          % Erster Graph
          \put( 20,16){\circle*{20}}
          \put( 35,16){\circle{15}}
          \put( 20,40){\circle{15}}
          \put( 35,40){\circle{15}}
          \put( 11,28){\circle*{20}}
          \put( 44,28){\circle*{20}}
          \put( 31, 0){\makebox(0,0){\scriptsize\sf (i)}}

          % Zweiter Graph
          \put( 90,16){\circle*{20}}
          \put(105,16){\circle*{20}}
          \put( 90,40){\circle{15}}
          \put(105,40){\circle*{20}}
          \put( 81,28){\circle{15}}
          \put(114,28){\circle{15}}
          \put(101, 0){\makebox(0,0){\scriptsize\sf (ii)}}

          % Dritter Graph
          \put(160,16){\circle*{20}}
          \put(175,16){\circle*{20}}
          \put(160,40){\circle*{20}}
          \put(175,40){\circle{15}}
          \put(151,28){\circle{15}}
          \put(184,28){\circle{15}}
          \put(171, 0){\makebox(0,0){\scriptsize\sf (iii)}}

        \end{picture}
        \caption{Die P\'olyasche Abz\"ahlmethode}
      \end{figure}

      \index{Permutationsgruppe}
      Diese bilden im Ganzen eine {\bf Permutationsgruppe}. Die in obigen
      Skizzen auftretenden Symmetrien k\"onnen in Zyklenschreibweise notiert
      werden:
      \bigskip

      \begin{tabular}{ll}
        $\tau := (012345)$ & Drehen der Ketten um eine Perle \\
        $\sigma := (0)(3)(15)(24)$ & Wenden einer Kette
      \end{tabular}
      \bigskip

      \index{Diedergruppe}
      \index{Symmetriengruppe}
      \label{S79DiederD6}
      Erlaubt man beides als zul\"assige Symmetrien, so erh\"alt man insgesamt
      als Symmetriengruppe die {\bf Diedergruppe} $D_6$, bestehend aus den
      Drehungen $\tau^i$ und den Spiegelungen $\sigma\tau^i$,
      $i = 0, \dots, 5$. Dieses Beispiel wird unten weiter verfolgt.
      \medskip

      Es folgt ein f\"ur die {\bf P\'olya-Theorie} grundlegender Satz \"uber
      Permutationsgruppen. Darin, oder im Beweis, tauchen $a^G$ f\"ur die
      {\bf Bahn} von $a$ unter der Permutationsgruppe $G$ auf, und $G_a$
      f\"ur den {\bf Stabilisator} von $a$ unter $G$. Au{\ss}erdem
      wird verwendet:
      \bigskip

      \begin{tabular}{ll}
        $b(G) := |\{a^G \mid a \in A\}|$ & Anzahl der Bahnen von $G$ \\
        $\mathrm{Fix}(g) := \{a \in A \mid g(a) = a\}$ & Menge der
          Fixpunkte von $g \in G$
      \end{tabular}
      \bigskip

      Das folgende Resultat ist h\"ochst erstaunlich. Es besagt: Die Anzahl
      der Bahnen von $G$ ist gleich der durchschnittlichen Anzahl der
      Fixpunkte in $G$:

      \index{Das Cauchy-Frabenius-Lemma}
      \subsubsection{Cauchy-Frabenius-Lemma}
        \paragraph{Lemma:} F\"ur jede Permutationsgruppe $G$
        gilt
        $$b(G) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |\mathrm{Fix}(g)|$$

        \paragraph{Beweis} mit doppelter Abz\"ahlung f\"ur die Relation
        $I \subseteq A \times G$ mit
        $$aIg \quad :\Leftrightarrow \quad g(a) = a$$

        Jedes $a \in A$ inzidiert mit genau $|G_a|$ Elementen von $G$,
        und jedes $a \in A$ mit genau $|\mathrm{Fix}(g)|$ Elementen von $A$,
        also
        $$\varoast \qquad\qquad \sum_{a \in A} |G_a| =
        \sum_{g \in G} |\mathrm{Fix}(g)|$$

        Umformung der linken Seite mit dem Lemma von Seite \pageref{S72Lemma}
        liefert
        $$\sum_{a \in A} |G_a| = \sum_{a \in A} \frac{|G|}{|a^G|} =
        |G| \cdot \sum_{a \in A} \frac{1}{|a^G|}$$

        Zur Auswertung der letzten Summe beachte man: F\"ur eine gegebene
        Bahn $c^G$ und alle $a \in c^G$ gilt $a^G = c^G$. Deshalb:
        $$\sum_{a \in c^G} \frac{1}{|a^G|} = 1,$$

        das hei{\ss}t {\em jede} Bahn $a^G$ liefert zur Summe den Beitrag 1.
        Mit Hilfe von $\varoast$ ergibt sich jetzt die Behauptung.
        \hfill$\square$

      \subsubsection{F\"arbung}
        Sei weiterhin $G$ eine auf $A$ operierende Permutationsgruppe.
        Eine {\bf F\"arbung} von $A$ mit einer \qq{Farbmenge} $F$ ist
        definiert als eine Abbildung $\Phi\colon A \longrightarrow F$.
        Die Menge aller F\"arbungen ist dann
        $$\tilde A := F^A \quad \mbox{(Menge aller Abbildungen
        $A \longrightarrow F$).}$$

        Aus jedem $g \in G$ wird in nat\"urlicher Weise eine Permutation
        $\tilde g$ auf $\tilde A$. F\"ur die \qq{Bildf\"arbung} $\tilde g\Phi$
        (Bild von $\Phi$ unter $\tilde g$) sollte $(\tilde g\Phi)(ga) =
        \Phi(a)$ gelten.

        \paragraph{Definition:} Aus $G$ wird eine Permutationsgruppe
        $\widetilde G = \{\tilde g \mid g \in G\}$ auf der Menge
        $\tilde A = F^A$ der F\"arbungen von $A$ gegeben durch
        $$(\tilde g\Phi)(a) := \Phi(g^{-1}a)$$

        Wann gelten zwei F\"arbungen als gleich? Genau dann, wenn sie in
        derselben Bahn bez\"uglich $\widetilde{G}$ liegen! Also mit den
        Cauchy-Frabenius-Lemma:

        \label{S81Bemerkung}
        \paragraph{Bemerkung:}Die Anzahl der (bez\"uglich $G$) wesentlich
        verschiedenen F\"arbungen von $A$ ist
        $$b(\widetilde{G}) = \frac{1}{|\widetilde{G}|} \sum_{\tilde{g} \in
        \widetilde{G}} \left| \mathrm{Fix}(\tilde{g})\right|$$

        % FIXME: Einruecken ab hier, in Spalte 9

      Statt $\tilde{g} \in \widetilde{G}$ kann $g \in G$ geschrieben werden,
      und $|\widetilde{G}| = |G|$ ist ohnehin klar. F\"ur jedes $g \in G$ ist
      $|\mathrm{Fix}(\tilde{g})|$ zu bestimmen:
      $\Phi \in \mathrm{Fix}(\tilde{g})$ bedeutet $\tilde{g} \Phi = \Phi$,
      also $(\tilde{g} \Phi)(a) = \Phi(a)$ f\"ur alle $a \in A$. Mit obiger
      Definition ergibt das
      $$\Phi(g^{-1}a) = \Phi(a)$$

      Das bedeutet:
      \label{S81Beobachtung}
      \paragraph{Beobachtung:}$\mathrm{Fix} (\tilde g)$ besteht aus genau
        denjenigen F\"arbungen $\Phi$, die innerhalb jedem Zyklus der
        Zyklendarstellung von $g$ alle Elemente gleich f\"arben.

      Also: Gibt es genau $f=|F|$ Farben und hat $g$ genau $k$ Zyklen,
      dann gilt
      $$|\mathrm{Fix}(\tilde g)| = f^k$$

      \index{Permutationstyp}
      \subsubsection{Permutationstypen}
        Diese Tatsachen lassen sich am besten ausnutzen, wenn man den
        Permutationstyp $t(g)$ von $g$ verwenden kann. Bei diesem handelt
        es sich um einen formalen Ausdruck der Form
        $$ t(g)=\prod_{i=1}^n z_i^{k(i)}$$

      wobei $n=|A|$ die Anzahl der Elemente der Grundmenge ist, und $k(i)$
      die Anzahl der Zyklen von $g$ der L\"ange $i$ angibt.  Ist $k$ die
      Anzahl {\em aller} Zyklen von $G$, dann gilt $k=\sum k(i)$.  Als
      Beispiel wird die Diedergruppe $D_6$ betrachtet (siehe Seite
      \pageref{S79DiederD6}). Sie besteht aus folgenden Permutationen:
      \bigskip

      \begin{tabular}{ll}
        $\tau^0 = id = (0) (1) (2) (3) (4) (5)$,
                & $\sigma\tau^0 = \sigma = (0) (3) (15) (24)$,\\
        $\tau^1 = \tau = (012345)$,
                & $\sigma\tau^1 = \sigma \tau = (05) (14) (23)$,\\
        $\tau^2 = (024) (135)$, & $\sigma\tau^2 = (04) (13) (2) (5)$,\\
        $\tau^3 = (03) (14) (25)$, & $\sigma\tau^3 = (03) (12) (45)$,\\
        $\tau^4 = (042) (153)$, & $\sigma\tau^4 = (02) (1) (35) (4)$,\\
        $\tau^5 = (054321)$, & $\sigma\tau^5 = (01) (25) (34)$.\\
      \end{tabular}
      \bigskip

      Diese Permutationen werden im Folgenden noch verwendet. Jedenfalls
      l\"asst sich die obige Formel $|\mathrm{Fix}(\tilde g)|=f^k$ mit
      den Permutationstypen etwas umst\"andlicher schreiben als:

      % Seite 83
      $$|\mathrm{Fix}(\tilde g)|=\prod_{i=1}^n f^{k(i)}$$

      Zu einer weiteren (sp\"ater n\"utzlichen) Formalisierung kommt es mit
      dem {\bf Zyk"-lenzeiger} $\CP(G)$ von $G$ (es handelt sich um ein
      Polynom in $z_1,\ldots,z_n$):
      $$\CP(G) := \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} t(g)$$

      Die Bemerkung von Seite \pageref{S81Bemerkung} l\"asst sich damit
      in kompakter Form schreiben:

      \label{S83Satz}
      \paragraph{Satz:}Die Anzahl der (bez\"uglich $G$) wesentlich
      verschiedenen F\"arbungen von $A$ mit einer $f$-elementigen Farbenmenge
      betr\"agt genau
      $$\CP(G|f)$$

      (Diese Zahl entsteht auf $\CP(G)$ durch Einsetzen von $z_i=f$ f\"ur
      alle $z_i$ und anschlie{\ss}endes Ausrechnen.)
      \medskip

      Es wird weiter das {\bf Beispiel $G=D_6$} betrachtet. Folgende Tabelle
      (abgeleitet von der Aufstellung aller Permutationen auf voriger Seite)
      hilft bei der Orientierung:

      \begin{center}
      \begin{tabular}{c|c|c}
        Permutation & Zyklengestalt & (Permutations-)Typ \\\hline
        $\tau^0 = id$
            & \sf (x) (x) (x) (x) (x) (x) & $z_1^6$ \\
        $\tau$, $\tau^5$
            & \sf (xxxxxx) & $z_6^1$ \\
        $\tau^2$, $\tau^4$
            & \sf (xxx) (xxx) & $z_3^2$ \\
        $\tau^3$, $\sigma\tau$, $\sigma\tau^3$, $\sigma\tau^5$
            & \sf (xx) (xx) (xx) & $z_2^3$ \\
        $\sigma$, $\sigma\tau^2$, $\sigma\tau^4$
            & \sf (x) (x) (xx) (xx) & $z_1^2 z_2^2$
      \end{tabular}
      \end{center}
      \bigskip

      Also: $\CP (D_6)=\frac{1}{12}(z_1^6+2z_6+2z_3^2+4z_2^3+3z_1^2z_2^2)$.
      Einsetzen von $f=2$ f\"ur alle $z_i$ liefert:
      $$\CP(D_6|2) = \frac{1}{12}(2^6 + 2\cdot 2 + 2\cdot 2^2 +
         4\cdot 2^3 + 3\cdot 2^2\cdot 2^2) = 13$$

      Deshalb gibt es genau $13$ wesentlich verschiedene Eckenf\"arbungen
      des regelm\"a{\ss}igen Sechsecks mit zwei gegebenen Farben.
      Insbesondere: Es gibt genau $13$ wesentlich verschiedene Perlenketten
      mit insgesamt sechs Perlen und zwei Perlensorten (wei{\ss}, schwarz).
      \medskip

      Das Beispiel ist klein, und man kann die $13$ Ketten leicht finden.
      \medskip

      Jetzt soll, ebenso systematisch, die Anzahl der Perlenketten mit drei
      schwarzen und drei wei{\ss}en Perlen bestimmt werden.  (Es wird auch klar
      werden, wie solche Berechnungen allgemein durchzuf\"uhren sind, f\"ur
      beliebige Permutationsgruppen $G$.) Es muss die Formel aus der
      Bemerkung von Seite \pageref{S81Bemerkung} betrachtet werden:
      $$\varoast \qquad b(\widetilde{G})= \frac{1}{|\widetilde G|}
      \sum_{\widetilde g \in \widetilde G} |\mathrm{Fix}(\widetilde g)|$$

      aber mit $\widetilde G$ eingeschr\"ankt auf die jetzt noch zul\"assigen
      F\"arbungen (n\"amlich dreimal schwarz, dreimal wei{\ss}). Die
      Bestimmung von $\mathrm{Fix} (\widetilde g)$ gelingt wieder wie auf
      Seite \pageref{S81Beobachtung}: jeder Zyklus ist einheitlich
      einzuf\"arben. Beispiel: Sei
      $$g=\sigma=(0)(3)(15)(24).$$
      F\"ur jede der Mengen $\{0\}, \{3\}, \{1,5\}, \{2,4\}$ muss man sich
      f\"ur schwarz oder wei{\ss} entscheiden.  Hierf\"ur gibt es (bei
      insgesamt drei schwarzen Perlen) genau vier M\"oglichkeiten,
      n\"amlich
      \bigskip

      \begin{tabular}{ll}
        $\{0\}$ und $\{1,5\}$ schwarz, $\{0\}$ und $\{2,4\}$ schwarz,\\
        $\{3\}$ und $\{1,5\}$ schwarz, $\{3\}$ und $\{2,4\}$ schwarz.
      \end{tabular}
      \bigskip

      Also liefert $g = \sigma$ den Beitrag $4$ zur Summe in $\varoast$.
      \medskip

      \index{Zyklenzeiger}
      Dieses -- und alles weitere -- kann mit dem Zyklenzeiger $\CP(G)$
      ganz formelm\"a{\ss}ig und ganz ohne Nachdenken berechnet werden
      (aber f\"ur den Fortgang der Theorie ist noch ein wenig Denkarbeit
      erforderlich):

      \paragraph{Definition:} Das einem Polynom $p(z_1,\ldots ,z_n)$
        {\bf zugeordnete Polynom} entsteht, indem jedes $z_i$ durch
        $x_1^i+x_2^i$ ersetzt wird.

      \paragraph{Beispiel:}
        Immer noch $g = \sigma = (0) (3) (15) (24)$:
        Typ $t(\sigma) = z_1^2 z_2^2$, zugeordnetes Polynom
        $(x_1^1+x_2^1)^2(x_1^2+x_2^2)^2$. Jede Klammer korrespondiert mit einer
        der \qq{Zyklenmengen}:

        \begin{center}
        \begin{tabular}{cccc}
          $\{0\}$& $\{3\}$& $\{1,5\}$& $\{2,4\}$\\
          $\downarrow$&$\downarrow$&$\downarrow$&$\downarrow$\\
          $(x_1+x_2)$&$(x_1+x_2)$&$(x_1^2+x_2^2)$&$(x_1^2+x_2^2)$\\
        \end{tabular}
        \end{center}
        \bigskip

	\index{Erzeugende Funktion}
        Jede Entscheidung \qq{schwarz oder wei{\ss}} f\"ur eine der
        Zyklenmengen entspricht einer Entscheidung \qq{$x_1$ oder $x_2$} in
        der zugeh\"origen Klammer. Dreimal schwarz, dreimal wei{\ss}
        bedeutet: Ausmultiplizieren, Koeffizient von $x_1^3 x_2^3$ ist dann
        $|\mathrm{Fix}(\sigma)|$. F\"uhrt man dies mit dem gesamten
        Zyklenzeiger $\CP(D_6)$ durch, ergibt sich die {\bf erzeugende
        Funktion} (der F\"arbungen mit zwei Farben) von $D_6$:
        \begin{eqnarray*}
          \CP(D_6|x_1^i + x_2^i) &=& \frac{1}{12}\Big((x_1 + x_2)^6
              + 2(x_1^6 + x_2^6)+2(x_1^3 + x_2^3)^2 \\
          &+& 4(x_1^2 + x_2^2)^3 + 3(x_1 +x_2)^2 (x_1^2+x_2^2)^2\Big) \\
          &=& 1\cdot x_1^6 + 1\cdot x_1^5x_2 + 3\cdot x_1^4x_2^2 + 3 \cdot
              x_1^3 x_2^3 \\
          &+& 3\cdot x_1^2 x_2^4 + 1 \cdot x_1 x_2^5 + 1 \cdot x_2^6
        \end{eqnarray*}

        Die Koeffizienten sind (wegen $\varoast$) tats\"achlich die
        gesuchten Anzahlen. Es ergibt sich folgende Tabelle:
        \bigskip

        \begin{center}
	\begin{tabular}{cc|c}
          \multicolumn{2}{c|}{Farbverteilung} & Anzahl der F\"arbungen \\
          \em\small schwarz & \em\small wei{\ss}
              & \em\small (Koeffizienten der erzeugenden Funktion) \\\hline
          6 & 0 & 1 \\
          5 & 1 & 1 \\
          4 & 2 & 3 \\
          3 & 3 & 3 \\
          2 & 4 & 3 \\
          1 & 5 & 1 \\
          0 & 6 & 1 \\\hline
          \multicolumn{2}{c|}{\bf Summe:} & \bf 13
        \end{tabular}
	\end{center}

        % Seite 86
        Obige Argumentation klappt allgemein. Deshalb gilt folgender Satz
        (wurde 1937 von P\'olya gefunden, der sich daf\"ur
        interessierte, wieviele chemische Verbindungen mit einem
        vorgegebenen Bauplan es geben kann):

      \index{Satz von P\'olya}
      \subsubsection{Satz von \texorpdfstring{P\'olya}{Polya}}
        Gegeben sei eine Permutationsgruppe $G$ auf $A$, $|A|=n$. Aus dem
        Zyklenzeiger $\CP(G)$ entstehe das Polynom $\CP(G \mid x_1^i +
        \cdots + x_f^i)$, indem f\"ur jedes $z_i$ der Ausdruck $x_1^i+\cdots
        + x_f^i$ substituiert wird $(i=1,\ldots ,n)$.  Dieses Polynom ist
        dann die erzeugende Funktion aller F\"arbungen mit $f$
        Farben: Hierin gibt der Koeffizient von $x_1^{n(1)}\cdot \ldots
        \cdot x_f^{n(f)}$ die Anzahl der bez\"uglich $G$ wesentlich
        verschiedenen F\"arbungen von $A$ mit einer $f$-Farbenmenge
        $F=\{F_1 ,\ldots, F_f\}$ an, in denen die Farbe $F_i$ genau
        $n(i)$ mal vorkommt.

        \paragraph{Anmerkungen:}
          \begin{itemize}
            \item{Man kann in $\CP(G \mid x_1^i + \cdots + x_f^i)$ immer
                $x_f = 1$ setzen, ohne Information zu verlieren. Im Fall
                der Diedergruppe $D_6$ mit $f = 2$ Farben ergibt sich
                (mit $x_1 = x$, $x_2 = 1$):
                $\CP(D_6 \mid x_1^i + x_2^i) = x^6+x^5+3x^4+3x^3+3x^2+x+1$}
            \item{Der Satz von P\'olya liefert noch einmal die Anzahl
                {\em aller} F\"arbungen, indem $x_i = 1$ gesetzt wird
                f\"ur alle $i$. Es ergibt sich wieder $\CP(G \mid f)$
                -- vergleiche Seite \pageref{S83Satz}.}
          \end{itemize}

  \newpage
  \section{Algebraische Strukturen}
    \index{Algebraische Strukturen}
    \index{Strukturen, algebraische}
    Dieses Kapitel beginnt mit einer Auf\/listung der wichtigsten und
    gebr\"auchlichsten algebraischen Strukturen. Dann werden die
    wichtigsten algebraischen Begriffe, Sprech- und Denkweisen
    vorgestellt.  Der Bogen wird sich von einer einheitlichen Sprache, in
    der algebraische Strukturen definiert werden k\"onnen (Grundmenge,
    Operationen, \"Ahnlichkeitstyp) \"uber fortgeschrittene
    Begriffsbildungen (wie Unteralgebren, Homomorphismen, direkten
    Produkten, Kongruenzrelationen oder gleichungsdefinierten Klassen) bis
    zu Gleichungstheorien und Gleichungslogik spannen. Zum Abschluss des
    Kapitels werden dann Verb\"ande und boolesche Algebren betrachtet,
    womit ein \"Ubergang zum darauf folgenden (und letzten) Kapitel \"uber
    Logik m\"oglich ist.

    \subsection{Algebraische Strukturen: Beispiele}
      In diesem Abschnitt wird eine ganze Reihe der \"ublichsten algebraischen
      Strukturtypen mitsamt wichtigen Beispielen vorgestellt.

      \subsubsection{Operationen}
        \paragraph{Definition:}
          \index{Operation}
          Sei $A$ eine Menge und $n\in \N_0$. Dann hei{\ss}t jede Abbildung
          $$f\colon A^n \longrightarrow A$$

          eine {\bf n-stellige Operation} auf
          $A$. Solche Abbildungen (Operationen) werden oft in der Form
          $f(x_1, \ldots, x_n)$ geschrieben, wobei die Variablen
          $x_1,\ldots,x_n$ jeden Wert aus $A$ annehmen k\"onnen.

        \paragraph{Beispiele:}
          \index{Infix-Schreibweise}
          \begin{itemize}
            \item{Die \"ubliche Addition \qq{+} auf $\N$ ist eine $2$-stellige
                Operation auf $\N$. Anstelle von \qq{+$(x_1,x_2)$} wird, wie
                \"ublich, \qq{$x_1+x_2$} geschrieben
                ({\bf Infix}-Schreibweise).}
            \item{Definiert man $f(x_1,x_2,x_3) := x_1+x_2+x_3$, so
                erh\"alt man eine $3$-stellige Operation auf $\N$.}
            % Seite 89 (Simon Fuhrmann)
            \item{Eine $1$-stellige Operation auf $\N$ ist, zum Beispiel,
                gegeben durch $g(x) := x + 1$.}
            \item{Was ist eine $0$-stellige Operation auf einer Menge $A$?
                Dabei handelt es sich um Abbildungen $A^0 \longrightarrow
                A$, wobei $A^0 = \{()\}$ gilt: Die Menge ent\"alt nur das
                \qq{leere Tupel} $()$. Solche Operationen h\"angen nicht
                von $A$ ab, das Resultat ist ein einziges Element $c \in
                A$, n\"amlich $f\big(()\big) = c$. Daher werden
                $0$-stellige Operationen auch Konstanten (in $A$) genannt.
                Zum Beispiel $1 \in \N$ ist eine Konstante in $\N$.}
            \item{$2$-stellige Operationen auf kleineren Mengen k\"onnen oft
              durch Verkn\"up"-fungstafeln dargestellt werden. Beim
              folgenden Beispiel handelt es sich um die \qq{Addition modulo
              $4$} auf der Menge $\Z_4 = \{0, 1, 2, 3\}$:
              \bigskip

              \begin{center}
                \begin{tabular}{c|cccc}
                  $+$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
                  0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
                  1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\
                  2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\
                  3 & 3 & 0 & 1 & 2
                \end{tabular}
              \end{center}}
          \end{itemize}

      \subsubsection{Halbgruppen}
        \paragraph{Definition:}Eine {\bf Halbgruppe} (engl.: {\bf
        semigroup}) ist ein Paar $(S; \cdot)$, bestehend aud aus einer
        Menge $S$ und einer $2$-stelligen Operation $\cdot$ auf $S$, so
        dass in $S$ folgende Gleichung erf\"ullt ist:
        \bigskip

        \begin{tabular}{ll}
          \sf (ass) & $x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$
            \qquad (Assoziativit\"at)
        \end{tabular}

        \paragraph{Bemerkung:}Spricht man von \qq{Gleichung auf $A$}, so
        meint man, dass die Gleichung f\"ur alle Elemente von $A$ gilt. Im
        Fall von Gleichung {\sf (ass)} bedeutet das:
        $$\forall x,y,z \in A\colon \; x \cdot (y\cdot z) = (x \cdot y) \cdot
        z$$

        \paragraph{Typische Beispiele (Halbgruppe):}Abbildungen auf
        einer Menge: Sei $A$ eine Menge, und sei $S$ die Menge aller
        Abbildungen $f\colon A \longrightarrow A$. F\"ur je zwei
        Abbildungen $f,g \in S$ werde die Verkettung $f \circ g$ (\qq{$f$
        nach $g$}) definiert durch
        $$(f \circ g)(x) := f(g(x)) \quad \mbox{f\"ur alle $x \in A$}$$

        \index{Verkettung}
        Es gilt: Verkettung von Abbildungen ist assoziativ, das hei{\ss}t
        $(S; \circ)$ ist eine Halbgruppe.

        \paragraph{Beweis:}Es ist f\"ur alle $f,g,h \in S$ zu zeigen, dass
        $$(f\circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x) \quad
        \mbox{f\"ur alle $x \in A$}$$

        gilt. Doch dies ist einfach:
        $$(f\circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) = f(g(h(x)))
          = (f \circ g)(h(x)) = ((f \circ g) \circ h)(x)$$

        \index{Alphabet}
        \label{WortmonioidS90}
        Beispiel: W\"orter \"uber einem Alphabet: Sei $A$ eine Menge (die jetzt
        ein {\bf Alphabet} genannt wird). Jedes Tupel $(a_1, a_2, \dots,
        a_n)$ wird jetzt k\"urzer als $a_1a_2\dots a_n$ geschrieben und ein
        {\bf Wort} von L\"ange $n$ \"uber $A$ genannt. Sei $A^*$ die Menge
        aller W\"orter \"uber $A$ (inklusive dem \qq{leeren Wort} $\lambda$
        von L\"ange $0$):
        $$A^* := \bigcup_{n=0}^\infty A^n \;\; (= A^0 \cup A^1 \cup A^2 \cup
          \dots)$$

        Die {\bf Konkatenation} (oder {\bf Juxtaposition}) von zwei
        W\"ortern $a_1a_2\dots a_n$ und $b_1b_2\dots b_m$ ist definiert als
        $$(a_1a_2\dots a_n) \cdot (b_1b_2\dots b_m) := a_1a_2\dots
        a_nb_1b_2 \dots b_m$$

        offensichtlich gilt: Konkatenation ist assoziativ, das hei{\ss}t
        $(A^*; \cdot)$ ist eine Halbgruppe.

      \subsubsection*{Weitere Beispiele (Halbgruppe)}
        \begin{itemize}
          \item{$(\N; +)$, $(\Z; +)$, $(\Q; +)$, $(\R; +)$, $(\C; +)$ und
            $(\N; \cdot)$, $(\Z; \cdot)$, $(\Q; \cdot)$, $(\R; \cdot)$,
            $(\C; \cdot)$ sind Halbgruppen.}
          \item{Matrixmultiplikation ist assoziativ: Bezeichne $M(\R, n)$
            die Menge aller $n\times n$-Matrizen \"uber $\R$, dann ist
            $(M(\R, n); \cdot)$ eine Halbgruppe.}
          \item{Sei $M_0(\R,n) = \{A \in M(\R,n) \mid \det A = 0\}$. Dann
            ist $(M_0(\R,n); \cdot)$ eine Halbgruppe.}
          \label{GruppeS91}
          \item{\"Ubung: Zeige, dass die Verkn\"upfungstafel eine
          Halbgruppenoperation angibt. (Hinweis: Assoziativit\"at muss mit
          einem geeigneten Argument nachgewiesen werden, nicht indem alle
          $4^3 = 64$ M\"oglichkeiten durchprobiert werden.)}
        \end{itemize}

      \subsubsection{Monoide}
        \paragraph{Definition, Version A:} Eine Halbgruppe $(M; \cdot)$
        wird ein {\bf Monoid} genannt, falls ein {\bf neutrales Element}
        existiert, das hei{\ss}t falls
        $$\exists 1 \in M \;\; \forall x \in M\colon \;\; x \cdot 1 = x = 1
        \cdot x$$

        Bei dieser Regel handelt es sich um keine Gleichung (das hei{\ss}t
        um keine zwei Gleichungen), da sie einen Existenzquantor enth\"alt.
        Doch sie kann in eine Gleichung umgewandelt werden, indem das
        neutrale Element zu einer nullstelligen Operation gemacht wird:

        \paragraph{Definition, Version B:}Ein Tripel $(M; \cdot, 1)$ wird
        ein {\bf Monoid} genannt, falls $(M; \cdot)$ eine Halbgruppe ist
        und $1$ eine nullstellige Operation, die die folgenden
        Eigenschaften erf\"ullt:
        \bigskip

        \begin{tabular}{ll}
          \sf (neut) & $x \cdot 1 = x = 1 \cdot x \qquad$ (neutrales Element)
        \end{tabular}

        \paragraph{Typische Beispiele (Monoid):}Die Beispiele in
        \qq{Typische Beispiele (Halbgruppe)} sind Monoide:
        \begin{itemize}
          \item{Sei wieder $S$ die Menge aller Abbildungen $A
            \longrightarrow A$, und bezeichne $id_A$ die identische
            Abbildung auf $A$: $id_A(x) = x$ f\"ur alle $x \in A$.
	    
	    Dann ist $(S; \circ, id_A)$ ein Monoid.}
          \item{Sei $A^*$ die Menge aller W\"orter \"uber einem Alphabet
            $A$. Mit Konkatenation $\cdot$ und dem leeren Wort $\lambda$
            gilt: $(A^*; \cdot, \lambda)$ ist ein Monoid.}
        \end{itemize}

        Im weiteren Lauf dieses Kapitels werden \qq{Version B}-Typ
        Definitionen bevorzugt. Im folgenden Abschnitt wird dann, als
        allgemeiner Begriff, eine (allgemeine) Algebra definiert, als Menge
        mit Operationen und weiteren Ordungsmerkmalen auf Operationen.
        \medskip

        Doch zun\"achst weitere wichtige Beispiele algebraischer
        Strukturen. Hierbei wird der Typ einer algebraischen Struktur
        verwendet, das hei{\ss}t die Folge der Stelligkeiten der
        Operationen:

      \label{S93Definition} % -> Definition Gruppe
      \subsubsection{Gruppen}
        \paragraph{Definition:}Eine Algebra $(G; \cdot, {}^{-1}, 1)$
        von Typ $(2,1,0)$ (das hei{\ss}t mit $2$-stel\-li\-ger Operation
        $\cdot$, mit $1$-stelliger Operation ${}^{-1}$, $0$-stelliger
        Operation $1$) hei{\ss}t {\bf Gruppe}, falls  $(G; \cdot, 1)$ ein
        Monoid ist und au{\ss}erdem folgende Gleichungen gelten:
        \bigskip

        \begin{tabular}{ll}
          \sf (inv) & $x \cdot x^{-1} = 1 = x^{-1} \cdot x \qquad$
              (inverse Elemente)
        \end{tabular}

      \subsubsection*{Typische Beispiele (Gruppe)}
        \begin{itemize}
          \item{Permutationen: Sei $A$ eine Menge und $S_A$ die Menge aller
            Permutationen auf $A$ (siehe Kapitel 1). Dann ist $(S_A; \circ,
            {}^{-1}, id_A)$ eine Gruppe, genannt die {\bf symmetrische
            Gruppe} auf $A$.}
          \item{Symmetrie: Im vorigen Abschnitt wurden Symmetrien
          geometrischer Figuren als Permutationen gewisser Punktmengen
          interpretiert. Als Beispiele wurden die Diedergruppen $(D_n;
          \circ, {}^{-1}, id)$ betrachtet (Symmetriegruppen
          regelm\"a{\ss}iger $n$-Ecke).}
        \end{itemize}

      \label{S94Gruppe} % -> Weitere Beispiele (a)
      \subsubsection*{Weitere Beispiele (Gruppen)}
        \begin{itemize}
          \item{$(\Z; +, -, 0)$ ist eine Gruppe mit den \"ublichen
            Operationen auf $\Z$ (insbesondere der $1$-stelligen Operation $x
            \mapsto -x$).}
          \item{F\"ur $n \in \N$ sei $\Z_n := \{0, 1, \dots, n - 1\}$. Dann
            ist $(\Z_n; +, -, 0)$ eine Gruppe (mit $+$
            und $-$ modulo $n$).}
          \item{Sei $G(\R,n)$ die Menge aller reellen $n\times n$-Matrizen
            von Determinante ungleich $0$, $G(\R,n) = \{A \in M(\R,n) \mid
            \det(A) \neq 0\}$.

            Dann ist $(G(\R,n); \cdot, {}^{-1}, E_n)$ eine
            Gruppe, genannt die {\bf allgemeine lineare Gruppe} \"uber
            $\R$. (Hierbei sei $\cdot$ die \"ubliche
            Matrizenmultiplikation, $A^{-1}$ die inverse Matrix zu $A$ und
            $E_n$ die $n\times n$-Einheitsmatrix.)}
        \end{itemize}

        Eine zweistellige Operation $x \cdot y$ auf einer Menge $A$ wird
        {\bf kommutativ} genannt, falls folgende Gleichung auf $A$ gilt:
        \bigskip

        \begin{tabular}{ll}
          \sf (kom) & $x \cdot y = y \cdot x \qquad$ (Kommutativit\"at)
        \end{tabular}
        \bigskip

        Es ist klar, was man unter einer kommutativen Halbgruppe, einem
        kommutativen Monoid, einer kommutativen Gruppe versteht.
        Kommutative Gruppen werden \"ublicherweise abelsche Gruppen
        genannt.

      \subsubsection{Ringe}
        \paragraph{Definition:}
        \index{Ring}
        Eine Algebra $(R; +, -, 0, \cdot)$ von Typ $(2,1,0,1)$ hei{\ss}t
        ein Ring, falls $(R; +, -, 0)$ eine abelsche Gruppe und $(R;
        \cdot)$ eine Halbgruppe ist, so dass die Operationen $+$ und
        $\cdot$ durch folgende Gleichungen \qq{verbunden} sind:
        \bigskip

        \begin{tabular}{ll}
          \sf (dist) & $x \cdot (y+z) = x \cdot y + x \cdot z$, $(x+y)
          \cdot z = x \cdot z + y \cdot z \;\;$ (Distributivit\"at)
        \end{tabular}
        \bigskip

        \index{Ring, kommutativer}
        \index{Ring, unit\"arer}
        Ein {\bf kommutativer Ring} ist ein Ring, in dem die Multiplikation
        $\cdot$ kommutativ ist. Ein {\bf unit\"arer Ring} ist ein Ring mit
        einer zus\"atzlichen nullstelligen Operation $1$, so dass $(R,
        \cdot, 1)$ ein Monoid ist.

        \paragraph{Bemerkung:}Der Multiplikationspunkt $\cdot$ wird oft
        weggelassen, das hei{\ss}t $xy$ statt $x \cdot y$ geschrieben.
        Deshalb kann das erste Distributivgesetz als $x(y+z) = xz+yz$
        geschrieben werden. Die Regel \qq{Punktrechnung vor Strichrechnung}
        versteht sich von selbst.

      \subsubsection*{Typische Beispiele (Ring)}
        \begin{itemize}
          \item{Ring der ganzen Zahlen: $(\Z; +, -, 0, \cdot, 1)$ ist ein
            kommutativer unit\"arer Ring. Dasselbe gilt f\"ur $(\Z_n; +, -,
            0, \cdot, 1)$ mit $Z_n = \{0, 1, \dots, n\}$ und allen
            Operationen modulo $n$.}
          \item{Polynomringe: Mit $\R[x]$ werde die Menge der reellen
            Polynome in der Variablen $x$ bezeichnet:
            $$\R[x] = \{a_nx^n + \dots + a_1x+a_0 \mid n \in \N_0, a_n,
            \dots, a_1, a_0 \in \R\}$$

            (Achtung: Hierbei ist $x$ keine Zahl, sondern ein Symbol.
            Deshalb sind auch die Polynome keine Zahlen, sondern \qq{formale
            Ausdr\"ucke}.) Mit den \"ublichen Operationen ist $\R[x]$ ein
            kommutativer unit\"arer Ring.}
          \item{Matrixringe: Die Menge $M(\R,n)$ aller reellen $n\times
            n$-Matrizen bilden mit der \"ublichen Matrixaddition und
            -multiplikation einen unit\"aren Ring, der f\"ur $n \geq 2$
            nicht kommutativ ist.}
        \end{itemize}

      \subsubsection{K\"orper}
        Ein {\bf K\"orper} ist ein unit\"arer Ring $(K; +,-,0,\cdot,1)$ mit
        zus\"atzlicher einstelliger Operation ${}^{-1}$ auf $K \setminus
        \{0\}$, so dass $(K \setminus \{0\}; \cdot,{}^{-1}, 1)$ eine Gruppe
        ist. Ist die Multiplikationsoperation $\cdot$ kommutativ, so
        spricht man von einem {\bf kommutativen K\"orper}.

        \paragraph{Beispiele (K\"orper):}Mit den \"ublichen Operationen
        sind die Mengen $\Q$, $\R$, $\C$ kommutative K\"orper.
        Beispielsweise ist $\Z$ kein K\"orper, da es keine multiplikativen
        Inversen gibt (au{\ss}er f\"ur $x=1$ und $x=-1$).
        \medskip

        Einige Tatsachen \"uber K\"orper (ohne Beweise):
        \begin{itemize}
          \item{$\Z_n$ ist genau dann ein K\"orper, wenn $n$ eine Primzahl
            ist.}
          \item{Ein K\"orper $K$ mit $|K| = n$ Elementen existiert genau
            dann, wenn $n$ eine Primzahlpotenz ist (das hei{\ss}t von der
            Form $n = p^r$ mit einer Primzahl $p$ und $r \in \N$).}
          \item{F\"ur jede Primzahlpotenz $q = p^r$ gibt es genau einen
            K\"orper mit $q$ Elementen (bis auf Isomorphie).}
          % Seite 97 (Christian M. Meyer)
          \item{Alle endlichen K\"orper sind kommutativ (nicht leicht zu
              beweisen!)}
          \item{Es ist schwierig, nicht-kommutative K\"orper zu finden.}
        \end{itemize}

      \subsubsection{Vektorr\"aume}
        \paragraph{Definition:}
          \index{Vektorraum}
	  \index{Skalarmultiplikation}
          Sei $K$ ein K\"orper und sei $(V; +, -, 0, K)$ eine Algebra vom Typ
          $\big(2, 1, 0, (1)_{k \in K})\big)$, mit einer einstelligen Operation
          $x \mapsto kx$ f\"ur jedes K\"orperelement $k \in K$. Dann hei{\ss}t
          diese Algebra ein {\bf Vektorraum} \"uber $K$, falls $(V; +, -, 0)$
          eine abelsche Gruppe ist und f\"ur alle $k, \ell \in K$ die folgenden
          Gleichungen gelten:
          \bigskip

          \begin{tabular}{ll}
            \sf (Vekt1) & $k(x + y) = k x + k y$ \\
            \sf (Vekt2) & $(k + \ell) x = k x + \ell x$ \\
            \sf (Vekt3) & $\big(k (\ell x)\big) = (k \ell) x$ \\
            \sf (Vekt4) & $1 x = x$
          \end{tabular}

        \paragraph{Einige Tatsachen \"uber Vektorr\"aume (ohne Beweise):}
          \index{Basis}
          \index{Dimension}
          \begin{itemize}
            \item{Eine {\bf Basis} eines Vektorraums $V$ (\"uber $K$) ist eine
                Teilmenge $B \subseteq V$, so dass jedes $v \in V$ auf
                {\em genau eine Art} in der Form
                $$v = k_1 b_1 + \cdots + k_r b_r$$

                darstellbar ist, mit unterschiedlichen $b_1, \dots, b_r \in B$
                und $k_1, \dots, k_r \in K$.}
            \item{Falls $B$ eine Basis von $V$ ist, dann nennt man $|B|$ die
                {\bf Dimension} von $V$. Die Dimension ist {\em wohldefiniert}:
                Sind $B$ und $C$ Basen von $V$, dann gilt $|B| = |C|$.}
            \item{Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.}
            \item{Ist $V$ ein Vektorraum \"uber $K$ von {\em endlicher
                Dimension} $d$, dann ist $V$ {\bf isomorph} zu
                $F^d$: $V \cong F^d$}
          \end{itemize}

        \paragraph{Typische Beispiele f\"ur Vektorr\"aume:}
          \index{Spaltenvektoren}
          \index{kanonische Basis}
          \index{Basis, kanonische}
          \begin{itemize}
            \item{Die {\bf reelle Ebene}: Sei $V := \left\{\left({x
                \atop y}\right) \:\big\vert\; x, y \in \R\right\}$, wobei
                hier die Elemente von $V$ als {\bf Spaltenvektoren}
                geschrieben sind. Dann ist $V$ mit der \"ublichen
                Vektoraddition $v + w$ und Skalarmultiplikation $k v$ ein
                {\bf Vektorraum} \"uber $\R$. Dieser Vektorraum ist
                $2$-dimensional, also $\dim(V) = 2$. Er hat
                $B = \left\{\left({1 \atop 0}\right),
                \left({0 \atop 1}\right)\right\}$ als
                {\bf kanonische Basis}: Jedes $v = \left({x \atop
                y}\right) \in V$ kann in der Form $v = x \left({1
                \atop 0}\right) + y \left({0 \atop 1}\right)$
                geschrieben werden. Entsprechend gibt es die
                $n$-dimensionalen reellen Vektorr\"aume $\R^n$}.
            \label{S98BeispielB}
            \item{{\bf Polynome von Grad kleiner $n$:} Sei $P_n$
                die Menge aller reellen Polynome von Grad kleiner $n$,
                $$P_n = \{a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots
                + a_1 x + a_0 \mid a_{n - 1}, \dots, a_1, a_0 \in \R\}$$

                Definiert man wie \"ublich f\"ur alle
                $p = a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0$ und
                $q = b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0$:
                \begin{eqnarray*}
                  p + q &:=& (a_{n - 1} + b_{n - 1})x^{n - 1} + \cdots +
                    (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0) \\
                  rp &:=& (r a_{n - 1}) x^{n - 1} + \cdots + (r a_1) x + (r
                    a_0)
                \end{eqnarray*}

                Dann erh\"alt man einen {\bf Vektorraum} $(P_n; +, -, 0, \R)$
                \"uber $\R$. Die Polynome $p_0(x) = 1, p_1(x) = x,
                p_2(x) = x^2, \dots, p_{n - 1}(x) = x^{n - 1}$ bilden eine
                Basis von $P_n$, deshalb gilt $\dim(P_n) = n$. Ein
                Isomorphismus $\varphi\colon P_n \longrightarrow \R^n$
                wird durch folgende \qq{Umbenennung} gegeben:
                $$\varphi(a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0)
                := \left(\begin{array}{c}
                  a_0 \\
                  a_1 \\
                  \vdots \\
                  a_{n - 1}
                \end{array}\right)$$}
          \end{itemize}

        Alle bisher in diesem Abschnitt vorgestellten Algebren
        beziehungsweise Klassen von Algebren sind verwandt zueinander:
        Jeder Vektorraum \qq{enth\"alt} einen K\"orper (und eine Gruppe),
        jeder K\"orper ist ein (genauer: \qq{enth\"alt} einen) Ring, jeder
        Ring enth\"alt eine Gruppe (und eine Halbgruppe), jede Gruppe
        ist ein Monoid, und - schlie{\ss}lich - ist jedes Monoid
        eine Halbgruppe. Nat\"urlich gibt es viele weitere und auch ganz
        andere Klassen von Algebren. In diesem Kapitel werden sp\"ater
        noch Beispiele vorgestellt, zum Beispiel {\bf Verb\"ande} und
        {\bf boolesche Algebren}.

      \subsection[Allgemeine Algebren]{Allgemeine Algebren: \\
        Definition und strukturelle Grundbegriffe}
        Nat\"urlich darf man sich unter einer {\bf Algebra} zun\"achst einmal
        ein Gebilde der Form $\underline{A} = (A; F)$ vorstellen, wobei $A$
        eine Menge und $F$ eine Menge endlichstelliger Operationen auf $A$ ist.
        Alle Algebren sind von dieser Bauart, insbesondere alle Beispiele des
        vorigen Abschnitts. Will man aber Algebren miteinander in Beziehung
        setzen (zum Beispiel, weil sie verwandt zueinander sind), empfiehlt
        sich eine \qq{detailliertere} Sprache:

      \subsubsection{\"Ahnlichkeitstyp, allgemeine Algebren}
        \paragraph{Definition:}
          \index{\"Ahnlichkeitstyp}
          \index{Typ}
          \index{Algebra}
          \index{Allgemeine Algebra}
          \index{Stelligkeit}
          \index{Grundmenge}
          \index{Operationen}
          Unter einem {\bf (\"Ahnlichkeits-)Typ} versteht man ein geordnetes
          Paar $(\mathcal{F}, \sigma)$, wobei $\mathcal{F}$ eine Menge ist
          (Menge der {\bf Operationssymbole}) und $\sigma\colon \mathcal{F}
          \longrightarrow \N_0$ eine Abbildung, die jedem $f \in \mathcal{F}$
          eine {\bf Stelligkeit} $\sigma(f)$ zuordnet. Man nennt $f$ dann
          ein {\bf $\sigma(f)$-stelliges Operationssymbol}.
          \medskip

        Eine {\bf allgemeine Algebra} (kurz: {\bf Algebra}) vom Typ
        $(\mathcal{F}, \sigma)$ ist ein geordnetes Paar
        $\underline{A} = (A; F)$, bestehend aus einer Menge $A$ und
        einer Familie
        $$F = (f_{\underline A} \mid f \in \mathcal{F})$$

        von Operationen auf $A$, wobei jedem Operationssymbol
        $f \in \mathcal{F}$ eine $\sigma(f)$-stellige Operation
        $f_{\underline A}$ auf $A$ zugeordnet wird. Die Menge $A$
        hei{\ss}t {\bf Grundmenge} von $\underline{A}$ und die Elemente
        von $F$ hei{\ss}en die {\bf fundamentalen Operationen}
        von $\underline{A}$.

        \paragraph{Beispiel:}
          Als erstes Beispiel f\"ur diese Notationen und Sprechweisen
          wird die {\bf Gruppe} $(\Z; +, -, 0)$ betrachtet
          (siehe Seite \pageref{S94Gruppe}). Da diese Gruppe
          {\em im Rahmen aller Gruppen} betrachtet werden soll,
          wird der {\bf Typ}
          $$(\mathcal{F}, \sigma) \quad \mbox{mit} \quad
          \mathcal{F} = \{\cdot, {}^{-1}, 1\}, \quad \sigma(\cdot) = 2,
          \quad \sigma({}^{-1}) = 1, \quad \sigma(1) = 0$$

        gew\"ahlt. Die zu betrachtende Gruppe ist
        $\underline{\Z} = (\Z; \{+, -, 0\})$. Die verwendeten
        fundamentalen Operationen sind
        $$\cdot_{\underline{\Z}} = +, \qquad {{}^{-1}}_{\underline{\Z}} = -,
        \qquad 1_{\underline{\Z}} = 0$$

        wobei $x + y$, $-x$, $0$ auf $\Z$ wie \"ublich definiert sind.
        Insbesondere gilt: Keiner h\"alt einen davon ab,
        gebr\"auchliche, einfache Symbole f\"ur die Operationen zu
        verwenden, solange keine Missverst\"andnisse drohen, also zum
        Beispiel \qq{$+$} anstelle von \qq{$\cdot \underline{z}$}. Statt
        $(\Z; \{+, -, 0\})$ schreibt man nat\"urlich - unter Einsparung von
        Klammern - meist $(\Z; +, -, 0)$.
        \medskip

        Aus schon vorhandenen Algebren k\"onnen auf mehrere Arten \qq{neue}
        Algebren gewonnen werden. Eine Art ist die folgende:

      \subsubsection{Unteralgebren}
        \index{Unteralgebra}
        \index{Algebren, Unteralgebra}
        \paragraph{Definition:}
          Sei $\underline{A} = (A; F)$ eine Algebra vom Typ
          $(\mathcal{F}, \sigma)$ und $B \subseteq A$ eine Teilmenge
          von $A$, so dass f\"ur alle $f \in \mathcal{F}$ und alle
          $n$-Tupel $(b_1, \dots, b_n) \in B^n$ mit $n = \sigma(f)$
          folgendes gilt:
          $$f_{\underline A}(b_1, \dots, b_n) \in B$$

	Die Algebra $\underline{B} = \big(B; (f_{\underline B} \mid f \in
	\mathcal{F})\big)$ hei{\ss}t dann eine {\bf Unteralgebra} von
	$\underline{A}$, wobei $f_{\underline{B}}$ f\"ur alle $f \in
	\mathcal{F}$ die Einschr\"ankung der Operation $f_{\underline A}$
	auf die Menge $B$ bedeutet. F\"ur \qq{$\underline{B}$ ist
	Unteralgebra von $\underline{A}$} schreibt man auch $\underline{B}
	\leqslant \underline{A}$. Die Menge aller Grundmengen von
	Unteralgebren von $\underline{A}$ wird mit $\Sub(\underline{A})$
	bezeichnet, $\Sub(\underline{A}) = \{B \mid
	\underline{B} \leqslant \underline{A}\}$.
        \medskip

        Eine Teilmenge $B \subseteq A$ ist genau dann die Grundmenge
        einer Unteralgebra von $\underline{A} = (A; F)$, wenn $B$
        unter allen fundamentalen Operationen $f_{\underline A} \in F$
        abgeschlossen ist. Man schreibt dann oft $\underline{B} = (B; F)$,
        ohne zwischen den Operationsfamilien $F$ in $\underline{A}$ und
        $F$ in $\underline{B}$ zu unterscheiden. Au{\ss}erdem
        bezeichnet man sowohl $f_{\underline A}$ als auch
        $f_{\underline B}$ einfach mit dem Operationssymbol $f$.
        \medskip

        Am Beispiel der Gruppen l\"asst sich deutlich machen, dass
        es bei den Unteralgebren auf den zugrundeliegenden Typ ankommen
        kann. Betrachtet man Gruppen als Algebren vom Typ $(2, 1, 0)$
        (das hei{\ss}t mit diesen Stelligkeiten f\"ur die Operationen)
        wie auf Seite \pageref{S93Definition}, dann handelt es sich bei
        den Unteralgebren genau um die Untergruppen. Betrachtet
        man Gruppen hingegen als Algebren vom Typ $(2)$ (mit der
        Gruppenmultiplikation als einziger Operation), dann kann es
        Unteralgebren geben, die keine Untergruppen sind:

        \paragraph{Beispiel:}
          Die Algebra $(\Z; +)$ mit der \"ublichen Addition hat die Menge
          $\N_0$ der nicht negativen ganzen Zahlen als Grundmenge einer
          Unteralgebra, obwohl $\N_0$ nicht die Grundmenge einer
          Unteralgebra von $(\Z; +, -, 0)$ ist.
          \medskip

        F\"ur jede Algebra ist das System der (Grundmengen von)
        Unteralgebren gegen Durchschnittsbildung abgeschlossen:

        \paragraph{Bemerkung:}
          Sei $\underline{A} = (A; F)$ eine Algebra. Dann gilt:
          \bigskip

          \begin{tabular}{ll}
            \sf (a) & $A \in \Sub(\underline{A})$ \\
            \sf (b) & $\bigcap \mathcal{B} \in \Sub(\underline{A})
                \quad$ f\"ur jede nichtleere Teilmenge $\mathcal{B}
                \subseteq \Sub(\underline{A})$
          \end{tabular}

        \paragraph{Beweis:}
          {\sf (a)} ist klar. F\"ur den Nachweis von {\sf (b)} sei
          $\mathcal{B} \subseteq \Sub(\underline{A})$,
          $\mathcal{B} \ne \emptyset$. Es ist zu zeigen, dass
          $\bigcap \mathcal{B}$ unter allen fundamentalen Operationen
          $f$ von $\underline{A}$ abgeschlossen ist. Sei $n = \sigma(f)$.
          Aus $b_1, \dots, b_n \in \bigcap \mathcal{B}$ folgt
          $b_1, \dots, b_n \in B$ f\"ur alle $B \in \mathcal{B}$.
          Da alle $B \in \mathcal{B}$ Grundmengen von Unteralgebren sind,
          gilt $f(b_1, \dots, b_n) \in B$ f\"ur alle $B \in \mathcal{B}$
          Es folgt $f(b_1, \dots, b_n) \in \bigcap \mathcal{B}$.
          \hfill$\square$

        \paragraph{Folgerung:}
          \label{FolgerungS103}
          F\"ur jede Algebra $\underline{A} = (A; F)$ und jede Teilmenge
          $X \subseteq A$ ist
          $$\Angle[X] := \bigcap \{B \in \Sub(\underline{A})
          \mid B \supseteq X\}$$

          die Grundmenge einer Unteralgebra von $\underline{A}$, das
          hei{\ss}t es gilt $\Angle[X] \in \Sub(\underline{A})$.
          Offenbar ist $\Angle[X]$ die kleinste $X$ umfassende Grundmenge
          einer Unteralgebra von $\underline{A}$ (n\"amlich der von $X$
          {\em erzeugten Unteralgebra}).

        \paragraph{Beispiel:}
          Es wird die Gruppe $(\Z_6; +, -, 0)$ betrachtet. Mit den
          Elementen von $\Z_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ wird {\em modulo}
          $6$ gerechnet. Es gilt: $\Angle[0] = \{0\}$,
          $\Angle[1] = \Z_6$, $\Angle[2] = \{0, 2, 4\}$,
          $\Angle[3] = \{0, 3\}$, $\Angle[2, 3] = \Z_6$. \"Ubrigens sind
          das {\em alle} Grundmengen von Unteralgebren!

        \paragraph{Bemerkung:}
          Sei $\underline{A} = (A; F)$ eine Algebra. F\"ur alle Teilmengen
          $X, Y \subseteq A$ gilt:
          \bigskip

          \begin{tabular}{lll}
            \sf (1) & $X \subseteq \Angle[X]$ & \bf Extensivit\"at \\
            \sf (2) & $X \subseteq Y \;\Rightarrow\; \Angle[X]
                \subseteq \Angle[Y]$ & \bf Monotonie \\
            \sf (3) & $\Angle[{\Angle[X]}] = \Angle[X]$ & \bf Idempotenz
          \end{tabular}
          \bigskip

        Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der Definition des
        Operators $\Angle$.\hfill$\square$
        \medskip

        \index{Erzeugungsprozess}
        Man erh\"alt $\Angle[X]$ tats\"achlich durch einen
        {\bf Erzeugungsprozess} aus $X$. Dazu werde definiert:
        \bigskip

        \begin{tabular}{l}
          $E^0(X) := X$ \\
          $E(X) := X \cup \{f(a_1, \dots. a_n) \mid f \in F,
              a_1, \dots, a_n \in X\} \quad$ mit $n = \sigma(f)$ \\
          $E^{k + 1}(X) := E\big(E^k(X)\big)\quad$ f\"ur alle $k \in \N_0$
        \end{tabular}

        \paragraph{Satz:}
          F\"ur jede Algebra $\underline{A} = (A; F)$ und jede Teilmenge
          $X \subseteq A$ gilt:
          $$\Angle[X] = \bigcup_{k = 0}^\infty E^k(X)$$

        \paragraph{Beweis:}
          $\supseteq$: Mit {\em Induktion \"uber} $k$ wird $\Angle[X]
          \supseteq E^k(X)$ gezeigt.

        $k = 0$: $\Angle[X] \supseteq X
        = E^0(X)$ ist klar. Jetzt werde $\Angle[X] \supseteq E^k(X)$
        vorausgesetzt, um $\Angle[X] \supseteq E^{k + 1}(X)$ zu
        zeigen. Sei $a \in E^{k + 1}(X)$, aber $a \not\in E^k(X)$.
        Dann gibt es $a_1, \dots, a_n \in E^k(X)$ und $f \in F$
        mit $f(a_1, \dots, f_n) = a$. Wegen $E^k(X) \subseteq
        \Angle[X]$, und da $\Angle[X]$ die Grundmenge einer Unteralgebra
        ist, folgt $a \in \Angle[X]$, insgesamt also $E^{k + 1}(X)
        \subseteq \Angle[X]$. Hiermit folgt $\Angle[X] =
        \bigcup_{k = 0}^\infty E^k(X)$.
        % Das = muss doch ein \supseteq sein oda?
        \medskip

        $\subseteq$: Es muss gezeigt werden, dass $\bigcup_{k = 0}^\infty
        E^k(X)$ die Grundmenge einer Unteralgebra ist. Seien also
        $a_1, \dots, a_n \in \bigcup_{k = 0}^\infty E^k(X)$ und
        $f \in F$ (mit $\sigma(f) = n$). Dann gibt es f\"ur jedes $a_i$
        ein $k(i) \in \N_0$ mit $a_i \in E^{k(i)}(X)$. Sei
        $m := \max\{k(i) \mid i = 1, \dots, n\}$. Es gilt
        $a_i \in E^m(X)$ f\"ur alle $i = 1, \dots, n$. Es folgt
        sofort
        $$f(a_1, \dots, a_n) \in E^{m + 1}(X) \subseteq
        \bigcup_{k = 0}^\infty E^k(X)$$

        das hei{\ss}t die letzte Menge
        ist abgeschlossen unter allen Operationen $f$.\hfill$\square$
        \medskip

        Der letzte Satz und die beiden vorangegangenen Bemerkungen
        geben Aufschluss \"uber das Verhalten der {\bf Mengensysteme}
        $\Sub(\underline{A})$. Dies wird im folgenden Einschub behandelt:

      % Seiten 105-106 (Christian M. Meyer)
      \subsubsection{H\"ullensysteme, H\"ullenoperatoren, Verb\"ande}
        Alle drei Begriffe der \"Uberschrift spielen bez\"uglich Unteralgebren
        eine gro{\ss}e Rolle. Zwei dieser Begriffe kamen oben schon vor,
        der dritte (\qq{{\bf Verband}}) noch nicht. Diese Begriffe sind aber
        auch in vielen anderen Zusammenh\"angen wichtig.

        \paragraph{Definition:}
          \index{Mengensystem}
          \index{H\"ullensystem}
          Sei $A$ eine Menge und $\mathcal{M}$ eine Menge von Teilmengen
          von $A$, also $\mathcal{M} \subseteq \PM(A)$. Dann nennt man
          $\mathcal{M}$ ein {\bf Mengensystem} auf $A$. Ein Mengensystem
          $\mathcal{H} \subseteq \PM(A)$  hei{\ss}t {\bf H\"ullensystem}
          auf $A$, falls
          \bigskip

          \begin{tabular}{ll}
            \sf (1) & $A \in \mathcal{H}$ \\
            \sf (2) & $\bigcap \mathcal{B} \in \mathcal{H}$ f\"ur jede
                nicht leere Teilmenge $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{H}$
          \end{tabular}
          \bigskip

          \index{H\"ullen}
          Die Elemente $H \in \mathcal{H}$ werden {\bf H\"ullen} genannt.

        \paragraph{Beispiele:}
          \begin{itemize}
            \item{F\"ur jede Algebra $\underline{A}$ ist
                $\Sub(\underline{A})$ ein H\"ullensystem auf der
                Grundmenge $A$.}
            \item{Die konvexen Teilmengen von $\R^n$ bilden ein
                H\"ullensystem.}
            \item{F\"ur jede Menge $A$ ist $\{A\} \cup \{E \subseteq A
                \mid E \mbox{ endlich}\}$ ein H\"ullensystem auf $A$.}
            \item{F\"ur jede Menge $A$ ist die Menge $\Eq(A)$
                aller \"Aquivalenzrelationen auf $A$ ein H\"ullensystem
                auf $A^2$.}
          \end{itemize}

        \paragraph{Definition:}
          \index{H\"ullenoperator}
          Sei $A$ eine Menge. Eine Abbildung
          $$\mathcal{C}\colon \PM(A) \longrightarrow \PM(A)$$

          wird {\bf H\"ullenoperator} auf $A$ genannt, falls f\"ur alle
          Teilmengen $X, Y \subseteq A$ folgendes gilt:
          \bigskip

          \begin{tabular}{rll}
            \sf (1)   & $X \subseteq \mathcal{C}(X)$ & \bf Extensitivit\"at \\
            \sf (2)  & $X \subseteq Y \;\Rightarrow\;
                \mathcal{C}(X) \subseteq \mathcal{C}(Y)\qquad$
                & \bf Monotonie \\
            \sf (3) & $\mathcal{C}\big(\mathcal{C}(X)\big) = \mathcal{C}(X)$
                & \bf Idempotenz
          \end{tabular}
          \bigskip

          Man nennt die Mengen der Form $\mathcal{C}(X)$ {\bf abgeschlossen}
          und sagt, $\mathcal{C}(X)$ ist von $X$ {\bf erzeugt}.
          \medskip

          Klar ist: F\"ur jede Algebra $\underline{A}$ ist der Operator
          $\Angle_{\underline A}$ ein H\"ullenoperator (siehe Seite
          \pageref{FolgerungS103}). H\"ullensysteme und H\"ullenoperatoren
          sind in folgendem Sinn im wesentlichen das selbe:

        \label{S106Bemerkung}
        \paragraph{Bemerkung:}
          Sei $\mathcal{H}$ ein H\"ullensystem auf einer Menge $A$.
          F\"ur alle $X \subseteq A$ sei
          $$\mathcal{C}_\mathcal{H}(X) := \bigcap \{H \in \mathcal{H}
          \mid H \supseteq X\}.$$

          Dann ist $\mathcal{C}_\mathcal{H}$ ein H\"ullenoperator auf
          $A$, und die abgeschlossenen Mengen von $\mathcal{C}_\mathcal{H}$
          sind gerade die H\"ullen von $\mathcal{H}$.
          \medskip

          Sei umgekehrt $\mathcal{C}$ ein H\"ullenoperator auf $A$.
          Dann ist
          $$\mathcal{H}_\mathcal{C} := \{\mathcal{C}(X) \mid X \subseteq A\}$$

        % Seite 107 (Simon Fuhrmann)
          ein H\"ullensystem auf $A$, und die H\"ullen von
          $\mathcal{H}_\mathcal{C}$ sind gerade die abgeschlossenen
          Mengen von $\mathcal{C}$.
          \medskip

          Allerdings haben Unteralgebren-H\"ullenoperatoren und
          Unteralgebren-H\"ullensysteme noch weitere Eigenschaften:

        \paragraph{Definition:}
          \index{Mengensystem, induktiv}
          \index{Induktives Mengensystem}
          Ein Mengensystem $\mathcal{M}$ hei{\ss}t {\bf induktiv},
          falls f\"ur jedes nach oben gerichtete Teilsystem
          $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{M}$ gilt:
          $$\bigcup \mathcal{G} \in \mathcal{M}$$

          (Dabei ist $\mathcal{G}$ {\bf nach oben gerichtet}, falls es f\"ur
          alle $X,Y \in \mathcal{G}$ immer ein $Z \in \mathcal{G}$ gibt mit
          $X \cup Y \subseteq Z$.) Ein H\"ullenoperator $\mathcal{C}$
          auf $A$ hei{\ss}t {\bf induktiv}, falls f\"ur alle Teilmengen
          $X \subseteq A$ folgendes gilt:
          $$\mathcal{C}(X) = \bigcup \; \{\mathcal{C}(E) \mid E
          \subseteq X, E \mbox{ endlich} \}$$

          Induktivit\"at ist f\"ur Mengensysteme und f\"ur H\"ullensysteme
          ganz unterschiedlich definiert. Handelt es sich beim Mengensystem
          aber um ein H\"ullensystem, dann stimmen beide Definitionen
          \"uberein:

        \paragraph{Beobachtung:}
          Ein H\"ullensystem $\mathcal{H}$ ist genau dann induktiv, wenn
          der zugeh\"orige H\"ullenoperator $\mathcal{C}_\mathcal{H}$
          induktiv ist.

        \paragraph{Beweis:}
          \qq{$\Rightarrow$} Sei $\mathcal{H}$ ein induktives
          H\"ullensystem auf $A$ und sei $X \subseteq A$. Offenbar gilt $X
          \subseteq \bigcup \; \{\mathcal{C}_\mathcal{H}(E) \mid E \subseteq X,
          E \mbox{ endlich} \} \subseteq \mathcal{C}_\mathcal{H}(X)$. Offenbar
          ist das Teilsystem $\{\mathcal{C}_\mathcal{H}(E) \mid E \subseteq X,
          E \mbox{ endlich} \} \subseteq \mathcal{H}$ nach oben gerichtet,
          denn f\"ur je zwei endliche Mengen $E_1, E_2 \subseteq X$ gilt
          $\mathcal{C}_\mathcal{H}(E_1) \cup \mathcal{C}_\mathcal{H}(E_2)
          \subseteq \mathcal{C}_\mathcal{H}(E_1 \cup E_2)$.
          Da $\mathcal{H}$ als induktiv vorausgesetzt ist, folgt
          $\bigcup \; \{\mathcal{C}_\mathcal{H}(E) \mid E \subseteq X,
          E \mbox{ endlich} \} \in \mathcal{H}$ und daher
          $\mathcal{C}_\mathcal{H}(X) = \bigcup \;
          \{\mathcal{C}_\mathcal{H}(E) \mid E \subseteq X,
          E \mbox{ endlich} \}$. Damit ist der H\"ullenoperator
          $\mathcal{C}_\mathcal{H}$ als induktiv nachgewiesen.
          \medskip

          \qq{$\Leftarrow$} Werde nun der H\"ullenoperator
          $\mathcal{C}_\mathcal{H}$ als induktiv vorausgesetzt. Sei
          das Teilsystem $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{H}$ nach oben
          gerichtet. Es muss $\bigcup \mathcal{G} \in \mathcal{H}$
          gezeigt werden: F\"ur jede endliche Teilmenge
          $E = \{e_1, \dots, e_n\}$ von $\bigcup \mathcal{G}$ gibt
          es $G_1, \dots, G_n \in \mathcal{G}$ mit $e_1 \in G_1, \dots, e_n
          \in G_n$, das hei{\ss}t mit $E \subseteq G_1 \cup \dots \cup G_n$.
          Da $\mathcal{G}$ nach oben gerichtet ist und $G_1 \cup \dots \cup
          G_n$ eine {\em endliche} Vereinigung ist, gibt es eine Menge
          $G_E \in \mathcal{G}$ mit $G_1 \cup \dots \cup G_n \subseteq G_E$.
          Also gilt $E \subseteq G_E$ und $\mathcal{C}_\mathcal{H}(E)
          \subseteq \mathcal{C}_\mathcal{H}(G_E) = G_E$. Mit der
          Induktivit\"at von $\mathcal{C}_\mathcal{H}$ folgt jetzt:
          \begin{eqnarray*}
            \mathcal{C}_\mathcal{H}\left(\bigcup \mathcal{G}\right)
                & = & \bigcup \; \{\mathcal{C}_\mathcal{H}(E) \mid
                E \subseteq X, E \mbox{ endlich}\} \\
            & \subseteq & \bigcup \; \{G_E \mid E \subseteq \bigcup
                \mathcal{G}, E \mbox{ endlich}\} \\
            & \subseteq & \bigcup \mathcal{G}
          \end{eqnarray*}

          Wegen der Extensivit\"at von $\mathcal{C}_\mathcal{H}$ folgt
          $\mathcal{C}_\mathcal{H}(\bigcup \mathcal{G}) =
          \bigcup \mathcal{G}$, was gleichbedeutend ist mit
          $\bigcup \mathcal{G} \in \mathcal{H}$.
          \hfill $\square$

        \paragraph{Satz:} {\sf (a)} F\"ur jede Algebra $\underline{A} =
          (A, F)$ ist $\Sub(\underline{A})$ ein induktives H\"ullensystem,
          und $\Angle_{\underline{A}}$ ist ein induktiver
          H\"ullenoperator.
          \medskip

          {\sf (b)} Umgekehrt gibt es zu jedem induktiven H\"ullensystem
          $\mathcal{H}$ auf $A$ eine Algebra $\underline{A} = (A, F)$ mit
          $\mathcal{H} = \Sub(\underline{A})$ und $\mathcal{C}_\mathcal{H}
          = \Angle_{\underline{A}}$.

        % Seiten 109-112 (Christian M. Meyer)
        \paragraph{Beweis:}
          {\sf (a)} Sei $\mathcal{G} \subseteq \Sub(\underline{A})$ nach oben
          gerichtet. Es ist $\bigcup \mathcal{G} \in \Sub(\underline{A})$
          nachzuweisen. Sei $f \in F$ ($n$-stellig) und $b_1, \dots, b_n
          \in \bigcup \mathcal{G}$. Dann gibt es $G_1, \dots G_n \in
          \mathcal{G}$ mit $b_1 \in G_1, \dots, b_n \in G_n$.
          Da $\mathcal{G}$ nach oben gerichtet ist, gibt es ein
          $G \in \mathcal{G}$ mit $G_1 \cup \cdots \cup G_n \subseteq G$,
          also mit $b_1, \dots b_n \in G$. Wegen $G \in \Sub(\underline{A})$
          folgt $f(b_1, \dots, b_n) \in G$. Damit ist $\bigcup \mathcal{G}
          \in \Sub(\underline{A})$ gezeigt. Die Induktivit\"at von
          $\Angle_{\underline A}$ folgt aus der von $\Sub(\underline{A})$.
          \medskip

          {\sf (b)} Es wird eine Algebra $\underline{A}$ mit
          $\mathcal{C}_\mathcal{H} = \Angle_{\underline A}$ definiert.
          ($\mathcal{H} = \Sub(\underline{A})$ ist dann automatisch
          erf\"ullt): F\"ur jede endliche Teilmenge $E = \{e_1, \dots e_n\}$
          von $A$ und jedes $b \in \mathcal{C}_\mathcal{H}(E)$ wird eine
          $n$-stellige Operation $f_{E, b}$ auf $A$ definiert:
          $$f_{E, b}(x_1, \dots, x_n) := \left\{\begin{array}{ll}
            b   & \mbox{falls $\{x_1, \dots, x_n\} = E$} \\
            x_1 & \mbox{sonst}
          \end{array}\right.$$

          Die Algebra mit diesen Operationen werde $\underline{A}$ genannt.
          Zu zeigen ist $\mathcal{C}_\mathcal{H}(X) = \Angle[X]_{\underline A}$
          f\"ur alle $X \subseteq A$. Sei $b \in \mathcal{C}_\mathcal{H}(X)$.
          Wegen Induktivit\"at von $\mathcal{C}_\mathcal{H}$ folgt die
          Existenz einer {\em endlichen} Menge $E = \{e_1, \dots, e_n\}
          \subseteq X$ mit $b \in \mathcal{C}_\mathcal{H}(E)$. F\"ur die
          Operation $f_{E, b}$ gilt dann $f_{E, b}(e_1, \dots, e_n) = b$.
          Es folgt $b \in \Angle[e_1, \dots, e_n]_{\underline A} \subseteq
          \Angle[X]_{\underline A}$, womit $\mathcal{C}_\mathcal{H}(X)
          \subseteq \Angle[X]_{\underline A}$ gezeigt ist. F\"ur die
          umgekehrte Inklusion $\Angle[X]_{\underline A} \subseteq
          \mathcal{C}_\mathcal{H}(X)$ gen\"ugt der Nachweis, dass
          $\mathcal{C}_\mathcal{H}(X)$ eine Unteralgebra von $\underline{A}$
          ist. Sei also $b_1, \dots, b_n \in \mathcal{C}_\mathcal{H}(X)$,
          und sei $f_{E, b}$ eine der oben definierten Operationen, also
          mit endlichem $E$ und $b \in \mathcal{C}_\mathcal{H}(E)$. Es gibt
          {\em zwei F\"alle}: {\sf 1)} Im Fall $\{b_1, \dots. b_n\} = E$
          gilt $f_{E, b}(b_1, \dots, b_n) = b$ mit $b \in
          \mathcal{C}_\mathcal{H}(b_1, \dots, b_n) \subseteq
          \mathcal{C}_\mathcal{H}\big(\mathcal{C}_\mathcal{H}(X)\big)
          = \mathcal{C}_\mathcal{H}(X)$.
          {\sf 2)} Die einzige andere M\"oglichkeit ist
          $f_{E, b}(b_1, \dots, b_n) = b_1$ (im Fall $\{b_1, \dots, b_n\}
          \ne E$). Daher gilt in beiden F\"allen $f_{E, b}(b_1, \dots, b_n)
          \in \mathcal{C}_\mathcal{H}(X)$
          \hfill$\square$
          \medskip

        Damit ist vollst\"andig gekl\"art, wie Unteralgebren-H\"ullensysteme
        und Unter"-alge"-bren-H\"ullenoperatoren aussehen. Jetzt wird noch
        untersucht, wie die Unteralgebren einer Algebra {\em abstrakt}
        angeordnet sein k\"onnen. Dies wird in der Sprache der
        {\bf Verb\"ande} formuliert. Es handelt sich dabei um algebraische
        Strukturen, die aber als geordnete Mengen aufgefasst werden
        k\"onnen.

        \paragraph{Definition:}
          \index{Verband}
          Ein {\bf Verband} ist eine Algebra $(L; \vee, \wedge)$ vom
          Typ $(2, 2)$, mit den Operationen $\vee$ (\qq{{\em Verbindung}})
          und $\wedge$ (\qq{{\em Schnitt}}), so dass folgende Gleichungen
          erf\"ullt sind:
          \bigskip

          \begin{tabular}{lll}
            \sf (komm) & $x \vee y = y \vee x$,\qquad $x \wedge y = y \wedge x$
                       & \bf Kommutativit\"at \\
            \sf (ass)  & $x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z$ & \\
                       & $x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z$
                       & \bf Assoziativit\"at \\
            \sf (abs)  & $x \vee (x \wedge y) = x$,\qquad
                         $x \wedge (x \vee y) = x$ \qquad
                       & \bf Absorption
          \end{tabular}
          \bigskip

          Man beachte, dass die {\em duale} Form jeder dieser Gleichungen
          (die durch Vertauschen von $\vee$ und $\wedge$ entsteht) auch zu
          diesen Gleichungen geh\"ort. Deshalb gilt:

        \paragraph{Beobachtung:}
          Leitet man aus diesen Gleichungen eine Aussage ab, dann gilt
          automatisch auch die dazu duale Aussage.
          \medskip

          Zur Illustration eine einfach Anwendung:

        \paragraph{Behauptung:}
          In jedem Verband gelten die folgenden Gleichungen:
          \bigskip

          \begin{tabular}{cll}
            \sf (idem) & $x \vee x = x$,\qquad $x \wedge x = x$
                       & \bf Idempotenz
          \end{tabular}

        \paragraph{Beweis:}
          Aufgrund obiger Beobachtung gen\"ugt es, die erste dieser
          Gleichungen zu zeigen. Dies gelingt sehr leicht:
          $$x \vee x \stackrel{\sf (1)}{=} x \vee
          \big(x \wedge (x \vee y)\big) \stackrel{\sf (2)}{=} x$$

          wobei f\"ur {\sf (1)} die zweite und f\"ur {\sf (2)} die
          erste {\sf (abs)}-Gleichuung verwendet werden kann.
          \hfill$\square$

        \label{S111Beispiel}
        \paragraph{Beispiel:}
          Der Verband $(L; \vee, \wedge)$ wird durch
          {\em Verkn\"upfungstafeln} dargestellt. Die G\"ultigkeit
          der Kommutativgesetze ist offensichtlich (ebenso der Idempotenz).
          Aber Assoziativit\"at und Absorption sind nicht so offensichtlich:
          $$\begin{array}{c|ccccc}
            \vee & a & b & c & d & e \\\hline
             a   & a & b & c & d & e \\
             b   & b & b & d & d & e \\
             c   & c & d & c & d & e \\
             d   & d & d & d & d & e \\
             e   & e & e & e & e & e
          \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{c|ccccc}
            \wedge & a & b & c & d & e \\\hline
              a    & a & a & a & a & a \\
              b    & a & b & a & b & b \\
              c    & a & a & c & c & c \\
              d    & a & b & c & d & d \\
              e    & a & b & c & d & e
          \end{array}$$

          Man versteht Verb"ande viel besser, wenn man sie als geordnete
          Mengen auffassen kann:

        \paragraph{Beobachtung:}
          \index{Verband, geordneter}
          \index{Mengen, verbandsgeordnete}
          \index{Verbandsgeordnete Menge}
          Sei $(L; \vee, \wedge)$ ein Verband. F\"ur alle $x, y \in L$
          sei
          $$x \le y \quad:\Leftrightarrow\quad x \wedge y = x$$

          Dann ist $(L; \le)$ eine geordnete Menge, genannt eine
          {\bf verbandsgeordnete Menge}.

        \paragraph{Beweis:}
          F"ur die Relation $\le$ muss Reflexivit\"at, Antisymmetrie
          und Transitivit\"at gezeigt werden. {\em Reflexivit\"at:}
          wegen {\sf (idem)} gilt $x \wedge x = x$ f\"ur alle
          $x \in L$, also $x \le x$. {\em Antisymmetrie:}
          Gelte $x \le y$ und $y \le x$. Das bedeutet $x \wedge y = x$
          und $y \wedge x = y$. Aber {\sf (komm)} liefert $x \wedge y = y$,
          also $x = y$. {\em Transitivit\"at:} Gelte $x \le y$ und $y \le z$.
          Das bedeutet $x \wedge y = x$ und $y \wedge z = y$. Es folgt
          $$x \wedge z = (x \wedge y) \wedge z \stackrel{\sf (ass)}{=}
          x \wedge (y \wedge z) = x \wedge y = x$$

          also $x \le z$.
          \hfill$\square$

        \paragraph{\"Ubrigens:}
          Man h\"atte oben auch
          $$x \le y \quad:\Leftrightarrow\quad x \vee y = y$$

          definieren k\"onnen. Wegen $x \wedge y = x \Leftrightarrow
          x \vee y = y$ h\"atte sich nichts ge\"andert!

        % S113 - S120 (Christian Schaeck)
        \label{S113Beispiel}
        \paragraph{Beispiel:} (von Seite \pageref{S111Beispiel} fortgesetzt):
          Alle Informationen \"uber diesen Verband ist in folgendem
          Diagramm der zugeh\"origen geordneten Menge $(L,\leq)$ enthalten
          (viel \"ubersichtlicher als in den Verkn\"upfungstafeln!).

          % Graph: Liniendiagramm des Verbandes (L, <=)
          \begin{figure}[h]
            \centering
            \begin{picture}(50,60)
              \put(20, 0){\circle*{2}}
              \put( 0,20){\circle*{2}}
              \put(40,20){\circle*{2}}
              \put(20,40){\circle*{2}}
              \put(20,60){\circle*{2}}

              \put(20,40){\line(0,1){20}}
              \put(20, 0){\line(1,1){20}}
              \put(20, 0){\line(-1,1){20}}
              \put( 0,20){\line(1,1){20}}
              \put(40,20){\line(-1,1){20}}

              \put(24,-5){\small $a$}
              \put(24,40){\small $d = b \vee c$}
              \put(24,60){\small $e$}
              \put(-8,20){\small $b$}
              \put(44,20){\small $c$}

              \put(-5,50){\makebox(0,0){$(L, \le)$}}
            \end{picture}
            \caption{Liniendiagramm des Verbandes $(L, \le)$}
          \end{figure}

          Nat\"urlich lassen sich die Verbandsoperationen $\vee$ und
          $\wedge$ auch umgekehrt aus der Ordnungsrelation $\leq$
          zur\"uckerhalten. Dazu einige Begriffe:

        \paragraph{Definition:} Sei $(A,\leq)$ eine geordnete Menge, und seien
          $x,y\in A$. Ein Element $b\in A$ hei{\ss}t eine {\bf obere Schranke}
          von $x$ und $y$, falls $b \geq x$ und $b \geq y$ gilt.
	  \medskip
	  
	  Sei $B$ die
          Menge aller oberen Schranken von $x$ und $y$. Falls es ein kleinstes
          Element von $B$ gibt, das hei{\ss}t ein Element $b_0\in B$ mit
          $b_0\leq b$ f\"ur alle $b\in B$, dann hei{\ss}t $b_0$ das {\bf
          Supremum} (oder die {\bf kleinste obere Schranke} oder -- einfacher
	  -- die {\bf Verbindung}) von $x$ und $y$, geschrieben als
          $b_0=\sup(x,y)$.
	  \medskip

	  Die {\bf dualen Begriffe} (mit \qq{$\leq$} und
          \qq{$\geq$} in vertauschten Rollen) sind: {\bf untere Schranke} von
          $x$ und $y$, die Menge aller unteren Schranken von $x$ und $y$,
          gr\"o{\ss}tes Element $c_0$ von $C$ (genannt {\bf Infimum} oder
          gr\"o{\ss}te untere Schranke oder {\bf Schnitt}) von $x$ und $y$,
          geschrieben als $c_0=\inf(x,y)$.

        %TODO Graph S.114 oben rechts noch hier hin

        \paragraph{Beispiele}
          \begin{itemize}
          \item{In folgender geordneten Menge $(A,\leq)$ handelt es sich bei
                den oberen Schranken von $d$ und $e$ um die Elemente von
                $B=\{a,b,c\}$. Diese Menge hat zwei minimale Elemente
                (n\"amlich $b$ und $c$), aber kein kleinstes Element. Also gibt
                es kein Supremum von $d$ und $e$. \"Ubrigens existiert auch
                kein Infimum von $d$ und $e$.

                % Graph: Liniendiagramm des Verbandes (A, <=)
                \begin{figure}[h]
                  \centering
                  \begin{picture}(60,50)
                    \put(10, 0){\circle*{2}}
                    \put(10,20){\circle*{2}}
                    \put(10,40){\circle*{2}}
                    \put(50, 0){\circle*{2}}
                    \put(50,20){\circle*{2}}

                    \put(10, 0){\line(0,1){40}}
                    \put(50, 0){\line(0,1){20}}
                    \put(10, 0){\line(2,1){40}}
                    \put(10,20){\line(2,-1){40}}

                    \put( 3,-2){\small $d$}
                    \put( 3,18){\small $b$}
                    \put( 3,38){\small $a$}
                    \put(53,-2){\small $e$}
                    \put(53,18){\small $c$}

                    \put(50,40){\makebox(0,0){$(A, \le)$}}
                  \end{picture}
                  \caption{Liniendiagramm des Verbandes $(A, \le)$}
                \end{figure}
                }
          \item{Im Beispiel von Seite \pageref{S111Beispiel}
	        %beziehungsweise Seite \pageref{S113Beispiel}
		existieren $\sup(x,y)$ und $\inf(x,y)$ f\"ur
		alle $x,y\in L$, zum Beispiel:
                $\sup(b,c)=d$, $\inf(b,c)=a$, $\inf(e,b)=b$.}
          \end{itemize}

        \paragraph{Satz:}
          Sei $(L;\vee;\wedge)$ ein Verband. Dann existieren in der
          zugeh\"origen verbandsgeordneten Menge $(L,\leq)$ alle
          Suprema $\sup(x,y)$ und alle Infima $\inf(x,y)$, und es gilt:
          $\sup(x,y)=x\vee y$, $\inf(x,y)=x\wedge y$.

        \paragraph{Kurz gesagt:} Verb\"ande \qq{sind} nichts anderes als
          geordnete Mengen, in denen alle Suprema und Infima (von je
          zwei Elementen) existieren.

        \paragraph{Beweisplan f\"ur obigen Satz}
          (Details seien dem Leser \"uberlassen): Wegen Dualit\"at reicht
          es, den Sup-Teil zu beweisen. F\"ur alle $x,y\in L$ muss gezeigt
          werden:

          \begin{enumerate}
            \item{$x\leq x\vee y$ (und -- dazu symmetrisch -- $y\leq x\vee y$)}
           \item{aus $x\leq z$ und $y\leq z$ folgt $x\vee y \leq z$}
          \end{enumerate}

           F\"ur 1. muss $x\vee (x\vee y) = x\vee y$ gezeigt werden.
           F\"ur 2. muss folgende Implikation nachgewiesen werden:
           $x\vee z=z$, $y\vee z=z \Longrightarrow (x\vee y)\vee z=z$

        \paragraph{Beispiele:}
          \begin{itemize}
          \item {\bf Mengen}: F\"ur jede Menge $A$ ist die geordnete Menge
                $(\PM(A),\subseteq)$, die Potenzmenge von $A$ mit
                Mengeninklusion $\subseteq$, ist verbandsgeordnet. Der
                zugeh\"orige Verband ist $(\PM(A),\cup,\cap)$.
          \item {\bf Teiler}: Mit $x \mid y$ (\qq{x teilt y}) erh\"alt man 
                eine verbandsgeordnete Menge $(\N, \mid)$. {\bf Aufgabe}: 
                Was sind die Suprema und die Infima in $(\N, \mid)$?
          \item {\bf Unteralgebren} (bzw. deren Grundmengen): Sei
                $\underline{A}=(A;F)$ eine Algebra, dann sei
		($\Sub(\underline{A}),\subseteq$) die
                geordnete Menge aller Unteralgebren von $\underline{A}$.
		Diese ist verbandsgeordnet, f\"ur Unteralgebren
		$B$, $C$ von $\underline{A}$ gilt:\\
                $\inf(B,C)=B\cap C$,
                $\sup(B,C)=\langle B\cup C \rangle$, die von
                $B\cup C$ erzeugte Unteralgebra.
          \end{itemize}

          Mit dem letzten Beispiel ist gekl\"art, dass die Unteralgebren
          einer Algebra einen Verband bilden, aber noch nicht, welche
          Verb\"ande (abstrakt) als Unteralgebren-Verb\"ande auftreten.
          Dies wird im Rest dieses Einschubs behandelt (aber ohne alle
          Beweise).

        \paragraph{Definition:}
          Sei $(A,\leq)$ eine geordnete Menge und $X\subseteq A$ eine
          Teilmenge.  Falls eine kleinste obere Schranke $\sup(X)$ von $X$
          existiert, wird diese auch mit $\bigvee X$ bezeichnet, {\bf
          Supremum} von $X$.  Entsprechend wird, falls existent, eine
          gr\"o{\ss}te untere Schranke $\inf(X)$ von $X$ mit $\bigwedge X$
          bezeichnet, {\bf Infimum} von $X$.
	  \medskip

          Eine verbandsgeordnete Menge $(L,\leq)$ (beziehungsweise der
          zugeh\"orige Verband $(L;\vee ;\wedge)$) hei{\ss}t {\bf
          vollst\"andiger Verband}, falls f\"ur jede Teilmenge $X\subseteq
          L$ das Supremum $\bigvee X$ und das Infimum $\bigwedge X$
          existiert.
          \medskip

          Ist $(L,\leq)$ ein vollst\"andiger Verband, dann hei{\ss}t ein
          Element $a\in L$ {\bf kompakt}, falls es zu jeder Menge
          $B\subseteq L$ mit $a\leq \bigvee B$ eine {\bf endliche}
          Teilmenge $B_0\subseteq B$ gibt mit $a\leq \bigvee B_0$.
          \medskip

          Ein {\bf algebraischer Verband} ist ein vollst\"andiger Verband, in
          dem jedes Element ein Supremum kompakter Elemente ist.

        \paragraph{Beispiele:}
          \begin {itemize}
          \item{Die geordnete Menge $(\R,\leq)$, mit der \"ublichen Ordnung,
                ist zwar verbandsgeordnet, aber kein vollst\"andiger Verband:
                Das Supremum $\bigvee$ X existiert genau dann, wenn $X$ nach
                oben beschr\"ankt ist. Zum Beispiel existiert das Supremum
                $\bigvee \R$ nicht. In $(\R,\leq)$ gibt es keine kompakten
                Elemente: Sei $a\in \R$ und $\R_{<a}:=\{x\in\R | x<a\}$. Dann
                gilt $\bigvee \R_{<a}=a$, aber f\"ur jede endliche Teilmenge
                $E\subseteq \R_{<a}$ gilt $\bigvee E= \max(E)<a$.}
          \item{F\"ugt man zu $(\R,\leq)$ ein zus\"atzliches kleinstes Element
                $-\infty$ und ein zus\"atzliches gr\"o{\ss}tes Element
                $+\infty$ hinzu, erh\"alt man einen vollst\"andigen Verband
                $(\R \cup \{-\infty ,+\infty \},\leq)$, der aber wiederum
                keine kompakten Elemente enth\"alt und nicht algebraisch ist.}
          \item{Sei $\mathcal{H}$ ein H\"ullensystem auf $A$. Dann ist
		$(\mathcal{H},\subseteq)$ ein vollst\"andiger Verband.
		F\"ur jede Teilmenge $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{H}$
		ist $\bigwedge \mathcal{X} := \bigcap \mathcal{X}$ das
		Infimum von $\mathcal{X}$ und $\bigvee \mathcal{X} :=
		\bigcap\{ H\in \mathcal{H} \mid H \supseteq \bigcup
		\mathcal{X}\}$ das Supremum von $\mathcal{X}$ (vergleiche die
		Bemerkung auf Seite \pageref{S106Bemerkung}).}
          \end{itemize}

          Damit ist klar, dass es sich bei den Unteralgebrenverb\"anden
          $(\Sub(A),\subseteq)$ um vollst\"andige Verb\"ande handelt. Aber
          au{\ss}erdem ist schon bekannt, dass $\Sub(A)$ f\"ur jede Algebra
          $A$ sogar ein induktives H\"ullensystem ist. Dies wirkt sich auf die
          Verb\"ande $(\Sub(A), \subseteq)$ wie folgt aus (ohne Beweis):

        \paragraph{Bemerkung:}
          F\"ur jede Algebra $A$ ist $(\Sub(A),\subseteq)$ ein algebraischer
          Verband.

          Aber man wei{\ss} sogar viel mehr. Der folgende Satz gibt eine
          vollst\"andige Charakterisierung von Unteralgebrenverb\"anden
          (ebenfalls ohne Beweis):

        \paragraph{Satz:}
          Ein vollst\"andiger Verband $L$ ist genau dann {\bf
          isomorph} zum Unteralgebrenverband einer Algebra, wenn $L$
          algebraisch ist.
          \medskip

        Zwei algebraische Strukturen werden {\bf isomorph} genannt, wenn sie
        \qq{bis auf eine Umbenennung} der Elemente der Grundmengen mittels
        einer bijektiven Abbildung identisch sind.
        Sp\"ater in diesem Abschnitt wird das Konzept der \qq{Isomorphie}
        von Algebren systematisch betrachtet!
        \medskip

        Es folgt eine zweite Art, nach Unteralgebren, wie man aus gegebenen
        Algebren erh\"alt.

      \subsubsection{Das direkte Produkt}
        \paragraph{Definition:}
          Seien $\underline{A} = (A; F_{\underline{A}})$ und $\underline{B}
          = (B; F_{\underline{B}})$ Algebren des selben Typs $(\mathcal{F},
          \sigma)$. Das {\bf direkte Produkt} $\underline{A} \times
          \underline{B} =(A \times B; F_{\underline{A} \times \underline{B}})$
          hat die Grundmenge $A \times B$ und ist vom selben
          Typ: f\"ur jedes Operationssymbol $f\in \mathcal{F}$ mit
          $\sigma(f) = n$ und f\"ur Elemente $(a_1, b_1), \ldots, (a_n, b_n)
          \in A \times B$ wird definiert:
	  $$f_{\underline{A}\times \underline{B}}\big((a_1, b_1), \ldots,
	  (a_n,b_n)\big) := \big(f_{\underline{A}}(a_1,\ldots,a_n),
	  f_{\underline{B}}(b_1,\ldots,b_n)\big)$$

          das hei{\ss}t die Operationen \"ubertragen sich
          komponentenweise von $\underline{A}$ und $\underline{B}$ auf
          $\underline{A} \times \underline{B}$. \"Ubrigens werden ganz
          analog direkte Produkte $\underline{A}_1 \times \ldots \times
          \underline{A}_k$ von $k$ Algebren $\underline{A}_1, \ldots,
          \underline{A}_k$ oder sogar direkte Produkte $\prod_{i \in I}
          \underline{A}_i$ von -- eventuell -- unendlich vielen
          Algebren $\underline{A}_i, i \in I$, gebildet.

        \paragraph{Beispiele}
          \begin{itemize}
            \item{Die Halbgruppen $\underline{S} = (S; \cdot)$ und
                $\underline{T} = (T; \cdot)$ seien durch ihre
                Verkn\"upfungstafeln gegeben, ebenso das direkte
                Produkt $\underline{S} \times \underline{T}$ (das
                ebenfalls eine Halbgruppe ist):

                \begin{figure}[h]
                  \centering
                  \begin{picture}(300,80)
                    \put(0,45){
                      $\begin{array}{c|cc}
                        \cdot & 0 & 1 \\\hline
                        0 & 0 & 0 \\
                        1 & 0 & 1
                      \end{array}$}
                    \put(35,10){\makebox(0,0){\scriptsize
                        $\underline{S} = (S; \cdot)$}}

                    \put(70,45){
                      $\begin{array}{c|ccc}
                        \cdot & a & b & c \\\hline
                        a & a & b & c \\
                        b & b & c & a \\
                        c & c & a & b
                      \end{array}$}
                    \put(105,10){\makebox(0,0){\scriptsize
                        $\underline{T} = (T; \cdot)$}}

                    \put(150,45){
                      $\begin{array}{c|cccccc}
                        \cdot & 0a & 0b & 0c & 1a & 1b & 1c \\\hline
                        0a & 0a & 0b & 0c & 0a & 0b & 0c \\
                        0b & 0b & 0c & 0a & 0b & 0c & 0a \\
                        0c & 0c & 0a & 0b & 0c & 0a & 0b \\
                        0a & 0a & 0b & 0c & 1a & 1b & 1c \\
                        0b & 0b & 0c & 0a & 1b & 1c & 1a \\
                        0c & 0c & 0a & 0b & 1c & 1a & 1b
                      \end{array}$}
                    \put(310,45){$\underline{S} \times \underline{T}$}
                    \put(180,-5){\scriptsize (Hierbei steht \qq{$xy$}
                        f\"ur \qq{$(x, y)$})}
                  \end{picture}
                \end{figure}}
             \item{Seien die Verb\"ande $\underline{L}_1$ und
                 $\underline{L}_2$ durch ihre Liniendiagramme gegeben.
                 Das direkte Produkt $\underline{L}_1 \times \underline{L}_2$
                 hat dann folgendes Liniendiagramm:

                 % Graph: Direktes Produkt von Verbaenden.
                 \begin{figure}[h]
                   \centering
                   \begin{picture}(150,50)
                     % Erster Verband.
                     \put(  0, 15){\line(0,1){20}}
                     \put(  0, 15){\circle*{2}}
                     \put(  0, 35){\circle*{2}}
                     \put( 10, 25){\makebox{$\underline{L}_1$}}

                     % Zweiter Verband.
                     \put( 50, 10){\line(0,1){40}}
                     \put( 50, 10){\circle*{2}}
                     \put( 50, 30){\circle*{2}}
                     \put( 50, 50){\circle*{2}}
                     \put( 60, 25){\makebox{$\underline{L}_2$}}

                     % Resultat.
                     \put(100, 10){\circle*{2}}
                     \put(110, 30){\circle*{2}}
                     \put(120, 50){\circle*{2}}
                     \put(130,  0){\circle*{2}}
                     \put(140, 20){\circle*{2}}
                     \put(150, 40){\circle*{2}}
                     \put(100, 10){\line(1,2){20}}
                     \put(130,  0){\line(1,2){20}}
                     \put(100, 10){\line(3,-1){30}}
                     \put(110, 30){\line(3,-1){30}}
                     \put(120, 50){\line(3,-1){30}}
                     \put(160, 25){\makebox{$\underline{L}_1
                         \times \underline{L}_2$}}
                   \end{picture}
                   \caption{Direktes Produkt von Verb\"anden.}
                 \end{figure}

                 {\sl Aufgabe}: Schreibe f\"ur $\underline{L}_1$,
                 $\underline{L}_2$, $\underline{L}_1 \times \underline{L}_2$
                 die Schnittoperationen $\wedge$ und die
                 Verbindungsoperationen $\vee$ (als Verkn\"upfungstafeln).}
           \end{itemize}

          Als n\"achstes Konzept zum Erhalt \qq{neuer} Algebren aus
          \qq{alten} folgen die Begriffe {\bf Kongruenzrelation} und
          {\bf Faktoralgebra}:

      \subsubsection{Kongruenzrelation}
        \paragraph{Definition:}
          \index{Kongruenzrelation}
          \index{Relationen, Kongruenz-}
          Sei $\underline{A} = (A; F_{\underline{A}})$ eine Algebra vom Typ
          $(\mathcal{F}, \sigma)$ und sei $\Theta$ eine \"Aquivalenzrelation
          auf $A$. Man nennt $\Theta$ eine {\bf Kongruenzrelation} auf $A$,
          falls f\"ur alle Operationssymbole $f \in \mathcal{F}$
          (mit $\sigma(f) = n$) folgendes gilt f\"ur alle
          $a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n \in A$:
          \medskip

          \label{VertraeglichkeitS119}
          \begin{tabular}{ll}
            \sf (Vert) & $a_1 \Theta b_1, \ldots, a_n \Theta b_n \Longrightarrow
                f_{\underline{A}}(a_1, \ldots, a_n) \Theta
                f_{\underline{A}}(b_1, \ldots, b_n)$
          \end{tabular}
          \medskip

          Man nennt unter diesen Umst\"anden die Relation $\Theta$ mit der
          Operation $f_{\underline{A}}$ {\bf vertr\"aglich}. Die
          Kongruenzrelationen auf $A$ sind also gerade die
          \"Aquivalenzrelationen, die mit s\"amtlichen fundamentalen
          Operationen $f_{\underline{A}}$ vertr\"aglich sind.

        \label{S120Beispiel}
        \paragraph{Beispiel:}
          Es werde die Halbgruppe von Seite \pageref{GruppeS91}
          betrachtet, sie werde mit $\underline{S} = (S; \cdot)$ bezeichnet.
          \medskip

          \begin{center}
          \begin{tabular}{c|cccc}
            $\cdot$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ \\ \hline
            $a$     & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ \\
            $b$     & $b$ & $b$ & $c$ & $d$ \\
            $c$     & $c$ & $c$ & $c$ & $d$ \\
            $d$     & $d$ & $d$ & $d$ & $d$ \\
          \end{tabular}
	  \end{center}
          \medskip

          Es ist \"ubersichtlicher, die Kongruenzrelationen durch ihre
          \"Aquivalenzklassen (\qq{Kongruenzklassen}) anzugeben. Die
          Halbgruppe $\underline{S}$ hat zum Beispiel Kongruenzrelationen
	  $\Theta_1$ und $\Theta_2$ mit den folgenden Kongruenzklassen:
          \begin{eqnarray*}
            & \Theta_1: & \{a\},\{b,c\},\{d\}, \\
            & \Theta_2: & \{a,b\},\{c,d\}.
          \end{eqnarray*}

	  F\"ur jede Algebra $\underline{A}$ wird die Menge der
	  Kongruenzrelationen von $\underline{A}$ mit $\Con(\underline{A})$
	  bezeichnet.  Mit Mengeninklusion \qq{$\subseteq$} als Ordnung
	  erh\"alt man einen (vollst\"andigen) Verband
	  $\big(\Con(\underline{A}), \subseteq \big)$. Das kleinste Element
	  dieses Verbands ist immer $\Delta_A :=\{(a,a) \mid a \in A\}$
	  (\qq{Delta-$A$}, \qq{Identit\"at}) w\"ahrend das gr\"o{\ss}te
	  Element mit $\nabla_A := \{(a,b) \mid a,b\in A\}$
	  (\qq{Nabla-$A$}, \qq{Allrelation}) bezeichnet ist.
	  \medskip

	  {\sl Aufgabe:} Finde alle Kongruenzrelationen der Halbgruppe
	  $\underline{S}$ oben auf dieser Seite. Zeichne ein Liniendiagramm
	  des Verbands $\big(\Con(\underline{S}), \subseteq\big)$.
	  Folgende Tatsachen helfen beim Verst\"andnis sowie beim L\"osen
	  obiger Aufgabe:
	  \medskip

          % Seite 121-128 (Simon Fuhrmann)
          Die Menge aller \"Aquivalenzrelationen auf einer Menge
          $A$ werde mit $\Eq(A)$ bezeichnet, sie bildet mit
          Mengeninklusion \qq{$\subseteq$} einen Verband
          $\big(\Eq(A), \subseteq\big)$.
          Das folgende Diagramm zeigt ein {\bf Liniendiagramm} des Verbands
          $\big(\Eq(A), \subseteq\big)$ f\"ur $A = \{1, 2, 3\}$:

          % Graph: Liniendiagramm von (Eq(A), <=).
          \begin{figure}[h]
            \centering
            \begin{picture}(100,70)
              \put(50, 5){
                \put( 0, 0){\circle{24}}
                \put( 0, 8){\circle*{2}}
                \put( 6,-4){\circle*{2}}
                \put(-6,-4){\circle*{2}}
                \put( 4, 8){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 3}}
                \put( 4,-8){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 1}}
                \put(-8, 0){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 2}}
                \put(-10,6){\qbezier(0,0)(10,-6)(20,0)}
                \put(-1, 3){\qbezier(0,0)(3,-7)(-2,-14)}}
              \put(50,35){\circle{24}
                \put( 0, 0){\circle{24}}
                \put( 0, 8){\circle*{2}}
                \put( 6,-4){\circle*{2}}
                \put(-6,-4){\circle*{2}}
                \put( 4, 8){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 3}}
                \put( 4,-8){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 1}}
                \put(-8, 0){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 2}}
                \put(-10,6){\qbezier(0,0)(10,-6)(20,0)}}
              \put(50,65){\circle{24}
                \put( 0, 0){\circle{24}}
                \put( 0, 8){\circle*{2}}
                \put( 6,-4){\circle*{2}}
                \put(-6,-4){\circle*{2}}
                \put( 4, 8){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 3}}
                \put( 4,-8){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 1}}
                \put(-8, 0){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 2}}}
              \put(20,35){\circle{24}
                \put( 0, 0){\circle{24}}
                \put( 0, 8){\circle*{2}}
                \put( 6,-4){\circle*{2}}
                \put(-6,-4){\circle*{2}}
                \put( 4, 8){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 3}}
                \put( 4,-8){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 1}}
                \put(-8, 0){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 2}}
                \put(1,-12){\qbezier(0,0)(-5,15)(9,19)}}
              \put(80,35){\circle{24}
                \put( 0, 0){\circle{24}}
                \put( 0, 8){\circle*{2}}
                \put( 6,-4){\circle*{2}}
                \put(-6,-4){\circle*{2}}
                \put( 4, 8){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 3}}
                \put( 4,-8){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 1}}
                \put(-8, 0){\makebox(0,0){\scriptsize\sf 2}}
                \put(-1,-12){\qbezier(0,0)(5,15)(-9,19)}}

              \put(29,44){\line( 1, 1){12}}
              \put(71,44){\line(-1, 1){12}}
              \put(50,47){\line( 0, 1){ 6}}
              \put(50,17){\line( 0, 1){ 6}}
              \put(41,14){\line(-1, 1){12}}
              \put(59,14){\line( 1, 1){12}}

              \put(15, 5){\makebox(0,0){$\Delta_{\{1, 2, 3\}}$}}
              \put(15,65){\makebox(0,0){$\nabla_{\{1, 2, 3\}}$}}
              \put(115,60){\makebox(0,0){$\Eq(\{1, 2, 3\})$}}
            \end{picture}
            \caption{Liniendiagramm von $\big(\Eq(A), \subseteq\big)$}
          \end{figure}

          Im Verband $\Eq(A)$ (f\"ur beliebiges $A$) gilt, f\"ur $\Theta_1,
          \Theta_2 \in \Eq(A)$:
          \begin{eqnarray*}
            \Theta_1 \wedge \Theta_2 &=& \Theta_1 \cap \Theta_2 \\
            \Theta_1 \vee \Theta_2 &=& \bigcap\{\phi \in \Eq(A) \mid \phi
            \supseteq \Theta_1 \cup \Theta_2\}
          \end{eqnarray*}

          Das Supremum $\Theta_1 \vee \Theta_2$ kann konstruktiv beschrieben
          werden. F\"ur $\Theta_1, \Theta_2 \in \Eq(A)$ sei das {\bf
          Relationenprodukt} $\Theta_1 \circ \Theta_2$ definiert wie folgt:
          $$\Theta_1 \circ \Theta_2 := \{ (x,y) \mid \exists z \in A\colon
          x \; \Theta_1 \; z \; \Theta_2 \; y \}$$

          Man beachte, dass das Relationenprodukt assoziativ ist, also keine
          Klammern gesetzt werden m\"ussen. Es gilt:

        \paragraph{Tatsache:} F\"ur jede Menge $A$ und alle $\Theta_1,
        \Theta_2 \in \Eq(A)$ gilt
        $$\Theta_1 \vee \Theta_2 = \Theta_1 \cup (\Theta_1 \circ \Theta_2)
        \cup (\Theta_1 \circ \Theta_2 \circ \Theta_1) \cup (\Theta_1 \circ
        \Theta_2 \circ \Theta_1 \circ \Theta_2) \cup \dots$$

        das hei{\ss}t $(a,b) \in \Theta_1 \vee \Theta_2$ genau dann, wenn
        es sin $n \in \N$ und Elemente $c_1, \dots, c_n \in A$ gibt mit
        $$a = c_1 \; \Theta_1 \; c_2 \; \Theta_2 \; c_3 \; \Theta_1 \; c_4
        \; \dots \; c_n = b$$

        Sind jetzt $\Theta_1, \Theta_2 \in \Con(\underline{A})$
        f\"ur eine Algebra $\underline{A}$, dann gilt, mit den eben
        definierten Operationen $\vee$ und $\wedge$ auf $\Eq(A)$:
        $$\Theta_1 \vee \Theta_2 \in \Con(\underline{A}), \qquad
          \Theta_1 \wedge \Theta_2 \in \Con(\underline{A})$$

        \paragraph{Satz:}F\"ur jede Algebra $\underline{A}$ ist
        $(\Con(\underline{A}), \subseteq)$ ein Unterverband von $(\Eq
        (\underline{A}), \subseteq)$. Au{\ss}erdem gilt immer $\Delta_A,
        \nabla_A \in \Con(\underline{A})$.

        \paragraph{Beispiele:} (a) Hat eine Algebra $\underline{A}$ keine
        fundamentalen Operationen, $F = \emptyset$, so gilt $\Con
        (\underline{A}) = \Eq(A)$.
        \medskip

        (b) Auf jeder Menge $A$ sind die konstanten Operationen
        $$f_c^{(n)} \colon A^n \longrightarrow A, f(x_1, \dots, x_n) = c
        \quad \mbox{f\"ur alle $x_1, \dots, x_n \in A$}$$

        mit allen $\Theta \in \Eq(A)$ vertr\"aglich. Das selbe gilt f\"ur die
        (einstellige) identische Abbildung $\id_A$ auf $A$, aber auch f\"ur
        die Projektionsabbildungen
        % FIXME: _i wirklich tiefgestellt?
        $$P_i^{(n)}\colon A^n \longrightarrow A, P_i^{(n)}(x_1, \dots, c_n)
        := x; \quad \mbox{f\"ur alle $x_1, \dots, x_n \in A$}$$

        (c) Wie in obigem Satz festgestellt, sind $\Delta_A$ und $\nabla_A$
        Kongruenzrelationen f\"ur jede Algebra $\underline{A}$. Im Fall,
        dass es nur diese Kongruenzrelationen gibt, $\Con(\underline{A}) =
        \{\Delta_A, \nabla_A\}$, nennt man die Algebra {\bf einfach}.
	Beispielsweise ist $\underline{A} = (A; \mathrm{Op}(A))$ einfach
	(mit der Menge $\mathrm{Op}(A)$ s\"amtlicher endlichstelliger
	Operationen auf $A$ als Menge der fundamentalen Operationen).
        \medskip

        Wie stellt man allgemein fest, welches die mit einer
        Operationenmenge $F$ auf $A$ vertr\"aglichen
        \"Aquivalenzrelationen, das hei{\ss}t die Kongruenzrelationen der
        Algebra $\underline{A} = (A; F)$ sind? Hierbei kann folgendes
        helfen:

        \paragraph{Definition:}Sei $\underline{A} = (A; F)$ eine Algebra.
        Jede Abbildung der Form
        $$f\colon A \longrightarrow A,\quad 
        x \mapsto f(a_1, \dots, a_{i-1}, x, a_{i+1}, \dots, a_n)$$

        mit $f \in F$ ($n$-stellig) und $a_1, \dots, a_{i-1}, a_{i+1},
        \dots, a_n \in A$ hei{\ss}t eine {\bf Translation} von
        $\underline{A}$.

        \paragraph{Beispiel:}Die Algebra $\underline{S} = (S;\cdot)$ von
        Seite \pageref{S120Beispiel} hat folgende Translationen:
        \bigskip

        \begin{tabular}{lll}
          $x \mapsto a \cdot x$ & mit Wertetabelle &
            \begin{tabular}{c|cccc}
              $x$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ \\ \hline
              $a \cdot x$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$
            \end{tabular} \medskip \\
          $x \mapsto b \cdot x$ & mit Wertetabelle &
            \begin{tabular}{c|cccc}
              $x$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ \\ \hline
              $b \cdot x$ & $b$ & $b$ & $c$ & $d$
            \end{tabular} \medskip \\
          $x \mapsto c \cdot x$ & mit Wertetabelle &
            \begin{tabular}{c|cccc}
              $x$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ \\ \hline
              $c \cdot x$ & $c$ & $c$ & $c$ & $d$
            \end{tabular} \medskip \\
          $x \mapsto d \cdot x$ & mit Wertetabelle &
            \begin{tabular}{c|cccc}
              $x$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ \\ \hline
              $d \cdot x$ & $d$ & $d$ & $d$ & $d$
            \end{tabular} \\
        \end{tabular}
        \bigskip

        Dies sind alle Translationen von $\underline{S}$. Sie entsprechen
        den Zeilen (bzw. Spalten) der Verkn\"upfungstafel.
        \medskip

        Mit den Translationen lassen sich s\"amtliche Kongruenzrelationen
        einer Algebra $\underline{A}$ bestimmen. Zun\"achst k\"onnen
        s\"amtliche {\bf Hauptkongruenzrelationen} $\Theta(x,y) \in \Con
        (\underline{A}), x \neq y$, bestimmt werden. Es handelt sich bei
        $\Theta(x,y)$ um die kleinste das Paar $(x,y)$ enthaltende
        Kongruenzrelation auf $\underline{A}$. Es gilt:

        \paragraph{Bemerkung:}$\Theta(x,y)$ ist die transitive,
        symmetrische H\"ulle der Menge
        $$T(x,y) := \{\left(t(x), t(y)\right) \mid t \mbox{ Translation von
        $\underline{A}$} \}$$

        Die Kongruenzrelationen der Form $\Theta(x,y)$ k\"onnen jetzt
        benutzt werden, um s\"amtliche Kongruenzrelationen von
        $\underline{A}$ zu finden:

        \paragraph{Bemerkung:}F\"ur jede Kongruenzrelation $\Theta \in \Con
        (\underline{A})$ gilt
        $$\Theta = \bigvee \{\Theta(x,y) \mid (x,y) \in \Theta\}$$

        das hei{\ss}t $\Theta$ ist ein Supremum von Hauptkongruenzen.

        \paragraph{Beispiel:}Es wird weiter die Halbgruppe $\underline{S}$
        von \pageref{S120Beispiel} betrachtet. Mit den Translationen vom
        letzen Beispiel erh\"alt man zum Beispiel folgende Paare, ausgehend
        von einem Paar $(x,y)$:
        \bigskip

        \begin{tabular}{lll}
          $(a,b)$: & $(a,b)$, $(b,b)$, $(c,c)$, $(d,d)$ & $\rightarrow$
            $\Theta(a,b)$ hat Klassen $\{a,b\}$, $\{c\}$, $\{d\}$. \\
          $(a,c)$: & $(a,c)$, $(b,c)$, $(c,c)$, $(d,d)$ & $\rightarrow$
            $\Theta(a,c)$ hat Klassen $\{a,b,c\}$, $\{d\}$. \\
          $(a,d)$: & $(a,d)$, $(b,d)$, $(c,d)$, $(d,d)$ & $\rightarrow$
            $\Theta(a,d)$ hat nur Klasse $\{a,b,c,d\}$. \\
        \end{tabular}
        \bigskip

        Und so weiter! Man erh\"alt alle Hauptkongruenzrelationen, und als
        Suprema aus diesen dann s\"amtliche Kongruenzrelationen.
        \medskip

        Man kann zueinander \"aquivalente Elemente bez\"uglich einer
        \"Aquivalenzrelation bekanntlich als \qq{gleich} auffassen,
        jedenfalls aus einem gewissen \qq{Blickwinkel}. So soll das auch
        mit zueinander \"aquivalenten (das hei{\ss}t kongruenten) Elementen
        geschehen:

        \paragraph{Definition:}Sei $\Theta$ eine Kongruenzrelation einer
        Algebra $\underline{A} = (A;F_{\underline{A}})$. Auf der Menge
        $A/\Theta := \{[a]\Theta \mid a \in A \}$ der Kongruenzklassen von
        $\Theta$ wird die Faktoralgebra $\underline{A}/\Theta =
        (A/\Theta;F_{\underline{A}/\Theta})$, indem f\"ur jeden
        $n$-stelliges Operationssymbol $f \in \mathcal{F}$ und alle $a_1,
        \dots, a_n \in A$ folgendes definiert wird:
        $$f_{\underline{A}/\Theta}([a_1]\Theta, \dots, [a_n]\Theta) :=
          [f_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n)]\Theta$$

        Man sagt, dass die Operationen von $f_{\underline{A}/\Theta}$
        \qq{repr\"asentantenweise} definiert werden, in obiger Definition
        ist jedes $a_i$ ein \qq{Repr\"asentant} der Klasse $[a_i]\Theta$.
        Aber das k\"onnte schiefgehen, die Ergebisse k\"onnten von der Wahl
        der Repr\"asentanten abh\"angen. Gl\"ucklicherweise gilt:

        \paragraph{Satz:}Faktoralgebren $\underline{A}/\Theta$ sind
        wohldefiniert: Ist $\Theta$ eine Kongruenzrelation einer Algebra
        $\underline{A}$, ist $f_{\underline{A}}$ eine $n$-stellige,
        fundamentale Operation von $\underline{A}$, und gilt $[a_1]\Theta =
        [b_1]\Theta, \dots, [a_n]\Theta = [b_n]\Theta$, dann gilt auch
        $$f_{\underline{A}/\Theta}([a_1]\Theta, \dots, [a_n]\Theta) =
          f_{\underline{A}/\Theta}([b_1]\Theta, \dots, [b_n]\Theta)$$

        Der Beweis ist ganz offensichtlich (und klappt nur, weil $\Theta$
        eine Kongruenzrelation von $\underline{A}$ ist): Die Vorraussetzung
        $[a_1]\Theta = [b_1]\Theta, \dots, [a_n]\Theta = [b_n]\Theta$
        l\"asst sich schreiben als
        $$a_1\Theta b_1, \dots, a_n\Theta b_n$$

        Da $\Theta$ eine Kongruenzrelation ist, folgt mit Bedingung (Vert)
        $$f_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n) \Theta f_{\underline{A}}(b_1,
        \dots, b_n)$$

        das hei{\ss}t $f_{\underline{A}/\Theta}([a_1]\Theta, \dots,
        [a_n]\Theta) = [f_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n)]\Theta =
        [f_{\underline{A}}(b_1, \dots, b_n)]\Theta = f_{\underline{A}/\Theta}
        ([b_1]\Theta, \dots, [b_n]\Theta)$, wie behauptet. \hfill $\square$

        \paragraph{Beispiele:}(a) Zuerst die Algebra $\underline{S} = (S;
        \cdot)$ von Seite \pageref{S120Beispiel}, mit der Kongruenzrelation
        $\Theta_1$ (mit Kongruenzklassen $\{a\}$, $\{b,c\}$, $\{d\}$). Die
        Faktoralgebra $\underline{S}/\Theta_1$ hat dann folgende
        Verkn\"upfungstafel f\"ur ihre wiederum mit $\cdot$ bezeichnete
        Operation:
        \bigskip

        % TODO: Tabelle zentrieren
        \begin{tabular}{c|ccc}
          $\cdot$ & $\{a\}$ & $\{b,c\}$ & $\{d\}$ \\ \hline
          $\{a\}$ & $\{a\}$ & $\{b,c\}$ & $\{d\}$ \\
          $\{b,c\}$ & $\{b,c\}$ & $\{b,c\}$ & $\{d\}$ \\
          $\{d\}$ & $\{d\}$ & $\{d\}$ & $\{d\}$
        \end{tabular}
        \bigskip

        (b) Der Klassiker: Werde die Gruppe $\underline{\Z} = (\Z; +, -,
        0)$ der ganzen Zahlen betrachtet, und sei $n \in \N$. Durch
        $$x \Theta_n y \; :\Leftrightarrow \; n \mbox{ teilt } x-y$$

        wird eine zweistellige Relation $\Theta_n$ auf $\Z$ definiert.
        Schon (ganz weit) oben wurde gezeigt, dass $\Theta_n$ eine
        \"Aquivalenzrelation ist. Nat\"urlich ist $\Theta_n$ sogar
        eine Kongruenzrelation von $\underline{\Z}$: Aus $a_1 \Theta_n b_1$
        und $a_2 \Theta_n b_2$ folgt
        $$n \mbox{ teilt } a_1 - b_1 \mbox{ und } a_2-b_2$$

        Deshalb teilt $n$ auch $(a_1+a_2)-(b_1+b_2) = (a_1-b_1)+(a_2-b_2)$,
        was $(a_1 + a_2) \Theta_n (b_1+b_2)$ bedeutet. Au{\ss}erdem teilt
        $n$ auch $-a_1-(-b_1) = -(a_1-b_1)$, das hei{\ss}t es folgt
        $(-a_1) \Theta_n (-b_1)$. Die Faktoralgebra
        $\underline{\Z}/\Theta_n$ hat die Kongruenzklassen
        $$[0]\Theta_n, \; [1]\Theta_n, \; \dots, \; [n-1]\Theta_n$$

        Das Rechnen mit diesen Klassen entspricht dem Rechnen mit modulo
        $n$ in $\Z_n = \{0, 1, \dots, n-1\}$.
        \medskip

        (c) Noch ein Klassiker: Sei $V$ ein Vektorraum und $U \leq V$ ein
        Untervektorraum. Sei $\Theta_u$ die \"Aquivalenzrelation mit den
        Nebenklassen $a+U$, $a \in V$, als \"Aquivalenzklassen. Dann ist
        $\Theta_u$ eine Kongruenzrelation von $V$. Und:

        \begin{quote}
          Alle Kongruenzrelationen eines Vektorraums $V$ sind von der Form
          $\Theta_u$ f\"ur einen Untervektorraum $U$ von $V$.
        \end{quote}

        Zum Abschluss dieses sehr ausf\"uhrlichen Abschnitts wird eine
        M\"oglichkeit vorgef\"uhrt, wie man Algebren miteinander
        \qq{vergleichen} kann, n\"amlich mit Hilfe von Homomorphismen. Eine
        einfache Version hiervon stellen die Isomorphismen dar, das
        hei{\ss}t \qq{Umbenennungen} der Elemente von Algebren mittels
        bijektiver Abbildungen:

        \paragraph{Definition:}Seien $\underline{A}$ und $\underline{B}$
        zwei Algebren des selben \"Ahnlicheitstyps.

        \index{Isomorphismus, Algebren}
        Sei $\varphi \colon A \longrightarrow B$ eine bijektive Abbildung
        der Grundmengen. Man nennt $\varphi$ einen {\bf Isomorphismus} von
        $\underline{A}$ auf $\underline{B}$, falls f\"ur jedes
        Operationssymbol $f \in \mathcal{F}$ (von Stelligkeit $\sigma(f) =
        n$) und f\"ur alle $a_1, \dots, a_n \in A$ folgendes gilt:
        \bigskip

        \label{HomomorphiS128}
        \begin{tabular}{lll}
          \sf (Hom) & $\varphi(f_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n)) =
          f_{\underline{B}}(\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_n))$ &
          {\bf Homomorphie}
        \end{tabular}
        \bigskip

        Die Algebren $\underline{A}$ und $\underline{B}$ werden dann
        isomorph genannt, in Zeichen $\underline{A} \cong \underline{B}$.

        \paragraph{Beispiele:}(a) Auf Seite \pageref{S98BeispielB} wurde
        ein Isomorphismus zwischen den Vek\-tor\-r\"au\-men $P_n$ (reelle
        Poynome vom Grad kleiner $n$) und $\R^n$ angegeben.
        \medskip

        (b) Die Gruppe $\underline{\Z}_6 = (\Z_6;+,-,0)$ ist isomorph zum
        direkten Produkt $\underline{\Z}_2 \times \underline{\Z}_3$. Ein
        Isomorphismus $\varphi\colon \underline{\Z}_6 \longrightarrow
        \underline{\Z}_2 \times \underline{\Z}_3$ wird gegeben durch:
        \bigskip

        \begin{tabular}{c|cccccc}
          $x$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
          $\varphi(x)$ & 00 & 11 & 02 & 10 & 01 & 12
        \end{tabular}
        \bigskip

        (c) Die ersten beiden der folgenden Gruppen sind isomorph; ein
        Isomorphismus wird gegeben durch $\varphi\colon \{0,1,2,3\}
        \longrightarrow \{a,b,c,d\}$ mit
        \bigskip

        \begin{tabular}{c|cccc}
          $x$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
          $\varphi(x)$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$
        \end{tabular}
        \bigskip

        % Seite 129-130 (Christian M. Meyer)
        Die dritte Gruppe ist nicht isomorph zu den ersten beiden:

        \label{VerknuepfungG1S129}
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(300,70)
            \put(0,35){$\begin{array}{c|cccc}
                + & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
                0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
                1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\
                2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\
                3 & 3 & 0 & 1 & 2
              \end{array}$}
            \put(0,-5){\scriptsize $\underline{G}_1 = (\{0,1,2,3\}; +, -, 0)$}

            \put(100,35){$\begin{array}{c|cccc}
                \cdot & a & b & c & d \\\hline
                a & a & b & c & d \\
                b & b & c & d & a \\
                c & c & d & a & b \\
                d & d & a & b & c
              \end{array}$}
            \put(100,-5){\scriptsize $\underline{G}_2 = (\{a,b,c,d\};
                \cdot, {}^{-1}, a)$}

            \put(200,35){$\begin{array}{c|cccc}
                \circ & A & B & C & D \\\hline
                A & A & B & C & D \\
                B & B & A & D & C \\
                C & C & D & A & B \\
                D & D & C & B & A
              \end{array}$}
            \put(200,-5){\scriptsize $\underline{G}_3 = (\{A,B,C,D\};
                \circ, {}^{-1}, A)$}
          \end{picture}
        \end{figure}

        Es ist klar, dass obige Abbildung $\varphi$ ein Isomorphismus
        von $\underline{G}_1$ auf $\underline{G}_2$ ist. Aber wie kann
        man sehen, dass $\underline{G}_1$ und $\underline{G}_3$ nicht
        isomorph sind? Einfache M\"oglichkeit: $\underline{G}_3$
        erf\"ullt die Gleichung $x^2 = 1$ (das hei{\ss}t $A \circ A =
        B \circ B = C \circ C = D \circ D = A$), w\"ahrend
        $\underline{G}_1$ diese Gleichung nicht erf\"ullt, zum
        Beispiel ist $1 + 1 = 2 \ne 0$.
        \medskip

      \subsubsection{Homomorphismen}
        Jetzt zur angek\"undigten Verallgemeinerung:

        \paragraph{Definition:}
          \index{Homomorphismus, Algebren}
          Eine Abbildung $\varphi\colon A \longrightarrow B$ zwischen
          den Grundmengen zweier Algebren $\underline{A}$ und
          $\underline{B}$ des selben \"Ahnlichkeitstyps hei{\ss}t
          {\bf Homomorphismus} von $\underline{A}$ nach
          $\underline{B}$, wenn die Homomorphiebedingung {\sf (Hom)}
          von Seite \pageref{HomomorphiS128} erf\"ullt ist.

        \paragraph{Bemerkung:}
          Homomorphismen zwischen Algebren $A$ und $B$ m\"ussen nicht
          injektiv sein, das hei{\ss}t verschiedene Elemente von $A$
          k\"onnen auf das selbe Ergebnis abgebildet werden. Sie
          m\"ussen auch nicht surjektiv sein, das hei{\ss}t es m\"ussen
          nicht alle Elemente von $B$ als Ergebnisse des Homomorphismus
          auftreten. (Dies wird schon im ersten der folgenden Beispiele
          deutlich.)

        \label{HomBeispielS130}
        \paragraph{Beispiele:}
          \begin{itemize}
            \item{Zwischen den beiden oben definierten Gruppen
                $\underline{G}_1$ und $\underline{G}_3$ ist ein
                Homomorphismus $\varphi\colon G_1 \longrightarrow G_3$
                gegeben durch:
                $$\begin{array}{c|cccc}
                  x & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
                  \varphi(x) & A & B & A & B
                \end{array}$$

                (Dieses Beispiel wird im n\"achsten Abschnitt n\"aher
                untersucht. Stichwort: {\bf Homomorphiesatz}.)}
            \item{Sei $\underline{\Z} = (\Z; +, -, 0)$ die Gruppe der
                ganzen Zahlen. F\"ur jedes $n \in \N$ ist ein
                Homomorphismus $\varphi_n\colon \Z \longrightarrow \Z$
                (also ein Endomorphismus von $\underline{\Z}$) gegeben
                durch
                $$\varphi_n(x) := n + x$$

                {\sl Aufgabe:} Zeige, dass alle Endomorphismen von
                $\underline{\Z}$ von dieser Form sind.}
            \item{Sei $(A^*; \cdot, \lambda)$ das {\bf Wortmonoid}
                \"uber dem Alphabet $A = \{{\tt a, b}\}$ (siehe Seite
                \pageref{WortmonioidS90}) und sei $\big(\N_0^2; +,
                (0, 0)\big)$ das Monoid mit komponentenweiser Addition:
                $$(x_1, x_2) + (y_1, y_2) := (x_1 + y_1, x_2 + y_2)$$

                (es handelt sich also um das direkte Produkt
                $\underline{\N_0}^2 = \underline{\N_0} \times
                \underline{\N_0}$ des Monoids $\underline{\N_0} =
                (\N_0; +, 0)$ mit sich selbst.) Ein Homomorphismus
                $\varphi\colon A^* \longrightarrow \N_0^2$ wird gegeben
                durch
                $$\varphi(a_1a_2 \cdots a_k) = (i, j)$$

                wobei $i$ die Anzahl der {\tt a}'s und $j$ die Anzahl
                der {\tt b}'s in $a_1a_2 \cdots a_k$ sei.

                Beispielsweise gilt $\varphi(\lambda) = (0, 0)$ und
                $\varphi({\tt abbabaaa}) = (5, 3)$}
          \end{itemize}

    \subsection{Der Homomorphiesatz der Allgemeinen Algebra}
      Zu jedem Homomorphismus zwischen zwei Algebren geh\"ort in
      nat\"urlicher Weise eine Unteralgebra und eine Kongruenzrelation:

        \paragraph{Bemerkung:}
          Sei $\varphi\colon A \longrightarrow B$ ein Homomorphismus
          der Algebra $\underline{A}$ in die Algebra $\underline{B}$.
          Dann gilt $\varphi(A) \in \Sub(\underline{B})$, das
          hei{\ss}t $\varphi(A)$ ist die Grundmenge einer Unteralgebra
          $\underline{\varphi(A)} \leqslant \underline B)$ (\qq{{\bf
          Bild von $A$} unter $\varphi$}). Au{\ss}erdem ist
          $$\Kern(\varphi) := \{(a_1, a_2) \in A^2 \mid \varphi(a_1) =
          \varphi(a_2)\}$$

          eine Kongruenzrelation auf $\underline{A}$ (\qq{{\bf Kern
          von $\varphi$}}), das hei{\ss}t es gilt $\Kern(\varphi) \in
          \Con(\underline{A})$.

        \paragraph{Beweis:}
          F\"ur $\varphi(A) \in \Sub(\underline{B})$ muss gezeigt
          werden, dass $\varphi(A)$ abgeschlossen ist gegen die
          Operationen $f_{\underline{B}}$ von $\underline{B}$. Sei
          $f_{\underline{B}}$ $n$-stellig und seien $a_1, \dots, a_n
          \in A$ gegeben. F\"ur $\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_n)
          \in \varphi(A)$ gilt dann:
          $$f_{\underline{B}}\big(\varphi(a_1), \dots,
          \varphi(a_n)\big) \stackrel{\sf (Hom)}{=} \varphi\big(
          f_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n)\big) \in \varphi(A)$$

          F\"ur den Nachweis von $\Kern(\varphi) \in \Con(\underline{A})$
          muss gezeigt werden, dass $\Kern(\varphi)$ eine
          \"Aquivalenzrelation auf $A$ ist (was aber offensichtlich
          ist) und dass f\"ur $\Kern(\varphi)$ die
          {\bf Vertr\"aglichkeitsbediungung} {\sf (Vert)} von Seite
          \pageref{VertraeglichkeitS119} gilt. Sei also
          $f_{\underline{A}}$ eine $n$-stellige fundamentale Operation
          von $\underline{A}$ und f\"ur $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n
          \in A$ gelte
          $$a_1 \Kern(\varphi) b_1, \dots, a_n \Kern(\varphi) b_n,$$

          das hei{\ss}t $\varphi(a_1) = \varphi(b_1), \dots,
          \varphi(a_n) = \varphi(b_n)$. Dann gilt

          \begin{eqnarray*}
            \varphi\big(f_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n)\big)
                & \stackrel{\sf (Hom)}{=}
                & f_{\underline{B}}\big(\varphi(a_1), \dots,
                  \varphi(a_n)\big) \\
            & = & f_{\underline{B}}\big(\varphi(b_1), \dots,
                  \varphi(b_n)\big) \\
            & \stackrel{\sf (Hom)}{=} &
                  \varphi\big(f_{\underline{A}}(b_1, \dots, b_n)\big)
          \end{eqnarray*}

          also $f_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n) \Kern(\varphi)
          f_{\underline{A}}(b_1, \dots, b_n).$
          \hfill$\square$
          \medskip

        Als Beispiel wird der Homomorphismus $\varphi\colon
        \underline{G}_1 \longrightarrow \underline{G}_3$ von Seite
        \pageref{HomBeispielS130}. Tats\"achlich gilt
        $\varphi(G_1) = \{A, B\} \in \Sub(\underline{G}_3)$. Die
        Kongruenzrelation $\Kern(\varphi)$ hat diese Kongruenzklassen
        $\{0, 2\}$ und $\{1, 3\}$.
        \medskip

        Jetzt zum \qq{Kern} dieses Abschnitts. Dazu zuerst:

        \paragraph{Beobachtungen:}
          Sei $\underline{C}$ eine Unteralgebra der Algebra
          $\underline{B}$. Dann ist die Abbildung
          \medskip

          \begin{tabular}{p{6cm}l}
            $i\colon C \longrightarrow B,\quad x \mapsto x$ &
            \bf (Inklusionsabbildung)
          \end{tabular}
          \medskip

          ein Homomorphismus $\underline{C} \longrightarrow \underline{B}$.
          \medskip

          Sei $\Theta$ eine Kongruenzrelation der Algebra
          $\underline{A}$. Dann ist die Abbildung
          \medskip

          \begin{tabular}{p{6cm}l}
            $\pi\colon A \longrightarrow A/\Theta,\quad x \mapsto
            [x]\Theta$ &
            \bf (Faktorabbildung)
          \end{tabular}
          \medskip

          ein Homomorphismus $\underline{A} \longrightarrow
          \underline{A}/\Theta$.
          \medskip

          Der Beweis hierf\"ur ist einfach, er sei dem Leser \"uberlassen.
          \medskip

          Jetzt werde wieder die Ausgangssituation betrachtet, also ein
          Homomorphismus $\varphi\colon \underline{A} \longrightarrow
          \underline{B}$. In den obigen Beobachtungen sei $\underline{C}
          = \underline{\varphi(A)}$ (die Bildalgebra) und $\Theta =
          \Kern(\varphi)$ (der Kern von $\varphi$), mit den zugeh\"origen
          Homomorphismen $i\colon \varphi(A) \longrightarrow B$ und
          $\pi\colon A \longrightarrow A/\Kern(\varphi)$.

        \paragraph{Beobachtung:}
          F\"ur den Homomorphismus $\varphi\colon \underline{A}
          \longrightarrow \underline{B}$ werde die Abbildung
          $$\varphi'\colon A/\Kern(\varphi) \longrightarrow \varphi(A),\quad
          [x]\Kern(\varphi) \mapsto \varphi(x)$$

          definiert. Dann ist $\varphi'$ wohldefiniert. Au{\ss}erdem ist
          $\varphi'$ ein Isomorphismus von $\underline{A}/\Kern(\varphi)$
          in $\underline{\varphi(A)}$.

        \paragraph{Beweis:}
          Die Abbildung $\varphi'$ ist tats\"achlich {\em wohldefiniert}:
          Sie geht tats\"achlich von $A/\Kern(\varphi)$ in $\varphi(A)$.
          Au{\ss}erdem folgt aus $[x]\Kern(\varphi) = [y]\Kern(\varphi)$
          sofort $\varphi(x) = \varphi(y)$. Es handelt sich bei $\varphi'$
          um einen {\em Homomorphismus} (eigentlich klar, wie sollte es
          anders sein; dennoch -- ein letztes Mal -- ein derartig
          \qq{schrecklicher} Beweis): Sei also $f$ ein $n$-stellliges
          Operatorsymbol und seien $a_1, \dots, a_n \in A$. Dann gilt
          \begin{eqnarray*}
            && \varphi'\big(f_{\underline{A}/\Kern(\varphi)}([a_1]
              \Kern(\varphi), \dots, [a_n]\Kern(\varphi))\big) \\
            &=& \varphi'\big([f_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n)]
              \Kern(\varphi)\big) \\
            &=& \varphi\big(f_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n)\big) \\
            &=& f_{\underline{B}} \big(\varphi(a_1), \dots,
              \varphi(a_n)\big) \\
            &=& f_{\underline{\varphi(A)}} \big(\varphi(a_1), \dots,
              \varphi(a_n)\big) \\
            &=& f_{\underline{\varphi(A)}} \big(\varphi'([a_1]
              \Kern(\varphi)), \dots, \varphi'([a_n]\Kern(\varphi))\big)
          \end{eqnarray*}

          Es bleibt zu zeigen, dass $\varphi'$ ein {\bf Isomorphismus},
          das hei{\ss}t auch bijektiv ist: $\varphi'$ ist nach Definition
          offensichtlich surjektiv. F\"ur die Injektivit\"at werde jetzt
          $\varphi'\big([x]\Kern(\varphi)\big) = \varphi'\big([y]
          \Kern(\varphi)\big)$ vorausgesetzt. Das bedeutet $\varphi(x)
          = \varphi(y)$, also $x \Kern(\varphi) y$, also $[x] \Kern(\varphi)
          = [y] \Kern(\varphi)$.
          \hfill$\square$
          \medskip

        Damit ist insgesamt folgendes bewiesen (Bezeichnungen wie oben):

        \paragraph{Homomorphiesatz:}
          \index{Homomorphiesatz}
          Sei $\varphi\colon \underline{A} \longrightarrow \underline{B}$
          ein Homomorphismus. Dann kann $\varphi$ in ein Produkt
          $\varphi = i \circ \varphi' \circ \pi$ aus einem surjektiven
          Homomorphismus $\pi$ (Faktorabbildung), einem Isomorphismus
          $\varphi'$ und einem injektiven Homomorphismus $i$
          (Inklusionsabbildung) zerlegt werden. In anderen Worten, das
          folgende Diagramm {\em kommutiert}:

          % Graph: Homomorphiesatz.
          \begin{figure}[h]
            \centering
            \begin{picture}(100,55)
              \put(  0, 10){\makebox(0,0){$\underline{A}/\Kern(\varphi)$}}
              \put(  0, 50){\makebox(0,0){$\underline{A}$}}
              \put(100, 10){\makebox(0,0){$\underline{\varphi(A)}$}}
              \put(100, 50){\makebox(0,0){$\underline{B}$}}

              \put( 30, 10){\vector(1,0){50}}
              \put( 10, 50){\vector(1,0){70}}
              \put(  0, 40){\vector(0,-1){20}}
              \put(100, 20){\vector(0,1){20}}

              \put( 45, 55){\makebox(0,0){$\varphi$}}
              \put( 55, 15){\makebox(0,0){$\varphi'$}}
              \put(-10, 30){\makebox(0,0){$\pi$}}
              \put(110, 30){\makebox(0,0){$i$}}
            \end{picture}
            \caption{Homomorphiesatz}
          \end{figure}

        \paragraph{Quintessenz:}
          \qq{Arbeitsteilung}, $\pi$ macht alles gleich, was unter $\varphi$
          gleich wird, $\varphi(A)$ enth\"alt alles, was unter $\varphi$
          herauskommt. Kann $\varphi'$ nur noch ein Isomorphismus sein!
          \medskip

        Zur\"uck zum Beispiel $\varphi\colon \underline{G}_1 \longrightarrow
        \underline{G}_3$. Es ist sinnvoll, sich die Zusammenh\"ange auch
        an den Verkn\"upfungstafeln von $\underline{G}_1$ und
        $\underline{G}_3$ auf Seite \pageref{VerknuepfungG1S129}
        klar zu machen.

        % Graph: Homomorphiesatz (Beispiel).
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(240,60)
            \put(0,0){
              \put(15,25){\oval(30,50)}
              \put(75,25){\oval(30,50)}

              \put(10,30){\makebox(0,0){\scriptsize $2\;$} \circle*{2}}
              \put(10,20){\makebox(0,0){\scriptsize $3\;$} \circle*{2}}
              \put(20,40){\makebox(0,0){\scriptsize $0\;$} \circle*{2}}
              \put(20,10){\makebox(0,0){\scriptsize $1\;$} \circle*{2}}

              \put(70,40){\circle*{2} \makebox(-2,10){\scriptsize $A$}}
              \put(70,20){\circle*{2} \makebox(-2,10){\scriptsize $B$}}
              \put(80,30){\circle*{2} \makebox(-2,10){\scriptsize $C$}}
              \put(80,10){\circle*{2} \makebox(-2,10){\scriptsize $D$}}

              \put(25,40){\qbezier(0,0)(22,10)(45,0)}
              \put(15,30){\qbezier(0,0)(27,0)(55,10)}
              \put(15,20){\qbezier(0,0)(27,10)(55,00)}
              \put(25,10){\qbezier(0,0)(22,0)(45,10)}

              \put(45,50){\makebox(0,0){\small $\varphi$}}

              \put(15,60){\makebox(0,0){\small $\underline{G}_1$}}
              \put(75,60){\makebox(0,0){\small $\underline{G}_3$}}
            }
            \put(150,0){
              \put(15,25){\oval(30,50)}
              \put(75,25){\oval(30,50)}

              \put(10,30){\circle*{2}}
              \put(10,20){\circle*{2}}
              \put(20,40){\circle*{2}}
              \put(20,10){\circle*{2}}

              \put( 0,25){\line(1,0){30}}

              \put(70,40){\circle*{2} \makebox(-2,10){\scriptsize $A$}}
              \put(70,20){\circle*{2} \makebox(-2,10){\scriptsize $B$}}
              \put(80,30){\circle*{2} \makebox(-2,10){\scriptsize $C$}}
              \put(80,10){\circle*{2} \makebox(-2,10){\scriptsize $D$}}

              \put(75,50){\line(0,-1){50}}

              \put(30,40){\qbezier(0,0)(20,10)(40,0)}
              \put(30,20){\qbezier(0,0)(20,-10)(40,0)}

              \put(45,30){\makebox(0,0){\small $\varphi'$}}

              \put(-20,40){\makebox(0,0){\scriptsize $[0]\Kern(\varphi)$}}
              \put(-20,35){\qbezier[30](0,0)(15,-10)(25,5)}
              \put(-20,10){\makebox(0,0){\scriptsize $[1]\Kern(\varphi)$}}
              \put(-20, 5){\qbezier[30](0,0)(15,-10)(25,5)}
              \put(60,-5){\makebox(0,0){\scriptsize $\varphi(\underline{G}_1)$}}
              \put(60, 0){\qbezier[15](0,0)(0,10)(10,10)}

              \put(15,60){\makebox(0,0){\small $\underline{G}_1/\Kern(\varphi)$}}
              \put(75,60){\makebox(0,0){\small $\underline{G}_3$}}
            }
          \end{picture}
          \caption{Homomorphiesatz (Beispiel)}
        \end{figure}

    \subsection{Terme und Polynome}
      Jetzt werden die aus den fundamentalen Operationen einer Algebra
      \qq{zusammengesetzten} Operationen untersucht. Dies wird f\"ur die
      Untersuchung von {\bf Gleichungen} wichtig sein.

      \subsubsection{Terme}
        \paragraph{Definition:}
          \index{Variable}
          \index{Term}
          Sei $(\mathcal{F}, \sigma)$ ein \"Ahnlichkeitstyp von Algebren,
          und $X$ eine Menge, deren Elemente {\bf Variablen} genannt werden,
          mit $X \cap \mathcal{F} = \emptyset$. Mit folgender
          Rekursionsvorschrift wird die Menge $T(X)$ der {\bf Terme} vom Typ
          $(\mathcal{F}, \sigma)$ \"uber $X$ definiert:
          \bigskip

          \begin{tabular}{lp{10cm}}
            \sf (1) & F\"ur alle Variablen $x \in X$ liegt das $1$-Tupel
              $(x)$ in $T(X)$, \smallskip\\
            \sf (2) & f\"ur alle $f \in \mathcal{F}$ (mit $\sigma(f) = n$)
              und alle $t_1,  \dots, t_n \in T(X)$ gilt $(f, t_1, \dots, t_n)
              \in T(X)$. \smallskip\\
            \sf (3) & Es gibt nur die mit den Regel {\sf (1)} und {\sf (2)}
              gebildeten Terme.
          \end{tabular}
          \bigskip

          \index{Termalgebra}
          Die {\bf Termalgebra} $\underline{T}(X)$ vom Typ $(\mathcal{F},
          \sigma)$ \"uber der Variablenmenge $X$ ist definiert als die Algebra
          mit Grundmenge $T(X)$ und den f\"ur jedes $f \in \mathcal{F}$
          ($n$-stellig) folgenderma{\ss}en definierten Operationen
          $f_{\underline{T}(X)}$:
          $$f_{\underline{T}(X)}(t_1, \dots, t_n) = (f, t_1, \dots, t_n)$$

        \paragraph{Bemerkungen:}
          \begin{itemize}
            \item{F\"ur $t \in T(X)$ schreibt man oft auch $t(x_1, \dots,
              x_n)$, um anzudeuten, dass die in $t$ enthaltenen Variablen
              alle zur Menge $\{x_1, \dots, x_n\}$ geh\"oren. Man nennt
              den Term $t(x_1, \dots, x_n)$ {\bf $n$-stellig}.}
            \item{F\"ur jeden gegebenen \"Ahnlichkeitstyp $(\mathcal{F},
              \sigma)$ besteht $T(X)$ genau aus den \qq{sinnvoll
              gebildeten Ausdr\"ucken}, die mit den Elementen von $X \cup
              \mathcal{F}$ gebildet werden k\"onnen. Sei zum Beispiel
              $\mathcal{F} = \{+\}$ mit $\sigma(+) = 2$, und sei $X =
              \{x, y, z\}$. Dann sind (beispielsweise) folgende Ausdr\"ucke
              Terme \"uber $X$:
              $$(x), (y), (z), (+, x, y), (+, x, x), (+, (+, x, y), z)$$

              (Diese schreibt man oft in der einfacheren Form $x, y, z, x + y,
              x + x, (x + y) + z$.) Die folgenden Ausdr\"ucke sind
              hingegen keine Terme:
              $$(x, y, +), (+, x), (+, x, y, z)$$}
          \end{itemize}
          \medskip

        % Page 137 (Christian M. Meyer)
        Unmittelbar aus obiger Definition folgt:

        \paragraph{Bemerkung:}
          Jede Termalgebra $\underline{T}(X)$ wird von der Variablenmenge
          $X$ erzeugt, das hei{\ss}t es gilt $T(X) = \Angle[X]$.
          \medskip

          Es folgt eine wesentliche Eigenschaft der Algebra
          $\underline{T}(X)$:

        \paragraph{Satz:}
          \label{S137Termalgebren}
          (\qq{Einsetzungs-Homomorphismus}) Sei $\underline{T}(X)$ die
          Termalgebra vom Typ $(\mathcal{F}, \sigma)$ \"uber $X$. F\"ur
          jede Algebra $\underline{A}$ vom Typ $(\mathcal{F}, \sigma)$
          und jede Abbildung $\varphi\colon X \longrightarrow A$ gibt
          es dann genau einen Homomorphismus $\bar{\varphi}\colon
          \underline{T}(X) \longrightarrow \underline{A}$, der
          $\varphi$ fortsetzt, das hei{\ss}t mit
          $\bar{\varphi}\vert_x = \varphi$.

        \paragraph{Beweis:}
          Sei $\underline{A}$ vom Typ $(\mathcal{F}, \sigma)$ und
          $\varphi\colon X \longrightarrow A$ gegeben. Dann muss
          offenbar $\bar{\varphi}(x) = \varphi(x)$ f\"ur alle $x \in X$
          gelten und au{\ss}erdem
          $$\bar{\varphi}(f, t_1, \dots, t_n) = f_{\underline{A}}\big(
          \bar{\varphi}(t_1), \dots, \bar{\varphi}(t_n)\big)$$

          f\"ur jeden Term der Form $(f, t_1, \dots, t_n)$. Damit ist
          $\bar{\varphi}$ auf ganz $T(X)$ definiert. Wegen
          $f_{\underline{T}(X)}(t_1, \dots, t_n) = (f, t_1, \dots, t_n)$
          ist $\varphi$ automatisch ein Homomorphismus.
          \hspace*{1em}\hfill$\square$

      \subsubsection{Termfunktionen}
        \paragraph{Definition:}
          \index{Termfunktion}
          Sei $t$ ein Term von Typ $(\mathcal{F}, \sigma)$ \"uber
          $X = \{x_1, \dots, x_n\}$ und $\underline{A}$ eine Algebra
          desselben Typs. F\"ur $a_1, \dots, a_n \in A$ sei
          $\varphi_{a_1, \dots, a_n}$ der nach obigem Satz eindeutig
          bestimmte Homomorphismus mit $x_i \mapsto a_i$ f\"ur
          $i = 1, \dots, n$. Dann entsteht eine $n$-stellige Operation
          $t_{\underline{A}}\colon A^n \longrightarrow A$ durch:
          $$t_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n) :=
          \varphi_{a_1, \dots, a_n}(t)$$

          Die derart gebildeten Operationen $t_{\underline{A}}$ hei{\ss}en
          {\bf Termfunktionen} auf $\underline{A}$. Die Menge aller
          Termfunktionen auf $\underline{A}$ wird mit $T(\underline{A})$
          bezeichnet.

          \begin{quote}
            {\em Also: } Termfunktionen entstehen aus Termen, indem man
            f\"ur diese Variablen Elemente einsetzt und dann das Ergebnis
            \qq{ausrechnet}.
          \end{quote}

          \index{Superposition}
          \index{Projektionsabbildung}
          Die Termfunktionen einer Algebra sind genau die Operationen, die
          man durch {\bf Superposition} (\qq{ineinander einsetzen}) aus
          den fundamentalen Operationen der Algebra sowie den
          {\bf Projektionsabbildungen} $p_i^n(x_1, \dots, x_n) = x_i$
          erh\"alt.
          \medskip

          Die Termfunktionen liefern f\"ur jede Algebra unmittelbar den
          Unteralgebren-H\"ullenoperator (der Beweis ist offensichtlich):

        \paragraph{Tatsache:}
          \label{S138Tatsache}
          F\"ur jede Algebra $A$ und jede Teilmenge $C \subseteq A$ gilt:
          $$\Angle[C] = \{t_A(c_1, \dots, c_n) \mid n \in \N_0,
          t \in T(x_1, \dots, x_n), c_1, \dots, c_n \in C)\}$$

          Termfunktionen verhalten sich bez\"uglich den Homomorphismen
          einer Algebra wie fundamentale Operationen (auch ziemlich
          offensichtlich, aber trotzdem mit Beweis):

        \paragraph{Satz:}
          Die Algebren $\underline{A}$ und $\underline{B}$ und der
          $n$-stellige Term $t$ seien alle vom gleichen Typ. F\"ur jeden
          Homomorphismus $\varphi\colon \underline{A} \longrightarrow
          \underline{B}$ und alle $a_1, \dots, a_n \in A$ gilt dann:
          $$\varphi\big(t_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n)\big) =
          t_{\underline{B}}\big(\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_n)\big)$$

        \paragraph{Beweis}
          mit Induktion \"uber den Aufbau der Terme (\qq{algebraischer
          Induktion}): Sei $t \in T(x_1, \dots, x_n)$. Im Fall $t = x_i$
          gilt die Behauptung offensichtlich. Nun sei $t = (f, t^1, \dots,
          t^m)$, mit $m$-stelligem $f \in \mathcal{F}$ und Termen $t^1,
          \dots t^m \in T(x_1, \dots, x_n)$. Werde angenommen, dass die
          Behauptung f\"ur $t^1, \dots, t^m$ schon gezeigt sei. Dann gilt:
          \begin{eqnarray*}
            & & \varphi\big(t_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n)\big) \\
            &=& \varphi\big(f_{\underline{A}}\big(
                t_{\underline{A}}^1 (a_1, \dots, a_n), \dots,
                t_{\underline{A}}^m  (a_1, \dots, a_n)\big)\big) \\
            &=& f_{\underline{B}}\big(
                \varphi\big(t_{\underline{A}}^1 (a_1, \dots, a_n)\big), \dots,
                \varphi\big(t_{\underline{A}}^m (a_1, \dots, a_n)\big)\big) \\
            &=& f_{\underline{B}}\big(
                t_{\underline{B}}^1\big(\varphi(a_1), \dots,
                \varphi(a_n)\big), \dots, t_{\underline{B}}^m\big(
                \varphi(a_1), \dots, \varphi(a_n) \big)\big) \\
            &=& t_{\underline{B}}\big(\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_n)\big)
          \end{eqnarray*}
          \hfill$\square$

      \subsubsection{Polynome}
        \paragraph{Definition:}
          \index{Polynom}
          \index{Polynomfunktion}
          Sei $\underline{A}$ eine Algebra. Aus einem Term $t \in T(X)$
          entsteht ein {\bf Polynom}, indem f\"ur einige Variablen von $t$
          Elemente von $A$ eingesetzt werden. Die Menge all solcher Polynome
          werde mit $P_A(X)$ bezeichnet. Indem man f\"ur die verbliebenen
          Variablen eines Polynoms $p(x_1, \dots, x_n)$ beliebige Elemente
          $a_1, \dots, a_n \in A$ einsetzt und dann auswertet, erh\"alt man
          eine {\bf Polynomfunktion} $p_A(x_1, \dots, x_n)$ auf $A$. Die
          Menge aller Polynomfunktionen auf $A$ werde mit $P(A)$ bezeichnet.
          \medskip

          Diese Definition war nicht sehr formal, darum zum besseren
          Verst\"andnis ein Beispiel:

        \paragraph{Beispiel:}
          Sei $\underline{A} = (A; +)$ eine Algebra des Typs
          $\mathcal{F} = \{+\}$ mit $\sigma(+) = 2$ und sei $b, c \in A$.
          Dann sind (zum Beispiel) die folgenden Ausdr\"ucke Polynome
          von $A$ (aus denen dann jeweils Polynomfunktionen gewonnen
          werden k\"onnen):
          $$x + y \;\mbox{(alle Terme sind Polynome!)},\quad b + z,$$
          $$(b + y) + z,\quad (b + y) + c,\quad \big((x + b) + c\big)
          + (z + b)$$

          So wie die Termfunktionen die Unteralgebren einer Algebra
          erhalten (siehe Tatsache auf Seite \pageref{S138Tatsache}),
          so erhalten die Polynomfunktionen die Kongruenzrelationen
          einer Algebra (ohne Beweis):

        \paragraph{Tatsache:}
          Die Polynomfunktionen einer Algebra $\underline{A}$ sind mit
          allen Kongruenzrelationen von $A$ vertr\"aglich, das hei{\ss}t
          f\"ur $n \in \N_0$, $p \in P_A(x_1, \dots, x_n)$, $\Theta \in
          \Con(\underline{A})$ folgt aus $a_i \Theta b_i$, $i = 1, \dots,
          n$, immer:
          $$P_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n) \Theta
          P_{\underline{A}}(b_1, \dots, b_n)$$

    \subsection{Gleichungen, freie Algebren, Gleichungstheorie}
          In diesem Abschnitt wird vieles nur \qq{angerissen}, aber
          trotzdem einige Grundbegriffe vorgestellt. Im darauffolgenden
          Abschnitt \"uber {\bf boolesche Algebren} wird einiges verwendet
          werden. Auf diese Weise wird auch das folgende Kapitel \"uber
          {\bf Logik} vorbereitet.

      \subsubsection{Gleichungen}
        \paragraph{Definition:}
          \index{Gleichungen}
          Sei $T(X)$ die Menge aller Terme vom Typ $(\mathcal{F}, \sigma)$
          \"uber der Variablenmenge $X$. Dann hei{\ss}t jedes Paar $(s, t)
          \in T(X) \times T(X)$ eine {\bf Gleichung} \"uber $X$. Anstelle
          von $(s, t)$ schriebt man oft:
          $$s \approx t \quad \mbox{oder} \quad
          s(x_1, \dots x_n) \approx t(x_1, \dots, x_n)$$

          (letzteres um anzudeuten, dass die in $s$ und $t$ vorkommenden
          Variablen in der Menge $\{x_1, \dots, x_n\}$ enthalten sind).
          Eine Algebra $\underline{A}$ vom Typ $(\mathcal{F}, \sigma)$
          {\em erf\"ullt} die Gleichung $s(x_1, \dots x_n) \approx
          t(x_1, \dots, x_n)$ (oder diese Gleichung {\em gilt} in
          $\underline{A}$), falls
          $$s_{\underline{A}}(a_1, \dots, a_n) = t_{\underline{A}}(a_1,
          \dots, a_n)$$

          gilt f\"ur jede Belegung $a_1, \dots, a_n \in A$. In diesem Fall
          schreibt man
          $$\underline{A} \models s(x_1, \dots x_n) \approx t(x_1, \dots, x_n)
          \quad \mbox{oder} \quad \underline{A} \models s \approx t$$

          Beispielsweise ist eine Algebra $\underline{A} = (A; \cdot)$ mit
          einer zweistelligen Operation $\cdot$ genau dann {\em kommutativ},
          falls:
          $$\underline{A} \models x \cdot y \approx y \cdot x$$

      \subsubsection{Gleichungstheorien}
        \paragraph{Definition:}
          \index{Gleichungstheorie}
          \index{Gleichungssystem}
          \index{Modell}
          F\"ur jedes {\bf Gleichungssystem} (Gleichungsmenge)
          $\Sigma \subseteq T(X) \times T(X)$ \"uber
          der Variablenmenge $X$ sei
          $$M(\Sigma) := \{\underline{A} \mid \underline{A} \models
          s \approx t \;\mbox{f\"ur alle } (s, t) \in \Sigma\}$$

          die Klasse aller {\bf Modelle} von $\Sigma$.
          \medskip

          F\"ur jede Klasse $\mathcal{K}$ von Algebren sei
          $$G_X(\mathcal{K}) := \{(s, t) \in T(X) \times T(X) \mid
          \underline{A} \models s \approx t \;\mbox{f\"ur alle }
          \underline{A} \in \mathcal{K}\}$$

          die Menge aller in allen Algebren von $\mathcal{K}$
          g\"ultigen Gleichungen \"uber der Variablenmenge $X$.
          \medskip

          Die Klassen von Algebren der Form $\mathcal{K} = M(\Sigma)$
          hei{\ss}en {\bf gleichungsdefiniert}. Jede Menge von
          Gleichungen der Form $\Sigma = G_X(\mathcal{K})$
          wird eine {\bf Gleichungstheorie} \"uber $X$ genannt.

        \paragraph{Beispiele und Bemerkungen:}
          \begin{itemize}
            \item{Da Gruppen mit Hilfe von Gleichungen definiert sind,
              ist die Klasse aller Gruppen eine gleichungsdefinierte
              Klasse. Das selbe gilt f\"ur viele andere schon behandelte
              Klassen von Algebren!}
            \item{Beispielsweise bilden alle Gleichungen (\"uber einer
              gegebener Variablenmenge $X$), die in {\em allen} Gruppen
              gelten, eine Gleichungstheorie. Es gibt beliebig viele
              andere Beispiele. In vielen F\"allen ist es ein gro{\ss}es
              (oft sogar prinzipiell unl\"osbares!) Problem festzustellen,
              ob eine vorgegebene Gleichung zu einer gegebenen
              Gleichungstheorie geh\"ort oder nicht.}
            \item{Am bequemsten ist es, immer die abz\"ahlbar-unendliche
              Variablenmenge $X = \{x_1, x_2, x_3, \dots\}$ zu verwenden.
              Jedenfalls enth\"alt jede Gleichung nur endlich viele
              Variablen, also k\"onnen alle Gleichungen in dieser
              Variablenmenge $X$ formuliert werden!}
          \end{itemize}

        \paragraph{Satz:}
          Sei $\mathcal{K}$ eine Klasse von Algebren eines gegebenen Typs
          $(\mathcal{F}, \sigma)$ und sei $\underline{T}(X)$ die
          Termalgebra dieses Typs \"uber der Variablenmenge $X$. Dann gilt:
          $$G_X(\mathcal{K}) = \bigcap \{\Kern(\varphi) \mid \varphi\colon
          \underline{T}(X) \longrightarrow \underline{A}, \underline{A}
          \in \mathcal{K}\}$$

          Insbesondere ist $G_X(\mathcal{K})$ immer eine Kongruenzrelation
          von $\underline{T}(X)$.
          \medskip

          Der Beweis dieses Satzes ist recht leicht, wird hier aber nicht
          gef\"uhrt. Das selbe gilt f\"ur den folgenden Satz, der den
          entsprechenden Satz f\"ur Termalgebren von Seite
          \pageref{S137Termalgebren} verallgemeinert. In diesem Satz
          wird anstelle einer jeden Variablen $x \in X$ die Kongruenzklasse
          $\bar{x} := [x] G_X(\mathcal{K})$ verwendet und dem entsprechend
          $\bar{X} = \{\bar{x} \mid x \in X\}$ anstelle von $X$.

        \paragraph{Satz}
          (\qq{Einsetzungs-Homomorphismus} verallgemeinert): F\"ur jede
          Algebra\\ $\underline{A} \in \mathcal{K}$ und jede Abbildung
          $\varphi\colon \bar{X} \longrightarrow A$ gibt es genau einen
          Homomorphismus $\bar{\varphi}\colon
          \underline{T}(X)/G_X(\mathcal{K}) \longrightarrow \underline{A}$,
          der $\varphi$ fortsetzt, das hei{\ss}t mit $\bar{\varphi}
          \vert_{\bar{X}} = \varphi$.
          \medskip

          Wann liegt die Algebra $\underline{T}(X)/G_X(\mathcal{K})$ selbst
          in der Klasse $\mathcal{K}$? Jedenfalls dann, wenn $\mathcal{K}$
          unter der Bildung homomorpher Bilder von Unteralgebren und
          direkter Produkte abgeschlossen ist, das hei{\ss}t falls
          $\mathrm{H}(\mathcal{K}) \subseteq \mathcal{K}$,
          $\mathrm{S}(\mathcal{K}) \subseteq \mathcal{K}$ und
          $\mathrm{P}(\mathcal{K}) \subseteq \mathcal{K}$ gilt. Dies
          l\"asst sich \"ubrigens knapper schreiben als
          $\HSP(\mathcal{K}) \subseteq \mathcal{K}$ (wobei es auf die
          Reihenfolge von $\mathrm{H}$, $\mathrm{S}$ und $\mathrm{P}$
          sehr wohl ankommt).

      \subsubsection{Frei erzeugte Algebren}
        \paragraph{Feststellung:}
          F\"ur jede $\HSP$-abgeschlossene Klasse $\mathcal{K}$ gilt:
          $$\underline{T}(X)/G_X(\mathcal{K}) \in \mathcal{K}$$

        \paragraph{Bemerkungen:}
          \index{Algebra, frei erzeugte}
          \index{Frei erzeugte Algebra}
          In diesem Fall nennt man $\underline{T}(X)/G_X(\mathcal{K})$
          die von $X$ {\bf frei erzeugte Algebra} in $\mathcal{K}$ und
          bezeichnet sie k\"urzer mit
          $$\underline{F}_{\mathcal{K}}(X)$$

          Also ist $\underline{F}_{\mathcal{K}}(X)$ die \qq{allgemeinste}
          Algebra mit Erzeugendenmenge $X$ (eigentlich mit Erzeugendenmenge
          $\bar{X}$).

        \paragraph{Beispiele:}
          Sei $\mathcal{A}$ die Klasse aller abelschen (kommutativen)
          Gruppen. Ganz offenbar ist $\mathcal{A}$ $\HSP$-abgeschlossen.
          Als Operationssymbole werden, wie bei Gruppen \"ublich, $\cdot$
          und ${}^{-1}$ und $1$ verwendet:
          \begin{itemize}
            \item{{\em Einelementige Variablenmenge $X = \{x\}$}: Aus
              jeder Kongruenzklasse
              $$[t(x)]G_X(\mathcal{K})$$

              wird ein {\bf Repr\"asentant} verwendet, in diesem Fall
              naheliegenderweise die Elemente $x^k$, $k \in \Z$. Unter
              Begehung kleiner \qq{Ungenauigkeiten} gilt also:
              $$\underline{F}_{\mathcal{A}}(\{x\}) = (\{x^k \mid
              k \in \Z\}; \cdot, {}^{-1}, 1)$$

              Als Beispiel eine Anwendung des Einsetzungs-Homomorphismus:
              Es gibt genau einen Homomorphismus
              $$\varphi\colon \underline{F}_{\mathcal{A}}(\{x\})
              \longrightarrow \underline{\Z}_6 = (\Z_6; +, -, 0) \quad
              \mbox{mit} \; \varphi(x) = 3$$

              n\"amlich mit $\varphi(x^k) = 0$ f\"ur $k$ gerade und
              $\varphi(x^k) = 3$ f\"ur $k$ ungerade.
              \medskip

              \"Ubrigens: $\underline{F}_{\mathcal{A}}(\{x\})$ ist
              isomorph zu $\underline{\Z} = (\Z; +, -, 0)$, ein
              Isomorphismus ist gegeben durch $x^k \longrightarrow k$.}
              %TODO: ist das hier nicht \mapsto???
            \item{Als \"Ubung: Stelle analog \"Uberlegungen f\"ur die
            freie $2$-erzeugte abelsche Gruppe
            $\underline{F}_{\mathcal{A}}(\{x, y\})$ an!}
          \end{itemize}

      \subsubsection{Haupts\"atze der Gleichungstheorie}
          \index{Haupts\"atze Gleichungstheorie}
          \index{Gleichungstheorie, Haupts\"atze}
          Es folgen wiederum ohne Beweis, die zwei Haupts\"atze
          der Gleichungstheorie. Beide wurden in den 30er Jahren von
          G. Birkhoff gefunden, der in dieser Zeit viele wesentliche
          Grundlagen der Allgemeinen Algebra entwickelt hat.

        \paragraph{Erster Hauptsatz der Gleichungstheorie
            {\rm\em Birkhoff, 1935:}}
          Eine Klasse $\mathcal{K}$ von Algebren eines gegebenen Typs
          ist genau dann gleichungsdefiniert, wenn sie
          $\HSP$-abgeschlossen ist, das hei{\ss}t wenn $\HSP(\mathcal{K})
          \subseteq \mathcal{K}$ gilt.
          \medskip

          Es sei eine {\em kleine} Anwendung dieses Satzes angegeben.
          Frage: K\"onnte man K\"orper (ausschlie{\ss}lich mit Hilfe
          von Gleichungen definieren, bei Verwendung eines geeigneten
          \"Ahnlichkeitstyps, das hei{\ss}t geeigneter Operationen?
          Antwort: Nein, denn direkte Produkte von K\"orpern sind keine
          K\"orper!
          \medskip

          Es folgt eine Charakterisierung der Gleichungstheorien, das
          hei{\ss}t derjenigen Gleichungsmengen $\Sigma$, die von der
          Form $\Sigma = G_X(\mathcal{K})$ sind. F\"ur jede
          Gleichungstheorie $G_X(\mathcal{K})$ gelten offenbar folgende
          Regeln (anstelle von $(s, t)$ wird suggestiver $s \approx t$
          geschrieben):
          \bigskip

          \begin{tabular}{cp{10.4cm}}
            \sf (G1) & F\"ur alle $s \in T(X)$ gilt $s \approx s
                       \in G_X(\mathcal{K})$, \smallskip\\
            \sf (G2) & aus $s \approx t \in G_X(\mathcal{K})$ folgt
                       $t \approx s \in G_X(\mathcal{K})$, \smallskip\\
            \sf (G3) & aus $s \approx t \in G_X(\mathcal{K})$ und
                       $t \approx u \in G_X(\mathcal{K})$ folgt
                       $s \approx u \in G_X(\mathcal{K})$, \smallskip\\
            \sf (G4) & aus $f \in \mathcal{F}$ ($n$-stellig) und $s_i
                       \approx t_i \in G_X(\mathcal{K})$ f\"ur
                       $i = 1, \dots, n$ folgt $f(s_1, \dots, s_n)
                       \approx f(t_1, \dots, t_n) \in G_X(\mathcal{K})$,
                       \smallskip\\
            \sf (G5) & aus $s(x_1, \dots, x_n) \approx t(x_1, \dots, x_n)
                       \in G_X(\mathcal{K})$ und $u_1, \dots, u_n \in T(X)$
                       folgt $s(u_1, \dots, u_n) \approx t(u_1, \dots,
                       u_n) \in G_X(\mathcal{K})$.
          \end{tabular}
          \bigskip

          Die Regeln {\sf (G1)}-{\sf (G3)} sagen aus, dass
          $G_X(\mathcal{K})$ eine \"Aquivalenzrelation auf $T(X)$ ist
          und {\sf (G4)} besagt, dass $G_X(\mathcal{K})$ sogar eine
          Kongruenzrelation von $\underline{T}(X)$ ist (was oben schon
          festgestellt wurde). Regel {\sf (G5)} l\"asst sich (gleichwertig)
          anders formulieren:

          \bigskip
          \begin{tabular}{cp{10.4cm}}
            \sf (G5') & Ist $\varphi\colon \underline{T}(X) \longrightarrow
                        \underline{T}(X)$ ein Homomorphismus und gilt
                        $s \approx t \in G_X(\mathcal{K})$, dann gilt
                        auch $\varphi(s) \approx \varphi(t) \in
                        G_X(\mathcal{K})$.
          \end{tabular}
          \bigskip

          \index{Voll-invariant}
          Also ist $G_X(\mathcal{K})$ mit allen Endomorphismen von
          $\underline{T}(X)$ vertr\"aglich. Kongruenzrelationen mit
          dieser Eigenschaft nennt man {\bf voll-invariant}. Also:
          $$G_X(\mathcal{K}) \:\mbox{ist eine voll-invariante
          Kongruenzrelation von } \underline{T}(X).$$

          Es gilt aber noch mehr:

        \paragraph{Zweiter Hauptsatz der Gleichungstheorie
            {\rm\em Birkhoff, 1935:}}
          Ein Gleich"-ungssystem $\Sigma \subseteq T(X) \times T(X)$
          ist genau dann eine Gleichungstheorie, wenn $\Sigma$ eine
          voll-invariante Kongruenzrelation von $\underline{T}(X)$ ist.
          \medskip

          Eine wesentliche Folgerung dieses Satzes soll noch diskutiert
          werden. Sei $\Sigma \subseteq T(X) \times T(X)$ ein
          Gleichungsmenge. Frage: Welche Gleichungen folgen aus $\Sigma$?
          \medskip

          Antwort A: Es folgen alle Gleichungen, die sich ausgehend von
          $\Sigma$, durch -- eventuell mehrfache -- Anwendung der Regeln
          {\sf (G1)}-{\sf (G5)} erhalten lassen. Folgt auf diese Art
          eine Gleichung $s \approx t$ aus $\Sigma$, so schreibt man
          daf\"ur auch:
          $$\Sigma \vdash s \approx t$$

          Antwort B: Es folgen genau die Gleichungen $s \approx t$
          aus $\Sigma$, die in allen Algebren gelten, in denen alle
          Gleichungen aus $\Sigma$ gelten, das hei{\ss}t aus $\Sigma$
          folgen genau die Gleichungen in $G_X(M(\Sigma))$. Bei dieser
          Art Folgerung schreibt man:
          $$\Sigma \models s \approx t$$

          Offenbar enth\"alt Antwort B die \qq{st\"arkere} Folgerungsart,
          es gilt immer
          $$\Sigma \vdash s \approx b \;\Rightarrow\;
          \Sigma \models s \approx t.$$

          Aber tats\"achlich sind beide Folgerungsarten gleichwertig:

        \paragraph{Vollst\"andigkeitssatz der Gleichungslogik:}
          \index{Vollst\"andigkeitssatz}
          \index{Gleichungslogik, Vollst\"andigkeit}
          $$\vdash \quad = \quad \models$$

      \subsection{Boolesche Algebra}
          Dieser letzte Abschnitt des Algebra-Kapitels behandelt ein
          Thema, das vor allem deshalb interessant ist, weil es
          einerseits algebraische und andererseits ordnungs- und
          verbandstheoretische Aspekte miteinander verbindet und
          weil es in der Aussagelogik unmittelbar anwendbar ist.

        \paragraph{Definition:}
          \index{Boolesche Algebra}
          \index{Algebra, boolesche}
          Eine Algebra $\underline{B} = (B; +, \cdot, ', 0, 1)$ vom
          Typ $(2, 2, 1, 0, 0)$ wird {\bf boolesche Algebra} genannt,
          falls
          \medskip

          \begin{tabular}{p{1.3cm}l}
            \sf (verb) & $(B; +, \cdot)$ ein Verband ist
          \end{tabular}
          \medskip

          und die folgenden Gleichungen gelten:
          \medskip

          \begin{tabular}{p{1.3cm}ll}
            \sf (dist) & $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z \qquad$
                       & \bf Distributivit\"at \smallskip\\
            \sf (komp) & $x \cdot x' = 0, \quad x + x' = 1$
                       & \bf Komplemente \smallskip\\
            \sf (null) & $x \cdot 0 = 0, \quad x + 0 = x$
                       & \bf Nullelement \smallskip\\
            \sf (eins) & $x \cdot 1 = x, \quad x + 1 = 1$
                       & \bf Einselement
          \end{tabular}

        \paragraph{Bemerkungen:}
          \begin{itemize}
            \item{In der zum Verband $(B; +, \cdot)$ geh\"origen geordneten
              Menge $(B, \le)$ ist $0$ das kleinste Elemente und $1$ das
              gr\"o{\ss}te Element.}
            \item{In obiger Definition befinden sich \qq{zu viele}
              Gleichungen. Zum Beispiel k\"onnen die ersten Gleichungen in
              {\sf (null)} und {\sf (eins)} aus den anderen Gleichungen
              hergeleitet werden. Nat\"urlich gilt das selbe auch f\"ur die
              zweiten Gleichungen in {\sf (null)} und {\sf (eins)}. Von
              den drei Verbandsgleichungen wird nur {\sf (komm)} und
              {\sf (abs)} ben\"otigt, w\"ahrend {\sf (ass)} aus den
              anderen Gleichungen hergeleitet werden kann. Dies sind
              drei \"Ubungsaufgaben.}
          \end{itemize}
          \medskip

          Nat\"urlich gelten in jeder booleschen Algebra noch weitere
          Gleichungen und Eigenschaften, zum Beispiel diese:

        \paragraph{Bemerkung:}
          In jeder booleschen Algebra $\underline{B}$ gelten f\"ur alle
          $x, y, z \in B$:
          \medskip

          \begin{tabular}{lll}
            \sf (a) & $x + (y \cdot z) = (x + y) \cdot (x + z) \qquad$
                    & \bf duale Distributivit\"at \smallskip\\
            \sf (b) & $x \cdot y = 0, \quad x + y = 1 \quad
                      \Rightarrow\quad y = x'$
                    & \bf Komplementeindeutigkeit \smallskip\\
            \sf (c) & $(x + y)' = x' \cdot y', \quad (x \cdot y)' = x' + y'$
                    & \bf de Morgan'sche Gesetze \smallskip\\
            \sf (d) & $x'' = x, \quad 0' = 1, \quad 1' = 0$ &
          \end{tabular}

        \paragraph{Beweis:}
          {\sf (a)} Die Verbandsgleichungen und {\sf (dist)} liefern:
          $$(x + y)(x + z) = (x + y)x + (x + y)z = xx + yx + xz + yz
          = x + yz$$

          {\sf (b)} Es gilt $x(x' + y) = xx' + xy = 0 + 0 = 0$. Dies und
          $y \le x' + y$ ergeben:
          $$x' + y = 1(x' + y) = (x + y)(x' + y) = x(x' + y) + y(x' + y)
          = 0 + y = y$$

          Ganz \"ahnlich ergibt sich
          $$x' + y = 1(x' + y) = (x + x')(x' + y) = x(x' + y) + x'(x' + y)
          = 0 + x' = x'$$

          also insgesamt $y = x'$.
          \medskip

          {\sf (c)} Es wird $x' y'(x + y) = 0$ und $x'y' + (x + y) = 1$
          gezeigt. Die behauptete Gleichung $x'y' = (x + y)'$ folgt dann
          mit {\sf (b)}. Verwendet wird die Distributivit\"at und duale
          Distributivit\"at:
          $$x'y'(x + y) = x'y'x + x'y'y = y'0 + x'0 = 0 + 0 = 0$$
          $$x'y' + (x + y) = (x' + (x + y))(y' + (x + y)) = (1 + y)(1 + x)
          = 1 \cdot 1 = 1$$

          Die zweite Gleichung in {\sf (c)} kann \qq{dual} bewiesen werden
          (indem im eben gef\"uhrten Beweis $+$ und $\cdot$ vertauscht
          werden).
          \medskip

          {\sf (d)} $x$ und $x'' = (x')'$ sind beides Komplemente von $x'$,
          woraus mit {\sf (b)} sofort $x = x''$ folgt. Mit {\sf (null)}
          erh\"alt man $1 \cdot 0 = 0$, $1 + 0 = 1$ und wiederum mit
          {\sf (b)} folgt $0 = 1'$. Analog ergibt sich $1 = 0'$
          \hfill$\square$

        \paragraph{Beispiele:}
          \begin{itemize}
            \item{Folgende Operationen liefern eine $2$-elementige
              boolesche Algebra \\
              $\underline{B}_2 := (\{0, 1\}; +, \cdot, ', 0, 1)$:

              $$\begin{array}{c|cc}
                + & 0 & 1 \\\hline
                0 & 0 & 1 \\
                1 & 1 & 1
              \end{array}\qquad
              \begin{array}{c|cc}
                \cdot & 0 & 1 \\\hline
                0 & 0 & 0 \\
                1 & 0 & 1
              \end{array}\qquad
              \begin{array}{c|cc}
                x  & 0 & 1 \\\hline
                x' & 1 & 0 \bigskip
              \end{array}$$}
           \item{Das Liniendiagramm zeigt eine boolesche Algebra mit
             acht Elementen.

              % Graph: Liniendiagramm einer 8-elementigen boolesche Algebra.
              \begin{figure}[ht]
                \centering
                \begin{picture}(60,55)
                  \put( 0,20){\circle*{2}}
                  \put( 0,35){\circle*{2}}
                  \put(30, 5){\circle*{2}}
                  \put(30,20){\circle*{2}}
                  \put(30,35){\circle*{2}}
                  \put(30,50){\circle*{2}}
                  \put(60,20){\circle*{2}}
                  \put(60,35){\circle*{2}}

                  \put( 0,20){\line(0,1){15}}
                  \put(30, 5){\line(0,1){15}}
                  \put(30,35){\line(0,1){15}}
                  \put(60,20){\line(0,1){15}}
                  \put(30, 5){\line(2,1){30}}
                  \put(30, 5){\line(-2,1){30}}
                  \put(30,20){\line(2,1){30}}
                  \put(30,20){\line(-2,1){30}}
                  \put(30,35){\line(2,-1){30}}
                  \put(30,35){\line(-2,-1){30}}
                  \put(30,50){\line(2,-1){30}}
                  \put(30,50){\line(-2,-1){30}}

                  \put(30,0){\makebox(0,0){\scriptsize $0$}}
                  \put(-5,20){\makebox(0,0){\scriptsize $x$}}
                  \put(65,35){\makebox(0,0){\scriptsize $x'$}}
                  \put(30,55){\makebox(0,0){\scriptsize $1$}}
                \end{picture}
                \caption{Liniendiagramm einer $8$-elementigen
                    boolesche Algebra)}
              \end{figure}}
            \index{Potenzmengenalgebra}
            \item{F\"ur jede Menge $A$ erh\"alt man eine boolesche
              Algebra durch
              $$(\PM(A); \cup, \cap, \overline{\phantom{J}}, \emptyset, A)$$

              (die {\bf Potenzmengenalgebra} auf $A$). Die Operationen
              sind mengentheoretische Vereinigung und Schnitt, und die
              Komplementierung $\overline{X} = A \setminus X$.}
          \end{itemize}

      \subsubsection{Atome}
          Die Potenzmengenalgebren sind \qq{typische} boolesche Algebren.
          Es wird gezeigt, dass jede {\em endliche} boolesche Algebra
          isomorph ist zu einer solchen. Hierf\"ur wird ben\"otigt:

        \paragraph{Definition:}
          \index{Atom}
          \index{Nachbar}
          Sei $\underline{B}$ eine boolesche Algebra. Ein Element $a \in B$
          hei{\ss}t ein {\bf Atom} von $\underline{B}$, falls $a$ ein
          {\bf oberer Nachbar} des kleinsten Elements $0$ von $B$ ist
          (das hei{\ss}t falls $a > 0$ gilt, es aber kein Element $b$ gibt
          mit $0 < b < a$). Die Menge aller Atome von $\underline{B}$
          wird mit $\At(\underline{B})$ bezeichnet.

        \paragraph{Lemma:}
          In jeder {\em endlichen} booleschen Algebra $\underline{B}$ ist
          jedes Element $b \in B$ eindeutig durch die Elemente unterhalb
          von $b$ bestimmt.

          Genauer: Sei $\{a \in \At(\underline{B}) \mid a \le b\}
          = \{a_1, \dots, a_k\}$ (mit $k$ verschiedenen Elementen).
          Dann gilt:
          $$b = a_1 + \cdots + a_k$$

          % Graph: Atome.
          \begin{figure}[ht]
            \centering
            \begin{picture}(40,60)
              \put(20,30){\oval(40,60)}

              \put(20, 0){\circle*{2}}
              \put(20,60){\circle*{2}}
              \put( 0,40){\circle*{2}}
              \put( 0,32){\circle*{2}}
              \put(40,25){\circle*{2}}
              \put(25, 7){\circle*{2}}

              \put( 1,14){\line(1,0){38}}
              \put( 3,10){\line(1,0){34}}
              \multiput(4,12)(4,0){9}{\circle*{1}}

              \put( 0,40){\qbezier(0,0)(20,-5)(25,-26)}
              \put(40,25){\qbezier(0,0)(-14,0)(-15,-11)}
              \put(25,10){\qbezier(0,0)(0,0)(0,-3)}

              \put(20,65){\makebox(0,0){\scriptsize $1$}}
              \put(20,-5){\makebox(0,0){\scriptsize $0$}}
              \put(-5,40){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
              \put(-5,32){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
              \put(45,25){\makebox(0,0){\scriptsize $c'$}}
              \put(20, 7){\makebox(0,0){\scriptsize $x$}}

              \put(-18,12){\makebox(0,0){\scriptsize\sf unter $b$}}
              \put(-7,16){\vector(2,1){12}}
              \put(58,12){\makebox(0,0){\scriptsize\sf unter $c'$}}
              \put(47,16){\vector(-2,1){12}}

              \put(55,55){\makebox(0,0){$\underline{B}$}}
            \end{picture}
            \caption{Atome}
          \end{figure}

        \paragraph{Beweis:}
          Sei $c := a_1 + \cdots + a_k$. Es soll $c = b$ gezeigt werden.
          Wegen $a_1, \dots, a_k \le b$ gilt $c \le b$: Werde jetzt $c < b$
          angenommen. Offenbar gilt:
          $$bc' + c = bc' + bc = b(c + c') = b \cdot 1 = b$$

          Es folgt $bc' > 0$. In jeder endlichen booleschen Algebra hat
          jedes Element ungleich $0$ ein Atom unter sich (Beweis
          hierf\"ur?). Also gibt es ein Atom $x \le bc'$ Dann gibt es aber
          $x \le c'$ und $x \le b$, wobei letzteres auch $x \le c$
          impliziert. Daher gilt $x \le cc' = 0$, ein Widerspruch! Also
          muss $c = b$ gelten.
          \hfill$\square$
          \medskip

          Mit diesem Lemma folgt der angek\"undigte Sachverhalt:

        \paragraph{Satz:}
          Sei $\underline{B}$ eine endliche boolesche Algebra. Dann wird
          ein Isomorphismus von $\underline{B}$ auf die Potenzmengenalgebra
          auf der Menge $\At(\underline{B})$ der Atome von $\underline{B}$
          gegeben durch
          $$\varphi(b) := \{a \in \At(\underline{B}) \mid a \le b\}$$

        \paragraph{Beweis:}
          Folgendes muss gezeigt werden:
          \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
          \begin{enumerate}
            \item{$\varphi$ ist injektiv,}
            \item{$\varphi$ ist surjektiv,}
            \item{$\varphi(x + y) = \varphi(x) \cup \varphi(y)$
                f\"ur alle $x, y \in B$,}
            \item{$\varphi(x y) = \varphi(x) \cap \varphi(y)$
                f\"ur alle $x, y \in B$,}
            \item{$\varphi(x') = \overline{\varphi(x)}$
                f\"ur alle $x \in B$.}
          \end{enumerate}

          Eigentlich m\"usste noch $\varphi(0) = \emptyset$ und
          $\varphi(1) = \At(\underline{B})$ gezeigt werden, aber dies
          folgt schon aus obigem (beziehungsweise ist sowieso klar).

        % Page 153 (Simon Fuhrmann)

          \begin{enumerate}
            \item{folgt unmittelbar aus dem Lemma, denn aus $\varphi(b) =
                \varphi(c)$ ergibt sich
                $$b = \sum \varphi(b) = \sum \varphi(c) = c$$

                (wobei zum Beispiel $\varphi(b)$ die mit $+$ gebildete
                Summe aller Elemente von $\varphi(b)$ bezeichnet).}
            \item{F\"ur jede Teilmenge $A \subseteq \At(\underline{B})$
                muss ein $b \in B$ gefunden werden mit $\varphi(b) = A$.
                Sei $A = \{a_1, \dots, a_k\}$ und werde $b := \sum A$
                gesetzt. Klar ist $\varphi(b) \supseteq A$ und es muss
                $\varphi(b) = A$ gezeigt werden. Werde im Gegensatz
                hierzu angenommen, es g\"abe ein Element $a \in \varphi(b)
                \setminus A$. Dann ergibt sich:
                $$a = ab = a(a_1 + \dots + a_k) = aa_1 + \dots + aa_k = 0 +
                \dots + 0 = 0 \qquad \lightning$$}
            \item{Gelte $\varphi(x) = C$, $\varphi(y) = D$. Dann gilt
                $x = \sum D$ (Lemma!) und
                $$x+y = \sum C + \sum D = \sum (C \cup D)
                = \sum(\varphi(x) \cup \varphi(y)).$$

                Wie im Beweis von (2) folgt hieraus $\varphi(x+y) =
                \varphi(x) \cup \varphi(y)$.}
            \item{Gelte wieder $\varphi(x) = C$, $\varphi(y) = D$. Dann
                besteht $C \cap D$ genau aus den Atomen unter $x$ und
                unter $y$, das hei{\ss}t unter $xy$. Nach Definition von
                $\varphi$ gilt $\varphi(xy) = C \cap D$ ($=\varphi(x)
                \cap \varphi(y)$).}
            \item{Gelte $\varphi(x) = C$, $\varphi(x') = D$. Aus $x + x' =
                1$ folgt, $C \cup D = At(\underline{B})$, und aus $xx' = 0$
                folgt $C \cap D = \emptyset$. Doch das impliziert
                $$D = At(B) \setminus C = \overline{C} =
                \overline{\varphi(x)}$$
                \hfill $\square$}
        \end{enumerate}


        Alle endlichen booleschen Algebren sind, nach dem eben Bewiesenen,
        isomorph zu Potenzmengenalgebren, also sehr einfach strukturiert. Im
        Gegensatz dazu k\"onnen unendliche boolesche Algebren \qq{unendlich
        kompliziert} sein!
        \medskip

        Die \qq{praktische} Bedeutung der $2$-elementigen booleschen Algebra
        $$\underline{B}_2 = (\{0, 1\}; +, \cdot, \space', 0, 1)$$

        (zum Beispiel f\"ur die Konstruktion elektronischer Schaltkreise)
        liegt sehr stark in den Termoperationen:

      \subsubsection{Boolsche Terme}
        \index{Terme, boolesche}
        \index{Boolsche Terme}
        \paragraph{Definition:}Die Terme in der Sprache (also dem Typ
          boolescher Algebren) werden auch {\bf boolesche Terme} genannt.

        \paragraph{Beispiele} \"uber der Variabenmenge $\{x_1, x_2, x_3\}$
          sind unter anderen:
        $$x_2 + 1, \quad (x_2, x_3')''', \quad x_1x_2'+x_3, \quad
        ((x_1x_2'+x_3)'x_1 + x_2')$$

        Bekanntlich werden alle Terme, \"uber Algebren des entsprechenden
        Typs, zu Termfunktionen der Algebra. Die Termfuktionen boolescher
        Algebren werden oft {\bf boolesche Funktionen} genannt. Obwohl die
        $2$-elementige boolesche Algebra $\underline{B}_2$ \"au\-{\ss}erst
        simpel ist, bringt sie interessante praktische und theoretische
        Sachverhalte. Darum werden hier zuerst boolesche Funktionen \"uber
        $\underline{B}_2$ betrachtet:

        \paragraph{Beispiel:}Der boolesche Term $t(x_1, x_2, x_3) =
          ((x_1x_2' + x_3)' x_1 + x_2')'$ liefert eine $3$-stellige
          boolesche Funktion $t_{\underline{B}_2}(x_1, x_2, x_3)$ auf $\{0,
          1\}$, mit
        $$t_{\underline{B}_2}(0, 0, 0) = 0, \quad t_{\underline{B}_2}(0, 0,
        1) = 0, \quad t_{\underline{B}_2}(0, 1, 0) = 1, \quad
        t_{\underline{B}_2}(0, 1, 1) = 1, \quad \mbox{usw.}$$

        Boolsche Funktionen auf $t_{\underline{B}_2}$ liefern alle
        Operationen auf $\{0, 1\}$.

        \label{S154Satz}
        \paragraph{Satz:}Jede Operation auf $\{0, 1\}$ ist eine boolesche
          Funktion.
          \medskip

        Anstelle eines Beweises folgt ein Beispiel, aus dem sich der
        allgemeine Beweis aber ablesen l\"asst. Es wird gezeigt, dass
        folgende $3$-stellige Operation $f(x_1, x_2, x_3)$ auf $\{0, 1\}$
        eine boolesche Funktion ist:

        \begin{center}
        \begin{tabular}{ccc|l}
          $x_1$ & $x_2$ & $x_4$ & $f(x_1, x_2, x_3)$ \\ \hline
          0     & 0     & 0     & 1 $\quad \rightarrow \quad x_1'x_2'x_3'$ \\
          0     & 0     & 1     & 1 $\quad \rightarrow \quad x_1'x_2'x_3$ \\
          0     & 1     & 0     & 0 \\
          0     & 1     & 1     & 0 \\
          1     & 0     & 0     & 1 $\quad \rightarrow \quad x_1x_2'x_3'$ \\
          1     & 0     & 1     & 0 \\
          1     & 1     & 0     & 1 $\quad \rightarrow \quad x_1x_2x_3'$ \\
          1     & 1     & 1     & 1 $\quad \rightarrow \quad x_1x_2x_3$
        \end{tabular}
        \end{center}

        Die Produkte rechts in obiger Tabelle werden zu einem booleschen
        Term summiert:
        $$t(x_1, x_2, x_3) = x_1'x_2'x_3' + x_1'x_2'x_3 + x_1x_2'x_3'
        + x_1x_2x_3' + x_1x_2x_3$$

        Tats\"achlich gilt $t_{B_2}(x_1, x_2, x_3) = f(x_1, x_2, x_3)$
        f\"ur alle $x_1, x_2, x_3 \in \{0, 1\}$. Dies k\"onnte man leicht
        nachrechnen. Es soll hier aber systematisch erkl\"art werden:
        \medskip

        Offenbar gilt $t_{B_2}(x_1, x_2, x_3) = 1$ f\"ur $x_1, x_2, x_3 \in
        \{0, 1\}$ genau dann, wenn $x_1y_2y_3 = 1$ gilt f\"ur einen der
        Summanden $y_1y_2y_3$ von $t$ (wobei $y_i = x_i$ oder $y_i = x_1'$
        gelten kann, f\"ur $i \in \{1, 2, 3\}$). Aber $y_1y_2y_3 = 1$ gilt
        genau f\"ur $y_1 = y_2 = y_3 = 1$. Betrachtet man, zum Beispiel,
        den dritten Summanden $x_1x_2'x_3'$, der die zugeh\"orige Zeile der
        Wertetabelle darstellt:
        \medskip

        \begin{center}
        \begin{tabular}{cccccccccc}
          1 & 0 & 0 & 1 & $\rightarrow$ & $x_1$ & $\cdot$ & $x_2$ & $\cdot$
          & $x_3$ \\
          \scriptsize eins & \scriptsize null & \scriptsize null &
          \scriptsize \underline{eins} && \scriptsize kein Strich &&
	  \scriptsize Strich && \scriptsize Strich
        \end{tabular}
        \end{center}

        $$\mbox{Das Produkt} \quad y_1y_2y_3 = x_1y_2'x_3' \quad
        \mbox{bewirkt} \quad t_{\underline{B}_2}(1,0,0) = 1$$
        %BOX?

        Indem man diese Methode anwendet, erh\"alt man immer boolesche Terme
        in der \qq{vollst\"andige Summe-von-Produkten} Form:

        \begin{itemize}
          \item{die Bedeutung von \qq{Summe-von-Produkten} ist klar,}
          \item{\qq{vollst\"andig} bedeutet, dass in jedem der Produkte
          jede der Variablen $x_i$ genau einmal vorkommt, entweder als $y_i
          = x_i$ oder als $y_i = x_i'$.}
        \end{itemize}

        Der Satz von Seite \pageref{S154Satz} kann auch so formuliert
        werden:

        \paragraph{Folgerung:}Die Operationen $+$, $\cdot$, $\space'$ auf
        $\{0, 1\}$ bilden eine vollst\"andige Menge von Operationen, das
        hei{\ss}t mit Hilfe von $+$, $\cdot$, $\space'$ k\"onnen
        s\"amtliche Operationen auf $\{0, 1\}$ \qq{zusammengebaut} werden.
        \medskip

        Dabei kann entweder $+$ oder $\cdot$ sogar weggelassen werden:

        \subsubsection*{Beobachtung:}

        {\sf (a)} Die Menge $\{\cdot, \space'\}$ ist
        eine vollst\"andige Menge von Operationen auf $\{0, 1\}$.

        {\sf (b)} Die Menge $\{+, \space'\}$ ist eine vollst\"andige Menge von
        Operationen auf $\{0, 1\}$.

        \paragraph{Beweis:} {\sf (a)} Es gen\"ugt zu zeigen, dass $+$ aus
        $\cdot$ und $\space'$ gebildet werden kann. Doch dies ist einfach,
        denn bekanntlch gelten folgende Gleichungen:
        $$x+y = (x+y)'' = (x' \cdot y')$$

        {\sf (b)} Der selbe Beweis mit $+$ und $\cdot$ vertauscht. \hfill
        $\square$
        \medskip

        Aber es reicht sogar eine einzige Operation (ohne Beweis):

        \paragraph{Beobachtung:}Die zweistellige Operation $\uparrow$ auf
        $\{0, 1\}$ sei definiert durch:
        $$x \uparrow y := x' + y' \qquad \mbox{Sheffer-Strich}$$

        Dann ist $\{\uparrow\}$ eine vollst\"andige Menge von Operationen
        auf $\{0, 1\}$.
        \medskip

        Jeder boolesche Term kann mit Hilfe der definierenden Gleichungen
        f\"ur boolesche Algebren in eine Standardform gebracht werden,
        n\"amlich in die {\bf disjunkte Normalform (DNF)}. Es folgt ein
        Beispiel. Da man nach jeder Umformung einen anderen Term erh\"alt,
        wird -- wie bei Gleichungen -- $\equiv$ statt $=$ geschrieben:

        \begin{eqnarray*}
          t(x_1, x_2, x_3) & = & ((x_1x_2'+x_3)' x_1 + x_2')' \\
          & \equiv & ((x_1x_2'+x_3)'x_1)'x_2 \\
          & \equiv & ((x_1x_2'+x_3) + x_1') x_2 \\
          & \equiv & (x_1x_2'+x_3)x_2 + x_1'x_2 \\
          & \equiv & x_1x_2'x_2 + x_3x_2+x_1'x_2 \\
          & \equiv & x_2x_3 + x_1'x_2 \\
          & \equiv & (x_1+x_1')x_2x_3 + x_1'x_2(x_3+x_3') \\
          & \equiv & x_1x_2x_3 + x_1'x_2x_3 + x_1'x_2x_3 + x_1'x_2x_3'
        \end{eqnarray*}

        Das selbe kann mit jedem booleschen Term gemacht werden:

        \paragraph{Feststellung:}Zu jedem booleschen Term gibt es eine
        disjunkte Normalform, die bis auf die Reihenfolge der Summanden und
        bis auf die Reihenfolge der Faktoren in jedem Summand eindeutig
        bestimmt ist.
        \medskip

        Als n\"achstes wird folgende Frage beantwortet: Welches sind die
        Gleichungen, die in jeder booleschen Algebra gelten? Dies kann auf
        verbl\"uffend einfache Weise beantwortet werden:

        \paragraph{Satz:}F\"ur beliebige boolesche Terme $s(x_1, \dots, x_n)$
        und $t(x_1, \dots, x_n)$ sind folgende Aussagen \"aquivalent:

        \begin{itemize}
          \item[(i)]{Die Gleichung $s(x_1, \dots, x_n) \equiv t(x_1, \dots,
            x_n)$ gilt in allen booleschen Algebren,}
          \item[(ii)]{Die Gleichung $s(x_1, \dots, x_n) \equiv t(x_1,
            \dots, x_n)$ gilt in der $2$-elementigen booleschen Algebra
            $\underline{B}_2$,}
          \item[(iii)]{$s(x_1, \dots x_n)$ und $t(x_1, \dots, x_n)$ haben
            dieselbe disjunkte Normalform.}
        \end{itemize}

        \paragraph{Beweis:} (i) $\Rightarrow$ (ii) ist offensichtlich.

        (ii) $\Rightarrow$ (iii): Die G\"ultigkeit von $s \equiv t$ in
        $\underline{B}_2$ bedeutet $s_{\underline{B}_2} =
        t_{\underline{B}_2}$ f\"ur die zugeh\"origen booleschen Funktionen.
        Aber das ist nur m\"oglich, falls $s$ und $t$ die selbe disjunkte
        Normalform haben.

        (iii) $\Rightarrow$ (i): Sei $d$ die disjunkte Normalform von $s$
        und $t$. Dann gelten in allen booleschen Algebren die Gleichungen $s
        \equiv d$ und $t \equiv d$ woraus sofort die G\"ultigkeit von $s
        \equiv t$ folgt.

  \newpage
  \section{Logik}
    Die boolesche Algebra, besonders die sehr einfache $2$-elementige
    boolesche Algebra, spielt eine fundamentale Rolle in der Logik. Da diese
    Vorlesung ihrem Ende entgegen geht, wird die Logik hier nur sehr knapp
    und Oberfl\"achlich behandelt.
    \medskip

    Jetzt folgt ein einf\"uhrender Abschnitt mit aussagenlogischen
    Beispielen, dann ein Abschnitt zur Systematik der Aussagenlogik, und
    schlie{\ss}lich ein Abschnitt, in dem die Pr\"adikatenlogik in Form
    eines Beispiels vorgestellt wird.

    \subsection{Aussagenlogik und boolesche Algebra}
      In der Mitte des 19. Jahrhunderts entwickelte der britische
      Mathematiker G. Boole ein Kalk\"ul f\"ur die \qq{Gesetze des Denkens}
      und schuf damit gleicherma{\ss}en die sp\"ater nach ihm benannte
      boolesche Algebra wie auch die Aussagenlogik. Diese besch\"aftigt sich
      nicht mit inhaltlichen Aspekten irgend welcher Aussagen, sondern nur
      mit den Konsequenzen, die es hat, wenn eine Aussage \qq{wahr} oder
      \qq{falsch} ist: Konsequenzen f\"ur andere Aussaugen, die auch
      \qq{wahr} oder \qq{falsch} sein k\"onnen!
      \medskip

      Es gibt folgende aussagenlogische Gundoperationen, mit denen aus
      vorhandenen Aussaugen (zum Beispiel $A$ oder $B$) neue Aussagen
      zusammengesetzt werden k\"onnen:
      \bigskip

      \begin{tabular}{llp{8cm}}
        $A \vee B$ & \qq{$A$ oder $B$} & wahr genau dann, wenn
          mindestens eine der Aussagen $A$ und $B$ war ist, \\
        $A \wedge B$ & \qq{$A$ und $B$} & wahr genau dann, wenn $A$ und
          $B$ beide wahr sind, \\
        $\neg A$ & \qq{nicht $A$} & wahr genau dann, wenn $A$ falsch ist.
      \end{tabular}
      \bigskip

      Setzt man 1 f\"ur \qq{wahr} und 0 f\"ur \qq{falsch}, so ergeben sich
      folgende Wahrheitswerttabellen:

      \begin{center}
      \begin{tabular}{cc|c|c}
        $A$ & $B$ & $A \vee B$ & $A \wedge B$ \\ \hline
        0 & 0 & 0 & 0 \\
        0 & 1 & 1 & 0 \\
        1 & 0 & 1 & 0 \\
        1 & 1 & 1 & 1
      \end{tabular} \qquad \begin{tabular}{c|c}
        $A$ & $\neg A$ \\ \hline
        0 & 1 \\
        1 & 0
      \end{tabular}
      \end{center}

      Mit den Wahrheitswerten von Aussagen wird also wie in der
      $2$-elementigen booleschen Algebra gerechnet, wobei aber in der Regel
      $\vee$, $\wedge$, $\neg$ verwendet wird anstelle von $+$, $\cdot$,
      $\space'$. Es werden noch weitere, zusammengesetzte Operationen
      verwendet, zum Beispiel:
      \bigskip

      \begin{tabular}{llp{6cm}}
        $A \rightarrow B$ & \qq{wenn $A$ dann $B$} & wahr genau dann, wenn
        $A$ falsch oder $B$ wahr ist.
      \end{tabular}
      \bigskip

      Die Aussage $A \rightarrow B$ kann als Abk\"urzung f\"ur $\neg A \vee
      B$ aufgefa{\ss}t werden (denn beide Aussagen haben die selben
      Warheitswerte).

      \paragraph{Beispiel:}Mit den Aussagen
      \medskip

      \begin{center}
      \begin{tabular}{c}
        $A$: die Katze schreit, \\
        $B$: der Mond scheint
      \end{tabular}
      \end{center}

      hat $A \rightarrow B$ den Wahrheitswert 1, au{\ss}er $A$ ist
      \qq{wahr} und $B$ ist \qq{falsch}. Man beachte: Auf einen
      \qq{inneren} Zusammenhang zwischen $A$ und $B$ kommt es nicht an!
      \medskip

      Genau genommen werden h\"aufig keine Aussagen betrachtet, sondern
      {\bf Aussageformen}, das hei{\ss}t boolesche Terme (aber
      \"ublicherweise mit $\vee$, $\wedge$, $\neg$ geschrieben). Erst indem
      man f\"ur die Variablen Aussagen einsetzt, wird aus der Aussageform
      selbst eine Aussage. Und eine Wahrheitswerttabelle kann nie f\"ur
      eine konkrete Aussage, sondern nur f\"ur eine Aussageform aufgestellt
      wrden. es handelt sich um die Wertetabelle der zugeh\"origen
      booleschen Funktion.
      \medskip

      Es werden folgende Bezeichnungen verwendet: zwei Aussageformen $s$
      und $t$ heissen \"aquivalent, in Zeichen $s \equiv t$, falls
      $f_{\underline{B}_2} = t_{\underline{B}_2}$ gilt. (das hei{\ss}t
      falls wi dieselben Wahrheitswerrabellen haben). Oft sucht man zu
      einer Aussageform eine \"aquivalente Aussageform, die einfacher
      aufgebaut ist:

      \paragraph{Beispiel:}
        Im Reiseb\"uro schildert ein Kunde seine W\"unsche f\"ur eine
        Urlaubsreise: \qq{Wenn der Urlaubsort am Meer liegt, dann d\"urfen
        keine Berge in der N\"ahe sein. An einem Urlaubsort ohne Meer und
        ohne Berge muss sich ein Schwimmbad befinden. Und wenn es dort kein
        Meer und kein Schwimmbad gibt, dann geht es nicht ohne Berge!}.
        Zuerst ist der Angestellte des Reiseb\"uros verwirrt. Doch dann
        gelingt es ihm, die Aussagen des Kunden zu vereinfachen. Aus erstes
        ordnet er den Eigenschaften des Urlaubsortes Variablen zu:
        \medskip

      \begin{center}
        am Meer -- $x$, \quad mit Bergen -- $y$, \quad Schwimmbad -- $z$
      \end{center}
      \medskip

      Die Urlaubsw\"unsche des Kunden ergeben folgende Aussageform, die
      anschlie{\ss}end umgeformt wird:
      \begin{eqnarray*}
        && (x \rightarrow \neg y) \wedge ((\neg x \wedge \neg y)
        \rightarrow z) \wedge ((\neg x \wedge \neg z) \rightarrow y) \\
        & \equiv & (x \vee \neg y) \wedge ((\neg x \wedge \neg y) \vee z)
        \wedge ((\neg x \wedge \neg z) \vee y) \\
        & \equiv & \neg(x \vee y) \wedge (x \vee y \vee z)
      \end{eqnarray*}

      Jetzt wei{\ss} der Angestellte: der Kunde m\"ochte mindestens eine
      der Eigenschaften \qq{Meer}, \qq{Berge} oder \qq{Schwimmbad}, aber
      nicht \qq{Meer} und \qq{Berge} gemeinsam.

    \subsection{Aussagenlogik: Elementare Grundbegriffe}
      Jetzt wird die Aussagenlogik etwas systematischer angegangen. Die
      Basis bildet aber immer noch die $2$-elementige boolesche Algebra.

      \subsubsection{Syntax der Aussagenlogik} \paragraph{Definition:}Die
      {\bf atomen Formen} sind $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\dots$. (Es k\"onnen
      nat\"urlich auch andere Gro{\ss}\-buch\-sta\-ben wie $A$, $B$, $C$
      verwendet werden, weil dies das Schreiben vereinfacht.) Alle
      Ausdr\"ucke, die durch -- eventuell wiederholte -- Anwendung
      folgender Schritte erhalten werden k\"onnen, hei{\ss}en {\bf
      Formeln}:

        \begin{itemize}
          \item[(1)]{Alle atomaren Formeln sind Formeln}
          \item[(2)]{Sind $F$ und $G$ Formeln, dann sind auch $(F \vee G)$
            und $(F \wedge G)$ Formeln}
          \item[(3)]{Ist $F$ eine Formel, dann ist auch $\neg F$ eine
            Formel}
        \end{itemize}

      \subsubsection{Semantik der Aussagenlogik}
        \paragraph{Definition:}Die Elemente $0$ und $1$ hei{\ss}en {\bf
        Wahrheitswerte}. Sei $D$ die Menge atomarer Formeln. Eine {\bf
        Belegung} von $D$ ist eine Abbildung $\alpha\colon D \longrightarrow
        \{0, 1\}$. Jede soche Abbildung kann auf nat\"urliche Weise zu
        einer Abbildung $\hat{\alpha}\colon E \longrightarrow \{0, 1\}$
        fortgesetzt werden, wobei $E$ die Menge aller mit $D$ gebildeten
        Formeln sei:

        \begin{itemize}
          \item[(1)]{F\"ur jede atomare Formel $A \in D$ sei
            $\hat{\alpha}(A) := \alpha(A)$}
          \item[(2)]{$\hat{\alpha}(F \vee G) := \left\{
            \begin{array}{ll}
              1 & \mbox{falls $\hat{\alpha}(F) = 1 \;$ oder $ \;
                \hat{\alpha}(G) = 1$,} \\
              0 & \mbox{sonst} \end{array} \right.$}
          \item[(3)]{$\hat{\alpha}(F \wedge G) := \left\{
            \begin{array}{ll}
              1 & \mbox{falls $\hat{\alpha}(F) = 1 \;$ und $ \;
                \hat{\alpha}(G) = 1$,} \\
              0 & \mbox{sonst} \end{array} \right.$}
          \item[(4)]{$\hat{\alpha}(\neg F) := \left\{
            \begin{array}{ll}
              1 & \mbox{falls $\hat{\alpha}(F) = 0$} \\
              0 & \mbox{falls $\hat{\alpha}(F) = 1$} \end{array} \right.$}
        \end{itemize}

        Klar ist: Jede Formel $F$ kann als boolesche Funktion aufgefasst
        werden, und $\hat{\alpha}(F)$ ist ein Wert in der
        Wahrheitswerttabelle von $F$. \"Ubrigens wird f\"ur
        $\hat{\alpha}(F)$ im Allgemeinen einfacher $\alpha(F)$ geschrieben.

      \subsubsection{Modelle, G\"ultigkeit, Erf\"ullbarkeit}
        \paragraph{Definition:}Sei $F$ eine Formel und $\alpha$ eine
        Belegung. Falls $\alpha$ f\"ur alle in $F$ vorkommenden atomaren
        Formeln definiert ist (also falls $\alpha(F)$ definiert ist), dann
        hei{\ss}t $\alpha$ zu $F$ {\bf passend}.
        \medskip

        Falls $\alpha$ zu $F$ passend ist und $\alpha(F) = 1$ gilt, so wird
        $\alpha \models F$ geschrieben. Man sagt dann: \qq{$F$ {\bf gilt}
        unter $\alpha$} oder \qq{$\alpha$ ist ein {\bf Modell} f\"ur $F$}.
        Ist $\underline{F}$ eine Menge von Formeln, dann ist $\alpha$ ein
        Modell f\"ur $\underline{F}$ (oder $F$ {\bf gilt} unter $\alpha$),
        falls $\alpha \models \underline{F}$ gilt, das hei{\ss}t $A \models
        F$ f\"ur alle $F \in \underline{F}$.
        \medskip

        Eine Formel $F$ (bzw. Formelmenge $F$) hei{\ss}t {\bf erf\"ullbar},
        falls $\alpha \models F$ (bzw. $\alpha \models \underline{F}$) gilt
        f\"ur mindestens eine Belegung $\alpha$. Andernfalls hei{\ss}t $F$
        (bzw. $\underline{F}$) {\bf unerf\"ullbar}.
        \medskip

        Eine Formel $F$ hei{\ss}t {\bf g\"ultig} (oder {\bf Tautologie}),
        falls jede zu $F$ passende Belegung ein Modell f\"ur $F$ ist. Man
        schreibt $\models F$, falls $F$ eine Tautologie ist, und $\#F$
        sonst.
        \medskip

        Zum Abschluss dieses Abschnitts eine einfache Aussage:

        \paragraph{Satz:}Eine Formel $F$ ist genau dann eine Tautologie,
        wenn $\neg F$ unerf\"ullbar ist.
        \medskip

        Beweis: Offensichtlich sind folgende Aussagen \"aquivalent:
        \begin{itemize}
          \item{$F$ ist eine Tautologie}
          \item{jede zu $F$ passende Belegung ist ein Modell f\"ur $F$}
          \item{jede zu $F$, damit auch zu $\neg F$ passende Belegung
            ist kein Modell f\"ur $F$}
          \item{$\neg F$ besitzt kein Modell}
          \item{$\neg F$ ist unerf\"ullbar \hfill $\square$}
        \end{itemize}

    \subsection{Pr\"adikatenlogik erster Stufe}
      Ein wohlbekannter pr\"adikatenlogischer Ausdruck aus der Analysis ist
      folgender:
      $$\forall \varepsilon > 0 \; \exists n_0 \in \N \; \forall n \geq
      n_0: \; |f(n) - f(n_0)| < \varepsilon$$

      Dieser Ausdruck hat als Bestandteile: die Quantoren $\forall$ und
      $\exists$, die Funktionen ($=$ Operationen) $|\cdot|$, $f$, $-$ sowie
      die Relationen $>$, $\geq$, $<$.
      \medskip

      Zuerst wird der syntaktische Sprachrahmen abgesteckt:

      \subsubsection{Syntax der Pr\"adikatenlogik}
        \paragraph{Definition:}Es werden die {\bf Variablen} $x_1, x_2,
        x_3, \dots$ verwendet (manchmal auch $\dots, x, y, z$), die {\bf
        Pr\"adikatssymbole} $P_i^k$ und die {\bf Funktionssymbole} $f_i^k$
        (manchmal auch $P, Q, R$ bzw. $f, g, h$), wobei $i$ nur der
        Unterscheidung dient ({\bf Unterscheidungsindex}) und $k$ die
        Stelligkeit angibt. Was die mit den Funktionssymbolen $f_i^k$ und
        den Variablen $x_j$ gebildeten Terme sind, ist aus Abschnitt 2.4
        klar. Man erh\"alt die Formeln der Pr\"adikatenlogik durch --
        eventuell mehrfache -- Anwendung folgender Regeln:

        \begin{itemize}
          \item[(1)]{F\"ur jedes $k$-stellige Pr\"adikatssymbol $P$ und
            beliebige Terme $t_1, \dots, t_k$ ist $P(t_1, \dots, t_k)$ eine
            Formel}
          \item[(2)]{F\"ur jede Formel $F$ ist $\neg F$ eine Formel}
          \item[(3)]{Sind $F$ und $G$ Formeln, dann sind auch $(F \vee G)$
            und $(F \wedge G)$ Formeln}
          \item[(4)]{F\"ur jede Variable $x$ und jeder Formel $F$ sind auch
            $\exists x F$ und $\forall x F$ Formeln}
        \end{itemize}

        Die Formeln in (1) hei{\ss}en {\bf atomare Formeln}. Eine Formel
        $F$ hei{\ss}t {\bf Teilformel} einer Formel $G$, falls $F$ in $G$
        vorkommt. Eine Variable $x$ kann in einer Formel {\bf gebunden}
        vorkommen (das hei{\ss}t in der Form $\forall x G$ oder $\exists x
        G$) oder {\bf frei}, das hei{\ss}t ohne Quantor. Eine Variable kann
        innerhalb derselben Formel sowohl gebunden als auch frei vorkommen.
        Eine Formel ohne freie Variablen wird {\bf geschlossen} (oder eine
        {\bf Aussage}) genannt.

        \paragraph{Beispiel} f\"ur eine Formel:
          $$F := \left(\exists x_1 P_5^2(x_1, f_2^1(x_2)) \; \vee \; \neg
          \forall x_2 P_4^2(x_2, f_7^2(f_4^0, f_5^1(x_3)))\right)$$

          In $F$ ist $x_1$ \"uberall gebunden, $x_2$ ist beim ersten
          Auftreten frei und sonst gebunden, und $x_3$ kommt nur frei vor.

      \subsubsection{Semantik der Pr\"adikatenlogik, 1. Teil}
        Eine {\bf Struktur} ist ein Paar $\mathcal{A} = (U_\mathcal{A},
        I_\mathcal{A})$, wobei $U_\mathcal{A}$ eine nicht leere Menge ist
        (die Grundmenge oder das Universum von $\mathcal{A}$) und
        $I_\mathcal{A}$ eine Abbildung, die

        \begin{itemize}
          \item{jedem $k$-stelligen Pr\"adikatssymbol $P$ (welches im
            Definitionsbereich von $I_\mathcal{A}$ liegt) ein $k$-stelliges
            Pr\"adikat ($=$ Relation) $P^\mathcal{A}$ auf $U_\mathcal{A}$
            zuordnet,}
          \item{jedem $k$-stelligen Funktionssymbol $f$ (im
            Definitionsbereich von $I_\mathcal{A}$) eine $k$-stellige
            Funktion $f^\mathcal{A}$ auf $U_\mathcal{A}$ zuordnet,}
          \item{jeder Variablen $x$ (im Definitionsbereich von
            $I_\mathcal{A}$) ein Element $x^\mathcal{A}$ von
            $U_\mathcal{A}$ zuordnet.}
        \end{itemize}

        Eine Struktur $\mathcal{A} = (U_\mathcal{A}, I_\mathcal{A})$
        hei{\ss}t zu einer Formel $F$ {\bf passend}, falls $I_\mathcal{A}$
        f\"ur alle in $F$ vorkommenden Pr\"adikatssymbole, Funktionssymbole
        und freien Variablen definiert ist.

        \paragraph{Beispiel:}Sei die Formel $F := \forall x P(x, f(x))
        \wedge Q(g(a,z))$ gegeben. Hierin ist $P$ ein zweistelliges und $Q$
        ein einstelliges Pr\"adikatssymbol, $f$ ein einstelliges, $g$
        ein zweistelliges und $a$ ein nullstelliges Funktionssymbol, sowie
        $x$ eine gebundene und $z$ eine freie Variable. Eine zu $F$
        passende Struktur $\mathcal{A} = (U_\mathcal{A}, I_\mathcal{A})$
        mit:
        \begin{eqnarray*}
          U_\mathcal{A} := \N, \quad & P^\mathcal{A} := \{(m,n) \in
            U_\mathcal{A}^2 \mid m < n \}, \quad & Q^\mathcal{A} := \{n \in
            \N \mid n \mbox{ prim} \\
          f^\mathcal{A}(n) := n+1, \quad & g^\mathcal{A}(m,n) := m+n, \quad
            & a^\mathcal{A} := 2, \quad z^\mathcal{A} := 3
        \end{eqnarray*}

        In dieser Struktur \qq{gilt} $F$ offensichtlich (muss aber erst
        noch definiert werden). Es gibt aber -- ziemlich offensichtlich --
        zu $F$ passende Strukturen, in denen $F$ nicht gilt.

      \subsubsection{Semantik der Pr\"adikatenlogik, 2. Teil}
        Sei $F$ eine zur Struktur $\mathcal{A}$ passende Formel. Zuerst
        wird f\"ur jeden aus den Variablen und Funktionssymbolen von $F$
        gebildeten Term $t$ der Wert $\mathcal{A}(t)$ definiert (induktiv,
        das hei{\ss}t \"uber den Aufbau der Terme):

        \begin{itemize}
          \item[(1)]{Im Fall $t = x$ (f\"ur eine Variable $x$) sei
            $\mathcal{A}(t) := x^\mathcal{A}$.}
          \item[(2)]{Im Fall $t = f(t_1, \dots, t_n)$ mit einem
            $k$-stelligen Funktionssymbol $f$ und Termen $t_1, \dots, t_k$
            sei $\mathcal{A}(t) := f^\mathcal{A}(\mathcal{A}(t_1), \dots,
            \mathcal{A}(t_k))$.}
        \end{itemize}

        Jetzt werden -- wieder induktiv -- f\"ur alle Formeln $F$ die
        (Wahrheits-)Werte $\mathcal{A}(F)$ definiert:

        \begin{itemize}
          \item[(3)]{F\"ur $F = P(t_1, \dots, t_k)$ mit $k$-stelligem
            Pr\"adikatssymbol $P$ und Termen $t_1, \dots, t_k$ sei

            $\mathcal{A}(F) := 1 \mbox{ falls } (\mathcal{A}(t_1), \dots,
            \mathcal{A}(t_k)) \in P^\mathcal{A}, \mathcal{A}(F) := 0
            \mbox{ sonst}$}
        \end{itemize}
        \begin{itemize}
          \item[(4)]{F\"ur $F = \neg G$ sei

            $\mathcal{A}(F) := 1 \mbox{ falls } \mathcal{A}(G) = 0,
            \mathcal{A}(F) := 0 \mbox{ sonst}$}
        \end{itemize}
        \begin{itemize}
          \item[(5)]{F\"ur $F = (G \vee H)$ sei

            $\mathcal{A}(F) := 1 \mbox{ falls } \mathcal{A}(G) = 1
            \mbox{ oder } \mathcal{A}(H) = 1, \mathcal{A}(F) := 0
            \mbox{ sonst}$}
        \end{itemize}
        \begin{itemize}
          \item[(6)]{F\"ur $F = (G \wedge H)$ sei

            $\mathcal{A}(F) := 1 \mbox{ falls } \mathcal{A}(G) = 1
            \mbox{ und } \mathcal{A}(H) = 1, \mathcal{A}(F) := 0
            \mbox{ sonst}$}
        \end{itemize}
        \begin{itemize}
          \item[(7)]{F\"ur $F = \forall x G$ sei

            $\mathcal{A}(F) := 1 \mbox{ falls } \mathcal{A}_{[x/d]}(G) = 1
            \mbox{ f\"ur alle } d \in U_\mathcal{A}, \mathcal{A}(F) := 0
            \mbox{ sonst}$}
        \end{itemize}
        \begin{itemize}
          \item[(8)]{F\"ur $F = \exists x G$ sei

            $\mathcal{A}(F) := 1 \mbox{ falls } \mathcal{A}_{[x/d]}(G) = 1
            \mbox{ f\"ur ein } d \in U_\mathcal{A}, \mathcal{A}(F) := 0
            \mbox{ sonst}$}
        \end{itemize}

        \paragraph{Anmerkung zu 7/8:}\qq{$\mathcal{A}_{[x/d]}$} bedeutet,
        dass $x = d$ gesetzt wird, unabh\"angig vom Wert $x^\mathcal{A}$
        (und davon, ob $x^\mathcal{A}$ definiert ist). Fall $\mathcal{A}(F)
        = 1$ gilt, wird wieder $\mathcal{A} \models F$ geschrieben (\qq{$F$
        gilt in $\mathcal{A}$} oder \qq{$\mathcal{A}$ ist ein Modell f\"ur
        %FIXME: Fehler im Skript?
        $F$}). Wenn jede (zu $F$ passende) Struktur ein Modell f\"ur $F$
        ist, hei{\ss}t $F$ ({\bf allgemein}-){\bf g\"ultig}: $\models F$,
        andernfalls: $\#F$. Falls es mindestens ein Modell f\"ur $F$ gibt,
        hei{\ss}t $F$ {\bf erf\"ullbar}, sonst {\bf unerf\"ullbar}.

        \paragraph{Schlussbemerkung:}(a) Pr\"adikatenlogik \qq{enth\"alt}
        die Aussagenlogik: Man nimmt nur $0$-stellige Pr\"adikatssymbole
        (und keine Terme, Variablen und Quantoren).

        (b) Die hier angedeutete \qq{Pr\"adikatenlogik erster Stufe}
        erlaubt keine Quantifizierung \"uber Pr\"adikats- und
        Funktionssymbole, dies ist in der \qq{Pr\"adikatenlogik zweiter
        Stufe} erlaubt!
        \medskip

        \begin{center}
          \bf Ende!
        \end{center}

  % Abbildungsverzeichnis
  \newpage
  \pagestyle{headings}
  \listoffigures
  \addcontentsline{toc}{section}{Abbildungsverzeichnis}

  % Stichwortverzeichnis
  \newpage
  \printindex
\end{document}
