Analysis

für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker

Simon Fuhrmann Christian M. Meyer

1. April 2005

Inhaltsverzeichnis

1 Zahlen, Induktion, Mengen  1
1.1 Die Körperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Beispielkörper: 𝔽_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Ordnung von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Der Absolutbetrag |x| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Natürliche Zahlen und Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Die Peano-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.2 Die ganzen Zahlen ℤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.3 Die rationalen Zahlen ℚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6.1 Existenz, Extensionalität und Aussonderung . . . . . . . 5
1.6.2 Paarmengen-Axiom, Vereinigunsmengen-Axiom . . . . . . 6
1.6.3 Die leere Menge ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6.4 Potenzmengen-Axiom, Fundierungs-Axiom . . . . . . . . 7
1.6.5 Infinitude-Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6.6 Definition von ℕ nach der Mengentheorie . . . . . . . . . 7
1.6.7 Ersetzungs-Axiom, Auswahl-Axiom . . . . . . . . . . . . . 7
2 Die reellen Zahlen ℝ und etwas Kombinatorik  8
2.1 Infimum und Supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Die Fibonacci-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Kombinatorische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Elemente der Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Der Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.4 Geometrische Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.5 Archimedisches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.6 Bernoulli’sche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Folgen und Reihen  11
3.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Grenzwert oder Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.3 Konvergenz und Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.4 Beschränkte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.5 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.6 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.7 Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.8 Hilfsregeln zur Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.9 Cauchy-Folge oder Fundamental-Folge . . . . . . . . . . . 15
3.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1 Die geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.2 Die harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Konvergenzkriterien für Reihen  18
4.1 Das Leibnizkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Das Majorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Das Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 Das Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.6 Der Verdichtungssatz von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.7 Die Exponentialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.8 g-adische Entwicklung von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Stetigkeit von Funktionen  23
5.1 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Lipschitz-stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4 Rationale Operationen auf Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.5 Ring der stetigen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.6 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.7 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.8 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.9 Satz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.10 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . 26
5.11 Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . 27
5.12 Grenzwert von rekursiv definierten Folgen . . . . . . . . . . . . . 27
5.13 Die Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.14 Konvergenzradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.15 Potenzreihen mit Entwicklungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.16 Das Cauchy-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.17 Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.17.1 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.17.2 Die Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.17.3 Die eulersche Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.17.4 Die Exponentialfunktion zur Basis a . . . . . . . . . . . . 30
5.17.5 Der Logarithmus zur Basis a . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.17.6 Wachstum der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . 31
5.18 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.19 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Integration  33
6.1 Beschränkte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 Supremumsnorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3 Cauchy-Funktionenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.4 Banachraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.5 Zerlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.6 Stufenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.7 Das Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.8 Der Integrationsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.9 Regelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.10 Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.11 Stetige Regelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.12 Das Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.13 Eigenschaften des Integrationsoperators . . . . . . . . . . . . . . 40
6.14 Numerische Berechnung von Integralen . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.15 Funktionsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.16 Eigenschaften von Regelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.17 Monotonie des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.18 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7 Differentiation  44
7.1 Einschränkungen und Fortsetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2 Stetige Fortsetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.4 Rechenregeln für das Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.5 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.6 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.7 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.8 Der Satz von Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.9 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . 49
7.10 Mehrfach stetig differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . 50
8 Hauptsätze der Differential- & Integralrechnung  51
8.1 Schreibweisen in der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2 I. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . 51
8.3 II. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . 51
8.4 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.5 Tabelle mit Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.6 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.7 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.8 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.9 Das Integralvergleichs-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.10 Die Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.11 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9 Algorithmen  58
9.1 Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.1.1 Überlegungen über Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.1.2 Rechenregeln für den Grad . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.1.3 Polynome und Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.1.4 Das Lagrange-Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.1.5 Anzahl der Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.1.6 Optimierung der Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . 60
9.1.7 Die n-ten Einheitswurzeln in ℂ . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.1.8 Gerade und ungerade Teilpolynome . . . . . . . . . . . . 61
9.1.9 Das Interpolationsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.1.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.1.11 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.2 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.2.2 Konvergenz des Newton-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . 65
10 Metrische Räume und Normen  66
10.1 Die Axiome der Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
10.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
10.3 Die offene r-Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.4 Folgen und metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.5 Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.6 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.7 Abgeschlossenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.8 Eigenschaften abgeschlossener Mengen . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.9 Vektorräume und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.9.1 Die 1-Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.9.2 Das euklidische Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.9.3 Die euklidische Norm oder 2-Norm . . . . . . . . . . . . . 73
10.9.4 Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . 73
10.9.5 Die Maximums- oder Supremumsnorm . . . . . . . . . . . 73
10.9.6 Verhältnis der Normen zueinander . . . . . . . . . . . . . 74
11 Stetigkeit von Funktionen  75
11.1 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.2 Lipschitz-stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.3 Das ε-δ-Kriterium für Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.4 Lineare Abbildungen in normierten Räumen . . . . . . . . . . . . 76
11.5 Stetigkeit von linearen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.6 Fundamentalsatz über normierte Vektorräume . . . . . . . . . . . 78
11.7 Banach’scher Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12 Offene Mengen und differenzierbare Abbildungen  81
12.1 Offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
12.2 Durchschnitte und Vereinigungen offener Mengen . . . . . . . . . 81
12.3 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
12.4 Differenzierbare Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
12.5 Verknüpfungen von differenzierbaren Kurven . . . . . . . . . . . 83
12.6 Kurvenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

12.7 Umparameterisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.8 Reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.9 Differenzierbare reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.10Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.11Erweiterung der Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.12Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.13Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen . . . . . . . . 89
13 Ableitungen vektorwertiger Funktionen  90
13.1 Die Operatornorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
13.2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
13.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
13.4 Zweimal stetig differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 92
13.5 Die Hesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.6 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.7 Linearität der zweiten Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13.8 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13.9 Die Symmetrie der zweiten Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . 93
14 Lokale Extrema reeller Funktionen  95
14.1 Finden von potentiellen Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
14.2 Validieren der gefundenen Stellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
14.3 Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema . . . . . . . . . . . . 96
14.4 Definitheitskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
15 Mittelwertsatz und das lokale Inverse  99
15.1 Beschränkte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
15.2 Stufenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
15.3 Regelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
15.4 Das Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
15.5 Regelfunktionen und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15.6 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.7 Der Satz vom lokalen Inversen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
15.8 Satz über implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15.9 Extrema mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
15.10Der Lagrange-Multiplikator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
15.11Extrema mit mehreren Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . 107
16 Gewöhnliche Differentialgleichungen  110
16.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
16.2 Das Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
16.3 Die Integralkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
16.4 Lokaler Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
16.5 Picard-Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
16.6 Lokale Lipschitz-Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
16.7 Die klassische Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

17 Lineare DGL und globaler Fluss  118
17.1 Der globale Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
17.2 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
17.3 Homogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 120
17.4 Die Exponentialfunktion und Matritzen . . . . . . . . . . . . . . 121
17.5 Inhomogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 123
17.6 Fundamentalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Literaturverzeichnis  I
Abbildungsverzeichnis  II

1 Zahlen, Induktion, Mengen

Vorlesung 27.10.2003

Wir stellen zuerst einige allgemeingültige Rechenregeln zusammen, die man Axiome nennt. Aus diesen Regeln leiten wir neue Sätze, Formeln und Ergebnisse her.

1.1 Die Körperaxiome

Definition §1.1

Wir gehen von einer Menge von Zahlen K aus (z.B. die Menge der reellen Zahlen), die zwei spezielle Elemente 0 und 1 enthalten soll. Weiter soll es zwei Verknüpfungen + und · geben, die zwei beliebigen Elementen in K neue Elemente zuordnen. Zum Beispiel:

x + y = u
x · y = v

Dabei sollen folgende Axiome gelten, für alle x, y, z in K.

Kommutativgesetz

\begin{matrix}(K_{+}) & x + y = y + x \\ (K_{·}) & x · y = y · x \end{matrix}

Assoziativgesetz

\begin{matrix}(A_{+}) & (x + y) + z = x + (y + z) \\ (A_{·}) & (x · y) · z = x · (y · z) \end{matrix}

Distributivgesetz

\begin{aligned}(D) & (x + y) · z = x · z + y · z \\ & x · (y + z) = x · y + x · z \end{aligned}

Existenz von Neutralelementen

(N_{+}) x + 0 = 0 + x = x
(N_{·})  x · 1 = 1 · x = x
x · 0 = 0 · x = 0

Existenz von inversen Elementen

(I_{+}) Zu jedem x gibt es ein y mit x + y = 0
(I_{·}) Zu jedem x ≠ 0 gibt es ein z mit x · z = 1

Schreibe y = −x, z = x^{−1} = \frac{1}{x}

Sind alle diese Axiome erfüllt, so heißt (K, 0, 1, +, ·) ein Körper. Beispiele dafür sind die reellen Zahlen ℝ und die rationalen Zahlen ℚ.

Aus den Körperaxiomen folgen schnell weitere einfache Regeln. Zum Beispiel:

(−1) · x = −x
Herleitung:  0 = x + (−x)
= x + (−1) · x
= 1 · x + (−1) · x
= (1 + (−1)) · x
= 0 · x = 0
Folgerung: (−x) · (−y) = x · y
denn:  (−x) · (−y) = (−1) · x · (−1) · y
= (−1) · (−1) · x · y
= −(−1) · x · y
= 1 · x · y = x · y

Derartige Regeln gelten auch universell in allen Körpern. Es gibt neben 𝔽_{2}, ℝ und ℚ viele weitere wichtige Körper; Stichwort: Kryptographie mit elliptischen Kurven.

1.2 Beispielkörper: 𝔽_{2}

Beispiel §1.2

Der Körper der Informatik 𝔽_{2} = {0, 1}. Wir definieren + und · wie folgt:

+ 0 1 0 0 1 1 1 0  \begin{matrix}· & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}

Hier gelten alle Körperaxiome.

Kuriosum: In 𝔽_{2} gilt 0 = 2 = 1 + 1, und x + x = 0 also −x = x für alle x in 𝔽_{2}.

1.3 Ordnung von Zahlen

Definition §1.3

Eine weitere wichtige Eigenschaft der reellen Zahlen ist ihre Ordnung oder Anordnung.

Definition: Eine Ordnung < ist eine zweistellige Relation, bezüglich derer für alle x, y, z gelten soll:

(O_{1}) Entweder x < y oder x = y oder y < x, genau einer dieser Fälle

tritt ein.

(O_{2}) Wenn gilt x < y und y < z, dann soll auch gelten x < z

Ein Körper K ist angeordnet (kurz: ein A.K.), wenn < eine Ordnung auf K ist, mit:

(O_{K+}) Wenn x < y, dann x + z < y + z
(O_{K·}) Wenn x < y und wenn z > 0, dann x · z < y · z

Beispiele dafür sind ℝ und ℚ.

Beispiel: 𝔽_{2} ist kein A.K.! Denn wäre 𝔽_{2} bezüglich < ein A.K., so würde gelten:

x < y ⇝ \underbrace{x + x}_{=0} < y + x
x < y ⇝ x + y < \underbrace{y + y}_{=0}

Dies wäre ein Widerspruch zu (O_{1}). □

Vereinbarung: x ≥ y falls x > y oder x = y

Vorlesung 30.10.2003

x heißt positiv wenn x > 0, negativ wenn x < 0, nicht positiv wenn x ≤ 0 und nicht negativ wenn x ≥ 0.

Behauptung: Das Produkt von zwei positiven oder zwei negativen Elementen (Zahlen) ist positiv, das Produkt von einem positiven und einem negativen Element ist negativ.

Beweis: Falls x, y > 0, so ist x · y > 0 · y = 0. Ist x < 0, so ist x + (−x) < −x, also −x > 0. Ist x, y < 0 so ist −x, −y > 0 und x · y = −x · (−y) > 0 ⇒ wenn x, y < 0, so ist ihr Produkt > 0. Ist x > 0, y < 0, so gilt x · y < 0 · x = 0. Anmerkung: Insbesondere gilt für alle x, dass x^{2} ≥ 0, also 1 = 1^{2} ≥ 0. Fazit: Die üblichen Vorzeichenregeln gelten also alle.

Bemerkung: Jeder angeordnete Körper ist unendlich. Denn:

1 > 0 ⇒ 1 + 1 > 1 ⇒ 1 + 1 + 1 > 1 + 1 ⇒ ...

1.4 Der Absolutbetrag |x|

Definition §1.4

Der Absolutbetrag (oder Betrag) eines Elementes x eines A.K. ist definiert wie folgt:

|x| = \{ \begin{matrix}x & falls x > 0 \\ 0 & falls x = 0 \\ −x & falls x < 0 \end{matrix}

[figure]

Abbildung 1: Die Betragsfunktion

Es gilt:

|x · y| = |x| · |y|  (1)
|x| = | − x| ≥ 0  (2)
|x + y| ≤ |x| + |y| (Dreiecksungleichung) (3)
|x − y| ≥ ||x| − |y||  (4)

Beweis: (1) und (2) sind klar. Zu (3):

|x| ≥ ±x
also |x| + |y| ≥ |x| + y ≥ x + y
und |x| + |y| ≥ |x| − y ≥ \underbrace{−x − y}_{= −(x+y)},
also |x| + |y| ≥ |x + y|

Zu (4):

|x| = |x + y − y| ≤ |x − y| + |y|
|y| = |y + x − x| ≤ |y − x| + |x|
|x| − |y| ≤ |x − y|
|y| − |x| ≤ \underbrace{|y − x|}_{= |x−y|}
⇒ ||x| − |y|| ≤ |x − y|

1.5 Natürliche Zahlen und Induktion

Definition §1.5

1.5.1 Die Peano-Axiome

Schule: ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}

Schreibe: s(n) = n + 1, wobei s(n) = Nachfolger von n, dann erfüllt (ℕ, s, 0) die so genannten Peano-Axiome.

(P_{1}) Es gibt kein n mit s(n) = 0
(P_{2}) Ist s(n) = s(m), dann ist n = m

(P_{3}) Axiom der vollständigen Induktion: Ist X eine Teilmenge von ℕ mit 0 ∈ X und gilt: x ∈ X ⇒ s(x) ∈ X, so ist X = ℕ.

Satz: Erfüllt (N, s′, 0′) die Peano-Axiome, so ist N = ℕ, genauer: Es gibt genau eine Abbildung f: N → ℕ, die jedem t ∈ N eine natürliche Zahl zuordnet, mit:

f(0′) = 0
f(s′(t)) = f(t) + 1

Beispiel: Wir behaupten 0 + 1 + 2 + ... + n = \frac{n·(n+1)}{2} gilt für jede natürliche Zahl n.

Induktionsanfang: n = 0 ⇒ Formel ist richtig. Auch aus n = 1 ⇒ Formel ist richtig.

Induktionsschritt: Wir nehmen an das gilt für 0, 1, 2, ..., n und wir zeigen: es gilt auch für n + 1.

0 + 1 + ⋯ + n + (n + 1) =^{IV} \frac{n · (n + 1)}{2} + (n + 1)
= \frac{n · (n + 1)}{2} + \frac{2 · (n + 1)}{2} = \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}

Also gilt die Formel für n + 1, wenn sie auch für n gilt.

Behauptung: Damit gilt die Formel für alle natürlichen Zahlen!

Setze: X = {n ∈ ℕ | Formel gilt für n}

Nach Induktionsanfang (I.A.) ist 0 ∈ X, nach Induktionsschritt (I.S.) gilt, wenn n ∈ X, dann s(n) = n + 1 ∈ X.

Nach (P_{3}) ist X = ℕ.

Bemerkung: Wir können multiplizieren (·) und addieren (+) mittels s(…) hinschreiben, durch:

0 + n = 0
s(n) + m = s(n + m)

sowie:

0 · n = 0
s(n) · m = n · m + m

Es ist mühsam, Assoziativität, Kommutativität, etc. nachzuweisen.

1.5.2 Die ganzen Zahlen ℤ

Die ganzen Zahlen ℤ = {0, ±1, ±2, ±3, …} stellen wir uns als vorzeichenbehaftete, natürliche Zahlen vor, mit den üblichen Rechenregeln. Die Menge ℕ der natürlichen Zahlen und die Menge ℤ der ganzen Zahlen sind keine Körper.

Weil: 2 · x = 1 hat keine Lösung in ℤ.

1.5.3 Die rationalen Zahlen ℚ

Man erweitert ℤ zum Körper ℚ = \{\frac{a}{b} | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0\} mit den üblichen Rechenund Kürzungsregeln (\frac{a}{b} = \frac{a·c}{b·c}, c ≠ 0).

(ℚ, 0, 1, +, ·, ≥) ist ein angeordneter Körper.

1.6 Mengen

Vorlesung 03.11.2003

Definition §1.6

Mengen sind die Bausteine der gesamten Mathematik. Unter einer Menge stellen wir uns eine Zusammenfassung gewisser Elemente (die ihrerseits Mengen sind) vor. Wenn ein Element x in einer Menge A ist, schreiben wir x ∈ A. Wenn x nicht in A ist, schreiben wir x ∉ A. Sind A und B Mengen, und gilt für jedes x ∈ A, dass x ∈ B, so schreiben wir A ⊆ B (A ist Teilmenge von B).

1.6.1 Existenz, Extensionalität und Aussonderung

Hier sind Axiome von Zermelo Fraenkel:

(Ex) Existenz. Es gibt Mengen.

(Ext) Extensionalität. X = Y genau dann, wenn X und Y die gleichen

Elemente haben, X ⊆ Y und Y ⊆ X. (Aus) Aussonderung. Ist φ eine Eigenschaft und X eine Menge, so auch

{x ∈ X | x hat Eigenschaft φ}.

Beispiel: ℝ ist eine Menge ⇝ {r ∈ ℝ | r > 0} ist eine Menge.

Insbesondere sind Durchschnitte und Komplemente wieder Mengen.

Durchschnitt oder Schnittmenge A ∩ B = {a ∈ A | a ∈ B}

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Abbildung 2: Schnittmenge

Komplement A \ B = {a ∈ A | a ∉ B}

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Abbildung 3: Komplement

1.6.2 Paarmengen-Axiom, Vereinigunsmengen-Axiom

(P aar) Paarmengen-Axiom. Sind A und B Mengen, so auch {A, B}.

(V er) Vereinigungsmengen-Axiom. Sind A und B Mengen, so auch A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}.

Vereinigungsmenge A ∪ B = {a ∈ A oder a ∈ B}

[figure]

Abbildung 4: Vereinigungsmenge

Beispiel: A = {1, 2} und B = {2, 3}

\begin{matrix}(P aar) & \{A, B\} = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}\} \\ (V er) & A ∪ B = \{1, 2, 3\} \end{matrix}

1.6.3 Die leere Menge ∅

∅ = {} = {x ∈ X | x ≠ x} Für jedes x gilt also x ∉ ∅ Beispiel: Mit A = {1, 5} und B = {2, 511} gilt A ∩ B = ∅

Beachte auch: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge: ∅ ⊆ X. Z.B. ∅ ⊆ {2, 3}, aber ∅ ∉ {2, 3}.

1.6.4 Potenzmengen-Axiom, Fundierungs-Axiom

(P ot) Potenzmengen-Axiom. Die Teilmengen einer Menge bilden wieder

eine Menge, die Potenzmenge. P(X) = {Y | Y ⊆ X}

(F und) Fundierungs-Axiom: Ist X ≠ ∅ eine Menge, so gibt es ein Element a ∈ X mit a ∩ X = ∅. Folgerung: Es kommt nie vor, dass X ∈ X.

Beispiel: (Potenzmengen-Axiom) X = {2, 5, 11} P(x) = {{2, 5}, {2, 11}, {5, 11}, {2}, {5}, {11}, {2, 5, 11}, ∅} Die Anzahl der Elemente beträgt 2^{k}.

Beweis durch Widerspruch (Fundierungs-Axiom): Angenommen X ist eine Menge mit X ∈ X. Betrachte {X}, nach (F und) gilt also X ∩ {X} = ∅, d.h. X ∈ X. (Widerspruch)

1.6.5 Infinitude-Axiom

(Inf) Es gibt unendliche Mengen. Genauer gesagt: ℕ existiert. Noch genauer: Es gibt eine Menge X ≠ ∅ mit folgender Eigenschaft: Ist x ∈ X so ist x ∪ {x} ∈ X

1.6.6 Definition von ℕ nach der Mengentheorie

Vorlesung 06.11.2003

Vorsicht: Natürlich stellen wir uns ℕ nicht so vor; das ist die strenge mengentheoretische Definition.

0 = ∅
1 = ∅ ∪ {∅} = {∅} = {0}
2 = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}} = {0, 1}
3 = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {0, 1, 2}
⋮
0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ …

1.6.7 Ersetzungs-Axiom, Auswahl-Axiom

(Ers) Ersetzungs-Axiom. Ist φ(x, y) eine Vorschrift, die jeder Menge x eine Menge y zuordnet, und ist X eine Menge, so auch {y | x ∈ X und φ(x, y)}.

(Ausw) Auswahl-Axiom. Ist X eine Menge mit der Eigenschaft: Für alle x, y ∈ X, x ≠ y gilt x ∩ y = ∅, so gibt es eine Menge ℤ mit: Für x ∈ X ist x ∩ Z ≠ ∅.

Hinweis: Manchmal werden die Grundlagen über die sogenannten Kategorientheorie aufgebaut (Algebra-Topologie).

2 DIE REELLEN ZAHLEN ℝ UND ETWAS KOMBINATORIK 8

2 Die reellen Zahlen ℝ und etwas Kombinatorik

2.1 Infimum und Supremum

Definition §2.1

Defnition: Ist A eine Teilmenge eines geordneten Körpers (z.B. A ⊆ ℝ), so heißt x die obere Schranke für A, falls a ≤ x für alle a ∈ A gilt. Analog definiert man untere Schranken.

Beispiel: A = {x ∈ R | − 1 ≤ x < 3} Obere Schranken: 7, 3, 4 Untere Schranken: −5, −2, −1

Die kleinste obere Schranke heißt Supremum, die größte untere Schranke heißt Infimum. Schreibe:

sup A = x ⟺ x Supremum für A
inf B = z ⟺ z Infimum für B

In unserem Beispiel A = {x ∈ ℝ | − 1 ≤ x < 3} ist sup A = 3 und inf A = −1.

Falls inf A ∈ A schreibe inf A = min A
Falls sup A ∈ A schreibe sup A = max A

Die Menge A im Beispiel hat ein Minimum (−1) aber kein Maximum.

Beispiel: Setze B = {q ∈ ℚ | q^{2} ≤ 2} Diese Menge B hat obere Schranken in ℚ (z.B. 5). In dieser Menge ℚ gibt es kein Supremum für B. Dagegen gibt es in ℝ natürlich ein Supremum, nämlich die irrationale Zahl \sqrt{2}. Das ist viel besser!

(Vollst) Ist A eine Menge der rellen Zahlen, die eine obere (untere) Schranke hat, dann hat A ein Supremum (Infimum) in ℝ. Man sagt, ℝ ist vollständig.

Satz §2.2

Satz: Jeder angeordnete Körper, der in diesem Sinne vollständig ist, ist zu ℝ isomorph (sieht genauso aus wie ℝ).

2.2 Die Fibonacci-Zahlen

Definition §2.3

Die Fibonacci-Zahlen sind rekursiv definiert wie folgt:

f_{0} = 0, f_{1} = 1, und f_{n+2} = f_{n} + f_{n+1} ⟹ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

2.3 Kombinatorische Formeln

2.3.1 Elemente der Potenzmenge

Satz §2.4

Ist A eine n-elementige Menge, so hat P(A) 2^{n} Elemente.

Beweis: Induktion nach n

I.A. n = 0 A = ∅  P(∅) = {∅}  2^{0} = 1 ⟹ stimmt
n = 1 A = {a} P(A) = {∅, {a}} 2^{1} = 2 ⟹ stimmt

I.S. A = {a} ∩ B, wobei a ∉ B ist. A habe n + 1 Elemente. Also hat B n Elemente. P(B) hat 2^{n} Elemente. Sei X ⊆ A. Ist a ∉ X so ist X ⊆ B, solche Mengen gibt es 2^{n} Stück.

Ist a ∈ X betrachte Y = X \ {a} ⊆ B, davon gibt es auch 2^{n} Stück. (Beachte: X = Y ∩ {a})

Zusammen: 2^{n} + 2^{n} = 2^{n+1} Stück. □

Schreibe #A = Anzahl der Elemente von A

Wir haben gezeigt: #A = n ⟹ #P(A) = 2^{n}

2.3.2 Der Binomialkoeffizient

Satz §2.5

Für k ≤ n ist die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge der Binomialkoeffizient.

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n − k)!}

Beweis durch Induktion nach n:

I.A. n = 0 ∅ ⊆ ∅ \binom{0}{0} = \frac{0!}{0!0!} = 1

I.S. Sei X ⊆ A k-elementig. Ist a ∉ X, so ist X ⊆ B, solche X gibt es also \binom{n}{k} Stück.

Ist k ∈ X, so ist X \ {a} ⊆ B eine k − 1-elementige Teilmenge von B. Solche Mengen gibt es \binom{n}{k−1} Stück.

Insgesamt sind es also \binom{n}{k} + \binom{n}{k−1} = \binom{n+1}{k} Stück. □

Schreibweise: Sind a_{0}, a_{1}, …, a_{m} Zahlen. Schreibe a_{0}+a_{1}+…+a_{m} = ∑_{k=0}^{m} a_{k}

2.3.3 Binomischer Lehrsatz

Satz §2.6

Es gilt für alle n ∈ ℕ und alle Zahlen a, b

(a + b)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n−k}b^{k}

Beweis durch Induktion. Die Formel ist richtig für n = 0, n = 1 und n = 2.

I.S. (a + b)^{n+1} = (a + b)^{n} · (a + b)
= ( ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n−k}b^{k}) (a + b)
= ( ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n+1−k}b^{k}) + ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n−k}b^{k+1}
= a^{n+1} + ∑_{k=0}^{n−1} \binom{n}{k+1}a^{n−k}b^{k+1} + b^{n+1}
= ∑_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}a^{n+1−k}b^{k}  □

2.3.4 Geometrische Summe

Satz §2.7

Sei x ≠ 1

∑_{k=0}^{n} x^{k} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + … + x^{n} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x}

Beweis:

(1 − x) ∑_{k=0}^{n} x^{k} = (∑_{k=0}^{n} x^{k}) − ∑_{k=1}^{n+1} x^{k} = 1 + x^{n+1}

2.3.5 Archimedisches Prinzip

Satz §2.8
(i) zu jedem r ∈ ℝ gibt es ein n ∈ ℕ mit r < n
(ii) zu allen r, s ∈ ℝ mit s > 0 gibt es n ∈ ℕ mit sn > r
(iii) zu allen r, s ∈ ℝ mit r < s gibt es n ∈ ℕ mit r + \frac{1}{n} < s

Beweis:

(i) Widerspruchsbeweis:

Sonst gäbe es ein r ∈ ℝ mit r ≥ n für alle n ∈ ℕ, das heißt r ist eine obere Schranke für ℕ. Setze r_{0} = sup ℕ, also gibt es ein n ∈ ℕ mit r_{0} − 1 ≤ n, das heißt r_{0} ≤ n + 1 < n + 2. Ein Widerspruch. Also gilt (i).

(ii) Wähle n > \frac{r}{s}
(iii) Wähle n < \frac{1}{s−r}

2.3.6 Bernoulli’sche Ungleichung

Satz §2.9

Für x > −1 und n ∈ ℕ gilt stets (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx.

Beweis: Induktion nach n:

I.A. n = 0  (1 + x)^{0} ≥ 1 + 0 = 1 ≥ 1
n = 1  (1 + x)^{1} ≥ 1 + x ⇔ 1 + x ≥ 1 + x
I.S. n ↦ n + 1
(1 + x)^{n+1} = (1 + x)^{n}(1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x)
= 1 + nx + x + \underbrace{nx^{2}}_{≥0} ≥ 1 + x(n + 1)

□

3 Folgen und Reihen

3.1 Folgen

Definition §3.1

Definition: Eine Folge von (reellen) Zahlen ist eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl n ein Folgeglied a_{n} zuordnet.

Schreibe: (a_{n})_{n∈ℕ}

3.1.1 Grenzwert oder Limes

Eine Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, wenn folgendes gilt:

Zu jedem ε > 0 gibt es ein N = N_{ε} ∈ ℕ, so dass für alle k ≥ N gilt:

| a_{k} − a |< ε

Wir schreiben dann lim_{n→∞} a_{n} = a und sagen: Die Folge a_{n} konvergiert gegen a.

Beispiel:

(i) a_{n} = n
(ii) b_{n} = \{ \begin{matrix}1 & falls n gerade ist \\ −1 & falls n ungerade ist \end{matrix}
(iii) c_{n} = c_{0}  (konstante Folge)
(iv) d_{n} = \frac{1}{n}, d_{0} = 1

Grenzwerte:

(i) (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiert nicht.
(ii) (b_{n})_{n∈ℕ} konvergiert nicht.
(iii) (c_{n})_{n∈ℕ} konvergiert gegen lim_{n→∞} c_{n} = c_{0}
(iv) (d_{n})_{n∈ℕ} konvergiert gegen lim_{n→∞} d_{n} = 0

Warum? Sei ε > 0 gegeben. Wir wollen also | d_{k} − 0 |< ε, \frac{1}{k} < ε, also ist \frac{1}{ε} < k gesucht.

Nach dem Archimedischen Prinzip finden wir N ∈ ℕ mit \frac{1}{ε} < N. Für k ≥ N gilt damit k > \frac{1}{ε}, folglich d_{k} = \frac{1}{k} < ε.

Mit anderen Worten: | d_{k} − 0 |< ε für k ≥ N.

3.1.2 Häufungspunkte

Definition §3.2

Eine Zahl a heißt Häufungspunkt der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, falls für jedes ε > 0 die Menge {k ∈ ℕ | | a_{k} − a |< ε} unendlich ist.

Offensichtlich ist jeder Grenzwert ein Häufungspunkt.

Vorlesung 13.11.2003

Beachte: Jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt, aber im Allgemeinen ist ein Häufungspunkt nicht notwendig ein Grenzwert.

Beispiel: b_{n} = \{ \begin{matrix}1 & falls n gerade ist \\ −1 & falls n ungerade ist \end{matrix}

Diese Folge hat zwei Häufungspunkte (1 und −1), aber keinen Grenzwert.

3.1.3 Konvergenz und Häufungspunkte

Satz §3.3

Satz: Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt.

Beweis: Sei (a_{n})_{n∈ℕ} konvergent, lim_{n→∞} a_{n} = a. Sei b ≠ a. Wir zeigen, dass b

kein Häufungspunkt ist. Sei ε = |\frac{b−a}{2} | > 0. Wähle N_{ε} so, dass für alle k ≥ N_{ε} gilt: |a_{k} − a| < ε. Damit gilt

|b − a_{k}| = |b − a + a − a_{k}| ≥ | \underbrace{|b − a|}_{=2ε} − \underbrace{|a − a_{k}|}_{<ε} | ≥ ε

Also ist {k ∈ ℕ | |b − a_{k}| < ε} endlich, das heißt b ist kein Häufungspunkt. □

Insbesondere hat eine konvergente Folge genau einen Grenzwert.

3.1.4 Beschränkte Folgen

Definition §3.4

Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt beschränkt, wenn es ein r ∈ ℝ gibt, so dass |a_{k}| ≤ r für alle k ∈ ℕ (d.h. −r ≤ a_{k} ≤ r).

Satz §3.5

Satz: Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis: Sei (a_{n})_{n∈ℕ} konvergent, lim_{n→∞} a_{n} = a für ε = 1 gibt es also N_{ε} mit k ≥ N_{ε} ⇒ |a − a_{k}| < 1.

Setze s = max{|a_{0}|, |a_{1}|, …, |a_{N_{ε}}|, |a|}. Für alle k gilt dann |a_{k}| ≤ s + 1. □

Satz §3.6

Satz: Sind (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} konvergent,

lim_{n→∞} a_{n} = a,  lim_{n→∞} b_{n} = b

dann sind (a_{n} +b_{n})_{n∈ℕ}, (a_{n} ·b_{n})_{n∈ℕ}, (c·a_{n})_{n∈ℕ} (mit c ∈ ℝ beliebig) konvergent, und

lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = a + b, lim_{n→∞}(a_{n} · b_{n}) = ab, lim_{n→∞}(c · a_{n}) = ca

Beweis für (a_{n} + b_{n})_{n∈ℕ}: Sei ε > 0 gegeben. Es gibt N_{1}, N_{2} ∈ ℕ mit:

\begin{matrix}k ≥ N_{1} ⇒ |a_{k} − a| < \frac{ε}{2} \\ k ≥ N_{2} ⇒ |b_{k} − b| < \frac{ε}{2} \end{matrix}

Setze N = max{N_{1}, N_{2}}. Dann gilt für k ≥ N: |(a_{k} + b_{k}) − (a + b)| ≤ |a_{k} − a| + |b_{k} − b| < ε

Beweis für (a_{n} · b_{n})_{n∈ℕ}: Beide Folgen sind beschränkt, also gibt es k ∈ ℝ mit |a_{k}|, |b_{k}| ≤ k für alle k ∈ ℕ.

Sei ε > 0. Wähle N_{1}, N_{2} so, dass gilt:

k ≥ N_{1} ⇒ |a_{k} − a| < \frac{ε}{2k} (o.B.d.A. k > 0)
k ≥ N_{2} ⇒ |b_{k} − b| < \frac{ε}{2k} (Setze N = max\{N_{1}, N_{2}\})

Für k ≥ N gilt:

|a_{k} · b_{k} − a · b| = |a_{k}(b_{k} − b) + b(a_{k} − a)|
≤ \underbrace{|a_{k}|}_{≤k} \underbrace{|b_{k} − b|}_{< \frac{ε}{2k}} + \underbrace{|a_{k} − a|}_{< \frac{ε}{2k}} \underbrace{|b|}_{≤k} < ε

Beweis für (c·a_{n})_{n∈ℕ}: Diese Behauptung folgt mit (b_{n})_{n∈ℕ} = c (konstante Folge) aus der vorigen Behauptung. □

Satz §3.7

Satz: Ist a_{k} ≠ 0 für alle k ∈ ℕ, und gilt lim_{n→∞} a_{n} = a ≠ 0, so konvergiert die

Folge ((\frac{1}{a})_{n})_{n∈ℕ} gegen \frac{1}{a}.

Beweis: Sei ε > 0 gegeben. Wähle N so, dass gilt: k ≥ N ⇒ |a_{k} − a| < \frac{ε|a|^{2}}{2} , \frac{|a|}{2}. Dann gilt |a_{k} − a| < \frac{|a|}{2}, |a| − |a_{k}| ≤ |a_{k} − a| < \frac{|a|}{2} ⇒ \frac{|a|}{2} < |a_{k}|.

Dann ist |\frac{1}{a_{k}} − \frac{1}{a} | = |\frac{a−a_{k}}{a_{k}a} | = \frac{|a−a_{k}|}{|a_{k}|·|a|} < \frac{|a|^{2}ε}{2·|a_{k}|·|a|} = \frac{|a|ε}{2·|a_{k}|} < ε\frac{|a_{k}|}{|a_{k}|} = ε. □

Beispiel:

Beispiel §3.8

a_{n} = \frac{2n^{3} + 2n^{2} + n}{n^{3} + 1} = \frac{n^{3}(2 + 2\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} )}{n^{3}(1 + \frac{1}{n^{3}} )} = \frac{2 + 2\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}
lim_{n→∞} a_{n} = 2

Denn: (2 + 2\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} )_{n∈ℕ} konvergiert, (1 + \frac{1}{n^{3}} )_{n∈ℕ} konvergiert auch

⟹ (_{\frac{1}{1+ \frac{1}{n^{3}}}} )_{n∈ℕ} konvergiert.

Damit konvergiert (_{\frac{1}{1+ \frac{1}{n^{3}}}} ) (2 + 2\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} ).

3.1.5 Monotonie

Definition §3.9

Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt (streng) monoton steigend falls für alle n gilt:

a_{n} ≤ a_{n+1} (a_{n} < a_{n+1})

Analog definiert man (streng) monoton fallende Folgen.

Satz §3.10

Satz: Eine monoton beschränkte Folge konvergiert.

Beweis: Sei (a_{n})_{n∈ℕ} monoton wachsend und beschränkt. Sei a = sup{a_{k} | k ∈ ℕ}. Für alle k gilt also a_{k} ≤ a. Zu jedem ε > 0 gibt es ein N mit a_{N} > a − ε. Weiter gilt natürlich für alle k ∈ ℕ, dass a_{k} < a + ε. Für k ≥ N gilt a_{k} > a − ε, weil a_{k} ≥ a_{N} (denn die Folge ist monoton). Für k ≥ N gilt also a − ε < a_{k} < a + ε, das heißt:

|a − a_{k}| < ε

Für fallende Folgen nimmt man das Infimum. □

Beispiel §3.11

Beispiel: a_{0} = 0, a_{n+1} = \sqrt{6 + a_{n}} (rekursiv definiert).

Die Folge ist (a) beschränkt und (b) monoton, also konvergent.

(a) |a_{0}| ≤ 3, ist a_{n} ≤ 3, so a_{n+1} ≤ 3, die Folge ist beschränkt.

(b) a_{0} = 0, a_{1} = \sqrt{6} > a_{0} a_{n+1} = \sqrt{6 + a_{n}} > \sqrt{6 + a_{n−1}} = a_{n} ⇒ monoton, denn 0 < x < y ⇔ 0 < \sqrt{x} < \sqrt{y}

3.1.6 Divergenz Vorlesung 17.11.2003

Definition §3.12

Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent. Wenn es zu jedem r ∈ ℝ ein N_{r} ∈ ℕ gibt mit k ≥ N_{r} ⇒ a_{k} ≥ r schreiben wir:

lim_{a→∞} a_{n} = ∞

Gibt es zu jedem r ∈ ℝ ein N_{r} mit k ≥ N_{r} ⇒ a_{k} ≤ r schreiben wir:

lim_{a→∞} a_{n} = −∞

3.1.7 Teilfolgen

Definition §3.13

Ist (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge, und ist (n_{k})_{k∈ℕ} eine Folge natürlicher Zahlen (ℕ) mit n_{0} < n_{1} < n_{2} < …, dann heißt (a_{n}_{k})_{k∈ℕ} eine Teilfolge von (a_{n})_{n∈ℕ}.

Beispiel:

n_{k} = k (a_{n})_{n∈ℕ} ist Teilfolge von sich selbst.
n_{k} = 2^{k} (a_{2^{k}})_{k∈ℕ}
Satz §3.14

Satz: Ist a ein Häufungspunkt der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, so gibt es eine Teilfolge (a_{n}_{k})_{k∈ℕ}, die gegen a konvergiert.

Beweis: Setze n_{0} = 0 und definiere n_{k} rekursiv wie folgt: Zu ε_{k} = \frac{1}{1+k} gibt es unendlich viele Folgenglieder a_{l} mit l ≥ n_{k} und | a_{l} − a |< ε. Setze n_{k+1} = l, a_{n_{k+1}} = a_{l}. Diese Teilfolge tut’s. □

Satz §3.15

Satz: (Bolzano-Weierstraß) Jede beschränkte Folge hat mindestens einen Häufungspunkt.

Beweis: Sei (a_{n})_{n∈ℕ} beschränkt. Sei c = inf{a_{n} | n ∈ ℕ}, d = sup{a_{n} | n ∈ ℕ}. Setze M = {x ∈ ℝ | es gibt N ∈ ℕ mit a_{k} ≤ x für alle k ≥ N}. Offensichtlich ist d ∈ M, also M ≠ ∅. Sei a = inf M. Behauptung: a ist ein Häufungspunkt.

Für jedes ε > 0 gilt: Es gibt nur endlich viele k mit a_{k} > a + ε. Weiter gilt: a − ε < a_{k} für unendlich viele k ∈ ℕ. Also gilt | a − a_{k} |< ε für unendlich viele k, das heißt a ist ein Häufungspunkt. □

Der größte Häufungspunkt solch einer Folge heißt limes superior, lim sup_{n→∞} a_{n},

der kleinste Häufungspunkt heißt limes inferior, lim inf_{n→∞} a_{n}.

3.1.8 Hilfsregeln zur Konvergenz

Bemerkung ; §3.16

Die folgenden Kriterien an eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} sind äquivalent:

(i) (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiert, lim_{n→∞} a_{n} = a

(ii) Es gibt ein k ∈ ℝ so, dass es zu jedem ε > 0 ein N_{ε} gibt mit:

l ≥ N_{ε} ⇒| a − a_{l} |< k · ε. (iii) Es gibt k ∈ ℝ so, dass es zu jedem m ∈ ℕ, m > 0 ein N_{m} gibt

mit: l ≥ N_{m} ⇒| a − a_{l} |< k · \frac{1}{m}.

Beweis:

(i) ⇒ (ii) und (ii) ⇒ (iii) sind klar. Wir zeigen (iii) ⇒ (i):

Sei ε > 0, dann gibt es m ∈ ℕ mit ε > k · \frac{1}{m} (Archimedisches Prinzip), also | a − a_{l} |< k · \frac{1}{m} < ε.

3.1.9 Cauchy-Folge oder Fundamental-Folge

Definition §3.17

Eine Folge heißt Cauchy-Folge oder Fundamental-Folge wenn eine der beiden folgenden, gleichwertigen Bedingungen erfüllt ist:

(i) Zu jedem ε > 0 gibt es ein N_{ε} ∈ ℕ so, dass für alle k, l ≥ N_{ε} gilt: |a_{k} − a_{l}| < ε.

(ii) Zu jedem ε > 0 gibt es ein N_{ε} ∈ ℕ so, dass für alle k ≥ N_{ε} gilt: |a_{k} − a_{N_{ε}}| < ε.

Warum sind (i) und (ii) gleichwertig? Klar: (i) ⇒ (ii) mit l = N_{ε}. Wieso (ii) ⇒ (i)? Für k, l ≥ N_{ε} gilt

|a_{k} − a_{l}| = |a_{k} − a_{N_{ε}} + a_{N_{ε}} − a_{l}| ≤ |a_{k} − a_{N_{ε}}| + |a_{l} − a_{N_{ε}}| < 2ε
Satz §3.18

Satz: Für eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} reeller Zahlen sind äquivalent:

(i) (a_{n})_{n∈ℕ} ist konvergent.
(ii) (a_{n})_{n∈ℕ} ist eine Cauchy-Folge.

Beweis: (i) ⇒ (ii) Sei lim_{n→∞} a_{n} = a. Zu ε > 0 wähle N_{ε} ∈ ℕ mit: Für k ≥ N_{ε} gilt | a − a_{k} |< \frac{ε}{2}. Dann gilt für k, l ≥ N_{ε}: | a_{k} − a_{k} |=| a_{k} − a + a − a_{l} |≤| a_{k} − a | + | a_{l} − a |< ε.

Beweis: (ii) ⇒ (i) Wir nehmen an, (a_{n})_{n∈ℕ} ist eine Cauchy-Folge. Wir zeigen zuerst, die Folge ist beschränkt: Zu ε = 1 gibt es N_{1} mit | a_{k} − a_{N_{1}} |< 1 für k ≥ N_{1}. Setze r = max{|a_{0}|, |a_{1}|, …, |a_{N_{1}}|} + 1. Dann gilt für alle k |a_{k}| ≤ r.

Nach Bolzano-Weierstrass gibt es einen Häufungspunkt a von (a_{n})_{n∈ℕ}. Zeige jetzt lim_{n→∞} a_{n} = a. Sei ε > 0, wähle N_{ε} ∈ ℕ so, dass | a_{k} − a_{l} |< \frac{ε}{2} für alle k, l ≥ N_{ε}. Weil a ein Häufungspunkt ist, gibt es m ∈ ℕ mit | a_{m} − a |< ε, mit m ≥ N_{ε}. Für k ≥ N_{ε} gilt dann:

| a − a_{k} |=| a − a_{m} + a_{m} − a_{k} |≤ \underbrace{| a − a_{m} |}_{< \frac{ε}{2}} + \underbrace{| a_{m} − a_{k} |}_{< \frac{ε}{2}} < ε

3.2 Reihen

Vorlesung 20.11.2003

Definition §3.19

Aus einer Folge (a_{n})_{n∈ℕ} konstruieren wir eine neue Folge (s_{n})_{n∈ℕ} durch

s_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}. Diese Folgenglieder heißen Partialsummen, die Folge (s_{n})_{n∈ℕ}

heißt Reihe. Schreibe symbolisch:

(s_{n})_{n∈ℕ} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}

Falls diese Reihe konvergiert, lim_{n→∞} s_{n} = s, schreibe

∑_{n=0}^{∞} a_{n} = s

Das Symbol ∑_{n=0}^{∞} a_{n} hat also zwei verschiedene Bedeutungen!

3.2.1 Die geometrische Reihe

Beispiel §3.20

Die geometrische Reihe: ∑_{k=0}^{∞} q^{k}

Für q = 1 ⇒ ∑_{k=0}^{∞} 1^{k} = ∞  divergiert die Reihe.
Für q ≠ 1 ⇒ wissen wir ∑_{k=0}^{l} q^{k} = \frac{1−q^{l+1}}{1−q} = s_{l}
Für |q| < 1 ⇒ konvergiert das gegen \frac{1}{1−q}

dann gilt lim_{l→∞} |q|^{l} = 0

[figure: 1; -1; 1; |q|^{1}; |q|^{2}; |q|^{l}]

Abbildung 5: Die geometrische Reihe

Warum? Schreibe \frac{1}{|q|} = 1 + x mit x > 0. (1 + x)^{l} ≥ 1 + lx (Bernoulli) also |q|^{l} ≤ \frac{1}{a+lx}. Für jedes ε > 0 gibt es ein N_{ε} mit \frac{1}{1+lx} < ε für l ≥ N_{ε} (Archimedisches Prinzip), also |q| < ε für

l ≥ N_{ε} ⇒ lim_{n→∞} |q|^{n} = 0.

Für |q| < 1 ist also ∑_{n=0}^{∞} q^{n} = \frac{1}{1−q}.

Für |q| ≥ 1 ist die geometrische Reihe divergent.

3 FOLGEN UND REIHEN 17 3.2.2 Die harmonische Reihe

Beispiel §3.21

Die harmonische Reihe: ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} ist divergent. Denn: 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + … ≥ 1 + \frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 4\frac{1}{8} + … Das wird beliebig groß! Die Folge der Partialreihen ist also streng monoton und nicht beschränkt, also divergiert die Reihe. Moral: Wenn ∑_{n=0}^{∞} a_{n} konvergiert, dann muss (a_{n})_{n∈ℕ} sicher eine Nullfolge sein, lim_{n→∞} a_{n} = 0. Diese Bedingung alleine garantiert aber noch nicht die Konvergenz, wie wir an der harmonischen Reihe sehen.

4 Konvergenzkriterien für Reihen

4.1 Das Leibnizkriterium

Satz §4.1

Ist (a_{n})_{n∈ℕ} eine streng monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe

∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}a_{k}

Beweis: Betrachte

s_{2l+1} = \underbrace{(a_{0} − a_{1})}_{>0} + \underbrace{(a_{2} − a_{3})}_{>0} + … + \underbrace{(a_{2l} − a_{2l+1})}_{>0}

s_{2l} = a_{0} − \underbrace{(a_{1} − a_{2})}_{>0} − \underbrace{(a_{3} − a_{4})}_{>0} − … − \underbrace{(a_{2l−1} − a_{2l})}_{>0}

Die Folge (s_{2l−1})_{l∈ℕ} ist streng monoton wachsend. Die Folge (s_{2l})_{l∈ℕ} ist streng monoton fallend.

Es gilt weiter: 0 < s_{2l+1} < s_{2l} < a_{0}. Also konvergieren beide Folgen:

lim_{l→∞} s_{2l+1} = s, lim_{l→∞} s_{2l} = t ⇒ s ≤ t

Da lim_{l→∞} |s_{2l+1} − s_{2l}| = lim_{l→∞} |a_{2l+1}| = 0 gilt s = t = lim_{l→∞} ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}a_{k}.

|q|^{l} < ε für l ≥ N_{ε}

Beispiel §4.2

Beispiel: Nach dem Leibnizkriterium konvergiert die alternierende harmonische Reihe:

∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k} \frac{1}{k} (= ln 2)

Anderes Beispiel:

∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{1}{2k + 1} (= \frac{π}{4} )

4.2 Absolute Konvergenz

Definition §4.3

Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} heißt absolut konvergent falls ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}| konvergiert.

Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent:

|∑_{k=0}^{l} a_{k} − ∑_{k=0}^{m} a_{k}| = | ∑_{k=l+1}^{m} a_{k}| ≤ ∑_{k=l+1}^{m} |a_{k}|

= |∑_{k=0}^{l} |a_{k}| − ∑_{k=0}^{m} |a_{k}||  (für l ≤ m)

Das ist eine Cauchy-Folge, falls ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}| konvergiert.

4 KONVERGENZKRITERIEN FÜR REIHEN 19 Absolute Konvergenz ⇒ Konvergenz. Die Umkehrung ist falsch, denn die alternierende harmonische Reihe konvergiert, die harmonische Reihe aber nicht. Wir sagen, eine Eigenschaft trifft auf fast alle natürlichen Zahlen zu, falls sie nur auf endlich viele natürlichen Zahlen nicht zutrifft.

4.3 Das Majorantenkriterium

Satz §4.4

Ist ∑_{k=0}^{∞} c_{k} konvergent, und gilt |a_{n}| ≤ c_{n} für fast alle n ∈ ℕ, dann ist ∑_{n=0}^{∞} a_{n} absolut konvergent (insbesondere auch konvergent). Beweis: Es gelte |a_{n}| ≤ c_{n} für fast alle n ≤ N. Damit ∑_{k=N}^{m} |a_{k}| ≤ ∑_{k=N}^{m} c_{k}, die rechte Seite konvergiert, also ist ∑_{k=0}^{∞} |a_{k}| beschränkt (und monoton), deswegen konvergent. □

4.4 Das Quotientenkriterium

Satz §4.5

Ist a_{n} ≠ 0 für (fast) alle n, und gibt es ein q mit 0 < q < 1, so, dass |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q für fast alle n, dann konvergiert die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} absolut. Beweis: Wir nehmen an, alles gilt für alle n ∈ ℕ: |\frac{a_{n}}{a_{0}} | ≤ q, |\frac{a_{2}}{a_{1}} | ≤ q, usw.,

also ∑_{n=0}^{l} |a_{n}| ≤ ∑_{n=0}^{l} |a_{0}|q^{n} ≤ |a_{0}| ∑_{n=0}^{l} q^{n}

Die rechte Seite ist eine geometrische Reihe, also konvergent. □

4.5 Das Wurzelkriterium

Vorlesung ; 24.11.2003 ; Satz §4.6

Gibt es ein q mit 0 < q < 1, so dass ^{n} \sqrt{|a_{n}|} ≤ q für (fast) alle n, so konvergiert die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} absolut.

Beweis: Wegen |a_{n}| ≤ q^{n} gilt ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}| ≤ ∑_{n=0}^{∞} q^{n} = \frac{1}{1−q} wie beim Beweis des Quotientenkriterium.

4.6 Der Verdichtungssatz von Cauchy

Satz §4.7

Ist a_{n} > 0 für alle n, und ist (a_{n})_{n∈ℕ} monoton fallend, so konvergiert die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} genau dann, wenn die Reihe ∑_{n=0}^{∞} 2^{n}a_{2^{n}} konvergiert.

Beweis: Setze s_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{n} und t_{n} = ∑_{k=0}^{n} 2^{k}a_{2^{k}}.

Für n < 2^{m+1} gilt dann

s_{n} = a_{1} + a_{2} + … + a_{n}
= a_{1} + (a_{2} + a_{3}) + (a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7})
+ … + (a_{2^{m}} + a_{2^{m}+1} + … + a_{2^{m+1}} − 1)
≤ a_{1} + 2a_{2} + 4a_{4} + … + 2^{m}a_{2^{m}} = t_{m}

Wenn (t_{m})_{m∈ℕ} konvergiert, so ist (s_{n})_{n∈ℕ} monoton wachsend und beschränkt, also konvergent. Andersrum: Wenn n ≥ 2^{m+1}, dann gilt entsprechend:

s_{n} ≥ a_{1} + a_{2} + (a_{3} + a_{4}) + (a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8}) + …
≥ a_{1} + a_{2} + 2a_{4} + 4a_{8} + …
= \frac{1}{2}a_{1} + \frac{1}{2}t_{m}

Wenn also (s_{n})_{n∈ℕ} konvergiert, so auch die Folge (\frac{1}{2}t_{m})_{m∈ℕ}, also auch (t_{m})_{m∈ℕ}.

□

Beispiele

Beispiele §4.8

• Für r > 1, r ∈ ℝ konvergiert die Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{r}}. Beweis (Verdichtungssatz): Betrachte ∑_{n=0}^{∞} 2^{n} \frac{1}{(2^{n})^{r}} = ∑_{n=0}^{∞} q^{n} mit q = 2^{1−r} < 1, das konvergiert (geom. Reihe).

• Die Reihe ∑_{n=0}^{∞} n^{2}2^{−n} konvergiert.

Beweis (Quotientenkriterium):

|\frac{(n+1)^{2}2^{−(n+1)}}{n^{2}2^{−n}} | = \frac{1}{2} (\frac{n+1}{n})^{2} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{n})^{2} ≤ \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{3})^{2} = \frac{8}{9} < 1 für n ≥ 3.

4.7 Die Exponentialreihe

Satz §4.9

Für jedes x ∈ ℝ konvergiert die Reihe ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}x^{k} = exp(x) absolut. Beweis (Quotientenkriterium): |\frac{x^{k+1}}{x^{k}} · \frac{k!}{(k+1)!} | = |x|\frac{1}{k+1} ≤ \frac{1}{2} < 1 falls 2|x| ≤ k + 1. Für solche k können wir das Quotientenkriterium anwenden.

4.8 g-adische Entwicklung von Zahlen

Beispiel §4.10

Wir stellen und reelle Zahlen als Dezimalbrüche vor, z.B:

\sqrt{2} = 1, 414213 … (10-adische Entwicklung)

Andere g (z.B. g = 2 oder g = 16) sind als Basen in der Informatik relevant. Sei g ∈ ℕ, g ≥ 2, sei l ∈ ℤ und sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge mit a_{n} ∈ {0, 1, 2, …, g−1} für alle n. Betrachte die Reihe:

∑_{n=0}^{∞} a_{n}g^{l−n} = g^{l} ∑_{n=0}^{∞} a_{n} \frac{1}{g^{n}}

Diese Reihe konvergiert absolut, denn

∑_{n=0}^{∞} a_{n}g^{l−n} ≤ ∑_{n=0}^{∞}(g − 1)g^{l}g^{−n} = (g − 1)g^{l} \frac{1}{1 − \frac{1}{g}}

Für a = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}g^{l−n} schreibe: a =^{(g)} a_{0} ⋯ a_{l} , a_{l+1} ⋯

bzw. a =^{(g)} 0 , \underbrace{0 ⋯ 0}_{a−l} a_{0} a_{1} ⋯ (falls l < 0)

Beispiel (g = 10): \frac{1}{6} = \frac{1}{10} + \frac{6}{100} + \frac{6}{1000} + \frac{6}{10000} + ⋯ =^{(10)} 0, 1666 …

Denn: \frac{1}{6} = \frac{1}{10} + ∑_{k=0}^{∞} \frac{6}{100} · \frac{1}{10^{k}} = \frac{1}{10} + \frac{6}{100} · \frac{1}{1− \frac{1}{10}} = \frac{1}{10} + \frac{6}{100} · \frac{10}{9} = \frac{1}{6}

Satz: Ist a < 0 eine reelle Zahl, so gibt es eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} ∈ {0, …, g − 1} und ein l ∈ ℤ, mit a_{0} ≠ 0, so dass

a = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}g^{l−n} Schreibe: a =^{(g)} a_{0} ⋯ a_{l} , a_{l+1} ⋯

Beweis: Ein Algorithmus. Für r ∈ ℝ sei:

Vorlesung 27.11.2003

⌊r⌋ = max{n ∈ ℤ | n ≤ r}

1. Setze l = min{k ∈ ℤ | g^{k+1} > a}
Dann gilt also g^{l+1} > a ≥ g^{l}
2. Setze a_{0} = ⌊a · g^{−l}⌋  s_{0} = a_{0}g^{l} ≤ a
a_{1} = ⌊(a − s_{0}) · g^{−l+1}⌋  s_{1} = a_{0}g^{l} + a_{1}g^{l−1}
⋮ ⋮
a_{l} = ⌊(a − s_{k−1})g^{−l+k}⌋  s_{k} = a_{0}g^{l} + a_{1}g^{l−1} + … + a_{k}q^{l−k}

Für a = 0 schreibe a =^{(g)} 0

Für a < 0 schreibe a =^{(g)} −a_{0} a_{1} …

Diese Darstellung zur Basis g ist nicht immer eindeutig, z.B. wissen wir aus der Schule, dass 1 = 0, \overline{9} = 0, 999 …, denn:

0, 999 … = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + ⋯ = 9 ((∑_{k=0}^{∞} 10^{−k}) − 1)

= 9 (\frac{1}{1 − \frac{1}{10}} − 1) = 9 (\frac{10}{9} − 1) = 1

Die Darstellung wird eindeutig, wenn man verlangt, dass nicht fast alle Ziffern = g − 1 sein dürfen.

Beispiel: g = 2, a = \frac{1}{3}

Bestimme l: \underbrace{2^{−2+1}}_{\frac{1}{2}} > \frac{1}{3} > \underbrace{2^{−2}}_{\frac{1}{4}} ⟹ l = −2

\begin{matrix}a_{0} = ⌊\frac{1}{3} · 4⌋ = 1 & s_{0} = \frac{1}{4} \\ a_{1} = ⌊(\frac{1}{3} − \frac{1}{4}) · 8⌋ = 0 & s_{1} = \frac{1}{4} \\ a_{2} = ⌊(\frac{1}{3} − \frac{1}{4}) · 16⌋ = 0 & s_{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16} \\ a_{3} = ⌊(\frac{1}{3} − \frac{5}{16}) · 32⌋ = 0 & s_{3} = \frac{5}{16} \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix}

Also: \frac{1}{3} =^{(2)} 0, 01010101 …

Denn: ∑_{k=0}^{∞} 4^{−k} = \frac{1}{1− \frac{1}{4}} = \frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3} ⟹ ∑_{k=1}^{∞} 4^{−k} = \frac{1}{3}

5 Stetigkeit von Funktionen

5.1 Abbildungen

Definition §5.1

Sind X und Y Mengen, dann ist eine Abbildung f von X nach Y eine Vorschrift, die jedem x ∈ X ein Element y = f(x) ∈ Y zuordnet. Schreibweise:

f: X ⟶ Y oder X ⟶^{f} Y oder x ↦ f(x) = y

Formal im Rahmen der Mengenlehre: f ist eine Menge von Paaren

f = {(x, y) | f(x) = y}

so dass für jedes x ∈ X genau ein Paar (x, y) mit y ∈ Y existiert.

Mit anderen Worten: Abbildungen sind Schaubilder oder Graphen.

Beispiele

• Identische Abbildung oder Identität:

id_{x}: X ⟶ Y für X = Y, x ↦ x

• Reelle Funktionen:

f: X ⟶ Y für X = ℝ = Y

• Absolutbetrag:

f: ℝ ⟶ ℝ, x ↦ |x|

• Polynomfunktion:

p: ℝ ⟶ ℝ, x ↦ a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ + a_{n}x^{x} für a_{0}, ..., a_{n} ∈ ℝ

• Konstante Abbildung:

f: ℝ ⟶ ℝ, x ↦ c für c ∈ ℝ (fest)

• Charakteristische Abbildung der Menge A ⊆ ℝ

χ_{A}: ℝ ⟶ ℝ für x ↦ \{ \begin{matrix}1 & falls a ∈ A \\ 0 & falls a ∉ A \end{matrix}

5.2 Stetigkeit

Definition §5.2

Sei X ⊆ ℝ eine Menge der reellen Zahlen (z.B. X = ℝ) und f: X ⟶ ℝ eine Abbildung. Dann heißt f stetig, wenn folgendes gilt: Ist (x_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in X (d.h. x_{k} ∈ X für alle k), die gegen x ∈ X konvergiert, so gilt:

lim_{n→∞} x_{n} = x ⇒ lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x)

Beispiele

• x ↦ x ist stetig

lim_{n→∞} x_{n} = x ⇒ lim_{n→∞} f(x_{n}) = x = f(x)

• f(x) = \{ \begin{matrix}−1 & falls x < 0 \\ +1 & falls x ≥ 0 \end{matrix} ist nicht stetig.

Setze x_{n} = −\frac{1}{n}, also f(x_{n}) = −1

lim_{n→∞} −\frac{1}{n} = 0, f(0) = 1 Ein Widerspruch.

5.3 Lipschitz-stetige Funktionen

Eine Funktion heißt lipschitz-stetig, wenn es ein L ∈ ℝ gibt mit:

|x − y| · L ≥ |f(x) − f(y)| für alle x, y im Definitionsbereich

Lemma §5.3

Lemma: Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig. Beweis: Sei (x_{n})_{n∈ℕ} konvergent, lim_{n→∞} x_{n} = x. Also gilt:

|f(x) − f(x_{n})| ≤ \underbrace{L · |x − x_{n}|}_{Nullfolge}

also ist (|f(x) − f(x_{n})|)_{n∈ℕ} eine Nullfolge, mit anderen Worten: lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x) □

Beispiele • Die Betragsfunktion x ↦ |x| ist lipschitz-stetig mit L = 1

• Die konstante Abbildung ist lipschitz-stetig mit L = 0

• Ebenso ist die Identität lipschitz-stetig mit L = 1

5.4 Rationale Operationen auf Funktionen

Vorlesung ; 01.12.2003 ; Satz §5.4

Sind f und g stetig, so auch die folgenden Funktionen:

f + g = [x ↦ f(x) + g(x)]
f · g = [x ↦ f(x) · g(x)]
c · f = [x ↦ c · f(x)] für ein konstantes c ∈ ℝ

Insbesondere sind alle Polynomfunktionen stetig:

p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ + a_{n}x^{n}

Beweis: Sei x = lim_{n→∞} x_{n} und f(x) = lim_{n→∞} f(x_{n}), g(x) = lim_{n→∞} g(x_{n}). Nach §3.6 gilt dann

f(x) + g(x) = lim_{n→∞} (f(x_{n}) + g(x_{n}))

f(x) · g(x) = lim_{n→∞} (f(x_{n}) · g(x_{n}))

5.5 Ring der stetigen Funktionen

Bemerkung §5.5

Für X ⊆ ℝ sei

C (X, ℝ) = {f: X ⟶ ℝ | f ist stetig }

die Menge (der Ring) der stetigen Funktionen auf X.

5.6 Intervalle

Definition §5.6

Die folgenden Mengen bezeichnet man für alle a < b als Intervalle:

[ a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
[ a, b [ = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
] a, b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
] a, b [ = {x ∈ ℝ | a < x < b}

[ a, ∞ [ = {x ∈ ℝ | a ≤ x}
] a, ∞ [ = {x ∈ ℝ | a < x}
] −∞, a] = {x ∈ ℝ | x ≤ a}
] −∞, a [ = {x ∈ ℝ | x < a}

5.7 Zwischenwertsatz

Satz §5.7

Sei J ein Intervall, sei f: J ⟶ ℝ stetig, sei a, b ∈ J mit f(a) ≤ f(b). Zu jedem y mit f(a) ≤ y ≤ f(b) gibt es ein x zwischen a und b mit f(x) = y.

Beweis: Wir betrachten nur den Fall f(a) < y < f(b) und nehmen an, dass a ≤ b ist (Der Fall b < a geht analog). Sei M = {x ∈ [a, b] | f(x) ≤ y}.

Da a ∈ M, ist M ≠ ∅ und es existiert r = sup (M). Da r Supremum ist, gibt es eine Folge (r_{n})_{n∈ℕ} in M mit lim_{n→∞} r_{n} = r.

Dann gilt lim_{n→∞} f(r_{n}) = f(r) ≤ y. Da r < b gibt es eine Folge (s_{n})_{n∈ℕ} in ]r, b]

mit lim_{n→∞} s_{n} = r. (z.B. s_{n} = r + \frac{1}{n}), dann ist s_{n} ∉ M, d.h. f(s_{n}) > y, damit lim_{n→∞} f(s_{n}) ≥ y. Damit folgt: f(r) = y. □

5.8 Umkehrfunktion

Folgerung §5.8

Sei J = [a, b]. Wenn f ∈ C (J, ℝ) streng monoton wachsend (s < t ⇒ f(s) < f(t) für alle s, t ∈ J) ist, dann hat f eine stetige Umkehrfunktion g, d.h.:

g(f(x)) = x für alle x ∈ J

Beweis: Für s ≠ t folgt f(s) ≠ f(t). Nach dem Zwischenwertsatz gibt es zu jedem y zwischen f(a) und f(b) genau ein x ∈ J mit f(x) = y. Das liefert g(y) = x.

Warum ist g stetig? Angenommen lim_{n→∞} y_{n} = y. Zu zeigen: lim_{n→∞} g(y_{n}) = g(y). Setze g(y) = x, g(y_{n}) = x_{n}, d.h. y = f(x), y_{n} = f(x_{n}). Zu zeigen: lim_{n→∞} x_{n} = x. Da (x_{n})_{n∈ℕ} beschränkt ist, können wir Bolzano-Weierstraß benutzen. Wenn lim_{n→∞} x_{n} ≠ x wäre, gäbe es eine Teilfolge (x_{n}_{k})_{k∈ℕ}, die gegen x̂ ≠ x konvergiert. Dann gilt lim_{k→∞} f(x_{n}_{k}) = lim_{k→∞} g_{n}_{k} = f(x̂).

Wegen lim_{n→∞} y_{n} = y gilt aber sicher lim_{k→∞} y_{n}_{k} = y, also ist f(x̂) = y = f(x) ein

Widerspruch, denn x ≠ x̂, also f(x) ≠ f(x̂). □

Bemerkung: Ein entsprechender Satz gilt natürlich für streng monoton fallende stetige Funktionen.

Beispiel: X = [0, ∞[ , n ≥ 1, n ∈ ℕ.f(x) = x^{n}. Das ist stetig (Polynom) und streng monoton. Für r > 0 gilt: x^{n} + \underbrace{nx^{n−1}r + ⋯ + r^{n}}_{>0} > x^{n}

Nach dem Satz gibt es auf jedem Intervall [a, b] eine Umkehrfunktion, also auf ganz [0, ∞[. Für y = x^{n} ist diese Umkehrfunktion g(y) = ^{n} \sqrt{y} = y^{1/n} stetig.

5.9 Satz von Weierstraß

Vorlesung ; 04.12.2003 ; Satz §5.9

Ist J = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall und ist f: J ⟶ ℝ stetig, dann ist die Menge f(J) = {f(x) | x ∈ J} wieder ein abgeschlossenes Intervall f(J) = [c, d].

Insbesondere nimmt f ein Maximum und ein Minimum an, d.h. es gibt u ∈ J mit f(u) = c und es gibt v ∈ J mit f(v) = d aber f(u) ≤ f(x) ≤ f(v) für alle x ∈ J.

Beweis: Angenommen f(J) ist nicht nach oben beschränkt, d.h. es gibt Folgen (x_{n})_{n∈ℕ} in J mit lim_{n→∞} f(x_{n}) = ∞. Nach Bolzano-Weierstraß (§3.15) gibt es eine Teilfolge (x_{n}_{k})_{k∈ℕ} und x = lim_{n→∞} x_{n_{k}} ∈ J. Da f stetig ist, folgt:

f(x) = lim_{k→∞} f(x_{n_{k}}) = ∞

Ein Widerspruch.

Sei d = sup f(J), dann gibt es eine Teilfolge (x_{n}_{k})_{k∈ℕ} mit

lim_{k→∞} f(x_{n_{k}}) = f(x) = lim_{n→∞} f(x_{n}) = d

Ebenso verfährt man mit c = inf f(J). Nach dem Zwischenwertsatz (§5.7) ist f(J) = [c, d]. Wir betrachten jetzt Folgen von Funktionen. In der Praxis sind das Folgen, die ein Aproximationsproblem besser und besser lösen.

5.10 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Definition §5.10

Sei X ⊆ ℝ. Ist für jedes n ∈ ℕ f_{n}: X ⟶ ℝ eine Abbildung, so heißt (f_{n})_{n∈ℕ} Funktionenfolge.

Wir sagen (f_{n})_{n∈ℕ} konvergiert punktweise gegen eine Funktion f: X ⟶ ℝ falls für alle x ∈ X gilt:

lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x)

Wir sagen (f_{n})_{n∈ℕ} konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f: X ⟶ ℝ falls zu jedem ε > 0 ein N_{ε} ∈ ℕ existiert mit |f_{n}(x) − f(x)| < ε für alle x ∈ X, für alle n > N_{ε}.

Gleichmäßige Konvergenz impliziert offensichtlich punktweise Konvegenz.

Beispiel

Beispiel §5.11

X = [0, 1] f_{n}(x) = x^{n} für x = 1 gilt f_{n}(x) = 1^{n} = 1, für 0 ≤ x < 1 gilt lim_{n→∞} x^{n} = 0 (vgl. §3.20), Die Folge (f_{n})_{n∈ℕ} konvergiert punktweise gegen die unstetige Funktion:

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & falls x = 1 \\ 0 & falls 0 ≤ x < 1 \end{matrix}

5.11 Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz

Satz §5.12

Konvergiert die Folge (f_{n})_{n∈ℕ} gleichmäßig gegen die Funktion f und sind alle f_{n} stetig so ist auch f stetig.

Beweis: Sei x ∈ X, (x_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in X mit lim_{n→∞} x_{n} = x. Sei ε > 0. Dann gibt es ein m ∈ ℕ mit |f_{m}(u) − f(u)| < \frac{ε}{3} für alle u ∈ X.

Wähle N ∈ ℕ so, dass für n > N gilt: |f_{m}(x) − f_{m}(x_{n})| < \frac{ε}{3} (da f_{m} stetig ist) Für n > N gilt also:

|f(x_{n}) − f(x)| = |f(x_{n}) − f_{m}(x_{n}) + f_{m}(x_{n}) − f_{m}(x) + f_{m}(x) − f(x)|
≤ |f(x_{n}) − f_{m}(x_{n})| + |f_{m}(x_{n}) − f_{m}(x)| + |f_{m}(x) − f(x)|
≤ \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} ≤ ε

also lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x) □

5.12 Grenzwert von rekursiv definierten Folgen

Anwendung ; §5.13

Ist f stetig, ist (a_{n})_{n∈ℕ} rekursiv definiert durch a_{n+1} = f(a_{n}) und konvergiert (a_{n})_{n∈ℕ} gegen a, so ist a = lim_{n→∞} a_{n+1} = lim_{n→∞} f(a_{n}) = f( lim_{n→∞} a_{n}) = f(a).

Beispiel

a_{n+1} = \sqrt{6 + a_{n}}, a_{0} = 0 (vgl. §3.11) (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiert, also gilt:

a = lim_{n→∞} a_{n} = \sqrt{6 + a} > 0

⇔ a^{2} = 6 + a
⇔ a^{2} − a − 6 = 0
⇔ a = \frac{1}{2} ± \sqrt{\frac{1}{4} + 6} = 3 (und −2)

Der Grenzwert der Folge a beträgt also 3, da die Folge streng monoton steigend ist mit a_{0} = 0.

5.13 Die Potenzreihe

Definition §5.14

Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge. Setze P_{k}(x) = ∑_{n=0}^{k} a_{n}x^{n}. Das ist eine Folge stetiger

Funktionen. Diese Funktionenfolge heißt Potenzreihe. Schreibe symbolisch:

(P_{k})_{k∈ℕ} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}

5.14 Konvergenzradius

Satz §5.15

Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge, L = lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|} (bzw. L = ∞ falls ^{n} \sqrt{|a_{n}|} unbeschränkt).

Setze R = \{ \begin{matrix}\frac{1}{L} & falls L ≠ 0 \\ 0 & falls L = ∞ \\ ∞ & falls L = 0 \end{matrix}

Die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} konvergiert absolut für |x| < R. Ist r < R, so konvergiert

die Funktionenfolge ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} gleichmäßig auf X = [−r, r] gegen eine stetige

Funktion, die wir ebenfalls mit ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} bezeichnen.

R heißt Konvergenzradius der Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}.

Für |x| > R divergiert die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}. Für |x| = R kann man keine allge-

meine Aussage treffen.

Beweis: Wir betrachten den Fall 0 ≤ L < ∞. Dann ist ^{n} \sqrt{|a_{n}x^{n}|} < |x| ^{n} \sqrt{|a_{n}|} Für |x| < \frac{1}{L} gilt also: Es gibt ein q < 1 mit ^{n} \sqrt{|a_{n}x^{n}|} < q für fast alle n.

Denn lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}x^{n}|} ≤ |x| lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}|} = |x| · L < 1

Nach dem Wurzelkriterium (§4.6) konvergiert die Reihe absolut.

Weiter ist ∑_{k=0}^{∞} |a_{n}| · |r|^{n} = ∑_{k=0}^{∞}( ^{n} \sqrt{|a_{n}|}r)^{n} eine Majorante für |x| ≤ r, die gar

nicht von x abhängt, daraus folgt die gleichmäßige Konvergenz auf [−r, r]. □

Beispiel §5.16

Beispiel: Die Exponentialfunktion exp (x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}x^{n} ist stetig. Die Expo-

nentialreihe konvergiert auf jedem Intervall [−r, r] gleichmäßig gegen exp (x).

L = ^{n} \sqrt{\frac{1}{n!}} = 0

5.15 Potenzreihen mit Entwicklungspunkt

Bemerkung ; §5.17

Manchmal betrachtet man Reihen der Form:

∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − x_{o})^{n} für festes x_{o} ∈ ℝ

Man spricht von Potenzreihen mit Entwicklungspunkt x_{0}. Die Theorie ist die gleiche wie oben (ersetze z = x − x_{0})

∑_{k=0}^{∞} a_{n}(x − x_{0})^{n} konvergiert absolut auf ]−R + x_{0}, R + x_{0}[

5.16 Das Cauchy-Produkt

Hilfssatz §5.18

Wenn ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} b_{n} absolut konvergieren, so konvergiert auch das Cauchy-

Produkt ∑_{n=0}^{∞} c_{n} (absolut) gegen a · b mit:

c_{n} = a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n−1} + a_{2}b_{n−2} + ⋯ + a_{n}b_{0} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k}

Der Beweis ist einfach, aber länglich (siehe Forster Analysis I §8.3).

(∑_{n=0}^{∞} a_{n}) (∑_{n=0}^{∞} b_{n}) = (a_{0} + a_{1} + a_{2} + ⋯)(b_{0} + b_{1} + b_{2} + ⋯)
= a_{0}b_{0} + a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0} + a_{2}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{0} + ⋯

5.17 Exponential- und Logarithmusfunktion

5.17.1 Die Exponentialfunktion

Vorlesung ; 08.12.2003 ; Satz §5.19

Es gilt:

(i) exp (0) = 1

(ii) exp (−x) = \frac{1}{exp (x)}

(iii) exp (x + y) = exp (x) exp (y)

Diese Eigenschaften sagen: exp ist ein Homomorphismus von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen.

Beweis: (i) ist klar. Für (iii) betrachte:

(∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}x^{n}) (∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}y^{n}) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}

mit c_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}x^{k} \frac{1}{(n−k)!}y^{n−k} = \frac{1}{n!} ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}y^{n−k} = \frac{1}{n!}(x + y)^{n}

also c_{n} = \frac{1}{n!}(x + y)^{n} ⇒ exp (x) · exp (y) = exp (x + y)

Damit folgt für (ii): 1 = exp (0) = exp (x + (−x)) = exp (x) · exp (−x). Also exp (−x) = \frac{1}{exp x}. □

5.17.2 Die Logarithmusfunktion

Satz §5.20

Die Exponentialfunktion ist streng monoton steigend, für jedes y > 0 gibt es genau ein x ∈ ℝ mit y = exp (x). Setze x = ln (y). Dies ist die Logarithmusfunktion ln (natürlicher Logarithmus), die für alle positiven Zahlen definiert ist.

ln : ]0, ∞[ ⟶ ℝ

[figure: 1; exp (x); 1; ln (x)]

Abbildung 6: exp - und ln -Funktion

5.17.3 Die eulersche Zahl Man setzt exp (1) = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + ⋯ ≈ 2, 7

Beweis: Für r > 0 gilt exp (r) = 1 + \underbrace{r + \frac{r^{2}}{2} + \frac{r^{3}}{6}}_{>0} + ⋯ > 1,

also exp (x + r) = exp (x) · \underbrace{exp (r)}_{>1} > exp (x),

also ist exp streng monoton steigend. Für x ≥ 0 ist exp (x) > 0, also gilt exp (x) > 0 für alle x ∈ ℝ.

5.17.4 Die Exponentialfunktion zur Basis a Für alle n ∈ ℕ gilt: exp (n) = 1+n+ \frac{n^{2}}{2} + \frac{n^{3}}{6} +⋯ ≥ 1+n, d.h. lim_{n→∞} exp (n) = ∞. Weiter gilt: exp (−n) = exp (n)^{−1} ≤ \frac{1}{1+n}, also lim_{n→∞} exp (−n) = 0. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es zu jedem y > 0 ein x mit y = exp (x). Man setzt e = exp (1) ≈ 2, 7 und schreibt dann formal exp (x) = e^{x}. Für y, z > 0 gilt: ln (yz) = ln (y) + ln (z). Für a > 0 schreiben wir für x ∈ ℝ.

a^{x} = exp (x · ln a)

e^{x} = exp (x · ln e)

5.17.5 Der Logarithmus zur Basis a Für alle x ∈ ℕ gilt:

x = \underbrace{1 + 1 + 1 + ⋯ + 1}_{x mal}
a^{x} = exp ((\underbrace{1 + 1 + 1 + ⋯ + 1)}_{x mal} · ln a)

= exp(ln a) · exp(ln a) ⋯ exp(ln a)

x mal

= \underbrace{a · a · a ⋯ a}_{x mal}

d.h. wir haben die übliche Potenzfunktion a ⟶ a^{n} auf ganz ℝ erweitert.

Offensichtlich gilt:

• a^{(x+y)} = a^{x} · a^{y}

• a^{0} = 1

• a^{−x} = \frac{1}{a^{x}} Entsprechend definieren wir

ln_{a} x = \frac{ln x}{ln a} für a, x > 0

als Logarithmus zur Basis a

Beispiel

ln_{a} a^{n} = \frac{ln a^{n}}{ln a} = \frac{n ln a}{ln a} = n
ln_{2} 1024 = 10

5.17.6 Wachstum der Exponentialfunktion

Satz §5.21

Für jedes Polynom p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ + a_{n}x^{n} gilt lim_{k→∞} \frac{exp (k)}{|p(k)|} = ∞ ”Die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom.”

Beweis: Für x > 1 gilt: |p(x)| ≤ |a_{0} + a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}| · |x^{n}|. Deshalb genügt es den Fall p(x) = x^{n} zu betrachten. lim_{k→∞} \frac{exp (k)}{k} = ∞ für n fest. exp (k) ≥ \frac{k^{n+1}}{(n+1)!} also \frac{exp (k)}{k^{n}} ≥ \frac{k^{n+11!}}{(n+1)!} \frac{1}{k^{n}} = \frac{k}{(n+1)!} Ähnlich zeigt man lim_{k→∞} \frac{exp (−k)}{k^{−n}} = lim_{k→∞} k^{n} · exp (−k) = 0 sowie lim_{k→∞} \frac{ln k}{\sqrt[n]{k}} = 0 ”Die Logarithmusfunktion wächst langsamer als jede Wurzelfunktion.”

5.18 Hyperbolische Funktionen

Manchmal betrachtet man:

cosh (x) = \frac{1}{2}(e^{x} + e^{−x}) Cosinus hyperbolicus

sinh (x) = \frac{1}{2}(e^{x} − e^{−x}) Sinus hyperbolicus

5.19 Trigonometrische Funktionen

Definition §5.22

cos (x) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}

sin (x) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!}

Mit dem Quotientenkriterium sieht man schnell, dass beide Reihen für alle x ∈ ℝ konvergieren.

Wie bei der Exponentialfunktion zeigt man:

• cos (0) = 1

• sin (0) = 0

• cos^{2} x + sin^{2} x = 1

• sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y)

• cos (x + y) = cos (x) cos (y) − sin (x) sin (y)

Vorlesung 11.12.2003

Man überlegt sich, dass für 0 < y ≤ 3 gilt:

c_{2} = 1 − \frac{x^{2}}{2} < cos x < 1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} = c_{4}

[figure: 1; c_{2}(x); cos (x); c_{4}(x)]

Abbildung 7: Annäherung der cos -Funktion

Weil c_{2} und c_{4} Nullstellen haben

c_{2}(\sqrt{2}) = 0, c_{4}(\sqrt{6 − 2\sqrt{3}}) = 0

hat auch cos eine Nullstelle (Zwischenwertsatz). Diese Nullstelle liegt im Intervall [\sqrt{2}, \sqrt{6 − 2\sqrt{3}}]. Wir definieren die Zahl π wie folgt: \frac{π}{2} ist die kleinste positive Nullstelle von cos . Es gilt π = 3, 14159 … Ähnlich zeigt man: Für 0 < x ≤ 3 ist sin x > 0, insbesondere ist sin \frac{π}{2} > 0, folglich gilt: sin \frac{π}{2} = 1 Mit den Additionstheoremen folgt nun:

sin (x + \frac{π}{2} ) = cos x  cos (x + \frac{π}{2} ) = − sin x
sin (x + π) = − sin x  cos (x + π) = − cos x
sin (x + 2π) = sin x  cos (x + 2π) = cos x
cos π = −1  sin π = 0

6 Integration

Motivation: Wir wollen Flächeninhalte unter Kurven bestimmen.

Approximation

⟹

Abbildung 8: Integration

6.1 Beschränkte Funktionen

Definition §6.1

Sei X ⊆ ℝ. Eine Funktion f: X ⟶ ℝ heißt beschränkt, wenn es eine Zahl K ∈ ℝ gibt, so dass |f(x)| ≤ K für alle x ∈ X. Die Menge aller beschränkten Funktionen auf X

{f: X ⟶ ℝ | f ist beschränkt}

heißt B (X, ℝ) (Set of bounded functions).

Beispiel

• X = ]0, ∞[ , f(x) = \frac{1}{x} f ist nicht beschränkt.

[figure: f: ]0, ∞[⟶ ℝ, x ↦ \frac{1}{x}]

Abbildung 9: Hyperbel

• Dagegen ist z.B. |sin(x)| ≤ 1 für alle x, also ist sin beschränkt.

• X = [1, 5] , f(x) = \frac{1}{x} Für 1 ≤ x ≤ 5 gilt sicherlich |\frac{1}{x}| ≤ 1, d.h. auf dem Intervall [1, 5] ist die Funktion f(x) = \frac{1}{x} beschränkt.

Rationale Operationen auf beschränkte Funktion

Sind f, g ∈ B (X, ℝ) und c ∈ ℝ, so definieren wir:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) ∈ B (X, ℝ)
(cf)(x) = c · f(x) ∈ B (X, ℝ)
(f · g)(x) = f(x) · g(x) ∈ B (X, ℝ)

Beweis: Für alle x ∈ X gelte: |f(x)| ≤ K, |g(x)| ≤ L für gewisse K, L ∈ ℝ Dann gilt also:

|f(x) + g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)| ≤ K + L
|cf(x)| = |c| · |f(x)| ≤ |c| · |K|
|(fg)(x)| = |f(x) · g(x)| ≤ K · L

Vorlesung ; 15.12.2003 ; Lemma §6.2

Lemma: Die Menge B (X, ℝ) der beschränkten Funktionen auf X ist ein reeller Vektorraum, d.h. für alle f, g, h ∈ B (X, ℝ) gilt:

• (f + g) + h = f + g + h = f + (g + h)

• f + g = g + f

• f + (−1)f = 0 (dabei steht 0 für die Nullfunktion x ↦ 0)

sowie für alle c, d ∈ ℝ und f, g ∈ B (X, ℝ) gilt stets:

• cf + dg ∈ B (X, ℝ)

• (c + d)f = cf + df

• c(f + g) = cf + cg

• (cd)f = cdf = c(df)

B (X, ℝ) ist ein Ring (zum Körper fehlt nur das multiplikative Inverse), denn f(x) · g(x) = 1 hat keine Lösung falls f eine Nullstelle hat.

Bemerkung §6.3

Bemerkung: Ist X = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall und f: X ⟶ ℝ stetig, so gilt durch den Satz von Weierstraß, dass f beschränkt ist, also:

C ([a, b], ℝ) ⊆ B ([a, b], ℝ)

Eine beschränkte Funktion ist nicht notwendig stetig. f: [0, 2] ⟶ ℝ, f(x) = 0 für 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 1 für 1 ≤ x ≤ 2.

6.2 Supremumsnorm

Satz §6.4

Für f ∈ B (X, ℝ) definieren wir die Supremumsnorm:

||f|| = sup{ |f(x)| | x ∈ X} ⇒ ||f|| ≥ 0

Dann gilt:

(i) ||f|| = 0 ⇔ f(x) = 0 für alle x ∈ X

(ii) ||c · f|| = |c| · ||f|| für alle c ∈ ℝ und f ∈ B (X, ℝ)

(iii) ||f + g|| ≤ ||f|| + ||g|| für alle f, g ∈ B (X, ℝ)

Beweis: (i) ist klar. Zu (ii) und (iii): Es gilt: |c · f(x)| = |c| · |f(x)| also ||c · f|| = |c| · ||f||. Wegen |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)| ≤ ||f|| + ||g|| für alle x ∈ X, also ||f + g|| = sup {|f(x) + g(x)| | x ∈ X} ≤ ||f|| + ||g||. □

6.3 Cauchy-Funktionenfolge

Definition §6.5

Eine Funktionenfolge (f_{n})_{n∈ℕ} in B (X, ℝ) heißt Cauchy-Folge, falls zu jedem ε > 0 ein N ∈ ℕ existiert mit dem für alle l, m ≥ N gilt: ||f_{l} − f_{m}|| < ε

Eine Folge (f_{n})_{n∈ℕ} konvergiert gegen f in B (X, ℝ) falls lim_{n→∞} ||f_{n} − f|| = 0, die Bedingung sagt genau, dass (f_{n})_{n∈ℕ} gleichmäßig gegen f konvergiert (vgl. §5.10). f_{n} konvergiert also gegen f.

Für alle ε > 0 existiert N ∈ ℕ, so dass für alle n ≥ N und x ∈ X gilt: |f_{n}(x) − f(x)| < ε, also gilt

sup {|f_{n}(x) − f(x)| | x ∈ X} < ε  also  ||f_{n} − f|| < ε

Satz: Ist (f_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in B (X, ℝ), dann gibt es f ∈ B (X, ℝ) Satz §6.6 mit lim_{n→∞} ||f_{n} − f|| = 0. Schreibe:

f = lim_{n→∞} f_{n}

Beweis: Da |f_{l}(x) − f_{m}(x)| ≤ ||f_{l} − f_{m}|| für alle x ∈ X gilt, ist die Folge (f_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in ℝ.

Setze f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) für alle x ∈ X. (f_{n})_{n∈ℕ} konvergiert gleichmäßig gegen f. Sei ε > 0, dann existiert N ∈ ℕ, so dass für alle x ∈ X und l, m ≥ N gilt: |f_{l}(x)−f_{m}(x)| < ε, f(x) = lim_{l→∞} f_{l}(x) also gilt: |f(x)−f_{n}(x)| ≤ ε für alle x ∈ X

also gilt: ||f − f_{n}|| < ε für alle n ≥ N, also gilt:

lim_{n→∞} ||f − f_{n}|| = 0

Warum gilt f ∈ B (X, ℝ)? Zu ε > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so dass für alle m ≥ N und x ∈ X gilt:

|f(x) − f_{m}(x)| < ε

Wähle m > N fest. f_{m} ist beschränkt, d.h. es gibt ein K ∈ ℝ mit |f_{m}(x)| ≤ K für alle x ∈ X. |f(x)| = |f(x) − f_{m}(x) + f_{m}(x)| ≤ |f(x) − f_{m}(x)| + |f_{m}(x)| ≤ ε + K □

6.4 Banachraum

Bemerkung §6.7

Ein reeller Vektorraum heißt normiert, wenn es eine Abbildung || · ||: V ⟶ ℝ gibt mit:

• ||x|| ≥ 0 und ||x|| = 0 ⇔ x = 0 für alle x ∈ V

• ||cx|| = |c| · ||x|| für alle c ∈ ℝ, x ∈ V

• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| für alle x, y ∈ V

Ein normierter Raum heißt Banachraum, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert. Nach §6.6 ist B (X, ℝ) ein Banachraum.

Bemerkung: Wenn X = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall ist, so gilt: Bemerkung §6.8

C (X, ℝ) ⊆ B (X, ℝ) (vgl. §6.3)

Nach §6.6 gilt: Wenn (f_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in C (X, ℝ) ist, so ist f = lim_{n→∞} f_{n} stetig nach §5.12.

Mit anderen Worten: Ist X = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall, dann ist C (X, ℝ) mit der Supremumsnorm || − || ein Banachraum.

Für den Rest dieses Kapitels nehmen wir an, dass X = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall ist.

6.5 Zerlegungen

Definition §6.9

Eine Menge {a = s_{0} < s_{1} < ⋯ < s_{k} = b} heißt Zerlegung von X = [a, b] der Länge k.

a = s_{0} s_{1} s_{2} s_{n} = b

Abbildung 10: Zerlegung

Eine Zerlegung Z_{1} = {a = s_{0} < s_{1} < ⋯ < s_{k} = b} wird von einer Zerlegung Z_{2} = {a = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{l} = b} verfeinert, wenn gilt: Z_{1} ⊆ Z_{2}

Sind Z_{1}, Z_{2} Zerlegungen, so offensichtlich auch Z_{3} = Z_{1} ∪ Z_{2} und es gilt:

Z_{1} ⊆ Z_{3} und Z_{2} ⊆ Z_{3}

6.6 Stufenfunktionen

Ist Z = {s_{0} < s_{1} < ⋯ < s_{k}} eine Zerlegung von X und c_{1} … c_{k}, d_{1} … d_{k} ∈ ℝ, so heißt die Abbildung

f: X ⟶ ℝ mit f(x) = \{ \begin{matrix}c_{k} & falls x = s_{k} \\ d_{k} & falls s_{k} < x < s_{k+1} \end{matrix}

Stufenfunktion/Treppenfunktion bezüglich Z. Stufenfunktionen sind offensichtlich beschränkt.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .]

Abbildung 11: Stufenfunktion

Ist f eine Stufenfunktion bzgl. einer Zerlegung Z_{1} und ist Z_{2} eine Zerlegung von X und Z_{1} ⊆ Z_{2}, so ist f auch eine Stufenfunktion bzgl. Z_{2}.

Die Menge Step (X, ℝ) aller Stufenfunktionen ist aber ein Untervektorraum vom Raum der beschränkten Funktionen B (X, ℝ), damit ist f Stufenfunktion bzgl. Z_{1}, g Stufenfunktion bzgl. Z_{2}, also sind f und g Stufenfunktionen bzgl. Z = Z_{1} ∪ Z_{2}, also ist auch f + g eine Stufenfunktion bzgl. Z und c · f Stufenfunktion bzgl. Z_{1}.

6.7 Das Integral

Definition ; §6.10

Das Integral einer Stufenfunktion f ∈ Step (X, ℝ) bzgl. einer Zerlegung Z = {s_{0} < s_{1} < s_{2} < ⋯ < s_{k}} ist definiert als:

∫_{a}^{b} f(x) dx = ∑_{l=1}^{k} (s_{l} − s_{l−1}) d_{l} = ∑_{l=1}^{k} (s_{l} − s_{l−1}) · f (\frac{s_{l} + s_{l−1}}{2} )

[figure: d_{3}; d_{1}; d_{2}; s_{0}; s_{1}; s_{2}; s_{3}; d_{2}(s_{2} − s_{1}); d_{3}(s_{3} − s_{2})]

Abbildung 12: Stufenfunktion

Achtung: Flächen unterhalb der x-Achse werden negativ gezählt.

Lemma: Ist f Stufenfunktion bzgl. Z_{1} und Z_{2} eine Verfeinerung von Z_{1} mit

Vorlesung ; 18.12.2003 ; Lemma §6.11

Z_{1} = {s_{0} < s_{1} < ⋯ < s_{l}}, Z_{2} = {t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m}}, Z_{1} ⊆ Z_{2} so gilt:

∑_{k=1}^{l}(s_{k} − s_{k−1}) · f (\frac{s_{k} + s_{k−1}}{2} ) = ∑_{k=1}^{m}(t_{k} − t_{k−1}) · f (\frac{t_{k} + t_{k−1}}{2} )

Das heißt der Ausdruck ∫_{a}^{b} f(x) dx hängt nicht von der gewählten Zerlegung ab.

Beweis: Induktion nach m − l Für m = l ist Z_{1} = Z_{2}.

Für m = l + 1 gibt es ein n ∈ ℕ mit: s_{0} = t_{0}, s_{1} = t_{1}, …, s_{n} = t_{n}, t_{n+1} < s_{n+1} = t_{n+2}, s_{n+2} = t_{n+3}, …, s_{l} = t_{l+1} s_{0} = t_{0}, s_{1} = t_{1}, …, s_{n} = t_{n}, s_{n+1} = t_{n+1} und s_{n+1} − s_{n} = (t_{n+1} − t_{n}) + (t_{n+2} − t_{n+1})

f (\frac{s_{n+1}+s_{n}}{2} ) = f (\frac{t_{n+1}+t_{n}}{2} ) = f (\frac{t_{n+2}+t_{n+1}}{2} )

∑_{k=1}^{l}(s_{k} − s_{k−1}) · f (\frac{s_{k} + s_{k−1}}{2} )

= ∑_{k=1}^{n}(s_{k} − s_{k−1}) · f (\frac{s_{k} + s_{k−1}}{2} ) + (s_{n+1} − s_{n}) · f (\frac{s_{n+1} + s_{n}}{2} )

+ ∑_{k=n+2}^{l}(s_{k} − s_{k−1})f (\frac{s_{k} + s_{k−1}}{2} )

= ∑_{k=1}^{n}(t_{k} − t_{k−1}) · f (\frac{t_{k} + t_{k−1}}{2} )

+ (t_{n+1} − t_{n}) · f (\frac{t_{n+1} + t_{n}}{2} ) + (t_{n+2} − t_{n+1}) · f (\frac{t_{n+2} + t_{n+1}}{2} )

Da Z_{2} und Z_{1} durch sukzessives Hinzufügen von Punkten entsteht, folgt die Behauptung. □

6.8 Der Integrationsoperator

Bemerkung ; §6.12

Für f, g ∈ Step (X, ℝ) und c ∈ ℝ gilt:

∫_{a}^{b}(f + g)(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx + ∫_{a}^{b} g(x) dx

∫_{a}^{b}(cf)(x) dx = c ∫_{a}^{b} f(x) dx

Mit anderen Worten: Der Integrationsoperator

Step (X, ℝ) ⟶ ℝ, f ↦ ∫_{a}^{b} f(x)dx

ist eine lineare Abbildung (man sagt auch ein lineares Funktional).

6.9 Regelfunktionen

Definition §6.13

Eine beschränkte Funktion f ∈ B (X, ℝ) heißt Regelfunktion, falls es eine Folge (f_{n})_{n∈ℕ} von Stufenfunktionen gibt, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Die Menge aller Regelfunktionen ist ein Untervektorraum von B (X, ℝ).

Step (X, ℝ) ⊆ Reg (X, ℝ) ⊆ B (X, ℝ)

6.10 Gleichmäßige Stetigkeit

Satz §6.14

Wenn X = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall ist und f: X ⟶ ℝ stetig ist, dann gibt es ein ε > 0 und δ > 0, so dass für alle u, v ∈ X gilt:

|u − v| < δ ⇒ |f(u) − f(v)| < ε

Man sagt auch f ist gleichmäßig stetig.

Beweis: Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, die Behauptung sei falsch. Es gibt ein ε > 0, so dass für alle δ > 0 ein u, v ∈ X existiert mit:

|u − v| < δ und |f(u) − f(v)| ≥ ε

Setze δ = \frac{1}{n} > 0. Es gibt u_{n}, v_{n} ∈ X mit |u_{n} − v_{n}| < \frac{1}{n} und |f(u_{n}) − f(v_{n})| ≥ ε.

Weil X ein abgeschlossenes Intervall ist, finden wir eine konvergente Teilfolge (u_{n}_{k})_{k∈ℕ} und eine konvergente Teilfolge (u_{n}_{k})_{k∈ℕ} und (v_{n_{k}}_{l})_{l∈ℕ} (Bolzano-Weierstraß §3.15).

Schreibe: u′_{l} = u_{n_{k_{l}}}, v′_{n} = v_{n_{k_{l}}}, u = lim_{l→∞} u′_{l}, v = lim_{l→∞} v′_{l}, u = v da lim_{l→∞} u′_{l} −v′_{l} = 0

ε ≤ |f(u′_{l}) − f(v′_{l})|
= |f(u′_{l}) − f(u) + f(u) − f(v′_{l})|
= |f(u′_{l}) − f(u) + f(v) − f(v′_{l})|
≤ |f(u′_{l}) − f(u)| + |f(v) − f(v′_{l})|

Da f stetig ist und der rechte Ausdruck eine Nullfolge, ergibt sich ein Widerspruch. □

6.11 Stetige Regelfunktionen

Satz §6.15

Auf einem abgeschlossenen Intervall X = [a, b] ist jede stetige Funktion eine Regelfunktion:

C (X, ℝ) ⊆ Reg (X, ℝ)

Beweis: Sei f: X ⟶ ℝ stetig. Zu jedem ε > 0 finden wir δ > 0, so dass gilt:

|f(u) − f(v)| < ε falls |u − v| < δ

Wähle m ∈ ℕ mit \frac{b−a}{m} < δ. Setze t_{0} = a, t_{1} = t_{0} + \frac{b−a}{m}, t_{2} = t_{1} + \frac{b−a}{m}, …, t_{n} = b, also t_{k} = a + k \frac{b−a}{m} für k ∈ 0, …, n. Dann ist a = t_{0} < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{n} = b eine Zerlegung von X. Setze c_{k} = f(t_{k}). Definiere g ∈ Step (X, ℝ) durch:

g(x) = \{ \begin{matrix}c_{0} & falls t_{0} ≤ x < t_{1} \\ c_{1} & falls t_{1} ≤ x < t_{2} \\ ⋮ & ⋮ \\ c_{n−1} & falls t_{n−1} ≤ x < t_{m} \\ c_{n} & falls t_{m} = x \end{matrix}

Für t_{k−1} ≤ t_{k} gilt dann:

0 = t_{k−1} − t_{k−1} ≤ x − t_{k−1} ≤ t_{k} − t_{k−1} < δ

also |f(x) − f(t_{k−1})| < ε. f(t_{k−1}) = g(x), also auch |f(x) − g(x)| < ε für alle x ∈ X, also gilt ||f − g|| ≤ ε.

Wähle also g_{n} ∈ Step (X, ℝ) mit ||f − g_{n}|| ≤ \frac{1}{n}, so ist (g_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in Step (X, ℝ), die gleichmäßig gegen f konvergiert, also f ∈ Reg (X, ℝ).

6.12 Das Riemann-Integral

Definition §6.16

Für eine Regelfunktion f ∈ Reg (X, ℝ) definieren wir das Riemann-Integral wie folgt:

∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} g_{n}(x) dx

Wobei (g_{n})_{n∈ℕ} eine beliebige Folge von Stufenfunktionen ist, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Natürlich müssen wir überlegen, ob diese Definition überhaupt Sinn macht. Konvergiert die rechte Seite, ist es egal, welche Folge man wählt. Für eine Stufenfunktion g gilt offensichtlich:

|∫_{a}^{b} g(x) dx | ≤ ∫_{a}^{b} |g(x)| dx = ||g|| · (b − a)

Da die Folge (g_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge bildet, ist auch die Folge ∫_{a}^{b} g_{n}(x) dx eine Cauchy-Folge.

|∫_{a}^{b} (g_{n}(x) − g_{m}(x)) dx| ≤ |g_{n} − g_{m}| · (b − a)

Das heißt die rechte Seite konvergiert jedenfalls.

Angenommen (h_{n})_{n∈ℕ} ist eine weitere Folge von Stufenfunktionen, die gleichmäßig gegen f konvergiert, dann ist

||h_{n} − g_{n}|| = ||h_{n} − f + f − g_{n}|| ≤ ||h_{n} − f|| + ||f − g_{n}||

|∫_{a}^{b}(h_{n} − g_{n})(x) dx| ≤ ||h_{n} − g_{n}||(b − a) ≤ (||h_{n} − f|| + ||f − g_{n}||) · (b − a)

Also gilt: lim_{n→∞} ∫_{a}^{b}(h_{n} − g_{n})(x) dx = 0 = lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} h_{n}(x) dx − ∫_{a}^{b} g_{n}(x) dx

also folgt: lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} g_{n}(x) dx = lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} h_{n}(x) dx

6.13 Eigenschaften des Integrationsoperators

Vorlesung ; 05.01.2004 ; Satz §6.17

Sind f und g Regelfunktionen und c ∈ ℝ, so gilt:

• ∫_{a}^{b}(f + g)(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx + ∫_{a}^{b} g(x) dx

• ∫_{a}^{b}(cf)(x) dx = c ∫_{a}^{b} f(x) dx

• |∫_{a}^{b} f(x) dx| ≤ ∫_{a}^{b} |f(x)| dx ≤ ||f||(b − a)

Denn diese Aussagen stimmen für Stufenfunktionen, also nach den Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen auch für Regelfunktionen. Mit anderen Worten: Der Integrationsoperator

Reg (X, ℝ) ⟶ ℝ, f ↦ ∫_{a}^{b} f(x) dx

ist eine lineare Abbildung.

|∫_{a}^{b} f(x) dx| ≤ ∫_{a}^{b} |f(x)| dx ≤ ||f|| (b − a)

Beispiel

Beispiel §6.18

• Für die konstante Funktion f(x) = C gilt: ∫_{a}^{b} f(x) dx = C(b − a), denn die konstanten Funktionen sind Stufenfunktionen.

• Für die Identität f(x) = x gilt: Setze t_{k} = a + k \frac{b−a}{n}

∑_{k=0}^{n−1} f(t_{k})\frac{b−a}{n} = ∑_{k=0}^{n−1}(a + k \frac{b−a}{n})\frac{b−a}{n} = n · a\frac{b−a}{n} + (\frac{b−a}{n})^{2} ∑_{k=0}^{n−1} k

= ab − a^{2} + (\frac{b−a}{n})^{2} \frac{n(n−1)}{2} = ab − a^{2} + (b^{2} + 2ab + a^{2})\frac{1}{2}(1 − \frac{1}{n})

Im Grenzwert n → ∞ erhalten wir also:

ab − a^{2} + \frac{1}{2}(b^{2} − 2ab + a^{2}) = \frac{1}{2}(b^{2} − a^{2})

Das war mühsam, wir brauchen bessere Methoden! Aber: Die Methode ist gut für numerische Zwecke.

6.14 Numerische Berechnung von Integralen

Bemerkung ; §6.19

Sei f: [a, b] ⟶ ℝ stetig. Für N ∈ ℕ setze t_{k,N} = a + k \frac{b−a}{N} und betrachte:

s_{N} = \frac{b − a}{N} ∑_{k=0}^{N−1} f(t_{k})

Für N → ∞ konvergiert s_{N} gegen ∫_{a}^{b} f(x) dx, also ist s_{N} für große N eine gute Approximation für das Integral.

6.15 Funktionsklassen

Bemerkung ; §6.20

Die Regelfunktionen sind eine echte Teilmenge der beschränkten Funktionen:

Reg (X, ℝ) ⊂ B (X, ℝ)

Beispiel

Sei f ∈ B (X, ℝ) mit X = [a, b] und

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & falls x ∈ ℚ \\ 0 & falls x ∈ ℝ\ℚ \end{matrix}

Das ist die Dirichlet’sche Sprungfunktion. Sie ist keine Regelfunktion und nicht Riemann-integrierbar.

Bemerkung ; §6.21

In der Klasse der beschränkten Funktionen haben wir folgende Hierarchie: Diese sechs Klassen von Funktionen bilden jeweils einen reellen Vektorraum. Das Integral ist eine lineare Abbildung in die reellen Zahlen auf die unteren fünf Funktionsklassen.

[figure: B (X, ℝ); Reg (X, ℝ); Step (X, ℝ); C (X, ℝ); {Konstante Funktionen}; {Nullfunktion}]

Abbildung 13: Funktionsklassen

6.16 Eigenschaften von Regelfunktionen

Bemerkung ; §6.22

Sind f, g Regelfunktionen, so ist auch f · g: x ↦ f(x) · g(x) wieder eine Regelfunktion. Es gilt aber im Allgemeinen nicht, dass:

∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx ∫_{a}^{b} g(x) dx

6.17 Monotonie des Integrals

Satz §6.23

Sind f, g ∈ Reg (X, ℝ) und gilt f(x) ≤ g(x) für alle x ∈ X, so schreiben wir:

f ≤ g

Satz: Es gilt ∫_{a}^{b} f(x) dx ≤ ∫_{a}^{b} g(x) dx falls f ≤ g.

Beweis: Falls f, g Stufenfunktionen sind, ist das klar. Seien jetzt (f_{n})_{n∈ℕ} und (g_{n})_{n∈ℕ} Folgen von Stufenfunktionen, die gegen f bzw. g konvergieren und gelte f ≤ g.

Setze: f̃_{n}(x) = f_{n}(x) − ||f_{n} − f|| g̃_{n}(x) = g_{n}(x) + ||g_{n} − g||

Dann sind \binom{}{f̃_{n}}_{n∈ℕ} und \binom{}{g̃_{n}}_{n∈ℕ} Stufenfunktionen, die immer noch gegen f

bzw. g konvergieren. Es gilt f̃_{n}(x) ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ g̃_{n}(x) für alle x und alle n, also ∫_{a}^{b} f̃_{n}(x) dx ≤ ∫_{a}^{b} g̃_{n}(x) dx, also ∫_{a}^{b} f(x) dx ≤ ∫_{a}^{b} g(x) dx □

6.18 Mittelwertsatz der Integralrechnung

Vorlesung ; 08.01.2004 ; Satz §6.24

Seien p ∈ Reg (X, ℝ) , f ∈ C (X, ℝ) mit p(x) ≥ 0 für alle x ∈ X, dann gibt es ein t ∈ [a, b] mit:

∫_{a}^{b} f(x)p(x) dx = f(t) ∫_{a}^{b} p(x) dx

Wichtiger Spezialfall: p(x) = 1 für alle x ∈ X

∫_{a}^{b} f(x) dx = (b − a) · f(t)

Beweis: Sei M = max{f(x) | x ∈ X}, m = min{f(x) | x ∈ X} Diese Extrema existieren nach dem Satz von Weierstraß (§5.9). Es gibt also m·p(x) ≤ f(x) p(x) ≤ M ·p(x) für alle x ∈ X. Wegen der Monotonie des Integrales folgt:

m ∫_{a}^{b} p(x) dx ≤ ∫_{a}^{b} f(x) p(x) dx ≤ M ∫_{a}^{b} p(x) dx

Also gibt es eine Zahl q mit

q ∫_{a}^{b} f(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) p(x) dx mit m ≤ q ≤ M

Nach dem Zwischenwertsatz (§5.7) gibt es ein t ∈ [a, b] mit f(t) = q. □ Integrale berechnen können wir im Moment noch nicht, dazu brauchen wir Ableitungen. Mit einem verfeinertem Integralbegriff lassen sich mehr Funktionen integrieren ⟶ Lebesgue-Integral, Maßtheorie.

7 Differentiation

Problemstellung: Sei f: X ⟶ ℝ eine stetige Funktion. Sei t_{0} ∈ X. Wir wollen f nahe bei t_{0} durch eine Gerade, das heißt eine affin-lineare Funktion approximieren.

[figure: f; x; f(x); b; f(t_{0}); f(t_{1}); t_{0}; t_{1}; Δf; Δt]

Abbildung 14: Differentiation

Geradengleichung:  l(t) = m · t + b
Steigung der Geraden: m = \frac{Δf}{Δt} = \frac{f(t_{1})−f(t_{o})}{t_{1}−t_{0}}

Weiter wollen wir: l(t_{0}) = f(t_{0}). Nach Umformen erhalten wir:

l(t) = \frac{f(t_{1}) − f(t_{0})}{t_{1} − t_{0}} · (t − t_{0}) + f(t_{0})

dann gilt: l(t_{0}) = f(t_{0}). Um das Problem am Anfang zu lösen, betrachten wir den Fall Δt → 0. Im Folgenden wird diese Idee präzisiert.

7.1 Einschränkungen und Fortsetzungen

Definition §7.1

Sei Y ⊆ X ⊆ ℝ und sei f: X ⟶ ℝ eine Funktion. Dann liefert f eine Funktion auf Y,

f |_{Y}: Y ⟶ ℝ, y ↦ f(y)

die Einschränkung von f auf die Teilmenge Y ⊆ X. Sei umgekehrt g: Y ⟶ ℝ eine Funktion. Wir sagen f: X ⟶ ℝ setzt g fort (Fortsetzung von g), falls f |_{Y} = g.

Im Allgemeinen hat solch ein g (unendlich) viele Fortsetzungen.

7.2 Stetige Fortsetzungen

Definition §7.2

Jetzt nehmen wir an, dass g stetig ist und suchen stetige Fortsetzungen.

Ist (y_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in Y, die gegen x ∈ X konvergiert, und ist f eine stetige Fortsetzung von g, so gilt natürlich lim_{n→∞} g(y_{n}) = f(x).

Die linke Seite hängt nur von y auf g ab, sie legt f(x) eindeutig fest! Wir schreiben in dieser Situation:

lim_{y→x} g(y) = f(x)

Beispiel

Beispiel §7.3

X = [−1, 1], Y = X \ {0}

• g(y) = y^{2} für y ∈ Y, stetige Fortsetzung f(x) = x^{2}

lim_{y→0} y^{2} = 0

• g(y) = \{ \begin{matrix}1 & falls 0 < y ≤ 1 \\ −1 & falls − 1 ≤ y < 0 \end{matrix}

für y ∈ Y. Auf Y ist g eine stetige Abbildung!

Aber g hat keine stetige Fortsetzung auf X denn:

lim_{n→∞} g (\frac{1}{n}) = lim_{n→∞} 1 = 1

aber

lim_{n→∞} g (\frac{−1}{n}) = lim_{n→∞}(−1) = −1 ≠ 1

das heißt der Grenzwert lim_{y→0} g(y) existiert nicht.

7.3 Differenzierbarkeit

Definition §7.4

Es sei X =]a, b[ ein offenes Intervall, f: X ⟶ ℝ stetig, t_{0} ∈ X. Wir sagen, f ist in t_{0} differenzierbar mit Ableitung f′(t_{0}) = c, falls die Funktion p(h) = \frac{f(t_{0}+h)−f(t_{0})}{h} (Differenzenquotient) eine stetige Fortsetzung in 0 hat:

lim_{h→0} p(h) = c = f′(t_{0})

Andere Schreibweisen für die Ableitung:

f′(t_{0}) = ḟ(t_{0}) = \frac{df}{dt} |_{t=t_{0}} = \frac{d}{dt}f(t)|_{t=t_{0}}

Beispiel

Vorlesung 12.01.2004

• f(t) = c für alle t ∈ X

p(h) = \frac{f(t_{0}+h)−f(t_{0})}{h} = \frac{c−c}{h} = 0

Es gibt eine stetige Fortsetzung p(0) = 0 = f′(t_{0}) für alle t_{0} ∈ X

• f(t) = mt + b für alle m, b ∈ ℝ

p(h) = \frac{f(t_{0}+h)−f(t_{0})}{h} = \frac{m(t_{0}+h)+b−(mt_{0}+b)}{h} = \frac{mh}{h} = m

Es gibt eine stetige Fortsetzung p(0) = m = f′(t_{0}) für alle t_{0} ∈ X

• f(t) = t^{2} (Parabelgleichung) für alle t ∈ X

p(h) = \frac{f(t_{0}+h)−f(t_{0})}{h} = \frac{(t_{0}+h)^{2}−t_{0}^{2}}{h} = \frac{t_{0}^{2}+2t_{0}h+h^{2}−t_{0}^{2}}{h} = 2t_{0} + h

Es gibt eine stetige Fortsetzung p(0) = 2t_{0} = f′(t_{0}) für alle t_{0} ∈ X • f(t) = \frac{1}{t} für t ≠ 0

p(h) = \frac{f(t_{0}+h)−f(t_{0})}{h} = \frac{\frac{1}{t_{0}+h} − \frac{1}{t_{0}}}{h} = \frac{t_{0}−(t_{0}+h)}{t_{0}(t_{0}+h)h} = \frac{−1}{t_{0}(t_{0}−h)} Es gibt eine stetige Fortsetzung p(0) = \frac{−1}{t_{0}^{2}} = f′(t_{0}) für alle t_{0} ∈ X

• f(t) = |t| p(h) = \frac{f(t_{0}+h)−f(t_{0})}{h} = \frac{|t_{0}+h|−|t_{0}|}{h}

1. Fall: t_{0} > 0 für h > −t_{0} ist t_{0} + h > 0
also p(h) = \frac{t_{0}+h−t_{0}}{h} = 1, also p(0) = 1 = f′(t_{0})
2. Fall: t_{0} < 0 für h < t_{0} ist t_{0} + h < 0

also p(h) = \frac{−(t_{0}+h)+t_{0}}{h} = −1, also p(0) = −1 = f′(t_{0})

3. Fall: t_{0} = 0
also p(h) = \frac{|h|}{h} = \{ \begin{matrix}1 & falls h > 0 \\ −1 & falls h < 0 \end{matrix}

Es gibt keine stetige Fortsetzung in h = 0, also ist die Betragsfunktion in der Stelle t_{0} = 0 nicht differenzierbar.

Bemerkung: Es gibt Funktionen, die in keiner Stelle differenzierbar sind. Bemerkung §7.6 Setze ϕ(h) = p(h) − p(0), dann gilt:

f(t_{0} + h) = f(t_{0}) + h · p(0) + h · ϕ(0)

Dann sieht man also: f ist in t_{0} differenzierbar genau dann, wenn es eine Zahl c ∈ ℝ und eine stetige Funktion ϕ mit ϕ(0) = 0 gibt, so dass

f(t_{0} + h) = f(t_{0}) + c · h + h · ϕ(h)

Dann gilt f′(t_{0}) = c

7.4 Rechenregeln für das Differenzieren

Seien f, g in t_{0} differenzierbar, dann gilt:

(i) Die Summe f + g: t ↦ f(t) + g(t) ist in t_{0} differenzierbar: (f + g)(t_{0}) = f′(t_{0}) + g′(t_{0})

(ii) Für c ∈ ℝ ist cf: t ↦ cf(t) in t_{0} differenzierbar:

(cf)′(t_{0}) = cf′(t_{0}) (iii) Leibnizregel: Das Produkt f · g: t ↦ f(t) · g(t) ist in t_{0} differenzierbar:

(fg)(t_{0}) = f′(t_{0})g(t_{0}) + f(t_{0})g′(t_{0}) (iv) Ist g(t) ≠ 0 für alle t ∈ X, so ist (\frac{f}{g} ): t ↦ \frac{f(t)}{g(t)} in t_{0} differenzierbar:

(\frac{f}{g} )′ (t_{0}) = \frac{f′(t_{0})g(t_{0})−f(t_{0})g′(t_{0})}{g(t)^{2}} Spezialfall: (\frac{1}{g})′ (t_{0}) = −\frac{g′(t_{0})}{g(t_{0})^{2}} Beweis

\begin{aligned}Setze: & p(h) = \frac{f(t_{0}+h)−f(t_{0})}{h} & p(t_{0}) = f′(t_{0}) \\ & q(h) = \frac{g(t_{0}+h)−g(t_{0})}{h} & q(t_{0}) = g′(t_{0}) \end{aligned}

(i) \frac{(f+g)(t_{0}+h)−(f+g)(t_{0})}{h} = \frac{f(t_{0}+h)−f(t_{0})+g(t_{0}+h)−g(t_{0})}{h} = p(h) + q(h)

(f + g)′(t_{0}) = p(0) + q(0)

(ii) \frac{cf(t_{0}+h)−cf(t_{0})}{h} = cp(h)

(iii) \frac{f(t_{0}+h)g(t_{0}+h)−f(t_{0})g(t_{0})}{h} = \frac{f(t_{0}+h)−f(t_{0})}{h}g(t_{0}) + f(t_{0})\frac{g(t_{0}+h)+g(t_{0})}{h}

= p(h) · g(t_{0}) + f(t_{0} + h) · q(h)

Für n → 0 erhält man p(0) · g(t_{0}) + f(t_{0}) · q(0)

(iv) Für (iv) genügt es den Spezialfall (\frac{1}{g})′ (t_{0}) zu betrachten, weil \frac{f}{g} = f · \frac{1}{g}

\frac{\frac{1}{g(t_{0}+h)} − \frac{1}{g(t_{0})}}{h} = \frac{g(t_{0})−g(t_{0}+h)}{g(t_{0})g(t_{0}+h)h} = −q(h)\frac{1}{g(t_{0})g(t_{0}+h)}

Für n → 0 erhält man q(0)\frac{−1}{g(t_{0})^{2}}

7.5 Differenzierbare Funktionen

Definition §7.7

Ist eine Funktion f an jeder Stelle t_{0} ∈ X differenzierbar, so heißt f differenzierbar, die Funktion f′: t ↦ f′(t) heißt Ableitung von f. Falls f zusätzlich stetig ist, heißt f stetig differenzierbar oder C^{1}-Funktion.

C^{1} (X, ℝ) = {f: X ⟶ ℝ | f ist stetig differenzierbar}

Nach den Rechenregeln ist C^{1} (X, ℝ) ein reeller Vektorraum.

Beispiel

Beispiel §7.8

• f(t) = t^{n} n ∈ ℕ

Vollständige Induktion über n. Behauptung: f(t) = t^{n} ⇒ f′(t) = nt^{n−1}

\begin{aligned}I.A.: & n = 0 & f(t) = 1 & f′(t) = 0 \\ & n = 1 & f(t) = t & f′(t) = 1 \end{aligned}

I.S.: t^{n+1} = t^{n} · t ⟶^{Ableitung} n · t^{n−1}t + t^{n} · 1 = n · t^{n} + t^{n} = (n + 1)t^{n}
□

• f(t) = \frac{1}{t^{n}} Rechenregel (iv) mit g(t) = t^{n}

−\frac{g′(t)}{g(t)^{2}} = \frac{−n·t^{n−1}}{t^{2n}} = −n\frac{1}{t^{n+1}}

Fazit: Für n ∈ ℤ und f(t) = t^{n} gilt also f′(t) = n · t^{n−1}

• f(t) = cos (t) f′(t) = − sin (t)

• f(t) = sin (t) f′(t) = cos (t)

• f(t) = exp (t) f′(t) = exp (t)

7.6 Die Kettenregel

Vorlesung ; 15.01.2004 ; Satz §7.9

Satz: Seien g : X ⟶ ℝ und f: Y ⟶ ℝ Funktionen mit g(x) ⊆ Y und sei s_{0} = g(t_{0}) für t_{0} ∈ X. Wenn g in t_{0} differenzierbar ist, und f in s_{0} differenzierbar ist, dann ist die Komposition (Hintereinanderausführung) f ∘g : X ⟶ Y ⟶ ℝ in t_{0} differenzierbar mit Ableitung:

(f ∘ g)′(t_{0}) = f′(s_{0})g′(t_{0}) = f′ (g(t_{0})) g′(t_{0})

Achtung: Unterscheide Komposition f ∘ g vom Produkt f · g:

(f ∘ g)(t) = f (g(t)) ≢ (f · g)(t) = f(t) · g(t)

Beweis: Betrachte p(h) · h = f(s_{0} + h) − f(s_{0}):

\frac{f(g(t_{0}+h))−f(g(t_{0}))}{h} = \frac{f(g(t_{0}+h))−f(s_{0})}{h} = \frac{g(t_{0}+h)−g(t_{0})}{h} · p (g(t_{0} + h) − g(t_{0}))

Im lim h → 0 erhält man g′(t_{0}) · f′(s_{0}) □

7.7 Extrema

Erinnerung ; §7.10

Definition: Eine Funktion f: X ⟶ ℝ hat ein Maximum (ein Minimum) in t_{0} ∈ X, falls f(t) ≤ f(t_{0}) (falls f(t) ≥ f(t_{0})) für alle t ∈ X gilt.

Liegt ein Minimum oder ein Maximum vor, spricht man von eimem Extremum.

Satz: Ist f differenzierbar in t_{0} und hat ein Extremum in t_{0}, dann ist

f′(t_{0}) = 0

Beweis: Wir betrachten den Fall, dass f in t_{0} ein Maximum hat. Dann ist f(t_{0} + h) ≤ f(t_{0}). Also gilt:

p(h) = \frac{f(t_{0} + h) − f(t_{0})}{h} \{ \begin{matrix}≤ 0 & falls h > 0 \\ ≥ 0 & falls h < 0 \end{matrix}

In h = 0 gilt (weil p stetig ist) p(0) = 0.

Anwendung ; §7.11

Anwendung: Sei X = [a, b], f: X ⟶ ℝ sei stetig und differenzierbar in allen t ∈]a, b[. Um Extrema von f zu finden, betrachtet man die Randpunkte a und b, sowie alle t ∈]a, b[ mit f′(t) = 0. An einer dieser Stellen liegen die Extrema.

Beispiel: Wie kann man die Oberfläche eine Blechdose (mit Volumen = 1) minimieren?

Radius r = r
Höhe h = \frac{1}{πr^{2}} wegen V = 1
Volumen V = πr^{2} · h
Oberfläche A = 2πr^{2} + h · 2πr
= 2πr^{2} + \frac{2πr}{πr^{2}} = 2πr^{2} + \frac{2}{r}

Ein Intervall X = [a, b] ist physikalisch sinnvoll. Suche nun Extremum A′ = 0:

A′ = 4πr − \frac{2}{r^{2}} ⇔ 4πr = \frac{2}{r^{2}} ⇔ r^{3} = \frac{1}{2π} ⇔ r = ^{3} \sqrt{\frac{1}{2π}} ≈ 0, 572 …

Für a sehr klein und b sehr groß sind A(a) und A(b) ebenfalls sehr groß, in r = \frac{1}{\sqrt[3]{2π}} liegt ein Minimum vor.

Beispiel §7.12

Beispiel: Jede Polynomfunktion p(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0} ist stetig differenzierbar mit Ableitung p′(x) = na_{n}x^{n−1} +⋯+2a_{2}x+a_{1}, das bleibt auch für Potenzreihen richtig (§5.14).

f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k}

f′(x) = ∑_{k=0}^{∞}(k + 1)a_{k+1}x^{k} für alle |x| < R

Wenn ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} für diese x konvergiert (Beweis vielleicht später). Damit kann

man zum Beispiel die Ableitung der exp-Funktion berechnen:

exp x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}x^{k}

exp′ x = ∑_{k=0}^{∞}(k + 1)\frac{1}{(k + 1)!}x^{k} = exp x

7.8 Der Satz von Rolle

Lemma §7.13

Sei f: [a, b] ⟶ ℝ stetig, f(a) = f(b), sei f in allen t ∈]a, b[ differenzierbar. Dann gibt es ein t_{0} ∈]a, b[ mit f′(t_{0}) = 0.

Beweis:

1. Fall: f ist konstant, klar.

2. Fall: f ist nicht konstant, es gibt also ein t ∈]a, b[ mit f(t) ≠ f(a).

Wir nehmen an, f(t) > f(a) (Der andere Fall f(t) < f(a) geht analog). Da f stetig ist, hat f ein Maximum in Punkt t_{0} ∈ [a, b], also f(t_{0}) ≥ f(t) > f(a) = f(b) also t_{0} ∈]a, b[.

Also gilt f′(t_{0}) = 0. □

7.9 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Satz §7.14

Ist f: [a, b] ⟶ ℝ stetig und differenzierbar in allen t ∈]a, b[, so gibt es ein t_{0} ∈]a, b[ mit:

f′(t_{0}) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a}

Beweis: Betrachte g(t) = f(t) − m(t − a), mit m = \frac{f(b)−f(a)}{b−a}. Es gilt g(a) = f(a), g(b) = f(b) − m(b − a) = f(a).

Nach dem Satz von Rolle gilt: Es gibt ein t_{0} ∈]a, b[ mit g′(t_{0}) = 0. Aber g′(t) = f′(t) − m, also f′(t_{0}) = m. □

Folgerungen: Sei f: [a, b] ⟶ ℝ differenzierbar

(a) gilt f′(t) ≥ 0 für alle t ∈]a, b[, so ist f monoton steigend.
(b) gilt f′(t) ≤ 0 für alle t ∈]a, b[, so ist f monoton fallend.
(c) ist f′(t) = 0 für alle t ∈]a, b[, so ist f konstant.

(d) ist |f′(t)| ≤ k für alle t ∈]a, b[, so ist f lipschitz-stetig:

|f(u) − f(v)| ≤ k|u − v|

Beweise:

(a) Sei a < u < v < b, damit \frac{f(v)−f(u)}{v−u} = f′(t_{0}) ≥ 0 also f(v) ≥ f(u).
(b) Geht analog.
(c) Folgt aus (a) und (b).
(d) \frac{|f(v)−f(u)|}{|v−u|} = |f′(t_{0})| ≤ k  □

7.10 Mehrfach stetig differenzierbare Funktionen

Vorlesung 19.01.2004

Definition §7.15

Sei X = ]a, b[ und f: X ⟶ ℝ. Falls f stetig differenzierbar ist und falls f′: X ⟶ ℝ stetig differenzierbar ist, so heißt f zweimal stetig differenzierbar. f′′ ist die Ableitung von f′. Analog definiert man k-mal stetig differenzierbare Funktionen. Setze:

C^{k} (X, ℝ) = {f: X ⟶ ℝ | f ist k-mal stetig differenzierbar}

Offensichtlich ist C^{k} (X, ℝ) ein reeller Vektorraum. Die Funktionen in C^{∞} (X, ℝ) = ⋂_{k≥1} C^{k} (X, ℝ) heißen glatte Funktionen.

Wir haben also eine Hierarchie von reellen Vektorräumen:

C (X, ℝ)

C^{1} (X, ℝ)
C^{2} (X, ℝ)

⋮

C^{k} (X, ℝ)
C^{∞} (X, ℝ)

Abbildung 15: Funktionsklassen: Stetig differenzierbare Funktionen

Die Rechenregeln für Ableitungen sagen, dass der Differentialoperator \frac{d}{dx}: f ↦ f′, der jeder Funktion f die Ableitung f′ zuordnet, eine lineare Abbildung ist:

C^{k} (X, ℝ) ⟶^{\frac{d}{dx}} C^{k−1} (X, ℝ)

8 HAUPTSÄTZE DER DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG 51

8 Die Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung

8.1 Schreibweisen in der Integralrechnung

Definition §8.1

Sei X = [a, b] und f: X ⟶ ℝ eine Regelfunktion. Für a ≤ u ≤ v ≤ b setze:

f(x)|_{u}^{v} = f(v) − f(u)

Die Einschränkung von f auf [u, v] ist eine Regelfunktion, deren Integral wir schreiben als ∫_{u}^{v} f(x) dx. Setze außerdem f(x)|_{v}^{u} = −f(x)|_{u}^{v}.

∫_{v}^{u} f(x) dx = − ∫_{u}^{v} f(x) dx

Für festes t_{0} ∈ [a, b] betrachte die reelle Funktion F: X ⟶ ℝ mit

F (t) = ∫_{t_{o}}^{t} f(x) dx

8.2 I. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Satz §8.2

Sei f: [a, b] ⟶ ℝ stetig und t_{0} ∈ [a, b] sowie F (t) = ∫_{t_{0}}^{t} f(x) dx. Dann ist F in jedem Punkt t ∈ [a, b] stetig differenzierbar und

F′ = f

Beweis

\frac{1}{h}(F (t + h) − F (t)) = \frac{1}{h} (∫_{t_{0}}^{t+h} f(x) dx − ∫_{t_{0}}^{t} f(x) dx) = \frac{1}{h} ∫_{t}^{t+h} f(x) dx

= \frac{1}{h}h · f(r) für ein r ∈ [t, t + h] und für h > 0 (Der Fall h < 0 geht analog).

Der letzte Schritt folgt mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (§6.24). Im Limes h → 0 konvergiert das gegen f(t), weil f stetig ist. Also ist F′(t) = f(t)

□

8.3 II. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Satz §8.3

Sei f: ]a, b[ ⟶ ℝ stetig differenzierbar. Für a < u ≤ v < b gilt:

∫_{u}^{v} F′(x) dx = F (x)|_{u}^{v} = F (v) − F (u)

Beweis

Setze g(t) = ∫_{a}^{b} F′(x) dx. Nach dem I. Hauptsatz gilt jedenfalls g′(t) = F′(t). Also gilt:

g′(t) − F′(t) = 0 = (g − F)′(t)

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (§7.14c) ist g − F konstant. Also gilt: g(t) = F (t) − F (u), denn g(u) = 0. □

8.4 Stammfunktionen

Bemerkung §8.4

Ist F stetig differenzierbar mit Ableitung F′ = f, so heißt F Stammfunktion zu f. Integrale lösen bedeutet also eigentlich das Finden von solchen Stammfunktionen.

Beispiel: f(x) = x^{n} hat die Stammfunktion F (x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c. Die Konstante c ist egal, wir setzen c = 0. Mit dem II. Hauptsatz ist also:

∫_{u}^{v} x^{n} dx = (\frac{x^{n+1}}{n + 1} + c) |_{u}^{v} = \frac{1}{n + 1}(v^{n+1} − u^{n+1})

Satz §8.5

Satz: Es sei (f_{n})_{n∈ℕ} eine Folge von Funktionen auf X = ]a, b[. Wenn (f_{n})_{n∈ℕ} punktweise gegen f: X ⟶ ℝ konvergiert, jedes f_{n} stetig differenzierbar ist und wenn die Folge (f′_{n})_{n∈ℕ} gleichmäßig gegen g: X ⟶ ℝ konvergiert, so ist f stetig differenzierbar und f′ = g.

Erinnerung: Eine Folge von Funktionen (h_{n})_{n∈ℕ} konvergiert punktweise gegen eine Funktion h, falls lim_{h→∞} = h(x) für alle x ∈ X.

Die Konvergenz ist gleichmäßig, falls lim_{n→∞} ||h_{n} − h|| = 0, dabei ist

||h_{n} − h|| = sup {|h_{n}(x) − h(x)| | x ∈ X}. Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz.

Beweis (von Satz 5): Für jedes t ∈ X gilt:

∫_{t_{0}}^{t} g(x) dx = lim_{h→∞} ∫_{t_{0}}^{t} f′_{n}(x) dx = lim_{h→∞} (f_{n}(t) − f_{n}(t_{0})) = f(t) − f(t_{0})

Also gilt: f′ = g. □ Warum gilt das erste ’=’ im Beweis?

Satz §8.6

Satz: Ist (f_{n})_{n∈ℕ} eine Folge von Funktionen, die gleichmäßig gegen f konvergiert, so ist

lim_{n→∞} ∫_{u}^{v} f_{n}(x) dx = ∫_{u}^{v} f(x) dx

Beweis: |∫_{u}^{v} f(x) − f_{n}(x) dx| ≤ ∫_{u}^{v} |f(x) − f_{n}(x)| dx ≤ |u − v| · ||f − f_{n}|| □

Folgerung

Folgerung §8.7

Sei f(t) = ∑_{h=0}^{∞} a_{n}t^{n} eine Potenzreihe, die für alle |t| < R konvergiert. Dann ist

f′(t) = ∑_{h=0}^{∞} a_{n+1}(n + 1)t^{n} und ∫_{0}^{t} f(t) dt = ∑_{h=1}^{∞} \frac{1}{n}a_{n−1}t^{n} für |t| < R.

Denn das ist genau die Situation von Satz 5 mit f_{n}(t) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}t^{k}

8.5 Tabelle mit Ableitungen

Vorlesung 22.01.2004

Paragraph §8.8

f(x) sin x cos x  x^{n}  exp x sinh x cosh x ln x ; f′(x) cos x − sin x n · x^{n−1} exp x cosh x sinh x \frac{1}{x}

Liest man die Tabelle anders herum, erhält man Stammfunktionen, damit lassen sich Integrale berechnen, z.B.:

∫_{u}^{v} cos x dx = sin x|_{u}^{v} = sin v − sin u

Es folgen weitere Methoden zum Lösen von Integralen:

8.6 Partielle Integration

Paragraph §8.9

Es gilt:

∫_{a}^{b} f′(x)g(x) dx = f(x)g(x)|_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} f(x)g′(x) dx

falls f und g stetig differenzierbar sind, denn (f·g)′ = f′·g+f·g′ (Leibniz-Regel).

Beispiel: ∫_{a}^{b} ln x dx = ∫_{a}^{b} ln x · 1 dx mit g(x) = ln x, f′(x) = 1 und f(x) = x:

∫_{a}^{b} ln x dx = ∫_{a}^{b} 1 · ln x dx = x · ln x|_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} x · \frac{1}{x} dx = b · ln b − a · ln a + (b − a)

8.7 Integration durch Substitution

Paragraph §8.10

Das ist das Integral der Kettenregel:

∫_{u}^{v} f(g(x)) · g′(x) dx = ∫_{a}^{b} f(s) ds \begin{matrix}g(v) = b \\ g(u) = a \end{matrix}

Beispiel: Mit Substitution x = ln t:

∫_{a}^{b} \frac{2 · exp x + 1}{exp x + 1} dx = ∫_{c}^{d} \frac{2t + 1}{t + 1} · \frac{1}{t} dt \begin{matrix}g (t) = ln t \\ g′(t) = \frac{1}{t} \end{matrix}

Es gibt viele Tafeln (z.B. Bronstein, Handbuch der Mathematik) mit Integralen und viele weitere Tricks zum Berechnen von Integralen. Moderne Computer-Algebra wie MAPLE oder MATHEMATICA lösen viele Integrale, allerdings manchmal mit Fehlern!

8.8 Uneigentliche Integrale

Paragraph §8.11

Bisher können wir nur Regelfunktionen auf Intervallen X = [a, b] integrieren. Machmal will man einen allgemeinen Definitionsbereich.

Fall 1: Sei f: [a, ∞[⟶ ℝ eine Funktion, die auf jedem Intervall [a, r] eine Regelfunktion ist, z.B.: f ist eine stetige Funktion. Falls der Grenzwert lim_{r→∞} ∫_{a}^{r} f(x) dx existiert, schreibt man:

∫_{a}^{∞} f(x) dx = lim_{r→∞} ∫_{a}^{r} f(x) dx

Analog definiert man:

∫_{−∞}^{a} f(x) dx = lim_{r→−∞} ∫_{r}^{a} f(x) dx

Fall 2: Schließlich sieht man, warum das Sinn macht:

∫_{−∞}^{∞} f(x) dx = ∫_{−∞}^{a} f(x) dx + ∫_{a}^{∞} f(x) dx

Beispiel:

(a) ∫_{0}^{r} sin x dx = − cos x|_{0}^{r} = cos 0 − cos r = 1 − cos r Der Grenzwert für r → ∞ existiert nicht.

(b) ∫_{r}^{0} exp x dx = exp x|_{r}^{0} = exp 0 − exp r = 1 − exp r lim_{r→−∞} exp r = 0 also ∫_{−∞}^{0} exp x = 1

Fall 3: Ist X = [a, b[ und ist f auf dem Interfall [0, r] eine Regelfunktion für a < r < b, und existiert lim_{r→b} ∫_{a}^{b} f(x) dx, setzt man

∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{r→b} ∫_{a}^{r} f(x) dx

Analoge Definition für X =]a, b] oder X =]a, b[.

8.9 Das Integralvergleichs-Kriterium

Satz §8.13

Sei f: [1, ∞[⟶ ℝ monoton fallend. Dann gilt für alle n:

0 ≤ (∑_{k=1}^{n} f(k) − ∫_{1}^{n+1} f(x) dx) ≤ f(1)

und der Term in der Mitte konvergiert für n → ∞.

0 ≤ lim_{n→∞} (∑_{k=1}^{n} f(k) − ∫_{1}^{n+1} f(x) dx) ≤ f(1)

Die Reihe konvergiert genau dann, wenn das Integral konvergiert.

Beweis: Für x ∈ [k, k + 1] gilt

f(k) ≥ f(x) ≥ f(k + 1)  also  f(k) ≥ ∫_{k}^{k+1} f(x) dx ≥ f(k + 1)

Wir addieren diese Ungleichungen:

∑_{k=1}^{n} f(k) ≥  ∫_{1}^{n+1} f(x) dx  ≥  ∑_{k=2}^{n+1} f(k)
⇔  0  ≥ ∫_{1}^{n+1} f(x) dx − ∑_{k=1}^{n} f(k) ≥ f(n + 1) − f(1)
⇔  0  ≤ ∑_{k=1}^{n} f(k) − ∫_{1}^{n+1} f(x) dx ≤ f(1) − f(n + 1)

Also ist ∑_{k=1}^{n} f(x) − ∫_{1}^{n+1} f(x) dx eine beschränkte monotone Folge und damit

konvergent. □

Vorlesung 26.01.2004

Beispiel §8.14

Beispiel

• f(x) = \frac{1}{x}

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − ∫_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − ln x|_{1}^{n+1} = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − ln (n + 1)

Die harmonische Reihe wächst also ungefähr wie der Logarithmus.

• f(x) = \frac{1}{x^{s}}  s ≥ 2  ∫_{1}^{n+1} \frac{1}{x^{s}} dx = \frac{−1}{s−1} · \frac{1}{x^{s−1}} |_{1}^{n+1}

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{s}} − ∫_{1}^{n+1} \frac{1}{x^{s}} dx = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{s}} − \frac{1}{s−1} + \frac{1}{s−1} · \frac{1}{(n+1)^{s−1}} ≤ 1

Also konvergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{s}} für s ≥ 2.

8.10 Die Taylor-Entwicklung

Satz §8.15

Es gilt f(t) = f(t_{0}) + f(t) − f(t_{0}) = f(t_{0}) + ∫_{t_{0}}^{t} f′(s) ds.

Satz: Sei f ∈ C^{n+1} (X, ℝ), also n + 1-mal stetig differenzierbar. Sei t_{0} ∈ X. Dann gilt die Taylor-Formel:

f(t) = \underbrace{∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}f^{(k)}(t_{0}) · (t − t_{0})^{k}}_{Taylor−Polynom} + \underbrace{R_{n}(t, t_{0})}_{Restglied}

f^{(k)}(t_{0}) ist die k-te Ableitung an der Stelle t_{0}.

R_{n}(t, t_{0}) = \frac{1}{n!} ∫_{t_{0}}^{t}(t − s)^{n} · f^{(n+1)}(s) ds = \frac{1}{(n + 1)!} · f^{(n+1)}(s_{0}) · (t − t_{0})^{n+1}

mit |s_{0} − t_{0}| ≤ |t − t_{0}|.

Beweis: Induktion nach n. Für n = 0 steht folgendes da:

f(t) = \frac{1}{0!}f^{(0)}f(t_{0}) · 1 + \frac{1}{0!} ∫_{t_{0}}^{t} 1 · f^{(1)}(s) ds
= f(t_{0}) + ∫_{t_{0}}^{t} f′(s) ds
= f(t_{0}) + f(t) − f(t_{0}) = f(t)

Induktionsschritt: Wir nehmen an, die Formel stimmt für n, f ∈ C^{n+1} (X, ℝ), wir wollen den Satz für n + 1 beweisen.

f(t) = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}f^{(k)}(t_{0}) · (t − t_{0})^{k} + R_{n}(t, t_{0})
R_{n}(t, t_{0}) = \frac{1}{n!} ∫_{t_{0}}^{t} f^{(n+1)}(s) · (t − s)^{n} ds
= \frac{(−1)^{n}}{n!} · \frac{(s−t)^{n+1}}{n+1} f^{(n+1)}(s)|_{s=t_{0}}^{s=t} − \frac{(−1)^{n}}{n!} ∫_{t_{0}}^{t} f^{(n+2)}(s)\frac{(s−t)^{n+1}}{n+1} ds
= \frac{1}{(n+1)!}(t − t_{0})f^{(n+1)}(t_{0}) + R_{n+1}(t, t_{0})  □

Die 2. Formel ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Bemerkung ; §8.16

Bemerkung: Ist f ∈ C^{∞} (X, ℝ) glatt, kann man die Taylor-Reihe

∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}f^{(k)}(t_{0}) · (t − t_{0})^{k}

konstruieren. Trotzdem gilt i.A. nicht, dass f(t) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}f^{(k)}(t_{0}) · (t − t_{0})^{k}.

Wichtiger als die Taylor-Reihe ist die Taylor-Formel.

8.11 Lokale Extrema

Definition §8.17

Wir sagen f hat in t_{0} ein striktes lokales Maximum (striktes lokales Minimum), falls es ein r > 0 gibt, so dass für alle t mit |t − t_{0}| < r gilt:

f(t) < f(t_{0}) (bzw. f(t) > f(t_{0}))

Satz: Ist f ∈ C^{2} (X, ℝ) und t_{0} ∈ X mit f′(t_{0}) = 0 und f′′(t_{0}) < 0 (bzw. f′′(t_{0}) > 0), dann hat f in t_{0} ein striktes lokales Maximum (striktes lokales Minimum).

Beweis:

\begin{aligned}f(t) & = & f(t_{0}) + f′(t_{0})(t − t_{0}) + \frac{1}{2} ∫_{t_{0}}^{t} f′′(s)(t − s)^{2} ds \\ & = & f(t_{0}) + \frac{1}{2} ∫_{t_{0}}^{t} f′′(s)(t − s)^{2} ds \end{aligned}

Weil f′ stetig ist, gibt es ein r > 0 mit f′(s) < 0 für alle s mit |s − t_{0}| < r.

Für |t − t_{0}| < r und t ≠ t_{0} ist also ∫_{t_{0}}^{t} f′(s) · (t − s)^{2} ds < 0, also f(t) < f(t_{0})

Für das strikte lokale Minimum argumentiert man entsprechend.

Beispiele:

Beispiel §8.18

• f(t) = cos(t)  f′(x) = − sin(x)  f′′(x) = − cos(x)

f′(0) = 0 f′′(0) = − cos 0 = −1 Lokales Maximum in 0.

• f(t) = t^{3} f′(t) = 3t^{2} f′′(t) = 6t f′(0) = 0 f′′(0) = 0 Hier liefert der Satz keine Information.

• f(t) = t^{4} f′(t) = 4t^{3} f′′(t) = 12t^{2} f′(0) = 0 = f′′(0) Hier liefert der Satz auch keine Information, obwohl 0 ein Minimum ist.

9 Algorithmen

Vorlesung 29.01.2004

Als erstes Problem betrachten wir die Polynominterpolation.

9.1 Polynominterpolation

Gegeben sind Stützstellen s_{0}, s_{1}, …, s_{n} und Wertvorgaben w_{0}, w_{1}, …, w_{n}. Gesucht ist eine Polynomfunktion f mit f(s_{0}) = w_{0}, f(s_{1}) = w_{1}, …, f(s_{n}) = w_{n}.

Die Stützstellen, Wertvorgaben und Lösungen sind im Folgenden reell oder komplex.

9.1.1 Überlegungen über Polynome

Paragraph §9.1

Sei f(x) = a_{n}x^{n} +a_{n−1}x^{n−1} +⋯+a_{1}x+a_{0} eine Polynomfunktion. Die Variable x und die Koeffizienten a_{0}, …, a_{n} dürfen reell oder komplex sein.

Ist a_{n} ≠ 0 so heißt n der Grad des Polynoms f, n = deg(f). Für das Nullpolynom setzt man deg(0) = −∞.

Beispiele

• deg(f) = 0 falls f(x) = 3 für alle x

• deg(f) = 1 falls f(x) = 3x − 7 für alle x

• deg(f) = 2 falls f(x) = (3x − 7)(x + 5) für alle x

Der Grad ist wohldefiniert, d.h. die Koeffizienten a_{n}, …, a_{0} lassen sich von der Polynomfunktion eindeutig ablesen:

f(0) = a_{0}, f′(0) = a_{1}, f′′(0) = 2a_{2}, …, f^{(k)}(x) = k!a_{k}

9.1.2 Rechenregeln für den Grad

Für Polynome gilt stets:

• deg(f · g) = deg(f) + deg(g)

• deg(f + g) ≤ max{deg(f), deg(g)}

Beispiel: deg ((x^{7} + 3) + (4x − x^{7})) = deg(4x + 3) = 1

Ist f ein Polynom mit deg(f) = n, so ist g(x) = f(x+x_{0}) ebenfalls ein Polynom mit deg(f) = deg(g).

9.1.3 Polynome und Nullstellen

Satz §9.2

Ist f ein Polynom mit deg(f) ≥ 0, und ist x_{0} eine Nullstelle (d.h. f(x_{0}) = 0), dann gibt es ein Polynom g mit f(x) = g(x)(x − x_{0}) mit deg(g) = deg(f) − 1.

Beweis: Falls x_{0} = 0 eine Nullstelle ist, so ist a_{0} = 0, also:

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{1}x = (a_{n}x^{n} + … + a_{1})(x − 0)

Für x_{0} beliebig, betrachte h(x) = f(x + x_{0}), dann ist h(0) = f(x_{0}) = 0 also h(x) = h_{1}(x − x_{0})(x − x_{0}) = g(x). □

Folgerung §9.3

Folgerung: Ist f ein Polynom mit deg(f) = n ≥ 0 (d.h. f ≠ 0), dann hat f höchstens n verschiedene Nullstellen.

Beweis: Seien x_{1}, x_{2}, …, x_{r} Nullstellen von f. Dann gilt nach dem vorigen Satz:

\underbrace{f(x)}_{deg=n} = \underbrace{h(x)}_{deg(h)=n−r≥0}(x − x_{1})(x − x_{2}) ⋯ (x − x_{r})

9.1.4 Das Lagrange-Polynom

Definition §9.4

Seien s_{0}, s_{1}, …, s_{n} gegeben mit s_{i} ≠ s_{j} für i ≠ j. Das k-te Lagrange-Polynom ist:

L_{k}(x) = \frac{x − s_{0}}{s_{k} − s_{0}} · \frac{x − s_{1}}{s_{k} − s_{1}} · · · · · \frac{x − s_{k−1}}{s_{k} − s_{k−1}} · \frac{x − s_{k+1}}{s_{k} − s_{k+1}} · · · · · \frac{x − s_{n}}{s_{k} − s_{n}}

Dann ist L_{k}(x) ein Polynom vom Grad n.

L_{k}(s_{j}) = \{ \begin{matrix}0 falls k ≠ j \\ 1 falls k = j \end{matrix}

Setzt man f(x) = w_{0}L_{0}(x) + w_{1}L_{1}(x) + ⋯ + w_{n}L_{n}(x) dann gilt deg(f) ≤ n.

Weiter gilt: f(s_{j}) = w_{0}L_{1}(s_{j}) + ⋯ + w_{n}L_{n}(s_{j}) = u_{j}L_{j}(s_{j}) = w_{j}

Satz §9.5

Satz: Seien s_{0}, …, s_{n} paarweise verschiedene Stützstellen. Für Wertvorgaben w_{0}, …, w_{n} gibt es genau ein Polynom f mit f(s_{j}) = w_{j} für alle j = 0 … n mit deg(f) ≤ n.

Beweis: Eine explizite Lösung für f haben wir mit den Lagrange-Polynomen schon gefunden. Eine andere Lösung gibt es nicht, denn angenommen f_{1} wäre eine weitere Lösung mit deg(f_{1}) ≤ n, f_{1}(s_{j}) = w_{j} mit j = 0 … n, deg(f) ≤ n, f(s_{j}) = w_{j} mit j = 0 … n. Also gilt deg(f − f_{1}) ≤ n und (f − f_{1})(s_{j}) = w_{j} − w_{j} = 0. Also hat f − f_{1} n + 1 Nullstellen. Also ist f = f_{1}. □

Bemerkung §9.6

Bemerkung: Betrachte h(x) = q(x)(x − s_{0})(x − s_{1}) ⋯ (x − s_{n}) für q beliebig. Dann gilt h(s_{j}) = 0 für alle j, d.h. h + f löst auch das Interpolationsproblem, aber deg(h + f) ≥ n im Allgemeinen.

9.1.5 Anzahl der Rechenoperationen

Vorlesung 02.02.2004

Gesucht: Eindeutige Lösung für das Polynom f mit deg(f) ≤ n und den Stützstellen s_{1}, …, s_{n} mit f(s_{j}) = q_{j}.

Insbesondere bestimmt das n+1-Tupel (w_{0}, w_{1}, …, w_{n}) das Polynom eindeutig. Definition §9.7 Wir betrachten jetzt wieviel Rechenoperationen benötigt werden.

Schreibweise: Ist (c_{k})_{k∈ℕ} eine Folge nicht negativer Zahlen und (a_{k})_{k∈ℕ} eine weitere solche Folge, dann sagt man, a_{k} ist von der Ordnung O(c_{k}) falls es eine Konstante K ≥ 0 gibt mit:

c_{k} · K ≥ a_{k} für alle k

Das Ordnungssymbol heißt auch Landau’sches O-Symbol.

Beispiel: Sind die Lagrange-Polynome berechnet, so ist die Anzahl der Rechenoperationen, die man braucht um

f(x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}L_{k}(x)

zu berechnen: O((n + 1)^{2})

9.1.6 Optimierung der Rechenoperationen

Schnelle Auswertung von Polynomen:

Naiv:

a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ + a_{n}x^{n}
n Additionen
\frac{n(n+1)}{2} Multiplikationen

Horner-Schema:

f(x) = ((a_{n}x + a_{n−1})x + a_{n−2})x + ⋯ a_{0}
\begin{matrix}n & Additionen \\ n & Multiplikationen \end{matrix} \} O(n) Rechenoperationen
Problem §9.8

Problem: Gegeben sind die Polynome

p(x) = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0} mit deg(p) ≤ n
q(x) = b_{n}x^{n} + ⋯ + b_{0} mit deg(q) ≤ n
p(x) · q(x) = c_{2n}x^{2n} + ⋯ + c_{0}

Frage: Wie berechnet man die Koeffizienten c_{2n}, …, c_{0}? Es gilt:

c_{k} = ∑_{j=0}^{2n} a_{j}b_{k−j}

Die direkte Methode braucht O(n^{2}) Rechenoperationen.

Idee §9.9

Idee zur Lösung: Wähle Stützstellen s_{0}, s_{1}, …, s_{2n} dann gilt:

f(s_{j}) = p(s_{j}) · q(s_{j})

Rekonstruiere f aus den Daten f(s_{j}), j = 0, …, 2n durch Interpolation.

9.1.7 Die n-ten Einheitswurzeln in ℂ

Definition §9.10

Für n ∈ ℕ, n ≥ 2 betrachte Lösungen der Gleichung x^{n} = 1, das heißt die Nullstellen von

x^{n} − 1

Dieses Polynom hat höchstens n verschiedene Nullstellen (3. Folgerung). Natürlich gibt es höchstens 2 reelle Nullstellen. Es gibt in ℂ genau n Nullstellen. Setze:

ϑ = cos (\frac{2π}{n} ) + i · sin (\frac{2π}{n} ) ∈ ℂ

Es gilt: Für 0 ≤ k < l ≤ n − 1 ist ϑ^{k} ≠ ϑ^{l} und ϑ^{k·n} = 1.

Die komplexen Nullstellen des Polynoms x^{n} − 1 sind also genau:

1 = ϑ^{0}, ϑ, ϑ^{2}, ϑ^{3}, …, ϑ^{n−1}

Beachte: ϑ = cos (\frac{2π}{n} )+i·sin (\frac{2π}{n} ) hängt vom gegebenen n ab. Es gilt immer: ϑ^{k+n} = ϑ^{k}. Nach der 3. Folgerung gilt also auch

(x^{n} − 1)^{n} = (x − 1)(x − ϑ)(x − ϑ^{2}) ⋯ (Abspaltung der Nullstellen)

9.1.8 Gerade und ungerade Teilpolynome

Überlegung ; §9.11

Jedes Polynom f(x) = a_{n}x^{n} +⋯+a_{0} lässt sich zerlegen in einen geraden Teil und einen ungeraden Teil. Es gilt:

f(x) = f_{g}(x^{2}) + x · f_{u}(x^{2})
f_{g}(t) = a_{0} + a_{2}t + a_{4}t^{2} + ⋯
f_{u}(t) = a_{1} + a_{3}t + a_{5}t^{2} + ⋯
f_{g}(x^{2}) + x · f_{u}(x^{2}) = a_{0} + a_{2}x^{2} + a_{4}x^{4} + ⋯
+ x(a_{1} + a_{3}x^{2} + a_{5}x^{4} + ⋯)

Algorithmus

§9.12

Algorithmus: Gegeben sind Polynome p und q, wir suchen p · q.

1. Schritt: Auswerten von p und q auf geeigneten Einheitswurzeln.
Sei m = 2^{r} > deg(p), deg(q).
Setze:  ϑ = cos (\frac{2π}{m} ) + i · sin (\frac{2π}{m} )  (m-te Einheitswurzel)
Gesucht: p(1), p(ϑ), p(ϑ^{2}), …, p(ϑ^{n−1}) und
p(ϑ^{k}) = p_{g}(ϑ^{2k}) + ϑp_{u}(ϑ^{2k})
Daten:  p(x) = a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0}
A = (a_{0}, a_{1}, a_{2}, …, a_{m−1})
Ausgabe: P (p(1), p(ϑ), p(ϑ^{2}), …, p(ϑ^{n−1}))

  procedure Ausw(m, A, alpha, P)
    if m = 1 then
      P := (A(0))
    else
      m2 := m / 2
    AG := (A(0), A(2), ..., A(m - 2))
    AU := (A(1), A(3), ..., A(m - 1))
    Ausw(m2, AG, alpha^2, PG)
    Ausw(m2, AU, alpha^2, PU)
    for j := 0 to m2 - 1 do
      P(j) := PG(j) + theta * PU(j)
    P(j + m2) := PG(j) - theta * PU(j)
  end.

Wir haben benutzt, dass ϑ^{k+m_{2}} = −ϑ^{k} und ϑ^{0}, ϑ^{2}, ϑ^{4}, … die \frac{m}{2}-ten Einheitswurzeln sind.

Anzahl der benötigten Multiplikationen M(m) = #Multiplikationen für m = 2^{r}

m = 1:  M(1) = 0
m = 2^{r} > 1: Wir erhalten wir rekursiv M(2^{r}) = 2M(2^{r−1})

Also gilt M(m) = \frac{m}{2} log_{2}(m). Die Anzahl der Rechenoperationen zum Berechnen

P = (p(1), p(ϑ), …, p(ϑ^{m−1})

mit O(m log_{2} m)

9.1.9 Das Interpolationsproblem Vorlesung 05.02.2004

Paragraph §9.14

Ist z = (z_{0}, z_{1}, …, z_{m−1}) ∈ ℂ^{m}, setze

V (z) = ( \begin{matrix}1 & z_{0} & z_{0}^{2} & ⋯ & z_{0}^{m−1} \\ 1 & z_{1} & z_{1}^{2} & ⋯ & z_{1}^{m−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & z_{m−1} & z_{m−1}^{2} & ⋯ & z_{m−1}^{m−1} \end{matrix} )

V (z) ist eine m × m-Matrix, die Vandermondsche Matrix zu z.

Ist a = (a_{0}, a_{1}, …, a_{m−1}), so ist

V (z) · a^{T} = ( a_{0} + a_{1}z_{0} + a_{2}z_{0}^{2} + … + a_{m−1}z_{0}^{m−1} ; ⋮ )

das heißt, für p(x) = a_{0} + a_{1}x + … + a_{m−1}x^{m−1} gilt: V (z)a^{T} = ( p(z_{0}) ; p(z_{1}) ; ⋮ ; p(z_{m−1}) ).

Idee: Man multipliziere diese Gleichung von links mit V (z)^{−1}, dann erhält man:

a^{T} = V (z)^{−1} = ( p(z_{0}) ; p(z_{1}) ; ⋮ ; p(z_{m−1}) )

Satz §9.15

Satz: Sei z = (ϑ^{0}, ϑ^{1}, …, ϑ^{m−1}) und w = (ϑ^{0}, ϑ^{−1}, …, ϑ^{1−m}). Dann gilt:

V (z) · V (w) = ( \begin{matrix}m & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & m \end{matrix} ) ⇔ V (z)^{−1} = \frac{1}{m}V (w)

Beweis: V (z)_{ij} = z_{i}^{j} = (ϑ^{i})^{j} = ϑ^{ij}, V (w)_{jk} = z_{j}^{−k} = (ϑ^{−j})^{k} = ϑ^{−jk}, also

(V (z) · V (w))_{i,k} = ∑_{j=0}^{m−1} ϑ^{ij} · ϑ^{−jk} = ∑_{j=0}^{m−1} ϑ^{j(i−k)} = \{ \begin{matrix}m & falls i = k \\ \frac{ϑ^{(i−k)m}−1}{ϑ^{i−k}−1} & falls i ≠ k \end{matrix}

Damit haben wir das Interpolationsproblem gelöst!

(a_{0}, a_{1}, …, a_{m−1}) = V (ϑ^{0}, …, ϑ^{1−m}) · ( p(ϑ^{0}) ; ⋮ ; p(ϑ^{m−1}) )

Daten: (p(1), p(ϑ), p(ϑ^{2}), …, p(ϑ^{m−1})) Gesucht: (a_{0}, a_{1}, …, a_{m−1}) Koeffizienten

  procedure Koeff (m, B, ϑ, P)
    Ausw(m, B, ϑ^{−1}, C)
    P = \frac{1}{m} C
  end

Wenn man das aufruft mit B = (p(1), p(ϑ), …, p(ϑ^{m−1})) erhält man P = (a_{0}, a_{1}, …, a_{m−1})

9.1.10 Zusammenfassung

Paragraph §9.16

Gegeben sind Polynome p und q, die multipliziert werden sollen.

• Wähle l minimal mit z^{l} > 2 deg(p), 2 deg(q).

• Rufe Ausw für p und q auf, um (p(ϑ^{0}), …, p(ϑ^{m−1})) und (q(ϑ^{0}), …, q(ϑ^{m−1})) zu berechnen.

• Bestimme B = (p(ϑ^{0}) · q(ϑ^{0}), …, p(ϑ^{m−1}) · q(ϑ^{m−1})).

• Berechne Koeffizienten des zugehörigen Interpolationspolynom mit Koeff.

Rechenaufwand: O(m log_{2} m) mit m = 2^{l}, deg(p), deg(q) ≤ k. Aufwand: O(k log_{2} k).

Das Verfahren ist gut, wenn p und q ähnlichen Grad haben. Wegen

ϑ = cos (\frac{2π}{m} ) + i sin (\frac{2π}{m} )

braucht man eine gute Gleitzahlarithmetik, selbst für ganzzahlige Polynome!

9.1.11 Anwendung

Paragraph §9.17

Schnelle Multiplikation großer Zahlen. M, N natürliche Zahlen in g-adischer Entwicklung,

M = a_{0} + ga_{1} + g^{2}a_{2} + … + g^{k}a_{k}
N = b_{0} + gb_{1} + g^{2}b_{2} + … + g^{k}b_{k}

Unser Algorithmus bestimmt p · q für p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + … + a_{k}x^{k} und q(x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} + … + b_{k}x^{k}.

N · M = p(g) · q(g) = c_{0} + c_{1}g + c_{2}g^{2} + … + c_{2k}g^{2k}

Rechenaufwand: O(k log_{2} k)

Literatur:

• Schönhage-Strassen: Schnelle Multiplikation großer Zahlen, Computing 7 (1971), Seiten 281-292

• Knuth, Arithmetik, Springer, Berlin, 2001.

9.2 Das Newton-Verfahren

Nun betrachten wir das Newton-Verfahren zur Bestimmtung von Nullstellen.

9.2.1 Problemstellung

Funktion f: X ⟶ ℝ, gesucht sind die Nullstellen von f, also f(x_{0}) = 0

[figure: z; x_{1}; x_{0}; f; x; f(x)]

Abbildung 16: Newton-Verfahren 9 ALGORITHMEN 65

Idee: f(z) = 0 Nullstelle, x_{0} liegt nahe bei z. Konstruiere bessere Approximation x_{1}, x_{2}, x_{3}, … bis eine gute Näherungslösung für z gefunden ist. x_{1} ist Nullstelle der Tangente. Die Steigung ist f′(x_{0}) = \frac{f(x_{0})}{x_{0}−x_{1}} .

x_{0} − x_{1} = \frac{f(x_{0})}{f′(x_{0})} x_{1} = x_{0} − \frac{f(x_{0})}{f′(x_{0})}

Setze φ(x) = x − \frac{f(x)}{f′(x)}. x_{1} = φ(x_{0}), x_{2} = φ(x_{1}), …, x_{n+1} = φ(x_{n}). Konvergiert das gegen z? 9.2.2 Konvergenz des Newton-Verfahrens

Satz §9.18

Sei f eine C^{2}-Funktion, f(z) = 0 und f′(z) ≠ 0. Dann konvergiert das Newton-Verfahren gegen z, sogar gut, falls x_{0} nahe genug bei z liegt. Beweis: Wegen f′(z) ≠ 0 gibt es ein r > 0, so dass f′(x) ≠ 0 falls |x − z| < r. Dann ist auch φ(x) = x − \frac{f(x)}{f′(x)} ebenfalls eine C^{2}-Funktion.

φ′(x) = 1 − \frac{1}{f′(x)^{2}} · (f′(x)^{2} + f(x)f′′(x))

also φ′(x) = 0. Nach der Taylor-Formel gilt:

φ(x) − φ(z) = (x − z)^{2} · \underbrace{φ′′(s)\frac{1}{2}}_{≤k} für ein s mit |z − s| ≤ |x − z| ≤ r.

|φ(x) − φ(z)| = |x − z|^{2} · k

Die Iteration liefert also eine Nullfolge, im Grenzwert erhalten wir φ(z) = z. □ Beispiele

• Wurzelziehen: f(x) = a − x^{2} φ(x) = \frac{1}{2}x + \frac{9}{2x} x_{n+1} = \frac{1}{2}x_{n} + \frac{9}{2x_{n}}

• Division: f(x) = \frac{1}{x} − a φ(x) = 2x − ax^{2} x_{n+1} = 2x_{n} − ax_{n}^{2}

10 Metrische Räume und Normen

Vorlesung 13.04.2004

Gegeben sei eine (nicht leere) Menge X. Wir wollen auf X einen Abstandsbegriff. Der Abstand zweier Elemente in X soll eine nicht negative reelle Zahl sein. Eine Einheit wie zum Beispiel Kilometer oder Stunden lassen wir weg, weil wir sie nicht brauchen.

Erinnerung: X × X ist die Menge aller Paare (u, v) mit u, v ∈ X.

10.1 Die Axiome der Metrik

Definition §10.1

Eine Abbildung d: X × X ⟶ ℝ heißt Metrik auf X, falls folgendes gilt:

(M_{1}) d(u, v) = d(v, u) ≥ 0 gilt für alle u, v ∈ X

(symmetrisch, positiv)

(M_{2}) d(u, v) = 0 genau dann, wenn u = v gilt.
(M_{3}) d(u, w) ≤ d(u, v) + d(v, w) für alle u, v, w ∈ X

(Dreiecksungleichung)

[figure: u; w; v; d(u, w); d(u, v); d(v, w)]

Abbildung 17: Die Dreiecksungleichung

Ist d eine Metrik auf X, so heißt (X, d) metrischer Raum. Die Axiome (M_{1}), (M_{2}) und (M_{3}) formalisieren Alltagserfahrungen mit physikalischen Abständen.

10.2 Beispiele

Beispiel §10.2

Beispiel (a) X mit reeller Metrik:

X = ℝ, d(u, v) = |u − v|

Behauptung: Das ist eine Metrik. (M_{1}) gilt offensichtlich, ebenso (M_{2}). Nach Analysis I §1.4 gilt auch (M_{3}).

Beispiel (b) X mit diskreter Metrik:

d(u, v) = \{ \begin{matrix}0 & falls & u = v \\ 1 & falls & u ≠ v \end{matrix}

(M_{1}) und (M_{2}) gelten. Zu (M_{3}): Für d(u, w) = 0 ist nichts zu zeigen. Falls d(u, w) = 1 ⇒ u ≠ w. Für jedes v ∈ X gilt dann: v ≠ w oder v ≠ u, also d(v, w) = 1 oder d(v, u) = 1, also d(u, w) ≤ d(v, w) + d(v, u).

Diese Metrik heißt diskrete Metrik (weil der Wertebereich nur bestimmte Werte annehmen kann).

Beispiel (c) Computerbildschirm:

I = {1, 2, 3, …, 1024} J = {1, 2, 3, …, 768} X = I × J
d: X × X ⟶ ℝ d((u_{1}, v_{1}), (u_{2}, v_{2})) = |u_{1} − u_{2}| + |v_{1} − v_{2}|

(M_{1}) und (M_{2}) gelten. (M_{3}) gilt auch:

|u_{1} − u_{3}| ≤ |u_{1} − u_{2}| + |u_{2} − u_{3}|
|v_{1} − v_{3}| ≤ |v_{1} − v_{2}| + |v_{2} − v_{3}|

also d((u_{1}, v_{1}), (u_{3}, v_{3})) ≤ d((u_{1}, v_{1}), (u_{2}, v_{2})) + d((u_{2}, v_{2}), (u_{3}, v_{3})) ⇒ (M_{3})

[figure: (u_{1}, v_{1}); (u_{2}, v_{2})]

Abbildung 18: Pixelabstand am Bildschirm

Beobachtung

§10.3

Beobachtung: Ist (X, d) ein metrischer Raum, und ist A ⊆ X eine (nicht leere) Teilmenge, so ist die Einschränkung der Metrik auf A × A wieder eine Metrik, man sagt (A, d) ist ein metrischer Teilraum (oder Unterraum) von (X, d).

10.3 Die offene r-Kugel

Definition §10.4

Es sei (X, d) ein metrischer Raum, r ∈ ℝ, r > 0. Für u ∈ X ist B_{r}(u) = {v ∈ X | d(u, v) < r} die offene r-Kugel um u.

In den vorherigen Beispielen sehen die Kugeln wie folgt aus:

Zu Beispiel (a) X mit reeller Metrik:

B_{r}(u) = ]u − r, u + r[ ⊆ ℝ

u u − r  u + r

Abbildung 19: Offene r-Kugel in ℝ

Zu Beispiel (b) X mit diskreter Metrik:

B_{1}(u) = {v ∈ X|d(u, v) < 1} = {u}
B_{2}(u) = {v ∈ X|d(u, v) < 2} = X

Zu Beispiel (c) Computerbildschirm:

B_{1}((u_{1}, v_{1})) = {(u_{1}, v_{1})}
B_{\frac{3}{2}} ((u_{1}, v_{1})) = \{(u_{1}, v_{1}), (u_{1} ± 1, v_{1}), (u_{1}, v_{1} ± 1)\}

[figure: (u_{1}, v_{1})]

Abbildung 20: Offene r-Kugel von Bildschirmpixeln

10.4 Folgen und metrische Räume

Definition: Eine Folge in einem metrischen Raum (X, d) ist eine Abbildung ℕ ⟶ X, die jeder natürlichen Zahl n ein Folgeglied x_{n} ∈ X zuordnet. Schreibe wie gehabt (x_{n})_{n∈ℕ}.

Definition §10.5

Sei (X, d) ein metrischer Raum, (x_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in X. Wir sagen (x_{n})_{n∈ℕ} konvergiert gegen x ∈ X, lim_{n→∞} x_{n} = x, falls gilt: Für jedes ε > 0 gibt es ein N ∈ ℕ (abhängig von ε), so dass für alle k ≥ N gilt d(x_{k}, x) < ε.

d(x, y) < ε ist äquivalent zu y ∈ B_{ε}(x)

Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert: Falls lim_{n→∞} x_{n} = x und lim_{n→∞} x_{n} = y,

so gilt x = y, denn sonst wäre d(x, y) > 0. Setze ε = \frac{1}{2}d(x, y) > 0. Für k ≥ N gilt dann d(x_{k}, x) < ε, d(x_{k}, y) < ε. Mit der Dreiecksungleichung folgt:

d(x, y) ≤ d(x, x_{k}) + d(x_{k}, y) < 2ε = d(x, y) (Widerspruch)

Zu Beispiel (a) X mit reeller Metrik:

X = ℝ, d(u, v) = |u − v| ⇝ Konvergenzbegriff aus Analysis I §3.1

Zu Beispiel (b) X mit diskreter Metrik:

Setze ε = 1. Wenn lim_{n→∞} x_{n} = x, so gibt es also N ∈ ℕ mit: d(x_{k}, x) < 1 für alle k ≥ N, d.h. x_{k} = x für alle k ≥ N.

Zu Beispiel (c) Computerbildschrim:

Es gilt wie in Beipiel (b), dass konvergente Folgen ab einem bestimmten Folgenglied konstant sind.

Vorlesung 16.04.2004

Beispiel: X = ℝ^{n} = {(v_{1}, …, v_{n}) | v_{1}, …, v_{n} ∈ ℝ} Metrik: d(u, v) = |u_{1} − v_{1}| + |u_{2} − v_{2}| + ⋯ + |u_{n} − v_{n}|

Das ist eine Metrik, die Manhattan-Taxi-Metrik. Eine Folge von Vektoren (v_{k})_{k∈ℕ} in X konvergiert gegen einen Vektor u genau dann, wenn für jedes i = 1, …, n die Folge der i-ten Einträge (v_{i,k})_{k∈ℕ} gegen u_{i} konvergiert.

Warum? d(u, v) ≥ |u_{i} − v_{i}| für jedes i = 1, …, n

10.5 Cauchy-Folge

Definition §10.6

Eine Folge (v_{n})_{n∈ℕ} im metrischen Raum heißt Cauchy-Folge, wenn sie folgende Eigenschaft hat:

(CF) Zu jedem ε > 0 gibt es ein N ∈ ℕ so, dass für alle k, ℓ ≥ N gilt:
d(v_{k}, v_{ℓ}) < ε

Für X = ℝ, d(u, v) = |u − v| ist das genau die Definition aus Analysis I (§3.17).

Satz: Ist (x_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Folge in einem metrischen Raum X, dann Satz §10.7 ist (x_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge.

Beweis: Sei ε > 0. Es gibt ein N ∈ ℕ so, dass für alle k ≥ N gilt d(x_{k}, x) < \frac{ε}{2}, wobei x = lim_{n→∞} x_{n}. Für k, ℓ ≥ N gilt:

d(x_{k}, x_{ℓ}) ≤ \underbrace{d(x_{k}, x)}_{< \frac{ε}{2}} + \underbrace{d(x_{ℓ}, x)}_{< \frac{ε}{2}} < ε

□

10.6 Vollständigkeit

Definition §10.8

Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in X einen Grenzwert in X hat.

Zu Beispiel (a) X mit reeller Metrik:

(X, d) ist vollständig (nach Satz Analysis I §3.18).

Zu Beispiel (b) X mit diskreter Metrik:

(X, d) ist immer vollständig:

Setze ε = \frac{1}{2}. Sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge. Für k, ℓ ≥ N gilt also d(x_{k}, x_{ℓ}) < \frac{1}{2}, also x_{k} = x_{ℓ}. Die Folge wird konstant und konvergiert also.

Zu Beispiel (c) Computerbildschirm:

Der Bildschirm ist ebenfalls vollständig.

Beispiel X = ℚ, d(u, v) = |u − v|:

(X, d) ist nicht vollständig, es gibt eine Folge (x_{n})_{n∈ℕ} in ℚ, die gegen \sqrt{2} ∉ ℚ konvergiert (in ℝ).

Beispiel A =]0, 1] = {x ∈ ℝ | 0 < x ≤ 1}, d(u, v) = |u − v|:

(A, d) ist nicht vollständig. x_{0} = 1, x_{n} = \frac{1}{n} ∈ A konvergiert gegen 0 ∉ A, bildet also eine Cauchy-Folge die in A nicht konvergiert.

Bemerkung:

(1) Unterräume metrischer Räume müssen nicht unbedingt vollständig sein (→ später genaueres Kriterium).

(2) Die Begriffe Konvergenz, Cauchy-Folge und Vollständigkeit hängen nicht nur von der Menge X, sondern auch und vor allem von der Metrik ab.

10.7 Abgeschlossenheit

Definition §10.9

Eine Teilmenge A in einem metrischen Raum (X, d) heißt abgeschlossen, wenn für jede Folge (a_{n})_{n∈ℕ} in A gilt:

Falls lim_{n→∞} a_{n} = x existiert (in X), so gilt x ∈ A.

Beispiel: A = ]0, 1], X = ℝ, d(u, v) = |u − v| ist nicht abgeschlossen, denn a_{n} = \frac{1}{n} ∈ A hat keinen Grenzwert in A: lim_{n→∞} a_{n} = 0 ∉ A

Erinnerung: Abgeschlossene Intervalle im Sinne der Analysis I sind abgeschlossen in ℝ mit |u − v| = d(u, v).

[r, s],  [r, ∞[,  ] − ∞, s]  ⇒ abgeschlossen.

Bemerkung: X und ∅ sind immer abgeschlossen im Sinne der Definition.

10.8 Eigenschaften abgeschlossener Mengen

Satz §10.10

(a) Vereinigungen von endlich vielen abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen.

(b) Durchschnitte von beliebig vielen abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen.

Beweis von (a) mit Induktion nach der Anzahl der abgeschlossenen Mengen. Für eine Menge ist das banal. Seien A_{1}, A_{2}, …, A_{k}, A_{k+1} abgeschlossene Mengen. Setze B = A_{1} ∪ A_{2} ∪ ⋯ ∪ A_{k}, C = A_{k+1}. Nach Induktionsannahme dürfen wir annehmen, dass B und C abgeschlossen sind, zu zeigen ist die Abgeschlossenheit von B ∪ C. Sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in B ∪ C, mit dem Grenzwert x = lim_{n→∞} x_{n}. Dann gibt es eine Teilfolge (x_{n}_{k})_{k∈ℕ}, für die alle Folgenglieder in B oder alle Folgenglieder in C liegen. Dann gilt:

lim_{k→∞} x_{n}_{k} = x = lim_{n→∞} x_{n}

Da B und C abgeschlossen sind, gilt: x ∈ B oder x ∈ C, jedenfalls x ∈ B ∪ C.

Beweis von (b): Sei A_{i}, i ∈ I eine Menge abgeschlossener Teilmengen von X. Sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine Folge im Durchschnitt mit lim_{n→∞} x_{n} = x. Zu zeigen ist nun, dass auch x im Durchschnitt liegt. Für jedes i gilt: (x_{n})_{n∈ℕ} liegt in A_{i}, also gilt x ∈ A_{i} (mit A_{i} abgeschlossen). Also liegt x im Durchschnitt. □

Beispiel: (a) ist im Allgemeinen falsch, wenn man unendlich viele Mengen zulässt. X = ℝ, d(u, v) = |u − v|

A_{1} = \{1\}, A_{2} = [\frac{1}{2}, 1], A_{n} = [\frac{1}{n}, 1]

⋃_{i=1}^{∞} A_{i} =]0, 1] ⇒ nicht abgeschlossen.

Satz: Ist (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und A ⊆ X, so ist A Satz §10.11 vollständig als Unterraum genau dann, wenn A abgeschlossen ist.

Beweis: Angenommen A ist abgeschlossen, so ist zu zeigen, dass A vollständig ist. Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in A, also existiert x = lim_{n→∞} a_{n} (weil X vollständig ist). Weil A abgeschlossen in X ist, gilt x ∈ A.

Angenommen A ist vollständig. Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in A, die gegen x ∈ X konvergiert. Zu zeigen ist x ∈ A. Dann ist (a_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge, also gilt x = lim_{n→∞} a_{n} ∈ A, weil A vollständig ist. □

Vorlesung 20.04.2004

Vollständigkeit und Abgeschlossenheit: Für folgende Aussagen gilt Äquivalenz:

• X ist vollständig ⇔ jede Cauchy-Folge konvergiert.

• A ⊆ X ist abgeschlossen ⇔ jede konvergente Folge (a_{n})_{n∈ℕ} in A hat ihren Grenzwert in A.

Beispiele:

• ]0, 1] ⊆ ℝ ist nicht abgeschlossen

• [0, 1] ⊆ ℝ ist abgeschlossen

• [0, 5] ∪ [201, 395] ist abgeschlossen

• Abgeschlossene Intervalle in ℝ (oder endliche Vereinigungen davon) sind abgeschlossen.

• In einem diskreten metrischen Raum oder Bildschirm-Raum ist jede Teilmenge abgeschlossen.

Bemerkung: Ist A ein Unterraum von (X, d) und ist A vollständig, dann ist A abgeschlossen in X (folgt aus dem Beweis von Satz §10.11).

10.9 Vektorräume und Normen

Eine wichtige Klasse metrischer Räume stammt aus der linearen Algebra, die Vektorräume.

Definition ; §10.12

Definition: Sei V ein reeller Vektorraum (über den Körper ℝ). V darf endlich oder unendlich viele Dimensionen haben. Ein Längenmaß für Vektoren heißt Norm, wenn gilt:

\underbrace{|| · ||}_{Norm}: V ⟶ ℝ, u ↦ ||u||

(N_{1}) ||u|| ≥ 0
||u|| = 0 ⇔ u = 0  für alle u ∈ V
(N_{2}) ||ru|| = |r| · ||u||  für alle u ∈ V, r ∈ ℝ
(N_{3}) ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||  für alle u, v ∈ V

(Dreiecksungleichung)

Das Paar (V, || · ||) heißt dann normierter Raum. Jeder normierte Raum ist auch ein metrischer Raum.

10.9.1 Die 1-Norm

V = ℝ^{n} = {reelle n-Tupel}

||u||_{1} = |u_{1}| + |u_{2}| + … + |u_{n}|

Dies ist eine Norm, die 1-Norm. Beweis:

Zu (N_{1}) Das gilt, klar.
Zu (N_{2}) ||ru||_{1} = |ru_{1}| + … + |ru_{n}| = |r| · |u_{1}| + … + |r| · |u_{n}| = |r| · ||u||
Zu (N_{3}) {||u+v||_{1} = |u_{1}+v_{1}|+…+|u_{n}+v_{n}| ≤ |u_{1}|+|v_{1}|+…+|u_{n}|+|v_{n}| = \atop ||u||_{1} + ||v||_{1}}
Lemma §10.13

Lemma: Ist (V, || · ||) ein normierter Raum, dann ist d(u, v) = ||u − v|| eine Metrik.

(M_{1}) d(u, v) = ||u − v|| ≥ 0 (positiv)
d(u, v) = ||u − v|| = | − 1| · ||u − v|| = ||(−1) · (u − v)||
= ||v − u|| = d(v, u) (symmetrisch)
(M_{2}) d(u, v) = ||u − v|| = 0 ⇔ u − v = 0 ⇔ u = v
(M_{3}) ||u − w|| = ||(u − v) + (v − w)|| ≤ ||u − v|| + ||v − w||

10.9.2 Das euklidische Skalarprodukt

Definition ; §10.14

Sei V = ℝ^{n}. Für u, v ∈ ℝ^{n} setze ⟨ u | v ⟩ = u_{1}v_{1} + … + u_{n}v_{n}.

⟨ · | · ⟩: V × V ⟶ ℝ

Es gelten folgende Rechenregeln:

(i) ⟨ u | u ⟩ ≥ 0
⟨ u | u ⟩ = 0 ⇔ u = 0  für alle u ∈ V
(ii) ⟨ u | v + w ⟩ = ⟨ u | v ⟩ + ⟨ u | w ⟩
⟨ u + v | w ⟩ = ⟨ u | w ⟩ + ⟨ v | w ⟩ für alle u, v, w ∈ V

(bilinear)

(iii) ⟨ ru | v ⟩ = r⟨ u | v ⟩ = ⟨ u | rv ⟩  für alle u, v ∈ V, r ∈ ℝ
(iv) ⟨ u | v ⟩ = ⟨ v | u ⟩  für alle u, v ∈ V

10.9.3 Die euklidische Norm oder 2-Norm Setze ||u||_{2} = \sqrt{⟨ u | u ⟩} = \sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + … + u_{n}^{2}}

10.9.4 Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Satz §10.15
Es gilt: |⟨ u | v ⟩| ≤ ||u||_{2} · ||v||_{2} für alle u, v ∈ V = ℝ^{n}

Beweis: Setze a = ⟨ v | v ⟩ und b = −⟨ u | v ⟩. Dann gilt:

0 ≤ ⟨ au + bv | au + bv ⟩ = a^{2}⟨ u | u ⟩ + b^{2}⟨ v | v ⟩ + ab⟨ u | v ⟩ + ab⟨ v | u ⟩
= a^{2}⟨ u | u ⟩ + b^{2}⟨ v | v ⟩ + 2ab⟨ u | v ⟩

also

0 ≤ ||v||_{2}^{4} · ||u||_{2}^{2} + ⟨ u | v ⟩^{2} · ||v||_{2}^{2} − 2||v||_{2}^{2} · ⟨ u | v ⟩^{2}

Falls ||v||_{2}^{2} = 0 ⇔ v = 0 nach (i), also gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Falls ||v||_{2}^{2} ≠ 0 teilen wir durch ||v||_{2}^{2}.

0 ≤ ||v||_{2}^{2} · ||u||_{2}^{2} + ⟨ u | v ⟩^{2} − 2⟨ u | v ⟩^{2}
⟨ u | v ⟩^{2} ≤ (||u||_{2} · ||v||_{2})^{2} also |⟨ u | v ⟩| ≤ ||u||_{2} · ||v||_{2}

Bemerkung: Es gilt für alle u, v ∈ V:

||u + v||_{2}^{2} = ||u||_{2}^{2} + ||v||_{2}^{2} + 2⟨ u | v ⟩

Satz §10.16

Satz: Die 2-Norm ist eine Norm. Beweis:

Zu (N_{1}) Das ist klar.
Zu (N_{2}) ||ru||_{2} = \sqrt{⟨ ru | ru ⟩} = \sqrt{r^{2}⟨ u | u ⟩} = r||u||_{2}
Zu (N_{3}) ||u + v||_{2}^{2} = ||u||_{2}^{2} + ||v||_{2}^{2} + 2⟨ u | v ⟩
≤^{∗} ||u||_{2}^{2} + ||v||_{2}^{2} + 2||u||_{2} · ||v||_{2}

= (||u||_{2} + ||v||_{2})^{2} also ||u + v||_{2} ≤ ||u||_{2} + ||v||_{2} □

* An dieser Stelle wird die Cauchy-Schwarz-Ungleichung verwendet. Es gibt auf ℝ^{n} viele weitere Normen.

10.9.5 Die Maximums- oder Supremumsnorm

||u||_{∞} = max{|u_{1}|, |u_{2}|, …, |u_{n}|}

Das ist die Maximums- oder Supremumsnorm. Man rechnet schnell nach, dass das eine Norm ist.

10.9.6 Verhältnis der Normen zueinander

Satz §10.17

Für alle drei Normen auf ℝ^{n} gilt:

||u||_{1} ≥ ||u||_{2} ≥ ||u||_{∞} ≥ \frac{1}{n}||u||_{1} für alle u ∈ ℝ^{n}

Beweis:

(|u_{1}| + … + |u_{n}|)^{2} ≥ |u_{1}|^{2} + … + |u_{n}|^{2}
|u_{1}|^{2} + … + |u_{n}|^{2} ≥ max{|u_{1}|, …, |u_{n}|}
n · max{|u_{1}|, …, |u_{n}|} ≥ |u_{1}| + ⋯ + |u_{n}|
□

Konsequenz: Alle drei Normen liefern die selben konvergenten Folgen beziehungsweise die selben Cauchy-Folgen!

Satz §10.18

Satz: ℝ^{n} ist bezüglich jeder der drei Normen || · ||_{1}, || · ||_{2}, || · ||_{∞} vollständig. Beweis: Es genügt, die || · ||_{1}-Norm zu betrachten, denn alle drei Normen liefern die gleichen Cauchy-Folgen bzw. konvergenten Folgen nach Satz §10.17.

Sei (u_{k})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge in ℝ^{n} (bezüglich der 1-Norm). Wegen ||u||_{1} = |u_{1}|+|u_{2}|+…+|u_{n}| gilt für jeden Eintrag u_{j}: ||u||_{1} ≥ |u_{j}|. Für jedes j = 1 … n ist deshalb die Folge (u_{j,k})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge in ℝ, also konvergent nach Analysis I. Setze v_{j} = lim_{k→∞} u_{j,k} und v = (v_{1}, …, v_{n}). Behauptung: lim_{k→∞} u_{k} = v.

Wähle zu gegebenen ε > 0 eine Zahl N ∈ ℕ so, dass |u_{j,k} − v_{j}| < ε für alle k ≥ N und für alle j = 1 … n. Dann gilt ||u_{k} − v||_{1} < n · ε, damit folgt die Konvergenz. □

Beispiel §10.19

Beispiel: X = C([a, b], ℝ) = {f: [a, b] ⟶ ℝ | f stetig} Mit der Norm ||f||_{∞} = sup{|f(x)|, x ∈ [a, b]} ist dieser Vektorraum vollständig.

Definition ; §10.20

Definition: Ein vollständiger, normierter Raum heißt Banachraum. Beispiele für Banachräume:

Endlich dimensionale Banachräume:

• ℝ mit dem Absolutbetrag

• ℝ^{n} mit der 1-Norm

• ℝ^{n} mit der 2-Norm

• ℝ^{n} mit der Supremumsnorm

Unendlich dimensionale Banachräume:

• C ([a, b], ℝ) mit der Supremumsnorm

• Reg ([a, b], ℝ) mit der Supremumsnorm

Beispiele, die keine Banachräume sind:

• Polynomfunktionen mit der Supremumsnorm

• Step ([a, b], ℝ) mit der Supremumsnorm

11 Stetigkeit von Funktionen

Wir betrachten Abbildungen zwischen metrischen Räumen.

11.1 Stetigkeit

Definition §11.1

Seien (X, d_{X}) und (Y, d_{Y}) metrische Räume. Eine Abbildung f: X ⟶ Y heißt stetig, wenn für jede konvergente Folge (x_{n})_{n∈ℕ} in X gilt:

f( lim_{n→∞} x_{n}) = lim_{n→∞} f(x_{n})

Beispiel: X ⊆ ℝ, f: X ⟶ ℝ stetig ⇔ stetig im Sinne der Analysis I.

Verfeinerung: f: Y ⟶ Y ist stetig im Punkt x ∈ X, falls für jede Folge (x_{n})_{n∈ℕ} mit lim_{n→∞} x_{n} = x gilt:

lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x)

Also ist f stetig genau dann, wenn f in jedem Punkt x ∈ X stetig ist.

11.2 Lipschitz-stetige Funktionen

Definition §11.2

Eine Funktion f: X ⟶ Y heißt L-Lipschitz-stetig, wenn es ein L ∈ ℝ gibt mit:

d_{Y} (f(u), f(v)) ≤ L · d_{X}(u, v) für alle u, v ∈ X

Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig.

Satz §11.3

Satz: Ist X ⟶^{f} Y stetig und Y ⟶^{g} Z stetig, so ist g ∘ f: X ⟶ Z ebenfalls stetig.

Beweis: Angenommen (x_{n})_{n∈ℕ} konvergiert gegen x ∈ X. Also lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x). Nun ist (f(x_{n}))_{n∈ℕ} eine konvergente Folge in Y, also

lim_{n→∞} g(f(x_{n})) = g(f(x)). □

11.3 Das ε-δ-Kriterium für Stetigkeit

Satz §11.4

Eine Abbildung f: X ⟶ Y zwischen metrischen Räumen ist stetig in u ∈ X genau dann, wenn die Abbildung das ε-δ-Kriterium erfüllt:

Zu jedem ε > 0 und jedem x ∈ X gibt es ein δ > 0, so dass aus d_{X}(u, x) < δ folgt:

d_{Y} (f(u), f(x)) < ε

Beweis: Angenommen, f ist stetig und das ε-δ-Kriterium gilt nicht: Dann gibt es ein x ∈ X und ein ε > 0, so dass für jedes n ∈ ℕ ein u_{n} ∈ X existiert mit d_{X}(u_{n}, x) < \frac{1}{n} und d_{Y} (f(u_{n}), f(x)) ≥ ε. Es folgt also lim_{n→∞} f(u_{n}) = f(x). Widerspruch.

Angenommen das ε-δ-Kriterium gilt. Sei lim_{n→∞} x_{n} = x. Zu jedem ε > 0 finden wir δ > 0 mit: d_{X}(x_{n}, x) < δ ⇒ d_{Y} (f(x_{n}), f(x)) < ε. Es gibt N ∈ ℕ so, dass aus k ≥ N folgt d_{X}(x_{n}, x) < δ. Dann folgt also d_{Y} (f(x_{n}), f(x)) < ε für alle

k ≥ N, also lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x). □

Beispiel §11.5

Beispiel: Sei (X, d) ein metrischer Raum, x_{0} ∈ X. Setze f(x) = d(x, x_{0}). Das ist 1-Lipschitz-stetig:

|f(x) − f(y)| = |d(x, x_{0}) − d(y, x_{0})| ≤ d(x, y)

Beispiel §11.6

Beispiel: C([a, b], ℝ) ⟶ ℝ, f ↦ ∫_{a}^{b} f(x) dx Das ist stetig, wenn man auf C([a, b], ℝ) die || · ||_{∞}-Norm nimmt, denn:

| ∫_{a}^{b} f(x) dx − ∫_{a}^{b} g(x) dx| = | ∫_{a}^{b} f(x) − g(x) dx| ≤ ∫_{a}^{b} |f(x) − g(x)| dx
≤ ∫_{a}^{b} ||f − g||_{∞} dx = ||f − g||_{∞}(b − a)

also ist die Funktion f ↦ ∫_{a}^{b} f(x) dx sogar L-Lipschitz-stetig mit L = b − a.

Vorlesung 27.04.2004

Beispiel: C ([a, b], ℝ) ⟶ C ([a, b], ℝ) , f ↦ F, F (x) = ∫_{a}^{x} f(s) ds Beide Seiten versehen wir mit der || · ||_{∞}-Norm. Dann ist das ebenfalls eine lineare Lipschitz-stetige Abbildung.

11.4 Lineare Abbildungen in normierten Räumen

Satz §11.7

Für eine lineare Abbildung f: V ⟶ W zwischen normierten Vektorräumen sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(i) f ist stetig

(ii) f ist L-Lipschitz-stetig für eine Zahl L ∈ ℝ

(iii) Es gilt ||f(v)||_{W} ≤ L · ||v||_{V} für ein L ∈ ℝ und alle v ∈ V

Beweis: (ii) ⇒ (i) ist klar.

(iii) ⇒ (ii): Angenommen (iii) gilt. Für u, v ∈ V gilt dann:

L · ||u − v||_{V} ≥ ||f(u) − f(v)||_{W} = ||f(u − v)||_{W}

Das ist die Lipschitz-Bedingung, d.h. (iii) ⇒ (ii)

(i) ⇒ (iii): Wir nehmen an (i) gilt. Benutze ε-δ-Kriterium. Zu ε = 1 und v = 0 ∈ V gibt es also ein δ > 0 mit:

||v − 0||_{V} < δ ⇒ ||f(v) − f(0)||_{W} < ε = 1

Ist v = 0, so ist f(v) = 0, ist v ≠ 0, so setze r = \frac{δ}{2||v||_{V}} . Dann ist ||r−v||_{V} = |r|·||v||_{V} = \frac{δ}{2||v||_{V}} ||v||_{V} = \frac{δ}{2} < δ, also ||f(rv)||_{W} = |r|·||f(v)||_{W} < 1, r ≠ 0 da v ≠ 0, also: ||f(v)||_{W} ≤ \frac{2}{δ}||v||_{V} = L · ||v||_{V} □

Bemerkung: Dieser Beweis zeigt auch: Eine lineare Abbildung, die in einem Punkt stetig ist, ist überall stetig.

Beispiel §11.8

Beispiel: Sei V = C^{1} ([a, b], ℝ) der Vektorraum der 1-mal stetig differenzierbaren Funktionen und W = C ([a, b], ℝ) der Vektorraum der stetigen Funktionen. Sei f eine lineare Abbildung mit:

f ↦ f′ = \frac{d}{dx}f

Ist das stetig?

1. Versuch: Beide Vektoräume, V und W, mit der || · ||_{∞}-Norm. f_{n}(x) = x^{n}, f′_{n}(x) = nx^{n−1}. Es gilt also: ||f′_{n}||_{∞} = n||f_{n−1}||_{∞}. Angenommen die Abbildung wäre stetig. Also gibt es L ∈ ℝ (nach vorigem Satz) mit ||f′||_{∞} ≤ L · ||f||_{∞}. Setze [a, b] = [0, 1]. ||f_{n}||_{∞} = 1, ||f′_{n}||_{∞} = n. Die Gleichung L · ||f_{n}||_{∞} = L ≥ ||f′_{n}||_{∞} = n ergibt einen Widerspruch, da sie nicht für alle n ∈ ℕ gilt.

2. Versuch: Gleiche Vektorräume, gleiche Abbildungen, andere Normen.

Auf V: ||f||_{V} = ||f||_{∞} + ||f′||_{∞}
Auf W: ||f||_{W} = ||f||_{∞}  (wie gehabt)

Dann gilt: ||f′||_{W} = ||f′||_{∞} ≤ ||f′||_{∞} + ||f||_{∞} = ||f||_{V}. Das Ableiten ist also bezüglich dieser neuen Norm 1-Lipschitz-stetig!

Es ist also ganz wichtig, welche Norm betrachtet wird, wenn man über Stetigkeit spricht.

11.5 Stetigkeit von linearen Abbildungen

Lemma §11.9

Lemma: Ist (V, ||·||_{1}) ein normierter Vektorraum und f: ℝ^{n} ⟶ V eine lineare Abbildung, dann ist f stetig bezüglich der || · ||_{1}-Norm auf ℝ^{n}.

Beweis: Standardbasis für den ℝ^{n}:

e_{1} = (1, 0, …, 0) e_{2} = (0, 1, …, 0)

⋮ e_{n} = (0, …, 0, 1)

Für v ∈ ℝ^{n}, v = (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) = ∑_{k=1}^{n} v_{k}e_{k}, f(v) = ∑_{k=1}^{n} v_{k}f(e_{k}) gilt:

||f(v)||_{V} ≤ |v_{1}| · ||f(e_{1})||_{1} + |v_{2}| · ||f(e_{2})||_{1} + ⋯ ≤ (|v_{1}| + ⋯ + |v_{n}|) · L

mit L = max{||f(e_{1})||_{1}, …, ||f(e_{n})||_{1}}, also ||f(v)||_{V} ≤ L · ||v||_{1} □

Lemma §11.10

Lemma: Sei || · || eine beliebige Norm auf ℝ^{n}. Dann gibt es ein R > 0 so, dass ||u|| ≥ R gilt für alle u ∈ ℝ^{n} mit ||u||_{1} = 1.

Beweis (Widerspruchsbeweis): Wenn das falsch wäre, gäbe es also zu jedem k ∈ ℕ einen Vektor u_{k} ∈ ℝ^{n} mit ||u_{k}||_{1} = 1 und ||u_{k}|| < \frac{1}{k}. Für jede Komponente u_{i,k} gilt |u_{i,k}| ≤ 1 für alle i, k und u_{k} = (u_{1,k}, …, u_{n,k}).

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (Analysis I §3.15) gibt es eine konvergente Teilfolge (u_{i,k})_{k∈ℕ}. Ersetze die ursprüngliche Folge durch diese Teilfolge (umnummerieren der Indizes). Mache das selbe für i = 2 (Konvergenz für i = 1 bleibt erhalten), und so weiter.

Wir erhalten so eine neue Folge (Teilfolge) (v_{k})_{k∈ℕ} so, dass jede Komponentenfolge (v_{i,k})_{k∈ℕ} gegen v_{j} konvergiert. Dann konvergiert also die Folge (v_{k})_{k∈ℕ} gegen (v_{1}, …, v_{n}) bezüglich der 1-Norm. Wegen ||v_{k}||_{1} = 1 und ||v_{k}|| < \frac{1}{k} folgt ein Widerspruch, denn ||v||_{1} = 1 und ||v|| = 0. Die Abbildung (ℝ^{n}, || · ||_{1}) ⟶ (ℝ^{n}, || · ||) ist ja stetig. □

Zusammenfassung

Vorlesung 30.04.2004

Lemma 9: (ℝ^{n}, || · ||_{1}) ⟶^{f} (V, || · ||), f ist linear ⇒ f ist stetig
Lemma 10: (ℝ^{n}, || · ||) ⇒ ∃ R > 0. ∀ u ∈ ℝ^{n}. ||u||_{1} = 1 ⇒ ||u|| ≥ R

11.6 Fundamentalsatz über endlichdimensionale

normierte Vektorräume

Theorem §11.11

Es seien (V, || · ||_{V}) und (W, || · ||_{W}) normierte Vektorräume und f: V ⟶ W eine lineare Abbildung. Wenn V endliche Dimension hat (z.B. V = ℝ^{n}), dann ist f (automatisch) stetig.

Beweis: Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis für V. Für v ∈ V haben wir:

v = v_{1}b_{1} + v_{2}b_{2} + ⋯ + v_{n}b_{n}, (v_{1}, …, v_{n}) ∈ ℝ^{n}

Setze ||v||_{1} = |v_{1}| + ⋯ + |v_{n}|. Nach Lemma 9 ist (V, || · ||_{1}) ⟶^{f} (W, || · ||_{W})

stetig. Nach Lemma 10 gibt es ein R > 0 so, dass ||u||_{V} ≥ R für alle u ∈ V mit ||u||_{1} = 1 gilt. Für u ≠ 0 gilt: ||\frac{1}{||u||_{1}} u||_{V} = \frac{1}{||u||_{1}} ||u||_{V} = 1 ≥ R, also

||u||_{V} ≥ R||u||_{1} ⇔ \frac{1}{R}||u||_{V} ≥ ||u||_{1}

□

[figure: (V, || · ||_{V}); (V, || · ||_{1}); (W, || · ||_{W}); f; stetig; f; Lipschitz-stetig; id; stetig]

Abbildung 21: Stetigkeit im endlichdimensionalen Vektorraum

Folgerung ; §11.12

1. Folgerung: Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum, z. B. ℝ^{n} = V und sind || · ||_{a} und || · ||_{b} zwei Normen auf V, dann gibt es Zahlen A, B ∈ ℝ mit ||u||_{a} ≤ B · ||u||_{b} sowie ||u||_{b} ≤ A · ||u||_{a} für alle u ∈ V. Alle Normen auf ℝ^{n} sind also äquivalent.

Folgerung ; §11.13

2. Folgerung: Alle Normen auf ℝ^{n} liefern den gleichen Konvergenzbegriff.

Folgerung ; §11.14

3. Folgerung: Jeder endlichdimensionale normierte Vektorraum (z.B. ℝ^{n}) ist ein Banachraum.

Im Unendlichen ist das im Allgemeinen falsch.

11.7 Banach’scher Fixpunktsatz

Theorem §11.15

Es sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum (z.B. X = ℝ^{n} oder eine abgeschlossene Teilmenge von ℝ^{n}) und sei f: X ⟶ X eine kontrahierende Abbildung, d.h. f ist L-Lipschitz-stetig für ein L < 1, also d(f(u), f(v)) ≤ L · d(u, v). Dann hat f genau einen Fixpunkt x ∈ X, d.h. f(x) = x.

Beweis: (a) Es gibt höchstens einen Fixpunkt, denn sonst würde gelten: f(u) = u, f(v) = v, u ≠ v ⇒ d(u, v) = r > 0, d.h. d(f(u), f(v)) = d(u, v) ≤ L · d(u, v). Ein Widerspruch. Also kann es höchstens einen Fixpunkt geben.

(b) Es gibt (wenigstens) einen Fixpunkt. Wir finden ihn algorithmisch. Wähle x_{0} ∈ X beliebig. Setze x_{1} = f(x_{0}) und rekursiv x_{n+1} = f(x_{n}). Behauptung: Die Folge (x_{n})_{n∈ℕ} ist eine Cauchy-Folge.

d(x_{2}, x_{1}) = d(f(x_{1}), f(x_{0})) ≤ L · d(x_{1}, x_{0})
d(x_{3}, x_{2}) = d(f(x_{2}), f(x_{1})) ≤ L · d(x_{2}, x_{1}) ≤ L^{2} · d(x_{1}, x_{0})
⋮
d(x_{n+1}, x_{n}) = d(f(x_{n}), f(x_{n−1})) ≤ L^{n} · d(x_{1}, x_{0})

Es gilt also:

d(x_{k+m}, x_{k}) ≤ d(x_{k+m}, x_{k+m−1}) + d(x_{k+m−1}, x_{k+m−2}) + ⋯
≤ L^{k}(L^{m−1} + L^{m−2} + ⋯ + L + 1) · d(x_{1}, x_{0})
≤ L^{k} · \frac{1 − L^{m}}{1 − L} · d(x_{1}, x_{0})
≤ L^{k} · \underbrace{\frac{1}{1 − L} · d(x_{1}, x_{0})}_{konstant}

Wählt man k groß genug, so gilt: L^{k} · \frac{1}{1−L} · d(x_{1}, x_{0}) < \frac{ε}{2} für beliebiges ε > 0, also d(x_{k+m}, x_{k+ℓ}) ≤ d(x_{k+m}, x_{k}) + d(x_{k+ℓ}, x_{k}) < ε. Also ist die Folge (x_{k})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge. Setze x = lim_{k→∞} x_{k}. Behauptung: x ist ein Fixpunkt.

f(x) = f( lim_{k→∞} x_{k} = lim_{k→∞} f(x_{k}) = lim_{k→∞} x_{k+1} = x

□

Der Beweis liefert ein gutes Näherungsverfahren, um x zu finden. Wähle x_{0} ∈ X, setze x_{k+1} = f(x_{k}). Wir haben die Fehlerabschätzung:

d(x, x_{k}) ≤ L^{k} · \frac{1}{1 − L} · d(x_{0}, x_{1})

Vorlesung 07.05.2004

Beispiel §11.16

Beispiele: Sei X = [1, ∞[ ⊆ ℝ mit |u − v| = d(u, v) ein metrischer Raum. X ist abgeschlossen in ℝ, also vollständig. Betrachte f(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{x}:

f(x) = x ⇔ x = \frac{x}{2} + \frac{1}{x} ⇔ x^{2} = 2 ⇔ x = \sqrt{2}

• Für x ∈ X gilt f(x) = x: es gilt jedenfalls f(x) > 0

\frac{x}{2} + \frac{1}{x} ≥ 1 ⇔ \frac{x^{2}}{2} − x + 1 ≥ 0 ⇔ x^{2} − 2x + 2 ≥ 0 ⇔ (x − 1)^{2} + 1 ≥ 0

also x ∈ X ⟹ f(x) ∈ X

• Finde L: |f(u) − f(v)| = |\frac{u−v}{2} + \frac{v−u}{uv}| = |u − v| · |\frac{1}{2} − \frac{1}{uv} | Behauptung: |\frac{1}{2} − \frac{1}{uv} | ≤ \frac{1}{2} \frac{1}{2} − \frac{1}{uv} ≤ \frac{1}{2} ⇔ −\frac{1}{uv} ≤ 0 √ \frac{1}{uv} − \frac{1}{2} ≤ \frac{1}{2} ⇔ \frac{1}{uv} ≤ 1 weil u, v ≥ 1 √ Also gilt |f(u) − f(v)| ≤ \frac{1}{2} · |u − v|

Setze x_{0} = 1, 5 = \frac{3}{2}, x_{1} = f(\frac{3}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{17}{12}, |x_{1} − x_{0}| = |\frac{3}{2} − \frac{17}{12} | = \frac{1}{12}. Nach n Iterationen haben wir also d(\sqrt{2}, x_{n}) ≤ \frac{1}{2^{n}} · 2 · \frac{1}{12} = \frac{1}{2^{n+1}} · \frac{1}{3}. Für n = 10 haben wir einen Fehler von ≤ \frac{1}{2^{11}} · \frac{1}{3} = 1, 63 · 10^{−4}.

12 OFFENE MENGEN UND DIFFERENZIERBARE ABBILDUNGEN 81

12 Offene Mengen und differenzierbare Abbildungen

Erinnerung: Ein offenes Intervall J ⊆ ℝ ist von der Form ]a, b[,] − ∞, a[,]a, ∞[.

Ist x ∈ J so gibt es ein r > 0 mit ]x−r, x+r[⊆ J. Wir benutzen diese Eigenschaft als Definition offener Mengen.

Definition §12.1

Definition: Sei (X, d) ein metrischer Raum, U ⊆ X. Wir sagen U ist offen wenn es für jedes u ∈ U ein r > 0 gibt, so dass B_{r}(u) ⊆ U (Erinnerung: B_{r}(u) = {v ∈ X | d(u, v) < r}). Offene Intervalle in ℝ haben offensichtlich diese Eigenschaft. Beachte: Die leere Menge ∅ ist offen, ebenso ist X offen.

12.1 Offene und abgeschlossene Mengen

Satz §12.2

Satz: Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Menge U ⊆ X ist offen genau dann, wenn ihr Komplement X \ U = {x ∈ X | x ∉ U} abgeschlossen ist. Eine Menge A ⊆ X ist abgeschlossen genau dann, wenn ihr Komplement X \ A offen ist.

Beweis: Vorüberlegung: Wenn gilt lim_{n→∞} x_{n} = x, dann liegt in jeder B_{r}(x) mindestens ein x_{n}. Angenommen, U ⊆ X ist offen, setze A = X\U. Falls A = ∅ ist A abgeschlossen. Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in A, die gegen x ∈ X konvergiert. Zu zeigen: x ∈ A. Wenn x ∉ A, dann x ∈ U, also gibt es ein r > 0 mit B_{r}(x) ⊆ U, das heißt B_{r}(x) ∩ A = ∅. Es gibt aber ein n mit a_{n} ∈ B_{r}(x), also B_{r}(x) ∩ A ≠ ∅. Das ist ein Widerspruch. Also ist A abgeschlossen.

(U offen ⟹ X \ U abgeschlossen)

Sei nun A ⊆ X abgeschlossen, sei U = X \ A. Falls U = ∅, ok. Sei u ∈ U. Wenn es zu jedem k ≥ 1 ein a_{k} ∈ A gäbe mit a_{k} ∈ B_{\frac{1}{k}} (u), so lim_{k→∞} a_{k} = u ∈ A. Das ist

ein Widerspruch. Also gibt es ein k mit B_{\frac{1}{k}} (u) ∩ A = ∅, das heißt B_{\frac{1}{k}} (u) ⊆ U, U offen.

(A abgeschlossen ⟹ U = X \ A offen)

X \ (X \ U) = U ⇝ X \ U abges. ⟹ U offen
X \ (X \ A) = A ⇝ X \ A offen ⟹ A abges.

Achtung: Es gibt viele Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind. Beispiel: Y = [0, 1[⊆ ℝ ist nicht abgeschlossen. Y ist auch nicht offen. Es gibt Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind (abgeschloffen), zum Beispiel sind ∅ und X immer abgeschlossen und offen.

12.2 Durchschnitte und Vereinigungen offener Mengen

Satz §12.3

Satz: Endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigung offener Mengen sind offen.

Beweis: Benutze §10.10. Sei U_{1}, …, U_{n} offen.

X \ (U_{1} ∩ … ∩ U_{n}) = \underbrace{X \ U_{1}}_{abges.} ∪ … ∪ \underbrace{X \ U_{n}}_{abges.}

Das ist also abgeschlossen nach §10.10, also ist U_{1} ∩…∩U_{n} offen. Sei {U_{i}|i ∈ I} eine Menge von offenen Mengen. Behauptung: ⋃_{i∈I} U_{i} ist offen.

X \ ( ⋃_{i∈I} U_{i}) = ⋂_{i∈I}(X \ U_{i}) ist abgeschlossen, also ist ⋃_{i∈I} U_{i} offen. □

12.3 Kurven

Wir wollen differenzierbare Abbildungen zwischen Banach-Räumen (zum Beispiel ℝ^{n}) studieren und fangen an mit Kurven.

Definition §12.4

Definition: Sei J ⊆ ℝ ein Intervall (offen, halboffen, oder abgeschlossen) und (V, || · ||) ein Banachraum. Eine stetige Abbildung c: J ⟶ V heißt stetige Kurve in V. t ↦ c(t) ∈ V.

Beispiele:

• V = ℝ^{2}, J = ℝ, c_{1}(t) = (cos t, sin t) ∈ ℝ^{2}

• V = ℝ^{3}, J = ℝ, c_{2}(t) = (cos t, sin t, t) ∈ ℝ^{3}

[figure: x_{2}; x_{1}; c_{1}; x_{3}; x_{2}; x_{1}]

Abbildung 22: Funktionsgraphen von c_{1} und c_{2}

Satz §12.5

Satz: Ist V = ℝ^{n}, c: J ⟶ ℝ^{n} eine Abbildung, dann wird c beschrieben durch die Koordinaten/Komponenten c(t) = (c_{1}(t), c_{2}(t), …, c_{n}(t)). c ist genau dann stetig, wenn alle einzelnen c_{k} stetig sind.

Beweis: Sei e_{k} = (0, …, 1, …, 0) ∈ ℝ^{n} an der k-ten Stelle 1. Daraus folgt c(t) = c_{1}(t) · e_{1} + c_{2}(t) · e_{2} + … + c_{n}(t) · e_{n}. Sei (t_{m})_{m∈ℕ} eine Folge in J, lim_{m→∞} t_{m} = t, alle c_{k} seien stetige Funktionen. Wähle ε > 0 so, dass |c_{k}(t_{m}) − c_{k}(t)| < ε für alle k, alle m ≥ N ⟹ ||c(t_{k}) − c(t)||_{1} ≤ n · ε, also lim_{m→∞} c(t_{m}) = c(t), weil die || · ||_{1}-Norm die gleiche Konvergenz liefert, wie || · ||. Also: Alle c_{k} stetig, also ist c stetig. c_{k} = P_{k} · c, P_{k}(v_{1}, …, v_{k}) = v_{k} ist stetig. Also c stetig, alle c_{k} stetig. □

12.4 Differenzierbare Kurven

Vorlesung 11.05.2004

Definition §12.6

Eine auf einem offenen Intervall I ⊆ ℝ definierte stetige Kurve c mit Werten in einem normierten Vektorraum V heißt differenzierbar in t_{0} ∈ I, falls die Abbildung p: h ↦ \frac{1}{h}(c(t_{0} + h) − c(t_{0})) eine stetige Fortsetzung in h = 0 hat, falls also der Grenzwert

ċ(t_{0}) = p(0) = lim_{h→0} \frac{c(t_{0} + h) − c(t_{0})}{h}

existiert. Der Vektor ċ(t_{0}) ∈ V heißt Geschwindigkeitsvektor oder Tangentialvektor an c im Punkt t_{0} und ||ċ(t_{0})|| ist die Geschwindigkeit von c in t_{0}.

Falls c in jedem t ∈ I differenzierbar ist, heißt c differenzierbar und falls die Abbildung ċ: I ⟶ V, t ↦ ċ(t) stetig ist, heißt c stetig differenzierbar.

Satz §12.7

Satz: Ist V = ℝ^{n} (mit beliebiger Norm), dann ist c: I ⟶ V genau dann differenzierbar in t_{0} ∈ I, wenn es die Komponenten c_{1}, c_{2}, …, c_{n} sind. Entsprechendes gilt für (stetige) Differenzierbarkeit.

Beweis: p(h) = \frac{1}{h}(c(t_{0} + h) − c(t_{0})) = (p_{1}(h), p_{2}(h), …, p_{n}(h)) Die Behauptung folgt aus Satz 5. □

Bemerkung: Dann gilt:

c′(t) = p(0) = (c′_{1}(t), c′_{2}(t), …, c′_{n}(t))

Beispiel: Die Kurven aus den Beispielen in §12.4 sind stetig differenzierbar:

c(t) = (cos t, sin t, t)
c′(t) = (− sin t, cos t, 1)
||c′(t)||_{2} = \sqrt{(− sin t)^{2} + (cos t)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
Bemerkung ; §12.8

Bemerkung: Entsprechend definiert man k-mal (stetig) differenzierbare Kurven. Wenn c zweimal stetig differenzierbar ist, heißt die 2. Ableitung c̈(t) die Beschleunigung im Punkt t.

Vereinbarung

§12.9

Vereinbarung: Ist I = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall, c: I ⟶ V eine Kurve, so heißt c (stetig) differenzierbar, wenn es ein r > 0 gibt und eine (stetig) differenzierbare Kurve e: ]a − r, b + r[⟶ V mit e(t) = c(t) für alle t ∈ I.

12.5 Verknüpfungen von differenzierbaren Kurven

Satz §12.10

Satz: Seien I, J ⊆ ℝ Intervalle, f: I ⟶ J eine (stetig) differenzierbare Abbildung, c: J ⟶ V eine (stetig) differenzierbare Kurve. Dann ist die Hintereinanderausführung e = c ∘ f: I ⟶ V, t ↦ c(f(t)) eine (stetig) differenzierbare Kurve und ė(t) = f′(t) · ċ(f(t))

Beweis: Schreibe s_{0} = f(t_{0}).

\begin{matrix}p(h) = \frac{1}{h}(c(s_{0} + h) − c(s_{0})) & p(0) = ċ(s_{0}) \\ q(k) = \frac{1}{k} (f(t_{0} + k) − f(t_{0})) & q(0) = f′(t_{0}) \end{matrix}

Dann ist:

\frac{e(t_{0} + k) − e(t_{0})}{k} = \frac{c(f(t_{0} + k)) − c(f(t_{0}))}{k}
= \frac{p(f(t_{0} + k) − f(t_{0})) · (f(t_{0} + k) − f(t_{0}))}{k}
= p(f(t_{0} + k) − f(t_{0})) · q(k)

Für k → 0 ergibt sich: p(0) · q(0) = f′(t_{0}) · ċ(t_{0}) □

Satz §12.11

Satz: Ist f: I ⟶ ℝ (stetig) differenzierbar und c: J ⟶ V eine (stetig) differenzierbare Kurve, so ist e: I ⟶ V, t ↦ f(t) · c(t) eine (stetig) differenzierbare Kurve mit der Ableitung:

ė(t) = f′(t) · c(t) + f(t) · ċ(t)

Beweis: Gleiche Idee wie bei der Leibniz-Regel (siehe Analysis I §7.6) □

12.6 Kurvenlänge

Definition ; §12.12

Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve c: [a, b] ⟶ V ist:

L(c) = ∫_{a}^{b} ||ċ(t)|| dt

Beispiel: Seien u, v ∈ V und c: [0, 1] ⟶ V, t ↦ (1 − t)u + tv = u + t(v − u) eine Kurve, so gilt:

ċ(t) = lim_{h→0} \frac{c(t + h) − c(t)}{h}
= lim_{h→0} \frac{u + (t + h)(v − u) − u − t(v − u)}{h} = v − u

L(c) = ∫_{0}^{1} ||ċ(t)|| dt = ∫_{0}^{1} ||v − u|| dt = ||v − u||(1 − 0) = d(u, v)

Für gerade Strecken erhält man also die gewöhnliche Streckenlänge.

12.7 Umparameterisierung

Bemerkung ; §12.13

Ist f: I ⟶ J eine streng monotone bijektive stetig differenzierbare Abbildung und c: J ⟶ V eine Kurve, so heißt e = c ∘ f: I ⟶ V, t ↦ c(f(t)) die zu f gehörige Umparameterisierung von c.

Man kann zeigen:

L(e) = L(c)

Beweisidee:

L(e) = ∫_{a}^{b} ||ċ(t)|| dt = ∫_{a}^{b} ||f′(t) · ċ(f(t))|| dt = ∫_{a}^{b} |f′(t)| · ||ċ(f(t))|| dt

= ∫_{f(a)}^{f(b)}||ċ(s)|| ds = L(c) falls f′ ≥ 0

Falls f′ ≤ 0 dreht sich das Vorzeichen um. □

12.8 Reelle Funktionen

Kurven sind Abbildungen von ℝ in Vektorräume, jetzt betrachten wir Abbildungen von Vektorräumen nach ℝ.

Es sei V ein Banachraum und U ⊆ V eine offene Menge. Zu jedem u ∈ U gibt es also ein r > 0 so, dass U die offene r-Kugel B_{r}(u) = {v ∈ V | ||u − v|| < r} enthält.

Wir interessieren uns für stetige Abbildungen f: U ⟶ ℝ. Ist V = ℝ^{n}, dann ist f(v) = f(v_{1}, v_{2}, …, v_{n}). Um die Stetigkeit von f zu zeigen, genügt es nicht die Stetigkeit der Funktionen ℝ ∋ t ↦ f(v_{1}, v_{2}, …, v_{j−1}, t, v_{j+1}, …, v_{n}) zu fordern.

Vorlesung 14.05.2004

Erinnerung an Analysis I: Wir hatten p(h) = \{ \begin{matrix}\frac{f(t_{0}+h)−f(t_{0})}{h} & falls h ≠ 0 \\ f′(t_{0}) & falls h = 0 \end{matrix}

also f(t_{0} +h)−f(t_{0}) = h·p(h) = p(0)·h+h·(p(h)−p(0)) = f′(t_{0})·h+|h|·λ(h)

mit λ(h) = \{ \begin{matrix}p(h) − p(0) & für h > 0 \\ 0 & für h = 0 \\ p(0) − p(h) & für h < 0 \end{matrix} ⟹ λ ist stetig!

12.9 Differenzierbare reelle Funktionen

Definition ; §12.14

Definition: Es sei U eine offene Menge in einem normierten Vektorraum V, f: U ⟶ ℝ stetig und u_{0} ∈ U. Wähle r > 0 so, dass B_{r}(u_{0}) ⊆ U. Wir sagen f ist differenzierbar im Punkt u_{0}, falls es eine stetige lineare Abbildung A: V ⟶ ℝ gibt, und eine stetige Funktion λ: B_{r}(0) ⟶ ℝ mit λ(0) = 0 so, dass für alle Vektoren h ∈ V mit ||h|| < r gilt:

f(u_{0} + h) − f(u_{0}) = A(h) + ||h|| · λ(h)

Wenn U ein offenes Intervall in ℝ ist, ist das genau die Definition aus Ana I.

Bemerkung: Wegen λ(h) = \frac{f(u_{0}+h)−f(u_{0})−A(h)}{||h||} für h ≠ 0 ist λ eindeutig durch A bestimmt.

Die lineare Abbildung A: V ⟶ ℝ ist in dieser Situation ebenfalls eindeutig bestimmt, und wir nennen df(u_{0}) := A: V ⟶ ℝ das Differential (oder die Ableitung) von f im Punkt u_{0}.

Paragraph ; §12.15

Warum ist A eindeutig bestimmt?

A(h) = f(u_{0} + h) − f(u_{0}) − ||h|| · λ(h)
Ã(h) = f(u_{0} + h) − f(u_{0}) − ||h|| · λ̃(h)
A(h) − Ã(h) = ||h||(λ̃(h) − λ(h)) für 0 < t ≤ 1
A(th) − Ã(th) = ||th||(λ̃(th) − λ(th))
tA(h) − tÃ(h) = t · ||h||(λ̃(th) − λ(th))

\underbrace{A(h) − Ã(h)}

unabh. von t

= ||h|| \underbrace{(λ̃(th) − λ(th))}_{gegen 0 für t → 0}

also A(h) = Ã(h) für alle h mit ||h|| < r, damit folgt A = Ã □

Die Ableitung ordnet also einem Punkt u ∈ U eine lineare Abbildung

df(u): V ⟶ ℝ

zu. Eine Funktion, die in jedem Punkt u differenzierbar ist, heißt eine differenzierbare Abbildung. Um zu sagen, was es heißt, dass eine Funktion stetig differenzierbar ist, brauchen wir eine Norm auf der Menge aller stetigen linearen Abbildungen von V nach ℝ.

12.10 Dualraum

Definition ; §12.16

Definition: Es sei (V, || · ||_{V}) ein normierter Vektorraum und

V^{∗} := {φ: V ⟶ ℝ | φ ist eine stetige lineare Abbildung}

die Menge aller stetigen, linearen Abbildungen von V nach ℝ (manchmal sagt man auch Linearformen). V^{∗} heißt Dualraum oder Dual von V und ist ein Vektorraum: Für φ, ψ ∈ V^{∗}, c ∈ ℝ setze φ + ψ = [u ↦ φ(u) + ψ(u)], cφ = [u ↦ cφ(u)]. Dann sind φ + ψ, cφ wieder stetige lineare Abbildungen. Für φ ∈ V^{∗} setzen wir ||φ|| = sup{||φ(u)|| | u ∈ V, ||u|| < 1}.

Satz §12.17

Satz: (V^{∗}, || · ||) ist ein normierter Vektorraum.

Beweis: Ist φ ∈ V^{∗} und φ ≠ 0 (das heißt φ ist nicht die Null-Abbildung), so gibt es v ∈ V mit φ(v) ≠ 0 und es folgt:

||φ|| ≥ |φ (\frac{1}{||v||_{V}} · v)| = \frac{1}{||v||_{V}} · |φ(v)| > 0 mit |φ(v)| ≠ 0

Aus |φ(v)+ψ(v)| ≤ |φ(v)|+|ψ(v)| folgt ||φ+ψ|| ≤ ||φ||+||ψ|| und aus |cφ(v)| = |c| · |φ(v)| folgt ||cφ|| = |c| · ||φ||, also ist || · ||: V^{∗} ⟶ ℝ eine Norm. □

Bemerkungen

Bemerkung ; §12.18

(a) Es gilt: |φ(v)| ≤ ||φ||·||v||_{V}, ||φ|| ist die kleinstmögliche Lipschitz-Konstante für φ

(b) V^{∗} ist sogar ein Banachraum: Für eine Cauchy-Folge (φ_{n})_{n∈ℕ} in V^{∗}, setze φ(v) = lim_{n→∞} φ_{n}(v); das macht Sinn, weil φ_{n}(v) eine Cauchy-Folge in ℝ ist.

Paragraph ; §12.19

Wenn f differenzierbar ist, und die Abbildung df: U ⟶ V^{∗}, u ↦ df(u) stetig ist (bezüglich der gerade definierten Norm), dann heißt f stetig differenzierbar.

12.11 Erweiterung der Kettenregel

Satz §12.20

Satz (Kettenregel von ℝ ⟶ V ⟶ ℝ): Ist c: I ⟶ V eine stetig differenzierbare Kurve und ist c(I) ⊆ U, und ist weiter f: U ⟶ ℝ stetig differenzierbar, dann ist g := f ∘ c: I ⟶ ℝ, t ↦ f(c(t)) stetig differenzierbar und es gilt g′(t) = df(c(t))(ċ(t)).

Beweis: p(h) = \frac{1}{h}(c(t_{0} + h) − c(t_{0}))

\frac{1}{h}(f(c(t_{0} + h)) − f(c(t_{0})))

= \frac{1}{h}(f(c(t_{0}) + (c(t_{0} + h) − c(t_{0}))) − f(c(t_{0})))
= \frac{1}{h}(df(c(t_{0}))(c(t_{0} + h) − c(t_{0})) + ||c(t_{0} + h) − c(t_{0})||λ(c(t_{0} + h) − c(t_{0})))
= df(c(t_{0}))(p(h)) ± ||p(h)|| · λ(c(t_{0} + h) − c(t_{0}))

Das ist stetig in h = 0 und ergibt dort g′(t_{0}) = df(c(t_{0}))(ċ(t_{0}))±[||ċ(t_{0})||·λ(0)]

12.12 Richtungsableitung

Definition ; §12.21

Definition: Speziell sei 0 ∈ I, u_{0} ∈ U ⊆ V, v ∈ V und c: I ⟶ U, t ↦ u_{0} + tv. Dann (f ∘ c)′(0) = df(c(0))(ċ(0)) = df(u_{0})(v).

Für v ∈ V heißt die Zahl df(u_{0})(v) =: D_{v}f(u_{0}) auch Richtungsableitung von f in Richtung v. Speziell für V = ℝ^{n} und v = e_{j} = (0, …, 1, …, 0) an der j-ten Stelle 1 schreibt man

\frac{∂f}{∂x_{j}} (u_{0}) = df(u_{0})(e_{j}) = D_{e_{j}}f(u_{0})

Die Richtungsableitung einer Funktion f: U ⟶ ℝ, U ⊆ R^{n} in Koordinatenrichtungen erhält man also, indem man die Variablen x_{1}, …, x_{j−1}, x_{j+1}, …, x_{n} fest läßt und nur die j-te Koordinate variiert, man leitet also nach der j-ten Variable ab und betrachtet die anderen Variablen als Konstanten:

\begin{matrix}g(x) = f(x_{1}, …, x_{j−1}, x, x_{j+1}, …, x_{n}) \\ g′(x_{j}) = \frac{∂f}{∂x_{j}} (x) \end{matrix}

Vorlesung 18.05.2004

Beispiel: Sei f: ℝ^{3} ⟶ ℝ eine Funktion mit f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − x_{2}x_{3}. Es ergeben sich die folgenden Richtungsableitungen:

\frac{∂f}{∂x_{1}} (v_{1}, v_{2}, v_{3}) = 2v_{1}

\frac{∂f}{∂x_{2}} (v_{1}, v_{2}, v_{3}) = 2v_{2} − v_{3}

\frac{∂f}{∂x_{3}} (v_{1}, v_{2}, v_{3}) = −v_{2}

Bemerkung ; §12.22

Bemerkung: Mit den Richtungsableitungen kann man das Differential ganz konkret angeben:

h_{k}(t) = u_{0} + t(0, …, 0, 1, 0, …, 0) an der k-ten Stelle 1
ḣ_{k}(t) = (0, …, 0, 1, 0, …, 0)  an der k-ten Stelle 1

df(u_{0})(ḣ_{k}(0)) = \frac{∂f}{∂x_{k}} (u_{0})

Also gilt für h = (h_{1}, h_{2}, …, h_{n}):

df(u_{0})(h) = ∑_{k=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{k}} (u_{0})h_{k}

Weil h Linearkombination der Vektoren (0, …, 0, 1, 0, …, 0) ist, setzt man den Gradienten ein:

∇f(u_{0}) = (\frac{∂f}{∂x_{1}} (u_{o}), \frac{∂f}{∂x_{2}} (u_{o}), …, \frac{∂f}{∂x_{n}} (u_{o})) (sprich: Nabla f von u_{0})

Mit dieser Bezeichnung und Notation gilt für h ∈ ℝ^{n}, h = (h_{1}, h_{2}, …, h_{n}):

df(u_{0})(h) = ∑_{k=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{k}} (u_{0})h_{k} = ⟨ ∇f(u_{0}) | h ⟩

Beispiel: Sei V = U = ℝ^{2} und f(x, y) = x^{2} − 2xy.

\frac{∂f}{∂x} = 2x − 2y \frac{∂f}{∂y} = −2x

∇f(u_{1}, u_{2}) = (2u_{1} − 2u_{2}, −2u_{1}) df(u_{1}, u_{2})(h_{1}, h_{2}) = (2u_{1}, −2u_{2})h_{1} − 2u_{1}h_{2} = ⟨ ∇f(u_{1}, u_{2}) | (h_{1}, h_{2}) ⟩

Bemerkung ; §12.23

Bemerkung: Ist f: V ⟶ ℝ linear und stetig (f ∈ V^{∗}), so ist f stetig differenzierbar und df(u_{0})(h) = f(h), denn f(u_{0} + h) − f(u_{0}) = f(h) = df(u_{0})(h).

Satz §12.24

Satz: Sei U ⊆ ℝ^{n} offen, f: U ⟶ ℝ stetig, dann ist f stetig differenzierbar genau dann, wenn alle Ableitungen \frac{∂f}{∂x_{k}} existieren und stetige Funktionen auf U sind.

Beweis: Wenn f stetig differenzierbar ist, so existieren die partiellen Ableitungen \frac{∂f}{∂x_{k}} und sind stetig (vgl: §12.22). Für die umgekehrte Implikation betrachte: g(u) = f(u) − ⟨ ∇f(u) | u − u_{0} ⟩. Dann hat g die gleichen Differenzierbarkeitseigenschaften wie f und ∇g(u_{0}) = ∇f(u_{0}). Es gilt nun für u = (u_{1}, u_{2}, …, u_{n}), u_{0} = (u_{1,0}, u_{2,0}, …, u_{n,0}):

g(u) − g(u_{0}) = ∑_{k=1}^{n} g(u_{1}, u_{2}, …, u_{k−1}, u_{k} , u_{k+1,0}, …, u_{n,0})
− g(u_{1}, u_{2}, …, u_{k−1}, u_{k,0}, u_{k+1,0}, …, u_{n,0})

Da die Funktionen \frac{∂g}{∂x_{k}} stetig sind und \frac{∂g}{∂x_{k}} (u_{0}) = 0 gilt, gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 mit |\frac{∂g}{∂x_{k}} (u)| < ε falls ||u − u_{0}|| < δ. Mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Analysis I, §7.16) folgt:

|g(u) − g(u_{0})| ≤ ∑_{k=1}^{n} ||u − u_{0}||ε = n||u − u_{o}||ε

Das heißt dg(u_{0}) = 0, die Funktion g ist in u_{0} differenzierbar. Man kann leicht die Stetigkeit nachweisen. □

Beispiele

Beispiel §12.25

• Sei V = ℝ^{n} und f(x) = ||x||_{2}^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}. \frac{∂f}{∂x_{k}} = 2x_{k} ∇f(x) = 2x (Also ist f stetig differenzierbar.)

• Sei V = ℝ^{3} und f(x, y, z) = 2xy − y cos(z). ∇f(x, y, z) = (2y, 2x − cos(z), y sin(z))

12.13 Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen

Bemerkung ; §12.26

Ist V ein Banachraum und U ⊆ V eine offene Menge, setze:

C^{1} (U, ℝ) = {f: U ⟶ ℝ | f ist stetig differenzierbar}

Für beliebige f, g ∈ C^{1} (U, ℝ) und c ∈ ℝ setzt man (f + g)(u) = f(u) + g(u) und (cf)(u) = cf(u), damit gilt: d(f + g) = df + dg sowie d(cf) = c · df Mit (f · g)(u) = f(u) · g(u) ist (fg) ∈ C^{1} (U, ℝ) und d(fg) = g · df + f · dg (Leibnizregel).

13 Ableitungen vektorwertiger Funktionen

Wir hatten betrachtet: Kurven J ⟶^{c} V Geschwindigkeit Reelle Funktionen V ⟶^{f} ℝ Differential

13.1 Die Operatornorm

Definition §13.1

Seien V, W Banachräume, L(V, W) = {f: V ⟶ W | f ist stetig und linear}, zum Beispiel V = ℝ^{n}, W = ℝ^{m} ⇝ L(ℝ^{n}, ℝ^{m}) entspricht eindeutig ℝ^{n×m}, also der Menge der {n × m-Matrizen}. Offensichtlich ist L(V, W) ein Vektorraum, wenn man setzt:

\begin{matrix}(f + g)(v) = f(v) + g(v) & für & f, g ∈ L(V, W) \\ (cf)(v) = cf(v) & für & f ∈ L(V, W), r ∈ ℝ \end{matrix}

Für f ∈ L(V, W) setze

sup{||f(v)||_{W} | ||v||_{V} ≤ 1} = ||f||

Diese Norm heißt Operatornorm auf L(V, W).

Satz §13.2

Satz: Sind (V, W) Banachräume (zum Beispiel V = ℝ^{n}, W = ℝ^{m}), dann ist L(V, W) mit der Operatornorm ein Banachraum.

Beweis: Warum ist das eine Norm? Ist f ≠ 0, so gibt es v ∈ V mit f(v) = w ≠ 0, also

\frac{1}{||v||_{V}} · f(v) = f \underbrace{(\frac{1}{||v||_{V}} · v)}_{Einheitsvektor} ≠ 0 ⟹ ||f|| ≠ 0

Dreiecksungleichung für die Operatornorm:

||f(v) + g(v)||_{W} ≤ ||f(v)||_{W} + ||g(v)||_{W}

Das bleibt im Supremum richtig, also ||f + g|| ≤ ||f|| + ||g||.

Zur Vollständigkeit: Sei (f_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in L(V, W). Für v ∈ V ist dann (f_{n}(v))_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in W, definiere f(v) = lim_{n→∞} f_{n}(v).

Bemerkung ; §13.3

Bemerkung: Sind X, Y, Z Banachräume, X ⟶^{f} Y ⟶^{g} Z stetige lineare Abbildungen, so gilt ||g ∘ f|| ≤ ||g|| · ||f|| (submultiplikativ).

13.2 Differenzierbarkeit

Definition §13.4

Definition: Seien V, W Banachräume (zum Beispiel V = ℝ^{n}, W = ℝ^{m}), sei U ⊆ V offen, sei f: U ⟶ W stetig. Sei u ∈ U, sei r > 0 mit B_{r}(u) ⊆ U. Wir sagen f ist differenzierbar in u, falls es eine stetige Abbildung λ: B_{r}(0) ⟶ W gibt mit λ(0) = 0 und A ∈ L(V, W) mit

f(u + h) − f(u) = A(h) + ||h|| · λ(h) für alle h ∈ B_{r}(0)

Falls f in jedem u ∈ U differenzierbar ist, heißt f differenzierbar. Die definierte Gleichung zeigt, dass die lineare Abbildung A ∈ L(V, W) durch f eindeutig bestimmt ist, wir schreiben Df(u) = A, also Df(u) ∈ L(V, W):

f(u + h) − f(u) = Df(u)(h) + ||h|| · λ(h)

Falls die Abbildung U ⟶ L(V, W), u ↦ Df(u) stetig ist, heißt f stetig differenzierbar.

Beispiel §13.5

Bemerkung: Diese neue Definition passt zu den alten, bekannten Differenzierbarkeitsbegriffen:

• Analysis I: f: U ⟶ ℝ, U ⊆ ℝ offen, f′(u) · h = Df(u)(h) mit u ∈ U ⊆ ℝ, h ∈ ℝ

• Kurven: c: J ⟶ V, J ⊆ ℝ offenes Intervall, ċ(t) ∈ V, Dc(t)(h) = ċ(t) · h, h ∈ ℝ, t ∈ J

• Reelle Funktionen: U ⊆ V offen, f: U ⟶ ℝ, df(u): V ⟶ ℝ linear, Df(u)(h) = df(u)(h)

13.3 Beispiele

Beispiel: Ist f: V ⟶ W stetig und linear, dann ist f stetig differenzierbar:

f(u + h) − f(u) = f(h) also Df(u)(h) = f(h)

Paragraph §13.6

Beispiel: Ist V = ℝ^{n}, W = ℝ^{m}, f: V ⟶ W. f(v) = f(v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) = (f_{1}(v_{1}, …, v_{n}), f_{2}(v_{1}, …, v_{n}), …, f_{m}(v_{1}, …, v_{n})) Dann ist f (stetig) differenzierbar genau dann, wenn es die Komponenten

f_{1}, f_{2}, …, f_{m}

sind. Setze f_{k}: V ⟶ ℝ, k = 1, 2, …, m. Für die Ableitung gilt dann:

Df(u)(h) = (w_{1}, w_{2}, …, w_{n}) mit h = (h_{1}, h_{2}, …, h_{n})

w_{ℓ} = ∑_{k=1}^{n} \frac{∂f_{ℓ}}{∂x_{k}} (u)h_{k}

In Matrixschreibweise erhalten wir:

(\frac{∂f_{ℓ}}{∂x_{k}} (u)) \begin{matrix}ℓ = 1 … m \\ k = 1 … n \end{matrix} · ( h_{1} ; ⋮ ; h_{n} ) = ( w_{1} ; ⋮ ; w_{m} )

Beispiel §13.7

Beispiel: f: ℝ^{3} ⟶ ℝ^{2}, (x, y, z) ↦ (2x^{2}z, −xy)

( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x} & \frac{∂f_{1}}{∂y} & \frac{∂f_{1}}{∂z} \\ \frac{∂f_{2}}{∂x} & \frac{∂f_{2}}{∂y} & \frac{∂f_{2}}{∂z} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}4xz & 0 & 2x^{2} \\ −y & −x & 0 \end{matrix} ) ⇝ Df(x, y, z)

13.4 Zweimal stetig differenzierbare Funktionen

Vorlesung 25.05.2004

Definition §13.8

Definition: Sei U ⊆ V eine offene Teilmenge. Eine Funktion U ⟶ W heißt zweimal stetig differenzierbar, falls f einmal stetig differenzierbar ist und falls ihre Ableitung Df ebenfalls stetig differenzierbar ist.

\begin{matrix}f: U ⟶ W & u ↦ f(u) \\ Df: U ⟶ L(V, W) & u ↦ Df(u) \\ D^{2}f: U ⟶ L(V, L(V, W)) & u ↦ D^{2}f(u) \end{matrix}

Df(u) ist eine stetige lineare Abbildung von V nach W. DDf = D^{2}f ist eine Abbildung mit D^{2}f: U ⟶ L(V, L(V, W)), das heißt D^{2}f(u)(v) ist eine lineare Abbildung von V nach W, also D^{2}f(u)(v_{1})(v_{2}) ∈ W mit u ∈ U und v_{1}, v_{2} ∈ V.

Beispiel §13.9

Beispiel: Sei U = ℝ^{2} = V, W = ℝ und f: V ⟶ W eine Abbildung mit f(x, y) = x^{2} − 2xy

1. Ableitung: Gradient ∇f(x, y) = (2x − 2y, −2x)

2. Ableitung: Bilde partielle Ableitungen von ∇f:

\begin{matrix}\frac{∂^{2}f}{∂x∂x}(x, y) = 2 & \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x, y) = −2 \\ \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(x, y) = −2 & \frac{∂^{2}f}{∂y∂y} (x, y) = 0 \end{matrix}

13.5 Die Hesse-Matrix

Definition ; §13.10

Definition: Sei U ⊆ ℝ^{n} eine offene Menge und sei f: U ⟶ ℝ zweimal stetig differenzierbar. Die Matrix

H(f)(u) = (\frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{i}} (u))_{i,j=1}^{n} ∈ ℝ^{n×n}

heißt Hesse-Matrix von f im Punkt u ∈ U. Gradient und Hesse-Matrix braucht man zur Berechnung lokaler Extrema von reellen Funktionen.

13.6 Lokale Extrema

Erinnerung ; §13.11

Erinnerung: Ein u ∈ U heißt lokales Maximum einer Funktion f: U ⟶ ℝ, falls es ein r > 0 gibt, mit f(u) ≥ f(u′) für alle u′ ∈ B_{r}(u). Entsprechend definiert man ein lokales Minimum. Gilt f(u) > f(u′) für alle u′ ≠ u in B_{r}(u) spricht man von einem strikten lokalen Maximum (Entsprechend: striktes lokales Minimum).

Satz §13.12

Satz: Sei f: U ⟶ ℝ stetig differenzierbar. Falls f in u ∈ U ein lokales Extremum hat, gilt df(u) = 0. Falls U ⊆ ℝ^{n} bedeutet das:

\frac{∂f}{∂x_{i}} (u) = 0, für i = 1, …, n

Beweis: Sei v ∈ V. Setze c(t) = u+vt und g(t) = f(c(t)). Dann ist die Abbildung g: ] − r, r[⟶ ℝ stetig differenzierbar und hat ein lokales Extremum in 0 ∈ ℝ, weil g(0) = f(u + tv) ≤ f(u) beziehungsweise g(0) = f(u + tv) ≥ f(u)) ist. Also gilt g′(0) = 0 (siehe Analysis I). Mit der Kettenregel gilt nun: g′(0) = df(c(0))(ċ(0)) = df(u)(v) = 0, also df(u) = 0. Da df in ℝ^{n} durch ∇f gegeben ist, gilt \frac{∂f}{∂x_{i}} (u) = 0 für i = 1, …, n □ Beispiel:

Beispiel §13.13

• f(x, y) = x^{2} + y^{2}, ∇f(x, y) = (2x, 2y)

∇f(x, y) = 0 ⇔ (x, y) = 0

• f(x, y) = x^{2} − y^{2}, ∇f(x, y) = (2x, −2y)

∇f(x, y) = 0 ⇔ (x, y) = 0

(0, 0) ist aber kein lokales Extremum dieser Funktion.

13.7 Linearität der zweiten Ableitung

Bemerkung ; §13.14

Ist f: U ⟶ ℝ stetig differenzierbar, dann ist df(u) = Df(u) eine lineare Abbildung V ⟶ ℝ. Die 2. Ableitung D^{2}f(u): V ⟶ L(V, ℝ) = V^{∗} (Dualraum von V) ist ebenfalls eine lineare Abbildung. Für v, w ∈ V ist D^{2}f(u)(v)(w) ∈ ℝ. Wir schreiben kurz:

D^{2}f(u)(v, w) = D^{2}f(u)(v)(w)

So geschrieben ist D^{2}f(u) eine Abbildung V ×V ⟶ ℝ, (v, w) ↦ D^{2}f(u)(v, w). Diese Abbildung D^{2}f(u)(v, w): V ×V ⟶ ℝ ist offensichtlich in jedem der beiden Argumente linear, das heißt D^{2}f(u) ist bilinear. Für alle v, v_{1}, v_{2}, w, w_{1}, w_{2} ∈ V, r ∈ ℝ gilt:

(i) D^{2}f(u)(v_{1} + v_{2}, w) = D^{2}f(u)(v_{1}, w) + D^{2}f(u)(v_{2}, w)

(ii) D^{2}f(u)(v, w_{1} + w_{2}) = D^{2}f(u)(v, w_{1}) + D^{2}f(u)(v, w_{2})

(iii) D^{2}f(u)(rv, w) = rD^{2}f(u)(v, w) = D^{2}f(u)(v, rw)

Die zweite Ableitung ist eine bilineare Abbildung. Ist U ⊆ ℝ^{n}, v = (v_{1}, …, v_{n}) und w = (w_{1}, …, w_{n}), so gilt:

D^{2}f(u)(v, w) = ∑_{i,j=1}^{n} v_{j} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (u) · w_{j} = (v_{1}, …, v_{n}) · H(f)(u) · ( w_{1} ; ⋮ ; w_{n} )

Die Bilinearform D^{2}f(u) wird also durch die Hesse-Matrix gegeben.

13.8 Die Kettenregel

Satz §13.15

Satz: Sind V_{1}, V_{2}, V_{3} Banachräume, U_{1} ⊆ V_{1}, U_{2} ⊆ V_{2} offen und f: U_{1} ⟶ V_{2}, g: U_{2} ⟶ V_{3} Funktionen mit f(U_{1}) ⊆ U_{2}, so gilt: Wenn f, g stetig differenzierbar sind, so auch g ∘ f: U_{1} ⟶ V_{3} mit D(g ∘ f)(u) = Dg(f(u)) ∘ Df(u)

Beweis: Der Beweis funktioniert analog der Kettenregel für Kurven und reelle Funktionen. □

13.9 Die Symmetrie der zweiten Ableitung

Lemma §13.16

Lemma: Sei r > 0, U = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | |x|, |y| < r} und f: U ⟶ ℝ zweimal stetig differenzierbar, dann gilt:

\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) = \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(0, 0)

Beweis: Setze: F (x) = f(x, y) − f(x, 0). Dann ist F stetig differenzierbar mit F′(x) = \frac{∂f}{∂x}(x, y) − \frac{∂f}{∂x}(x, 0). Nach dem Mittelwertsatz (Analysis I, §7.14) ist F (x) − F (0) = F′(x̂)x für ein x̂ mit |x̂| ≤ |x|, damit gilt:

f(x, y) − f(x, 0) − f(0, y) + f(0, 0) = \frac{∂f}{∂x} (x̂, y)x + \frac{∂f}{∂x} (x̂, 0)x

Setze G(y) = \frac{∂f}{∂x}(x̂, y), dann gibt es ŷ mit |ŷ| ≤ |y| so, dass:

G(y) − G(0) = G′(ŷ)y G′(y) = \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(x̂, y)

Insgesamt: f(x, y) − f(x, 0) − f(0, y) + f(0, 0) = \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(x̂, ŷ)xy. Fängt man mit y

an, benutzt dann x, erhält man: f(x, y)−f(x, 0)−f(0, y)+f(0, 0) = \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x̃, ỹ)xy

mit |x̂|, |x̃| ≤ |x|; |ŷ|, |ỹ| ≤ |y| Für xy ≠ 0 hat man also: \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x̃, ỹ) = \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(x̂, ŷ). Lässt man x, y gegen 0 gehen, streben auch x̂, x̃, ŷ, ỹ gegen 0. Da f zweimal stetig differenzierbar ist, gibt im Grenzwert: \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) = \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(0, 0) □

Vorlesung ; 28.05.2004 ; Satz §13.17

Satz: Sei V ein Banachraum, U ⊆ V offen, f: U ⟶ ℝ zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt:

D^{2}f(u)(v_{1}, v_{2}) = D^{2}f(u)(v_{2}, v_{1}) für alle u ∈ U, v_{1}, v_{2} ∈ V

Die Bilinearform D^{2}f(u) ist symmetrisch. Für V = ℝ^{n} gilt speziell, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist:

\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (u) = \frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{i}} (u) für alle i, j

Beweis: Setze g(x, y) = f(u + xv_{1} + yv_{2}) für x, y ∈ ℝ, dann ist

\frac{∂g}{∂x}(x, y) = Df(u + xv_{1} + yv_{2})(v_{1}) \frac{∂g}{∂y} (x, y) = Df(u + xv_{1} + yv_{2})(v_{2}) \frac{∂}{∂y} \frac{∂g}{∂x}(x, y) = D^{2}f(u + xv_{1} + yv_{2})(v_{1})(v_{2}) \frac{∂}{∂x} \frac{∂g}{∂y} (x, y) = D^{2}f(u + xv_{1} + yv_{2})(v_{2})(v_{1})

Folgerung ; §13.18

Folgerung: Ist U ⊆ ℝ^{n} offen, v: U ⟶ ℝ^{n} stetig differenzierbar, so kann man fragen, ob es eine stetig differenzierbare Funktion f: U ⟶ ℝ gibt mit v(u) = ∇f(u) für alle u ∈ U.

Beispiel: (a) v: ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, (x, y) ↦ (y, x) f: ℝ^{2} ⟶ ℝ, (x, y) ↦ xy
(b) v: ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, (x, y) ↦ (y, −x) f gibt es hier nicht!

Eine notwendige Bedingung dafür ist, dass \frac{∂v_{i}}{∂x_{j}} = \frac{∂v_{j}}{∂x_{i}} für alle i, j gilt. Ist noch spezieller n = 3, setzt man

rot(v) = ( \begin{matrix}\frac{∂v_{3}}{∂x_{2}} − \frac{∂v_{2}}{∂x_{3}} \\ \frac{∂v_{1}}{∂x_{3}} − \frac{∂v_{3}}{∂x_{1}} \\ \frac{∂v_{2}}{∂x_{1}} − \frac{∂v_{1}}{∂x_{2}} \end{matrix} )

dann lautet die notwendige Bedingung rot(v) = 0. rot(v): ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} heißt Rotation von v.

14 Lokale Extrema reeller Funktionen

Wir betrachten eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f: U ⟶ ℝ, U ⊆ V eine offene Teilmenge eines Banachraumes. Gesucht sind (lokale) Extrema (Maxima oder Minima) von f.

14.1 Schritt 1: Finden von potentiellen Extrema

Paragraph §14.1

Falls f ein Extremum in u ∈ U hat, so gilt df(u) = 0, vergleiche §13.12. Zuerst sucht man also die Punkte u ∈ U mit df(u) = 0; falls U ⊆ ℝ^{n} bedeutet das, man sucht Punkte u ∈ U ⊆ ℝ^{n} mit \frac{∂f}{∂x_{i}} (u) = 0 für i ∈ \{1, …, n\}.

14.2 Schritt 2: Validieren der gefundenen Stellen

Paragraph §14.2

Angenommen, df(u) = 0. Setze g(s) = f(u + sv) für einen festen Vektor v ∈ V, v ≠ 0 und genügend kleine s ∈ ℝ. Wenn f ein Extremum in u hat, dann hat g ein Extremum in 0. Nun ist g: ] − r, r[ ⟶ ℝ eine Funktion, die wir mit den Mitteln aus Analysis I behandeln können. Es gilt g′(s) = df(u + sv)(v). g′′(f) = D^{2}f(u + sv)(v, v).

Schreibweise: Wir setzen h(v_{1}, v_{2}) = D^{2}f(u)(v_{1}, v_{2}). Wenn f in u ein lokales Maximum hat, muss g′′(0) ≤ 0 gelten, für ein Minimum muss gelten g′′(0) ≥ 0.

Also: f hat ein lokales Minimum in u ⟹ h(0, 0) ≥ 0 für alle v ∈ V
f hat ein lokales Maximum in u ⟹ h(0, 0) ≤ 0 für alle v ∈ V

Eine symmetrische Bilinearform h : V × V ⟶ ℝ heißt

positiv definit  falls v ≠ 0 ⟹ h(v, v) > 0
positiv semi-definit falls v ≠ 0 ⟹ h(v, v) ≥ 0
negativ definit  falls v ≠ 0 ⟹ h(v, v) < 0
negativ semi-definit falls v ≠ 0 ⟹ h(v, v) ≤ 0
indefinit  ansonsten

Beispiele

f(x, y) = x^{2} − y^{2} ⇝ ∇f(x, y) = (2x, −2y) ∇f(x, y) = (0, 0) ⇔ (x, y) = (0, 0) ist einziger Kandidat für lokales Extremum.

Hesse-Matrix: H(f)(x, y) = ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix} ) ⇝ Df(0, 0)(v, v) = v^{T} ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix} ) v

Mit konkreten Werten:

\begin{matrix}Df(0, 0) (( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )) = (1, 0) · ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) = 2 \\ Df(0, 0) (( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )) = (0, 1) · ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) = −2 \end{matrix}

Das heißt, D^{2}f(0, 0) ist weder positiv semi-definit noch negativ semi-definit, also kann in (0, 0) kein lokales Extremum liegen.

14.3 Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema

Wir suchen jetzt ein hinreichendes Kriterium für die Existenz lokaler Extrema. Sei df(u) = 0, g(s) = f(u + sv). Dann wissen wir aus Analysis I §8.16:

g(s) = g(0) + g′(0) · s + ∫_{0}^{s}(s − t) · g′′(t) dt
f(u + sv) = f(u) + ∫_{0}^{s} D^{2}f(u + tv)(v, v) · (s − t) dt

Angenommen, es gibt ein δ > 0 so, dass für alle v ∈ V mit ||v|| = 1 gilt: D^{2}f(u)(v, v) > δ, dann gilt für alle w nahe bei u, dass D^{2}f(w)(v, v) ≥ \frac{δ}{2}, der Ausdruck im Integral wird also positiv, g(s) > g(0) für genügend kleine s ≠ 0.

Satz §14.4

Satz: Sei U ⊆ V offen, f: U ⟶ ℝ zweimal stetig differenzierbar, sei u ∈ U mit df(u) = 0. Falls es ein δ > 0 gibt so, dass für alle v ∈ V mit ||v|| = 1 gilt: D^{2}f(u)(v, v) > δ, so hat f in u ein striktes Minimum, das heißt es gibt r > 0 so, dass für alle w ∈ U mit ||u − w|| ≤ r und w ≠ u gilt: f(u) < f(w).

Gilt entsprechend D^{2}f(u)(v, v) < −δ mit ||v|| = 1, so hat f in u ein striktes lokales Maximum.

Vorlesung 01.06.2004

Beweis: Es gibt ein ε > 0 so, dass aus ||w − v|| < ε folgt: D^{2}f(u)(v, v) > \frac{δ}{2} für alle v ∈ V mit ||v|| = 1, denn: Setze A(v, v) = D^{2}f(w)(v, v) − D^{2}f(u)(v, v). ||A(v, v)|| ≤ ||A|| · ||v||^{2} (gilt für Operatornorm).

D^{2}f(w)(v, v) = D^{2}f(u)(v, v) − A(v, v)

|D^{2}f(w)(v, v)| ≥ \underbrace{|D^{2}f(u)(v, v)|}_{≥δ} − \underbrace{|A(v, v)|}_{> \frac{δ}{2}}

(A(v, v) > \frac{δ}{2} gilt falls w nahe bei u liegt.) Es gilt: g(s) = f(u + sv), g(s) = f(u) + ∫_{0}^{s} D^{2}f(u + ts)(v, v) · (s − t) dt □

Bemerkung ; §14.5

Bemerkung: Wenn V endliche Dimension hat und D^{2}f(u) positiv definit ist, dann gibt es automatisch so ein δ > 0, denn ||v|| = \sqrt{D^{2}f(u)(v, v)} ist eine Norm auf V. Weil auf endlich dimensionalen Vektorräumen alle Normen äquivalent sind (nach §11.12) gibt es ein δ > 0 mit ||v|| = 1, ||v||′ > \sqrt{δ}, also D^{2}f(u)(v, v) > δ.

Satz §14.6

Satz: Sei U ⊆ ℝ^{n} eine offene Menge und f: U ⟶ ℝ zweimal stetig differenzierbar. Sei u ∈ U mit df(u) = 0 (das heißt ∇f(u) = 0). Dann hat f ein striktes lokales Minimum (Maximum), falls D^{2}f(u) positiv definit (negativ definit) ist.

Beispiel §14.7

Beispiel:

• f(x, y) = x^{2} + y^{2}, ∇f(x, y) = (2x, 2y), ∇f(x, y) = 0 ⇔ (x, y) = (0, 0)

H(f)(x, y) = ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , H(f)(x, y) ist positiv definit, denn:

( v_{1} v_{2} ) ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} ) = 2v_{1}^{2} + 2v_{2}^{2} > 0 für (v_{1}, v_{2}) ≠ (0, 0)

• f(x, y) = 4xy, ∇f(x, y) = (4y, 4x), ∇f(x, y) = 0 ⇔ (x, y) = (0, 0)

H(f)(x, y) = ( \begin{matrix}0 & 4 \\ 4 & 0 \end{matrix} )

( 1 1 ) ( \begin{matrix}0 & 4 \\ 4 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) = 4 + 4 = 8 > 0

( 1 −1 ) ( \begin{matrix}0 & 4 \\ 4 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ) = −4 − 4 = −8 < 0

Die Hesse-Matrix ist indefinit, also gibt es kein lokales Extremum.

• f(x, y) = xy^{2}, ∇f(x, y) = (y^{2}, 2xy), ∇f(x, y) = 0 ⇔ y = 0

H(f)(x, y) = ( \begin{matrix}0 & 2y \\ 2y & 2x \end{matrix} )

H(f)(x, y) ist positiv semi-definit für x ≥ 0

H(f)(x, y) ist negativ semi-definit für x ≤ 0

⇒ Hier kann man Satz §14.6 nicht anwenden.

14.4 Definitheitskriterien

Paragraph §14.8

Im Folgenden soll kurz ein Kriterium betrachtet werden, mit dem sich die Definitheit einer Bilinearform leicht ermitteln lässt. Weitere Verfahren und Kriterien werden in der linearen Algebra vorgestellt. Ist T: V ⟶ V eine lineare Abbildung und v ∈ V, v ≠ 0 ein Vektor mit T (v) = c · v, so heißt v Eigenvektor zum Eigenwert c. Es gilt der folgende Satz:

Ist T: ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n} linear und symmetrisch (selbstadjungierend, das heißt es gilt ⟨ T v | w ⟩ = ⟨ v | T w ⟩ für alle v, w ∈ ℝ^{n}, oder auch: T wird durch eine symmetrische Matrix beschrieben), dann gibt es eine Basis v_{1}, v_{2}, …, v_{n} des ℝ^{n} aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren, die Eigenvektoren von T sind, das heißt es gilt: ⟨ v_{i} | v_{j} ⟩ = 0, ⟨ v_{i} | v_{i} ⟩ = 1 sowie T v_{i} = c_{i}v_{i} für i, j = 1, …, n i ≠ j und c_{1}, c_{2}, …, c_{n} Eigenwerte von T mit c_{1} ≤ c_{2} ≤ ⋯ ≤ c_{n}.

Die Bilinearform (v, w) ↦ ⟨ T v | w ⟩ ist:

positiv definit  ⇔ 0 < c_{1} ≤ c_{2} ≤ ⋯ ≤ c_{n}
positiv semi-definit ⇔ 0 ≤ c_{1} ≤ c_{2} ≤ ⋯ ≤ c_{n}
negativ definit  ⇔ c_{n} ≤ ⋯ ≤ c_{2} ≤ c_{1} < 0
negativ semi-definit ⇔ c_{n} ≤ ⋯ ≤ c_{2} ≤ c_{1} ≤ 0
indefinit  ⇔ c_{1} < 0 < c_{n}

Bezüglich der neuen Basis {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} hat T Diagonalgestalt:

T = ( \begin{matrix}c_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & c_{2} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & c_{n} \end{matrix} ), also: \begin{matrix}det(T) = c_{1} · c_{2} · . . . · c_{n} \\ spur(T) = c_{1} + c_{2} + … + c_{n} \end{matrix}

Falls T positiv definit ist, gilt also: det( T) > 0 und spur(T) > 0
Falls T negativ definit ist, gilt also: det(−T) > 0 und spur(T) < 0

Satz §14.9

Satz: Im ℝ^{2} gilt: det(T) > 0 und spur(T) > 0 ⇒ T ist positiv definit. Beweis: det(T) = c_{1} · c_{2} > 0 und spur(T) > 0 ⇒ c_{1} > 0 und c_{2} > 0 □

Bemerkung ; §14.10

Bemerkung: Betrachtet man den ℝ^{3}, so reicht das Kriterium §14.9 nicht, zum Beispiel ist die Matrix

M = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} )

indefinit, obwohl gilt: det(M) = 3 > 0 und spur(M) = 1 > 0.

Das Hurwitz-Kriterium

Satz §14.11

Satz: Ist M = (m_{ij})_{i,j=1}^{n} symmetrisch, so ist M posititv definit genau dann, wenn für alle k = 1, 2, …, n gilt:

det ( \begin{matrix}m_{11} & ⋯ & m_{1k} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ m_{k1} & ⋯ & m_{kk} \end{matrix} ) > 0

Beweis: Siehe Lineare Algebra, zum Beispiel Fischer: ”Lineare Algebra“. □

Bemerkung: M ist negativ definit genau dann, wenn −M positiv definit ist.

Beispiel §14.12

Beispiel: Die Matrix

M = ( \begin{matrix}2 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 2 & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} & 2 \end{matrix} )

ist nach dem Hurwitz-Kriterium positiv definit, denn:

det(2) = 2 > 0  det ( \begin{matrix}2 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \end{matrix} ) = \frac{15}{4} > 0  det(M) = 8 − \frac{2}{9} − \frac{1}{2} > 0

15 Mittelwertsatz und das lokale Inverse

Vorlesung 04.06.2004

15.1 Beschränkte Funktionen

Es sei J = [a, b] ⊆ ℝ ein abgeschlossenes Intervall, V ein Banachraum. Eine Abbildung f: J ⟶ V heißt beschränkt falls es ein R > 0 gibt, so ||f(t)|| ≤ R für alle t ∈ J. Die beschränkten Funktionen auf J bilden einen reellen Vektorraum (das heißt ||f(t)|| ≤ R, ||g(t)|| ≤ S ⇒ ||(f + g)(t) ≤ R + S). Setze ||f||_{∞} = sup{||f(t)|| | t ∈ J}, damit ist || · ||_{∞} eine Norm auf diesem Vektorraum, die Supremumsnorm. Setze B (J, V) = {f: J ⟶ V | f ist beschränkt} mit dieser Norm || · ||_{∞}. In Analysis I hatten wir den Spezialfall V = ℝ.

Lemma §15.1

Lemma: B (J, V) ist ein Banachraum.

Beweis: Sei (f_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in B (J, V). Wegen ||f_{k}(t) − f_{ℓ}(t)|| ≤ ||f_{k} −f_{ℓ}|| ist (f_{k}(t))_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge in V. Setze f(t) = lim_{k→∞} f_{k}(t). Wegen

||f_{k}(t)|| ≤ ||f_{k}||_{∞} ist (||f_{k}(t)||)_{k∈ℕ} beschränkt, die Schranke hängt nicht von t ab, also f ∈ B (J, V).

Schließlich gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit ||f_{k} − f_{t}|| < \frac{ε}{2} für

k, ℓ ∈ ℕ. Dann gilt ||f(t) − f_{k}(t)|| = lim_{n→∞} ||f_{n}(t) − f_{k}(t)|| ≤ \frac{ε}{2} für k ≥ N, also

lim_{n→∞} f_{n} = f.

15.2 Stufenfunktionen

Definition §15.2

Eine beschränkte Funktion f heißt Stufenfunktion falls es eine Zerlegung

s_{o} = a < s_{1} < … < s_{N} = b

gibt, so dass f auf jedem Intervall ]s_{k−1}, s_{k}[ konstant ist. Die Menge Step (J, V) aller Stufenfunktionen ist ein Untervektorraum von B (J, V).

15.3 Regelfunktionen

Eine beschränkte Funktion f ∈ B (J, V) die sich als Grenzfunktion einer Folge von Stufenfunktionen schreiben lässt, heißt Regelfunktion.

f = lim_{n→∞} f_{n} für f_{n} ∈ Step (J, V)

Die Menge der Regelfunktionen ist ebenfalls ein Untervektorraum von B (J, V), die Menge der beschränkten Funktionen. Die stetigen Funktionen sind Teilmenge der Regelfunktionen.

B (J, V) ; Reg (J, V) ; Step (J, V)

Abbildung 23: Funktionsklassen

Lemma §15.3

Lemma: Reg (J, V) ist ein Banachraum (bezüglich der || · ||_{∞}-Norm).

Beweis: Wir zeigen: Reg (J, V) ist abgeschlossen in B (J, V), dann ist es nach §10.11 ein Banachraum. Sei also (f_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Folge mit lim_{n→∞} f_{n} = f ∈ B (J, V) und sei f_{n} ∈ Reg (J, V) für alle n. Zu zeigen: f ∈ Reg (J, V). Zu jedem n gibt es eine Stufenfunktion g_{n} mit ||f_{n} − g_{n}||_{∞} < \frac{1}{n}. Idee: Zeige lim_{n→∞} g_{n} = f. Wähle N ∈ ℕ so, dass aus k ≥ N folgt ||f_{k} − f|| ≤ \frac{ε}{2} (für gegebenes ε > 0). Dann gilt

||g_{k} − f||_{∞} = ||g_{k} − f_{k} + f_{k} − f||_{∞} ≤ \underbrace{||g_{k} − f_{k}||_{∞}}_{< \frac{1}{k}} + \underbrace{||f_{k} − f||_{∞}}_{< \frac{ε}{2}} < ε

15.4 Das Riemann-Integral

Definition §15.4

Definition: Sei f: J ⟶ V eine Stufenfunktion zur Zerlegung

s_{0} = a < s_{1} < s_{2} < … < s_{N} = b

sei f(t) = c_{k} für alle t ∈]s_{k−1}, s_{k}[, setze

∫_{a}^{b} f(t) dt = c_{1}(s_{1} − s_{0}) + c_{2}(s_{2} − s_{1}) + … + c_{N}(s_{N} − s_{N−1})

Die Abbildung Step (J, V) ⟶ V, f ↦ ∫_{a}^{b} f(t) dt ist linear, denn

∫_{a}^{b}(f_{1} + f_{2})(t) dt = ∫_{a}^{b} f_{1}(t) dt + ∫_{a}^{b} f_{2}(t) dt
∫_{a}^{b} cf(t) dt = c ∫_{a}^{b} f(t) dt

und L-Lipschitz-stetig mit L = b − a, denn

|| ∫_{a}^{b} f(t) dt|| ≤ ∫_{a}^{b} ||f(t)|| dt ≤ ∫_{a}^{b} ||f||_{∞} dt = (b − a) · ||f||_{∞}

Ist (f_{n})_{n∈ℕ} eine Folge von Stufenfunktionen, die gegen die Regelfunktion f konvergiert, so konvergiert auch die Folge ∫_{a}^{b} f_{n}(t) dt (weil das Integrieren Lipschitzstetig ist), setze ∫_{a}^{b} f(t) dt = lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(t) dt. Das ist wohldefiniert (das heißt es hängt nicht von der Wahl der Folge ab), denn angenommen

lim_{n→∞} f_{n} = f = lim_{n→∞} g_{n} für f_{n}, g_{n} ∈ Step (J, V)

dann gilt lim_{n→∞}(f_{n} − g_{n}) = 0, damit lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} (f_{n}(t) − g_{n}(t)) dt = 0, also

lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(t) dt = lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} g_{n}(t) dt. □

Satz §15.5

Satz: Das Riemann-Integral ist eine Lipschitz-stetige lineare Abbildung, Reg (J, V) ⟶ V, f ↦ ∫_{a}^{b} f(t) dt und es gilt:

|| ∫_{a}^{b} f(t) dt|| ≤ ∫_{a}^{b} ||f(t)|| dt ≤ ||f||_{∞} · (b − a)
∫_{a}^{b}(f + g)(t) dt = ∫_{a}^{b} f(t) dt + ∫_{a}^{b} g(t) dt
Satz §15.6

Satz: Ist f: J ⟶ V stetig, J = [a, b], so ist f gleichmäßig stetig, das heißt zu jedem ε > 0 gibt es δ > 0 mit:

|s − t| < δ ⟹ ||f(s) − f(t)|| < ε

Beweis (vergleiche Analysis I §6.14): Angenommen das wäre nicht so. Dann gibt es ein ε > 0 und s_{n}, t_{n} ∈ J mit |s_{n} − t_{n}| < \frac{1}{n}, ||f(s_{n}) − f(t_{n})|| ≥ ε. Nach Bolzano-Weierstraß dürfen wir annehmen, dass (s_{n})_{n∈ℕ}, (t_{n})_{n∈ℕ} konvergieren, lim_{n→∞} s_{n} = lim_{n→∞} t_{n} = t. Aber ||f(t_{n}) − f(s_{n})|| ≥ ε. Im Grenzwert n → ∞ ergibt dies aber ||f(t) − f(t)|| = 0. (Widerspruch) □

15.5 Regelfunktionen und Integration

Vorlesung ; 08.06.2004 ; Satz §15.7

Satz: Auf einem abgeschlossenen Intervall J = [a, b] ist jede stetige Funktion f: J ⟶ V eine Regelfunktion, also C (J, V) ⊆ Reg (J, V). Insbesondere ist für jede stetige Funktion das Riemann-Integral definiert.

Beweis: Sei f: J ⟶ V stetig, sei ε > 0. Wähle δ > 0 so, dass aus |s − t| < δ folgt: ||f(s) − f(t)|| < ε (Das geht nach Satz §15.6). Wähle m ∈ ℕ so, dass \frac{b−a}{m} < δ, setze s_{k} = a + k \frac{b−a}{m}, k = 0, …, m, setze c_{k} = f(s_{k}).

[figure: V; ℝ; a; b; f; g(s) = { c_{0} für s_{0} ≤ s < s_{1} c_{1} für s_{1} ≤ s < s_{2} ⋮ c_{m} für s_{m} = b]

Abbildung 24: Stetige Regelfunktionen

Nach Konstruktion gilt: ||g(s) − f(s)|| < ε also ||g − f||_{∞} < ε. Damit gilt: f ∈ Reg (J, V) □

Dieses Verfahren liefert einen Algorithmus zur numerischen Berechnung von Integralen (Wähle m groß).

Bemerkung ; §15.8

Bemerkung: Ist V = ℝ^{n} und f(s) = (f_{1}(s), f_{2}(s), …, f_{n}(s)) eine Regelfunktion (zum Beispiel eine stetige Funktion), dann gilt:

∫_{a}^{b} f(s) ds = (∫_{a}^{b} f_{1}(s) ds, ∫_{a}^{b} f_{2}(s) ds, …, ∫_{a}^{b} f_{n}(s) ds)

denn das stimmt für Stufenfunktionen, also auch für Regelfunktionen.

Beispiel:

• V = ℝ^{2}, J = [0, 3], f(s) = (s^{2}, s)

∫_{0}^{3} f(s) ds = (\frac{1}{3}s^{3}, \frac{1}{2}s^{2}) |_{0}^{3} = (9, \frac{9}{2})

• V = ℝ^{2}, J = [a, b], g(s) = ( cos(s), sin(s))

∫_{a}^{b} g(s) ds = ( sin(s), − cos(s)) |_{a}^{b} = ( sin(b) − sin(a), cos(a) − cos(b))

[figure: v_{2}; v_{1}; 3; 0; f; v_{2}; v_{1}; g]

Abbildung 25: Funktionsgraphen von f und g

Satz §15.9

Satz: Ist c: J ⟶ V stetig, a ≤ t_{0} ≤ b und g(s) = ∫_{t_{0}}^{s} c(t) dt, dann ist g stetig differenzierbar und ġ = c (dabei setzen wir ∫_{t_{0}}^{s} c(t) dt = − ∫_{s}^{t_{0}} c(t) dt, falls s < t_{0}).

Beweis: ∫_{t_{0}}^{t+h} c(s) ds − ∫_{t_{0}}^{t} c(s) ds = g(t + h) − g(t) = ∫_{t}^{t+h} c(s) ds, also:

g(t + h) − g(t) − h · c(t) = ∫_{t}^{t+h}(c(s) − c(t)) ds
||g(t + h) − g(t) − h · c(t)|| ≤ ∫_{t}^{t+h} ||c(s) − c(t)|| ds
≤ |h| sup {||c(s) − c(t)|| | |s − t| ≤ h}

Also folgt g(t + h) − g(t) − h · c(t) = |h|λ(h) mit λ stetig und λ(0) = 0, also ġ(t) = c(t) □

Insbesondere gilt: g(b) − g(a) = ∫_{a}^{b} c(t) dt = ∫_{a}^{b} ġ(t) dt

Folgerung: Ist g: [a, b] ⟶ V eine stetig differenzierbare Kurve, so gilt:

∫_{a}^{b} ġ(s) ds = g(b) − g(a)

(Wende den Satz auf c = ġ an).

15.6 Mittelwertsatz der Integralrechnung

Lemma §15.10

Lemma: Ist f: J ⟶ L(V, W) eine Regelfunktion, so gilt: t ↦ f(t)(v) ∈ W ist ebenfalls eine Regelfunktion (für v ∈ V fest gewählt) und

∫_{a}^{b} f(t)(v) dt = (∫_{a}^{b} f(t) dt) (v)

Beweis: Das ist für Stufenfunktionen sicher richtig und bleibt im Grenzwert auch für Regelfunktionen richtig. □

Satz §15.11

Satz: Seien V, W Banachräume, U ⊆ V offen und f: U ⟶ W stetig differenzierbar. Sind u ∈ U und v ∈ V so, dass u + sv ∈ U für 0 ≤ s ≤ 1, dann gilt:

f(u + v) − f(u) = ∫_{0}^{1} Df(u + sv)(v) ds = (∫_{0}^{1} Df(u + sv) ds) (v)

Beweis: Setze g(s) = f(u + sv), g: [0, 1] ⟶ V, ġ(s) = Df(u + sv)(v), also ∫_{0}^{1} ġ(s) ds = g(1) − g(0) = f(u + v) − f(u) = ∫_{0}^{1} Df(u + sv)(v) ds □

Folgerung ; §15.12

Folgerung: Seien V, W Banachräume, U ⊆ V offen und f: U ⟶ W stetig differenzierbar. Sind u ∈ U und v ∈ V so, dass u + sv ∈ U für 0 ≤ s ≤ 1, dann gilt:

||f(u + v) − f(u)|| ≤ ||v|| · R
R = sup {||Df(u + sv)|| | 0 ≤ s ≤ 1}

Beweis: Der Beweis folgt aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung:

||f(u + v) − f(u)|| ≤ ∫_{0}^{1} ||Df(u + sv)(v)|| ds
≤ ∫_{0}^{1} ||Df(u + sv|| · ||v|| ds
≤ ∫_{0}^{1} R · ||v|| ds = R · ||v||
□

Bemerkung: Die Abbildung t ↦ ||Df(u + tv)|| ist stetig, also existiert solch ein R (siehe Analysis I §5.9).

Satz §15.13

Satz: Ist V ein Banachraum, U = {f ∈ L(V, W) | ||f|| < 1} und ist f ∈ U, dann hat die Abbildung v ↦ v − f(v) = (id_{V} − f)(v) ein stetiges Inverses g ∈ L(V, V).

Beweis: Setze g_{n} = ∑_{k=0}^{n} f^{k} = id_{V} + f + f^{2} + ⋯ + f^{n} (geometrische Summe). (id_{V} − f)(id_{V} + f + f^{2} + ⋯ + f^{n}) = id_{V} − f^{n+1} sowie ||f^{n}|| ≤ ||f||^{n}. Es gilt: lim_{n→∞} ||f||^{n} = 0 (weil ||f|| < 1), folglich ist lim_{n→∞} f^{n} = 0. Aus der Gleichung erhält

man im Limes lim_{n→∞}(id_{V} − f) ∑_{k=0}^{n} f^{k} = id_{V}, denn (g_{n})_{n∈ℕ} ist eine Cauchy-

Folge in L(V, V), also lim_{n→∞} g_{n} = ∑_{k=0}^{∞} f^{k} = g, also: (id_{V} − f) ∘ g = id_{V}. Man

rechnet genauso nach: g ∘ (id_{V} − f) = id_{V}, also g = (id_{V} − f)^{−1}. □

Man nennt ∑_{k=0}^{∞} f^{k} die Neumann’sche Reihe (= geometrische Reihe) zu f.

(id_{V} − f)^{−1} = ∑_{k=0}^{∞} f^{k}

15.7 Der Satz vom lokalen Inversen

Vorlesung ; 11.06.2004 ; Satz §15.14

Satz: Seien V, W Banachräume (zum Beispiel V, W isomorph zu ℝ^{n}), U ⊆ V offen, f: U ⟶ W stetig differenzierbar. Sei u_{0} ∈ U, setze T = Df(u_{0}): V ⟶ W. Falls T ein Vektorraumisomorphismus ist, gibt es ein r > 0 und ein Inverses g: B_{r}(f(u_{0})) ⟶ U zu f. g ist stetig differenzierbar und Dg(f(u_{0})) = T^{−1}.

Mit anderen Worten: Die Gleichung f(x) = y lässt sich für y nahe f(u_{0}) nach x auflösen.

Den Beweis zerlegen wir in Einzelschritte:

Satz §15.15

Satz: Satz 14 ist richtig, falls f eine stetige lineare Abbildung ist.

Beweis: Wenn f linear ist, so gilt Df(u_{0})(v) = f(v), das heißt T = f ist ein Vektorraumisomorphismus. Dann ist T^{−1}: W ⟶ V ein Vektorraumisomorphismus (lineare Algebra) und T^{−1} ist stetig, denn falls dim V endlich ist (§11.11) ist das sicher richtig. Es ist auch im Unendlichdimensionalen richtig (Banachs Satz von der offenen Abbildung, vergleiche Heuser → Funktionalanalysis). Jedenfalls ist T^{−1} = f^{−1} dann stetig, setze g = T^{−1}. □

Satz §15.16

Satz: Satz 14 ist in der folgenden Situation richtig: Falls V = W, u_{0} = 0 = f(u_{0}) und T = id_{V}.

Beweis: (a) Behauptung: Es gibt ein r > 0 so, dass für ||u|| ≤ r folgt: Df(u) hat ein stetiges Inverses. Denn: Die Abbildung u ↦ Df(u) ist stetig, also gibt es ein r > 0 so, dass folgendes gilt:

||u|| ≤ r ⟹ ||Df(u) − \underbrace{Df(0)}_{=id_{V}} || < 1

Wegen Satz 13 ist Df(u) invertierbar (Neumann’sche Reihe). □

(b) Setze p(x) = x − f(x), dann gilt p(0) = 0 und Dp(0) = Did_{V} − Df(0) = 0. Es gibt also ein r > 0 so, dass ||Dp(u)|| ≤ \frac{1}{2} für ||u|| < r, und Df(u) hat ein stetiges Inverses. Nach Folgerung 12 ist ||p(u)|| ≤ \frac{1}{2} · r für ||u|| ≤ r.

(c) Behauptung: Ist ||u|| ≤ \frac{r}{2} so gibt es genau ein u mit ||u|| ≤ r und f(u) = v. Denn: Betrachte q(x) = v + p(x) = v + x − f(x). Für ||x|| ≤ r gilt

||q(x)|| ≤ \underbrace{||v||}_{≤ \frac{r}{2}} + \underbrace{||p(x)||}_{≤ \frac{r}{2}} ≤ r

Setze X = {x ∈ V | ||x|| ≤ r}, das ist abgeschlossen in V, also vollständig, q: X ⟶ X ist stetig. Es gilt ||q(x) − q(y)|| = ||p(x) − p(y)|| ≤ \frac{1}{2} · ||x − y|| (nach Teil (b)). Wir können Banachs Fixpunktsatz anwenden! ⟹ Es gibt genau ein Element u ∈ X mit q(u) = u, das heißt v + u − f(u) = u ⇔ v = f(u).

(d) Setze g(v) = u, das ist eine Umkehrfunktion. Warum ist g stetig? Denn v = p(v) + f(v) (folgt aus dem Anfang von (b)) also

||v_{1} − v_{2}|| ≤ \underbrace{||p(v_{1}) − p(v_{2})||}_{\frac{1}{2} ||v_{1}−v_{2}||} +||f(v_{1}) − f(v_{2})||

Mit g(u_{1}) = v_{1} und g(u_{2}) = v_{2} ergibt sich:

||g(u_{1}) − g(u_{2})|| ≤ \frac{1}{2} · ||g(u_{1}) − g(u_{2})|| + ||u_{1} + u_{2}||
||g(u_{1}) − g(u_{2})|| ≤ 2 · ||u_{1} − u_{2}|| ⟹ g ist stetig

(e) g ist differenzierbar in jedem Punkt v_{1} mit ||v_{1}|| < \frac{r}{2}. Denn: Setze g(v_{1} +h) = u, v_{1} +h = f(u), g(v_{1}) = u_{1}, v_{1} = f(u_{1}) und h = f(u)−f(u_{1}).

||g(v_{1} + h) − g(v_{1}) − Df(u_{1})^{−1}(h)||
= ||u − u_{1} − Df(u_{1})^{−1}(f(u) − f(u_{1}))||
[f(u) − f(u_{1}) = Df(u_{1})(u − u_{1}) + ||u − u_{1}||λ(u − u_{1})]
= ||u − u_{1} − Df(u_{1})^{−1}(Df(u_{1})(u − u_{1}) + ||u − u_{1}||λ(u − u_{1}))||
≤ ||Df(u_{1}) \underbrace{λ(u − u_{1})}_{↪0} || · \underbrace{||u − u_{1}||}_{↪0}

also ist g differenzierbar in v_{1} und Dg(v_{1}) = Df(u_{1}).

(f) g ist stetig differenzierbar, weil Df(g(v_{1}))^{−1} stetig von v_{1} abhängt.

Damit ist Satz 16 bewiesen.

Beweis von Satz 14: Setze f̃(x) = T^{−1}(f(x + u_{0}) − f(u_{0})), damit ist f̃ stetig differenzierbar, f̃: V ⟶ V, f̃(0) = 0 und Df̃(0) = T^{−1}Df(u_{0}) = id_{V}.

Nach Satz 16 hat f̃ ein lokales Inverses g̃. Löst man f̃ nach f auf, liefert g̃ ein lokales Inverses g zu f. □

Beispiel: f(x) = x^{2}, Df(1)(v) = 2v mit V = ℝ = W. Satz 14 sagt: f hat ein lokales Inverses, nämlich g(y) = \sqrt{y}.

15.8 Satz über implizite Funktionen

Vorlesung 15.06.2004

Sind X, Y, Z Banachräume (z.B. ℝ^{k}, ℝ^{ℓ}, ℝ^{m}), U ⊆ X und V ⊆ Y offen, so ist X × Y ein Banachraum und U × V ⊆ X × Y offen. Ist f: U × V ⟶ Z stetig differenzierbar und ist (u, v) ∈ U × V, dann ist

Df(u, v)(x, y) = D_{1}f(u, v)(x) + D_{2}f(u, v)(y)

mit D_{1}f(u, v): X ⟶ Z und D_{2}f(u, v): Y ⟶ Z oder ganz kompakt:

Df(u, v) = (D_{1}f(u, v), D_{2}f(u, v))

(D_{1}f(u, v), D_{2}f(u, v)) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = D_{1}f(u, v)(x) + D_{2}f(u, v)(y)

Satz §15.17

Satz: Seien X, Y, Z Banachräume, U ⊆ X und V ⊆ Y offen. f: U × V ⟶ Z sei stetig differenzierbar. Falls D_{2}f(u, v): Y ⟶ Z ein Isomorphismus ist, gibt es U_{0} ⊆ U offen mit u ∈ U_{0} und eine stetig differenzierbare Funktion g: U_{0} ⟶ V mit g(u) = v und f(x, g(x)) = f(u, v) = const für alle x ∈ U_{0}. (Idee: Man will die Gleichung f(x, y) = const lokal nach y auflösen.

Beweis: Definiere z_{0} = f(u, v), f̃: U ×V ⟶ Z, f̃(u, v) = (u, f(u, v)). Dann gilt:

Df̃(u, v) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = (x, Df(u, v) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}id_{X} & 0 \\ D_{1}f(u, v) & D_{2}f(u, v) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

Diese Matrix ist invertierbar mit Inverser:

( \begin{matrix}id_{X} & 0 \\ A & D_{2}f(u, v)^{−1} \end{matrix} ) , A = −D_{2}f(u, v)^{−1}D_{1}f(u, v)

Nach Satz §15.14 hat f̃ ein lokales Inverses p̃ definiert auf U_{0} × W_{0} ⊆ X × Z mit f(u, v) ∈ U_{0} × W_{0} p̃(x, z) = (x, p(x, z)). Setze g(x) = p(x, z_{0}), dann ist g stetig differenzierbar und (x, f(x, g(x))) = f̃(x, g(x)) = f̃(x, p(x, z_{0})) = f̃(p̃(x, z_{0})) = (x, z_{0}), also f(x, g(x)) = z_{0} = const □

Beispiel §15.18

Beispiel: X = Y = Z = U = V = ℝ, f(x, y) = x^{2} − y^{2} Df(x, y) = (D_{1}f(x, y), D_{2}f(x, y)) = (2x, −2y). Für y ≠ 0 ist D_{2}f(x, y) invertierbar, z.B. in (x, y) = (0, 1) ist D_{2}f(0, 1) = −2. Es gibt also g mit f(x, g(x)) = f(0, 1) = −1, f(x, g(x)) = x^{2} − g(x)^{2} = −1, also g(x) = \sqrt{1 + x^{2}}, g(0) = 1

Anwendung ; §15.19

Erste Anwendung: Niveaumengen (”Höhenlinien“) reeller Funktionen. Sei f: U ⟶ ℝ eine reelle Funktion, U ⊆ V offen in einem Banachraum V (z.B. V = ℝ^{2}). Sei u ∈ U mit df(u) ≠ 0. Weil df(u): V ⟶ ℝ eine lineare Abbildung ist, ist H = ker (df(u)) = {v ∈ V | df(u)(v) = 0} ein Untervektorraum von V und als Teilmenge in V abgeschlossen, also ebenfalls ein Banachraum. Wähle w ∈ V mit df(u)(w) ≠ 0 (das heißt w ∉ H), dann lässt sich jeder Vektor v ∈ V eindeutig zerlegen in v = h + sw mit h ∈ H und s ∈ ℝ, also V = H ⊕ (ℝw).

Schreibe f̃(h, sw) = f(u + h + sw), f̃ ist eine reellwertige Funktion, es gilt:

D_{1}f̃(0, 0)(h) = df(u)(h) = 0
D_{2}f̃(0, 0)(s) = df(u)(w) · s ≠ 0

also ist D_{2}f̃(0, 0) invertierbar und es gibt g mit f̃(h, g(h)) = f̃(0, 0) für h ∈ H nahe bei 0.

f̃(h, g(h)) = f(u + h + g(h) · w) = f(p(h)) mit p: U_{0} ⟶ V, U_{0} ⊆ H

Also f ∘ p = const, p parameterisiert diese Niveaumenge (Höhenlinie) nahe u.

15.9 Extrema mit Nebenbedingungen

Vorlesung ; 18.06.2004 ; Definition ; §15.20

Definition: Sei U ⊆ V offen in einem Banachraum V,

q: U ⟶ ℝ, f: U ⟶ ℝ

q und f stetig differenzierbar. Setze q^{−1}(0) = N = {u ∈ U | q(u) = 0} als Nebenbedingung, das sind die Nullstellen von q. Ein Punkt u ∈ N heißt Maximum/Minimum oder Extremum von f mit der Nebenbedingung q = 0, falls für alle v ∈ N gilt:

f(u) ≥ f(v) ⟺ Maximum von f mit Nebenbedingung
f(u) ≤ f(v) ⟺ Minimum von f mit Nebenbedingung

15.10 Der Lagrange-Multiplikator

Satz §15.21

Satz: Sei U ⊆ V offen, f, q: U ⟶ ℝ stetig differenzierbar, sei u ∈ U mit q(u) = 0 und dq(u) ≠ 0. Wenn u ein Extremum von f mit Nebenbedingung q = 0 ist, dann gibt es r ∈ ℝ mit df(u) = r · dq(u). Die Zahl r heißt Lagrange-Multiplikator. Falls U ⊆ ℝ^{n}, heißt das

∇f(u) = r · ∇q(u) ⟺ \frac{∂f}{∂x_{i}} (u) = r · \frac{∂q}{∂x_{i}} (u)

mit i = 1, 2, …, n für letzteres, welches ein Gleichungssystem darstellt.

Beweis: Weil dq(u) ≠ 0 und dq(u)(w) ≠ 0, nach der vorigen Diskussion finden wir g: W ⟶ ℝ, W ⊆ H = ker (dq(u)), mit q(u + h + g(h) · w) = 0 = const für h ∈ W und dg(0) = 0. Ist u ein Extremum von f in u, so verschwindet die Ableitung der Funktion h ↦ f(u + h + g(h) · w) an der Stelle h = 0, also

0 = df(u)D \underbrace{[h ↦ u + h + g(h) · w](0)(v)}_{v+dg(u)(v)·w} für v ∈ H beliebig

= df(u)(dg(0)(v) · w) + df(u)(v) das heißt H ⊆ ker (df(u))

Setze df(u)(w) = r · \underbrace{dq(u)(w)}_{≠0} mit r = \frac{df(u)(w)}{dq(u)(w)}.

Jedes v ∈ V lässt sich schreiben als v = h + sw mit h ∈ H,

df(u)(v) = df(u)(h + sw) = df(u)(w) · s
dq(u)(v) = dq(u)(h + sq) = df(u)(w) · s
⇒ df(u)(v) = dq(u)(v) · r ⇒ df(u) = dq(u) · r für alle v ∈ V
□

Beispiel §15.22

Beispiel: U = {(x, y, z) | x, y, z > 0}, f(x, y, z) = x + y + z. Nebenbedingung: xyz = 1, was ist das Minimum unter dieser Nebenbedingung? q(x, y, z) = xyz − 1, ∇q(yz, xz, xy) ≠ 0 für x, y, z ∈ U → gut! ∇f(x, y, z) = (1, 1, 1). Ist u Extremum, gilt r(yz, xz, xy) = (1, 1, 1) also x = y = z = 1. Man sieht schnell ein: Das ist auch ein Minimum von f unter der Nebenbedingung xyz = 1.

15.11 Extrema mit mehreren Nebenbedingungen

Satz §15.23

Satz: Sei U ⊆ V offen, f: U ⟶ ℝ stetig differenzierbar und q_{1}, q_{1}, …, q_{m} stetig differenzierbare Funktionen mit q_{1}, q_{1}, …, q_{m} : U ⟶ ℝ. Die Menge N bezeichnet die Nebenbedingungen:

N = {u ∈ U | q_{1}(u) = q_{2}(u) = … = q_{m}(u) = 0}

Auf dieser Menge suchen wir Extrema von f, das heißt u ∈ N mit:

v ∈ N ⇒ f(u) ≥ f(v) ⇝ Maximum, f(u) ≤ f(v) ⇝ Minimum

jeweils mit Nebenbedingung q_{1}, q_{2}, …, q_{m} = 0.

Falls u ein Extremum von f mit dieser Nebenbedingung q_{1} = q_{2} = … = q_{m} ist, und falls dq_{1}(u) ≠ 0, dq_{2}(u) ≠ 0, …, dq_{m}(u) ≠ 0, so gibt es Zahlen r_{1}, r_{2}, …, r_{m} mit df(u) = r_{1}dq_{1}(u) + r_{2}dq_{2}(u) + … + r_{m}dq_{m}(u). Diese Zahlen heißen Lagrange-Multiplikatoren.

Beweis: Wie vorher mit m = 1.

In Koordinaten heißt das: U ⊆ ℝ^{n}, n ≤ m. ∇f(u) = r_{1}∇q_{1}(u)+…+r_{m}∇q_{m}(u)

( \frac{∂f}{∂x_{1}} (u) ; ⋮ ; \frac{∂f}{∂x_{n}} (u) ) = ( \begin{matrix}\frac{∂q_{1}}{∂x_{1}} (u) & ⋯ & \frac{∂q_{m}}{∂x_{1}} (u) \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂q_{1}}{∂x_{n}} (u) & ⋯ & \frac{∂q_{m}}{∂x_{n}} (u) \end{matrix} ) · ( r_{1} ; ⋮ ; r_{m} )

Beispiel §15.24

Beispiel: Sei A ∈ ℝ^{n} eine symmetrische (n × n)-Matrix (das heißt A = A^{T} oder a_{ij} = a_{ji} für alle i, j). Betrachte

f: ℝ^{n} ⟶ ℝ, x ↦ x^{T} Ax = ⟨x|Ax⟩ = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j}

Nebenbedingung: ||x||_{2} = 1, das heißt x^{T} · x = ∑_{i=1}^{n} x_{j}^{2} = 1, also a(x) = x^{T} · x − 1,

gesucht: Extrema. Wir müssen df und dq ausrechnen.

f(u + h) − f(u) = (u + h)^{T} A(u + h) − u^{T} Au = h^{T} Au + u^{T} Ah + h^{T} Ah
= 2u^{T} Ah + h^{T} Ah also df(u)(h) = 2u^{T} Ah
also df(u)(h) = 2u^{T} Ah und dq(u)(h) = 2u^{T} h

(vorige Rechnung mit A = 𝟙). In einem Extremum mit Nebenbedingung q = 0 gilt also: 2ru^{T} = 2u^{T} A also ru = Au, das ist ein Eigenwertproblem. Also: Die Extrema von f unter der Nebenbedingung q = 0 sind Einheits-Eigenvektoren.

Vorlesung ; 22.06.2004 ; Satz §15.25

Satz: Sei A ⊆ ℝ^{n} abgeschlossen und beschränkt (das heißt es gibt ein R > 0 so, dass ||a|| ≤ R für alle a ∈ A). Falls f: A ⟶ ℝ stetig ist, gibt es m, M ∈ A so, dass f(m) ≤ f(a) ≤ f(M) für alle a ∈ A. Insbesondere hat f ein Maximum und ein Minimum.

Beweis: Wir zeigen, dass M ∈ A so existiert. Angenommen, f ist nicht nach oben beschränkt, dann gibt es zu jedem k ∈ ℕ ein a_{k} ∈ A mit f(a_{k}) ≥ k. Weil A beschränkt ist, ist x_{j} = {a_{j} | a = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) ∈ A} beschränkt für j = 1, 2, …, n. Wir finden eine Teilfolge a′_{k} so, dass die Folge a_{k,1} konvergiert: a′_{k} = (a′_{k,1}, a′_{k,2}, …, a′_{k,n}). Das machen wir nacheinander für alle Komponenten, dann erhalten wir eine Teilfolge a′′_{k} für die alle Komponentenfolgen konvergieren, also existiert lim_{k→∞} a′′_{k} = ã ∈ A. Aber: f(a′′_{k}) ≥ k und lim_{k→∞} f(a′′_{k}) = f(ã). Ein

Widerspruch. Also existiert L = sup{f(a) | a ∈ A}. Zu jedem k ∈ ℕ gibt es a_{k} ∈ A mit f(a_{k}) ≥ L − \frac{1}{k}. Wir können wie vorher zu einer konvergenten Teilfolge a′_{k} übergehen. f(a′_{k}) ≥ L − \frac{1}{k}, lim_{k→∞} a_{k} = ã, lim_{k→∞} f(a′_{k}) = f(ã) = L. Setze M = ã, damit sind wir fertig. Die Existenz von m ∈ A folgt, indem man die Funktion −f betrachtet. □

Insbesondere folgt also: Die Funktion f(x) = ⟨ x | Ax ⟩ hat auf der beschränkten Menge {x ∈ ℝ^{n} | ||x||_{2} = 1} ein Minimum und ein Maximum.

Folgerung ; §15.26

Folgerung: Jede reelle symmetrische Matrix A ∈ ℝ^{n×n} hat wenigstens einen Eigenvektor. (Genauer: ℝ^{n} hat sogar eine Basis aus Eigenvektoren von A).

16 Gewöhnliche Differentialgleichungen

16.1 Überblick

In einer gewöhnlichen Differentialgleichung tauchen nur Ableitungen nach einer reellen Variablen auf, in partiellen Differentialgleichungen tauchen dagegen partielle Ableitungen auf. Beispiele:

• Gewöhnliche Differentialgleichung: y′ = y^{2}

• Partielle Differentialrechnung: \frac{∂^{2}f}{∂x∂x}(x, y) + \frac{∂^{2}f}{∂y∂y} (x, y) = 0

Paragraph §16.1

Viele Naturgesetze sind Differentialgleichungen, zum Beispiel Newtons Gesetz: F⃗ = m · a⃗. Das ist die Bewegung eines Teilchens im ℝ^{3} in einem Kraftfeld (F⃗ gibt das Kraftfeld an, a⃗ die Beschleunigung).

Man kann das Gesetz als gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung (es tauchen 2. Ableitungen auf) schreiben:

F = m · c̈ mit c: ℝ ⟶ ℝ^{3}, t ↦ c(t)

Ebenso kann man F = m · a eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung im ℝ^{6} betrachten, indem man eine neue Funktion v mit v = ċ definiert. Es ergibt sich: F = m · v̇

16.2 Das Vektorfeld

Definition §16.2

Definition: Sei V ein Banachraum (z.B. V = ℝ^{n}) und U ⊆ V offen. Eine stetige Abbildung ξ: U ⟶ V heißt Vektorfeld auf U. Jedem u ∈ U wird also stetig ein Vektor ξ(u) ∈ V zugeordnet.

[figure: U; u; ξ(u)]

Abbildung 26: Das Vektorfeld

Beispiel:

• ξ(u) = w_{0} ∈ V (konstantes Vektorfeld)

• ξ(u) = u

16.3 Die Integralkurve

Definition §16.3

Definition: Eine stetig differenzierbare Kurve c: J ⟶ V heißt Integralkurve (bezüglich ξ), falls für jedes t ∈ J gilt: ċ(t) = ξ(c(t))

[figure: U; u; ξ(c(t)) = ċ(t)]

Abbildung 27: Die Integralkurve

Diese Bedingung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung für c, die wir lösen wollen. Wir sehen später: Jede gewöhnliche Differentialgleichung lässt sich so formulieren.

Beispiel: Es werden wieder die Beispiele aus §16.2 betrachtet:

• c(t) = u + t · w_{0} ⇒ ċ(t) = w_{0} = ξ(c(t))

• ξ(u) = u ⇒ c(t) = ? (Hier ist die Lösung noch unklar!)

16.4 Lokaler Fluss

Wir fassen viele Integralkurven in einer Funktion zusammen.

Definition §16.4

Definition: Sei ξ: U ⟶ V ein Vektorfeld, sei u ∈ U, r > 0 und sei U_{0} ⊆ U eine offene Teilmenge mit u ∈ U_{0}. Eine Funktion φ: ] − r, r[×U_{0} ⟶ U mit (t, v) ↦ φ(t, v) heißt lokaler Fluss, falls gilt:

• φ(0, v) = v für alle v ∈ U_{0}

• Für jedes v ∈ U_{0} ist die Kurve c_{v}(t) = φ(t, v) eine Integralkurve für ξ.

Betrachte c_{v}(0) = v für v ∈ U_{0}, ċ_{v}(t) = ξ(c_{v}(t))

[figure: U; U_{0}; v; c_{v}; w; c_{w}]

Abbildung 28: Lokaler Fluss

Beispiel: ξ(u) = w_{0}, φ(t, v) = v + t · w_{0} ist ein Fluss, denn: φ(0, v) = v, c_{v}(t) = v + t · w_{0}, ċ_{v}(t) = w_{0} = ξ(c_{v}(t))

Für r > 0 setze \overline{B_{r}}(x) = \{y ∈ V | ||y − x|| ≤ r\}. Das ist die abgeschlossene r-Kugel um v.

Satz §16.5

Satz (Lokale Existenz und Eindeutigkeit des Flusses): Sei ξ: U ⟶ V ein L-Lipschitz-stetiges Vektorfeld und sei u ∈ U, dann gibt es a, b > 0 und einen lokalen Fluss φ: ] − b, b[×B_{a}(u) ⟶ U. Ist φ̃: ] − b̃, b̃[×Bã(u) ⟶ U ein anderer Fluss, so gilt φ(t, v) = φ̃(t, v) wann immer:

(t, v) ∈ (] − b, b[×B_{a}(u)) ∩ (] − b̃, b̃[×Bã(u))

Also für alle (u, v) im gemeinsamen Definitionsbereich.

Vorlesung 25.06.2004

Beweis: Wähle 1 > a > 0 so, dass \overline{B_{2a}}(u) ⊆ U (zum Beispiel B_{3a}(u) ⊆ U). Für x ∈ \overline{B_{2a}} gilt dann ||ξ(x)−ξ(u)|| ≤ 2aL, also ||ξ(x)|| ≤ ||ξ(u)||+2aL = k. Wähle b > 0 so, dass b < \frac{a}{k} und b < \frac{1}{L}. Setze I = [−b, b] und

X_{v} = \{c: I ⟶ U | c stetig, c(0) = v\} für v ∈ \overline{B_{2a}}(u)

Die Menge X_{v} ist vollständig in der Supremumsnorm. Setze S_{v}(c)(t) = v + ∫_{0}^{t} ξ(c(s)) ds, S_{v}(c)(0) = v,

||S_{v}(c)(t) − v|| = || ∫_{0}^{t} ξ(c(s)) ds|| ≤ ∫_{0}^{t} ||ξ(c(s))|| ds ≤ |t| · k ≤ b · k < a

Das heisst S_{v}(c)(t) ∈ \overline{B_{a}}(v) und S_{v}: X_{v} ⟶ X_{v} ist eine stetige Abbildung. Für c_{1}, c_{2} ∈ X_{v}:

||S_{v}(c_{1})(t) − S_{v}(c_{2})(t)|| = || ∫_{0}^{t} (ξ(c_{1}(s)) − ξ(c_{2}(s))) ds||
≤ ∫_{0}^{t} \underbrace{||ξ(c_{1}(s)) − ξ(c_{2}(s))||}_{L·||c_{1}(s)−c_{2}(s)||} ds ≤ L · ||c_{1} − c_{2}||_{∞} · b

also S_{v} ist Lb-Lipschitz-stetig und wegen Lb < 1 kontrahierend. Nach Banachs Fixpunktsatz gibt es c_{v} ∈ X_{v} mit S_{v}(c_{v}) = c_{v}. c_{v}(t) = v + ∫_{0}^{t} ξ(c_{v}(s)) ds, das ist stetig differenzierbar.

ċ_{v}(t) = ξ(c_{v}(t)), c_{v}(0) = v

Setze φ(t, v) = c_{v}(t), das ist der gewünschte Fluss; weil c_{v} ein Fixpunkt ist, ist c_{v} eindeutig bestimmt nach Banachs Fixpunktsatz. □

16.5 Picard-Iteration

Bemerkung ; §16.6

Bemerkung: Der Satz liefert einen Algorithmus zur näherungsweisen Lösung der Differentialgleichung: Setze c_{0}(t) = v, c_{1}(t) = S_{v}(c_{o}), c_{2}(t) = S_{v}(c_{1}), …, c_{n+1}(t) = S_{v}(c_{n}). Das Verfahren heißt Picard-Iteration.

Beispiel: U = V = ℝ, ξ(u) = u, DGL ċ = c = ξ(c) c_{0}(t) = v c_{1}(t) = v + ∫_{0}^{t} c_{0}(s) ds = v + ∫_{0}^{t} v ds = v + vt c_{2}(t) = v + ∫_{0}^{t}(v + vs) ds = v + vt + \frac{1}{2}vt^{2} c_{n}(t) = v˙(1 + t + \frac{1}{2}t^{2} + \frac{1}{6}t^{3} + …)

Das konvergiert gegen c_{v}(t) = v exp(t), ċ_{v}(t) = v exp(t) = c_{v}(t), c_{v}(0) = v

Satz §16.7

Satz (gleiche Voraussetzungen und Bezeichnungen wie in Satz §16.5): Die Abbildung \overline{B_{a}}(u) ⟶ C(I, V), v ↦ c_{v} ist Lipschitz-stetig, und der Fluss φ ist stetig.

Beweis: Sei x, y ∈ \overline{B_{a}}(u). Dann gilt

||S_{x}(c_{y})(t) − c_{y}(t)|| = ||S_{x}(c_{y})(t) − S_{y}(c_{y})(t)||
= ||x − y + ∫_{0}^{t} (ξ(c_{y}(s)) − ξ(c_{y}(s))) ds|| = ||x − y||

Setze R = b · L < 1, dann gilt:

||S_{x}^{n}(c_{y}) − c_{y}|| ≤ ||S_{x}^{n}(c_{y}) − S_{x}^{n−1}(c_{y})|| + ||S_{x}^{n−1}(c_{y}) − S_{x}^{n−2}(c_{y})||
+ … + ||S_{x}(c_{y}) − c_{y}|| ≤ (R^{n−1} + R^{n−2} + … + R + 1)||x − y||
⟹ ||c_{x} − c_{y}||_{∞} ≤ \frac{1}{1−R}||x − y||

Damit ist φ stetig:

||φ(t, v) − φ(t + t_{1}, v + v_{1})|| ≤ ||φ(t, v) − φ(t + t_{1}, v)||
+ ||φ(t + t_{1}, v) − φ(t + t_{1}, v + v_{1})||
= \underbrace{||c_{v}(t) − c_{v}(t + t_{1})||}_{klein für t_{1} klein, weil c_{v} stetig ist} + \underbrace{||c_{v}(t + t_{1}) − c_{v+v_{1}}(t + t_{1})||}_{klein für t_{1} klein, wegen oben}

16.6 Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Definition §16.8

Definition: Eine Abbildung f: U ⟶ W heißt lokal Lipschitz-stetig falls es zu jedem u ∈ U ein r > 0 und ein L gibt, so dass für alle x, y ∈ B_{r}(u) ∩ U gilt:

||f(x) − f(y)|| ≤ L||x − y||

Solch eine Abbildung ist stetig, und eine Lipschitz-stetige Abbildung ist lokal Lipschitz-stetig.

Satz §16.9

Satz: Ist f: U ⟶ W stetig differenzierbar, dann ist f lokal Lipschitz-stetig.

Beweis: Sei u ∈ U, wähle \overline{r} > 0 so, dass B\overline{r}(u) ⊆ U. Weil f stetig differenzierbar ist, gibt es r ≤ \overline{r} so, dass ||Df(x) − Df(u)|| ≤ 1 für alle x ∈ B_{r}(u). Es folgt ||Df(x)|| ≤ ||Df(u)|| + 1 = L. Dann gilt für x, y ∈ B_{r}(u):

||f(x) − f(y)|| = || ∫_{0}^{1} Df(sx + (1 − s)y)(x − y) ds||
≤ ∫_{0}^{1} \underbrace{||Df(sx + (1 − s)y)||}_{≤L} ·||x − y|| ds ≤ L · ||x − y||

Beispiel: f(x) = x^{2} ist nicht Lipschitz-stetig, aber lokal Lipschitz-stetig.

L.S. ⇒  lokal L.S.  ⇒ stetig
⇍  ⇑ ⇓̸  ⇍

stetig differenzierbar

Folgerung ; §16.10

Folgerung: Ist ξ lokal Lipschitz-stetig (zum Beispiel ξ stetig differenzierbar) und ist u ∈ U, dann gibt es einen Fluss φ: ] − b, b[×B_{a}(u) ⟶ U, der lokal eindeutig bestimmt ist.

Satz (Existenz von globalen Lösungen): Sei ξ: U ⟶ V ein lokal Lipschitz- Satz §16.11 stetiges Vektorfeld, sei u ∈ U, seien c_{1}, c_{2} Integralkurven: c_{i}: J_{i} ⟶ U, c_{1}(0) = u = c_{2}(0). Dann gilt:

c_{1}(t) = c_{2}(t) für alle t ∈ J_{1} ∩ J_{2}

Beweis: Sei Q = {b > 0 | c_{1}(t) = c_{2}(t) gilt für alle 0 ≤ t ≤ b}. Dann ist Q ≠ ∅ nach Satz §16.5. Beachte: Ist 0 ≤ b̃ ≤ b ∈ Q ⇒ b̃ ∈ Q.

1. Fall: Q =]0, ∞[ dann c_{1}(t) = c_{2}(t) für alle t ≥ 0

2. Fall: b = sup(Q) < ∞. Wenn die Behauptung falsch wäre, gäbe es b_{1} ∈ J_{1} ∩ J_{2} mit b_{1} > b. Betrachte c̃_{i}(t) = c_{i}(t + b). Das sind zwei Integralkurven, c̃_{1}(0) = c̃_{2}(0). Nach Satz §16.5 gilt c̃_{1}(t) = c̃_{2}(t) für ein kleines t > 0. (Widerspruch)

Gleiches Argument für t < 0.

Folgerung ; §16.12

Folgerung: Ist ξ: U ⟶ V ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld und u ∈ U. Setze J(u) = ∪{J | es gibt eine Integralkurve c: J ⟶ V mit c(0) = u} Das ist ein offenes Intervall, nach Satz §16.11 gibt es eine mögliche Lösung der Differentialgleichung ċ = ξ(c) zum Anfangswert c(0) = u.

Beispiel:

Beispiel §16.13

(a) U = ℝ, ξ(u) = u, Lösung c_{v}(t) = v exp(t), J(v) = ℝ für jedes v ∈ R.

(b) ξ(u) = −u^{2}, U = ℝ, ċ(t) = −c(t)^{2}.

Raten den Lösung: c(t) = \frac{1}{t+t_{0}} = (t + t_{0})^{−1}, c(0) = \frac{1}{t_{0}} , ċ(t) = −(t + t_{0})^{−2} = \frac{−1}{(t+t_{0})^{2}} = −c(t)^{2}

Anfangswert: u = (c_{0}) = \frac{1}{t_{0}} , u ≠ 0. c_{n}(t) = \frac{1}{t+ \frac{1}{u}}.

für u > 0 J(u) =] − \frac{1}{u}∞[
für u < 0 J(u) =] − ∞, −\frac{1}{u}[
für u = 0 c(t) = 0 = const

16.7 Die klassische Differentialgleichung

Vorlesung ; 29.06.2004 ; Paragraph ; §16.14

Sei F: U ⟶ ℝ^{n} eine lokal Lipschitz-stetige (reell- oder vektorwertige) Funktion in mehreren Argumenten mit U ⊆ ℝ^{m}. Eine gewöhnliche Differentialgleichung im klassischen Sinne sieht so aus:

c^{(k)}(t) = F (c(t), ċ(t), c̈(t), …, c^{(k−1)}(t), t, p) mit konstantem Parameter p

Wie passt das zu Flüssen, Integralkurven und Vektorfeldern?

Paragraph ; §16.15

Betrachte zuerst den Fall k = 1, ċ(t) = F (c(t), t, p).

Definiere: ξ(u_{1}, s, u_{2}) = (F (u_{1}, s, u_{2}), 1, 0).

Klassisch: F: U_{1} × I × U_{2} ⟶ V mit U_{1} ⊆ V offen, I ⊆ ℝ ein offenes Intervall mit 0 ∈ I und U_{2} ⊆ W offen. ξ: U_{1} × I × U_{2} ⟶ V × ℝ × W, also ist ξ ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld, definiert auf der offenen Menge U_{1} × I × U_{2} ⊆ V × ℝ × W.

Sei c̃ eine Lösung der Differentialgleichung ˙ c̃(t) = ξ(c̃(t)). Schreibe c̃ = (c_{1}, c_{2}, c_{3}). Lösung zum Startwert c̃ = (u, 0, p):

ċ_{2}(t) = 1, c_{2}(0) = 0 ⇒ c_{2}(t) = t ċ_{3}(t) = 0, c_{3}(o) = p ⇒ c_{3}(t) = p = const ċ_{1}(t) = F (c_{1}(t), c_{2}(t), c_{3}(t)) = F (c_{1}(t), t, p)

Das heißt die erste Komponente c_{1} der Integralkurve c̃ = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) ist genau die Lösung der Differentialgleichung: ċ_{1}(t) = F (c_{1}(t), t, p), schreibe c(t) = c_{1}(t). Die Differentialgleichung ċ = F (c, t, p) hat also eine eindeutige Lösung zum Anfangswert c(0) = u.

Bemerkung ; §16.16

Bemerkung: Wir haben immer den Fall betrachtet, dass c(0) als Anfangswert vorgegeben wurde. Das reicht auch vollkommen aus: Falls man ċ(t) = ξ(c(t)) mit c(t_{0}) = u lösen will, setze c̃ = c(t + t_{0}), dann gilt ˙ c̃(t) = ċ(t + t_{0}) (Kettenregel). Löst also c̃ die Differentialgleichung

˙c̃(t) = ξ(c̃(t)), c̃(0) = u

dann ist c(t) = c̃(t − t_{0}) eine Integralkurve mit c(t_{0}) = c̃(0) = u.

Paragraph ; §16.17

Eine klassische gewöhnliche Differentialgleichung k-ter Ordnung

c^{(k)}(t) = F (c(t), ċ(t), …, c^{(k−1)}(t), t, p)

mit den Anfangswerten c(0) = v_{0}, ċ(0) = v_{1}, …, c^{(k−1)}(0) = v_{k−1} und

F: U_{0} × U_{1} × U_{2} × ⋯ × U_{k−1} × I × Ũ ⟶ V lokal Lipschitz-stetig

Setze ξ(u_{0}, u_{1}, …, u_{k−1}, s, w) = (u_{1}, u_{2}, …, u_{k−2}, F (u_{1}, …, w), 1, 0) dann ist ξ ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld:

ξ: U_{0} × U_{1} × ⋯ × U_{k−1} × I × Ũ ⟶ \underbrace{V × ⋯ × V}_{k-Stück} ×ℝ × W

Sei c̃ die zugehörige Integralkurve, ˙ c̃(t) = ξ(c̃(t)), c̃(t) = (c_{0}(t), …, c_{k−1}(t), t, p) und ċ_{0} = c_{1} = c_{0}^{(1)}, ċ_{1} = c_{2} = c_{0}^{(2)}, …, ċ_{k−2} = c_{k−1} = c_{0}^{(k−1)}, ċ_{k−1} = F (c_{0}, c_{1}, …, c_{k−1}, t, p) ⟹ c^{(k)}(t) = F (c(t), ċ(t), …, c^{(k−1)}(t), t, p), c = c_{0}.

Schlagwort: Eine Differentialgleichung k-ter Ordnung wird auf ein System von k Differentialgleichungen 1. Ordnung zurückgeführt.

Beispiel §16.18

Beispiel (a): c̈ + c = 0: c_{1} = c, c_{2} = ċ_{1}, ( ċ_{1} ; ċ_{2} ) = ( \begin{matrix}c_{2} \\ −c_{1} \end{matrix} ) also

ξ(u_{1}, u_{2}) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}u_{1} \\ u_{2} \end{matrix} ) , (ċ_{1}, ċ_{2}) = ξ(c_{1}, c_{2})

Das ist eine Differentialgleichung der Form ξ(u) = A(u) mit A: V ⟶ V linear. Man spricht von einer linearen Differentialgleichung. Hier raten wir: sin und cos haben die Eigenschaft c̈ + c = 0 ⇔ c̈ = −c. Ansatz mit a, b ∈ ℝ:

c(t) = a · sin(t) + b · cos(t) ċ(t) = a · cos(t) − b · sin(t) c̈(t) = −a · sin(t) − b · cos(t) = −c(t)

Anfangswerte: c(0) = b, ċ(0) = a. Bei einer Differentialgleichung k-ter Ordnung gibt man vor: c(0), ċ(0), …, c^{(k−1)}(0), also gibt man k verschiedene Anfangswerte vor. Zu den Anfangswerten c(0) = b, ċ(0) = a ist also c(t) = a · sin(t) + b · cos(t) die eindeutig bestimmte Lösung. Es gilt: J(b, a) = ℝ.

Beispiel (b) für eine (nicht lineare) Differentialgleichung: F (u, t) = g(u)·f(t) Beispiel §16.19 (Differentialgleichung mit getrennten Variablen). Angenommen, g hat keine Nullstellen, u ∈ U ⊆ ℝ:

ċ(t) = g(c(t)) · f(t) ⟹ \frac{ċ(t)}{g(c(t))} = f(t)

Setze F (t) = ∫_{0}^{t} f(s) ds, H(v) = ∫_{u}^{v} \frac{1}{g(x)} dx, Anfangswert c(0) = u. Behauptung: Für die Lösung c gilt F (t) = H(c(t)), denn

f(t) = \frac{d}{dt} ∫_{u}^{c(t)} \frac{1}{g(x)} dx = \frac{d}{dt} (∫_{0}^{t} \frac{1}{g(c(t))} · ċ(s) ds) = \frac{1}{g(c(t))} · ċ(t)

Für t = 0 haben wir F (0) = 0 = H(c(0)) = ∫_{u}^{v} \frac{1}{g(x)} dx = 0

Beispiel (c): F (u, t) = u^{2} also g(u) = u^{2}, f(t) = 1. Das ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. F (t) = t.

H(v) = ∫_{u}^{v} \frac{1}{x^{2}} dx = [−\frac{1}{x}]_{x=u}^{x=v} = \frac{1}{u} − \frac{1}{v} ⟹ t = \frac{1}{u} − \frac{1}{c(t)}
\frac{1}{c(t)} = \frac{1}{u} − t = \frac{1}{u} − \frac{ut}{u} = \frac{1 − ut}{u} ⟹ c(t) = \frac{u}{1 − ut}

Das ist die Lösung der Differentialgleichung.

Vorlesung 02.07.2004

Beispiel (d): c̈ = F (c) (zum Beispiel Newtons Gesetz für ein zeitunabhängiges Kraftfeld), U ⊆ ℝ offen, F: U ⟶ ℝ, u ∈ U. Ansatz: V (x) = − ∫_{u}^{x} F (r) dr

⇝ c̈(t) + \frac{∂V}{∂x} (c(t)) = 0

c̈(t)ċ(t) + ċ(t)\frac{∂V}{∂x} (c(t)) = 0

⇒ \frac{1}{2}ċ(t)^{2} + V (c(t)) = E = const
⇒ ċ(t) = \sqrt{2E − 2V (c(t))}

Das ist der Energieerhaltungssatz (kinetische Energie + potentielle Energie = const), eine Differentialgleichung in getrennten Variablen, die wir wie in (c) lösen können: H(x) = ∫_{v}^{x} \frac{1}{\sqrt{2E−2V (r)}} dr

Beispiel (e): c̈ = −kc, k > 0 reelle Konstante (Federgleichung) u = 0 = c(0), ċ(0) = c_{0} > 0 Potential: V (x) = ∫_{u}^{x} kr dr = \frac{1}{2}x^{2}k ċ(t) = \sqrt{2E − c(t)^{2}k}, E = \frac{1}{2}c_{0}^{2} ċ(t) = \sqrt{c_{0}^{2} − c(t)^{2}k}, F (t) = t H(x) = ∫_{0}^{x} \frac{1}{c_{0}^{2}−kr^{2}} dr = \frac{1}{ω} arcsin(x\frac{ω}{c_{0}} ) mit ω = \sqrt{k}, t = \frac{1}{ω} arcsin (c(t)\frac{ω}{c_{0}} ) ⇒ sin(ωt) = c(t)\frac{ω}{c_{0}} ⇒ c(t) = \frac{c_{0}}{ω} sin(ωt) Diese Funktion löst die Differentialgleichung für alle t.

Faustregel: Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz garantiert die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung. Mit solchen Tricks und Methoden, wie in den Beispielen (d) und (e) sucht man eine Lösung ohne auf Einzelheiten im Definitionsbereich zu achten, sondern prüft ganz zum Schluss, ob die gefundene Funktion eine Lösung ist.

Weitere Literatur:

• Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen

• Braun, Gewöhnliche Differentialgleichungen

17 Lineare DGL und globaler Fluss

17.1 Der globale Fluss

Definition §17.1

Definition: Wir betrachten eine lokal Lipschitz-stetige Funktion ξ: U ⟶ V mit U ⊆ V offen und V Banachraum. Zu u ∈ U hatten wir das maximale Lösungsintervall J(u) ⊆ ℝ zur maximalen Integralkurve c_{u}: J(u) ⟶ U mit c_{u}(0) = u. Setze Ω = ⋃ J(u) × {u} ⊆ ℝ × U. Definiere φ: Ω ⟶ U, (t, u) ↦ φ(t, u) = c_{u}(t). Wir nennen φ den globalen Fluss zu ξ und Ω seinen Definitionsbereich. Für (t, u) ∈ Ω schreibe c_{u}(t) = φ(t, u) = φ_{t}(u).

Beispiel §17.2

Beispiel:

• U = ℝ, ξ(u) = u, c_{u}(t) = ue^{t} = φ_{t}(u),

J(u) = ℝ ⇒ Ω = ℝ × ℝ

• U = ℝ, ξ(u) = −u^{2},

J(u) = \{ \begin{matrix}] − \frac{1}{u}, ∞[ & falls u > 0 \\ ] − ∞, −\frac{1}{u}[ & falls u < 0 \\ ℝ & falls u = 0 \end{matrix}

[figure: t; u; Ω]

Abbildung 29: Globaler Fluss

Satz §17.3

Satz: Sei ξ: U ⟶ V lokal Lipschitz-stetig. Sei (u, t) ∈ Ω. Dann gilt

J(φ_{t}(u)) = {s − t | s ∈ J(u)} = J(u) − t

und φ_{s+t}(u) = (φ_{s} ∘ φ_{t})(u) = (φ_{t} ∘ φ_{s})(u).

Beweis: Betrachte c_{1}(t) = φ_{t}(φ_{s}(u)) und c_{2}(t) = φ_{s+t}(u) c_{1}(0) = φ_{s}(u) = c_{u}(s) = φ_{s}(u) = c_{2}(0) ċ_{1}(t) = ξ(c_{1}(t)) und ċ_{2}(t) = ξ(c_{2}(t)) Mit dem Satz über die Eindeutigkeit der Lösung folgt: c_{1}(t) = c_{2}(t) □

Satz §17.4

Satz: Ω ⊆ ℝ × V ist offen und φ: Ω ⟶ U ist stetig.

Beweis: Sei (t, u) ∈ Ω, sei Q = {r > 0 | für jedes t ∈ ]0, r[ gibt es a, b > 0 mit ] t − b, t + b [ × B_{a}(u) ⊆ Ω und φ ist stetig in (t, v)}. Nach §16.7 ist Q ≠ ∅.

1. Fall: Q =]0, ∞[ → OK.

2. Fall: Q ≠]0, ∞[, also existiert q = sup(Q) < ∞ Behauptung: q ∉ J(u) → OK. Angenommen q ∈ J(u). Setze \overline{u} = φ_{q}(u) ∈ U, es gibt einen lokalen Fluss φ̃ nahe \overline{u}, φ̃: ] − r, r [×B_{r}(\overline{u}) ⟶ U. Weiter gibt es δ > 0 so, dass t ∈]q − δ, q[ ⇒ φ_{t}(u) ∈ B\frac{r}{4} (\overline{u}) (weil Integralkurven stetig sind). Wähle t_{1} < q mit q − δ < t_{1} und q − t_{1} < \frac{r}{4}. Es gibt dann s > 0 mit φ(]t_{1} − s, t_{1} + s[×B\frac{r}{2} (\overline{u})) ⊆ B\frac{r}{2} (\overline{u}). Für t ∈] t_{1} − r, t_{1} + r[ setze ψ(t, v) = φ̃(t − t_{1}, φ(t_{1}, v)) ⇒ ψ(t_{1}, v) = φ(t_{1}, v). Damit ist φ doch in (q, u) stetig. Ein Widerspruch. □

17.2 Die Exponentialfunktion

Vorlesung 06.07.2004

Definition §17.5

Definition: Es sei V ein Banachraum (z.B. V = ℝ^{n}), T: V ⟶ V stetig und linear, also T ∈ L(V, V). Setze g_{n}(T) = id_{V} +T + \frac{1}{2}T^{2}+⋯+ \frac{1}{n!}T^{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}T^{k}, das ist eine stetige lineare Abbildung, g_{n} ∈ L(V, V), denn g_{n} ist linear und Summe stetiger Abbildungen. Wähle R > 0, setze X_{R} = {T ∈ L(V, V) | ||T || ≤ R}, g_{n}: X_{R} ⟶ L(V, V) ist stetig für jedes n ∈ ℕ. Es gilt:

||g_{N}(T) − g_{N−ℓ}(T)|| = || ∑_{k=N+1}^{N+ℓ} \frac{1}{k!}T^{k}|| ≤ ∑_{k=N+1}^{N+ℓ} \frac{1}{k!}||T ||^{k} ≤ ∑_{k=N+1}^{N+ℓ} \frac{1}{k!}R^{k}

⇒ ||g_{N} − g_{N−ℓ}||_{∞} ≤ ∑_{N+1}^{N+ℓ} \frac{1}{k!}R^{k}

Das wird beliebig klein, falls N groß genug ist. Die Folge (g_{n})_{n∈ℕ} ist also eine

Cauchy-Folge, der Grenzwert ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}T^{k} = exp(T) = e^{T} ist eine stetige lineare

Abbildung X_{R} ⟶ L(V, V). Das gilt für jedes R > 0, also ist die Abbildung exp: L(V, V) ⟶ L(V, V) stetig.

Sei A ∈ L(V, V).

A ∫_{0}^{t} g_{n}(sA) ds = A ∫_{0}^{t}(A+As+A\frac{s^{2}}{2} +⋯) ds = At+ \frac{1}{2}At^{2}+⋯ = g_{n+1}(tA)−1

Im Grenzwert n → ∞ ergibt das: A ∫_{0}^{t} e^{As} ds = e^{At} − 1 Die linke Seite ist stetig differenzierbar, also gilt:

\frac{d}{dt}(e^{At} − 1) = Ae^{At} ⇒ \frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At} = e^{At}A

Betrachte das Vektorfeld ξ auf L(V, V) × L(V, V) mit ξ(X, Y) = (XY, 0). Es ergibt sich die Differentialgleichung (Ẋ, Ẏ) = (XY, 0) ⇒ Y = Y_{0} = const Lösung: X(t) = X_{0}e^{Y_{0}t}, Ẋ(t) = X_{0}e^{Y_{o}t}Y_{0} = X(t)Y (t) mit X(0) = X_{0}e^{Y_{0}·0} = X_{0} · 1 = X_{0} Der zugehörige globale Fluss ist φ_{t}(X, Y) = (Xe^{tY} , Y). Nach Satz §17.3 gilt φ_{s+t} = φ_{s} ∘ φ_{t}, (Xe^{(t+s)Y} , Y) = φ_{s}(Xe^{tY} , Y) = (Xe^{tY} e^{sY} , Y). Insbesondere gilt: e^{(s+t)Y} = e^{sY} · e^{tY}

Satz §17.6

Satz: Sei V ein Banachraum, A ∈ L(V, V) und s, t ∈ ℝ beliebig. Es gilt stets: e^{(s+t)A} = e^{sA} · e^{tA}. Insbesondere gilt e^{sA} · e^{−sA} = id_{V}. Damit ist e^{sA} immer invertierbar.

Beweis: Siehe oben. □

Achtung: Es gilt im Allgemeinen nicht: e^{A+B} = e^{A} · e^{B}.

17.3 Homogene lineare Differentialgleichungen

Definition §17.7

Definition: Sei I ⊆ ℝ ein offenes Intervall (mit 0 ∈ I), sei A: I ⟶ L(V, V) lokal Lipschitz-stetig. Die Differentialgleichung ċ(t) = A(t) · c(t) heißt homogene lineare Differentialgleichung.

Beispiel §17.8

Beispiel: Ist A ∈ L(V, V) fest, α: I ⟶ ℝ lokal Lipschitz-stetig, A(t) = Aα(t), so gilt für c(t) = e^{∫_{0}^{t} α(s) dsA}c_{0} mit einem festen Vektor c_{0} ∈ V. Es gilt c(0) = c_{0}, ċ(t) = α(t) · A · e^{∫_{0}^{t} α(s) dsA}c_{0} = A(t) · c(t)

Also ist c die Integralkurve dieser Differentialgleichung zum Anfangswert c_{0}. Wichtiger Spezialfall: Ist α = const, ċ(t) = Ac(t), so spricht man von einer homogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.

Beispiel §17.9

Beispiel (a): f: I ⟶ ℝ = V, ċ(t) = f(t) · c(t) ⇒ c(t) = e^{∫_{0}^{t} f(s) ds} Konkret: f(t) = t^{n}, ċ(t) = t^{n} · c(t), c(t) = e^{∫_{0}^{t} s^{n} ds} = e^{\frac{1}{n+1} t^{n+1}}

Beispiel (b): c̈(t) = −c(t), c(t) = c_{1}(t), ċ(t) = c_{2}(t) ⇒ ċ_{2}(t) = −c_{1}(t), ċ_{1}(t) = c_{2}(t)

˜ċ(t) = ( \begin{matrix}ċ_{1}(t) \\ ċ_{2}(t) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}c_{2}(t) \\ −c_{1}(t) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}c_{1}(t) \\ c_{2}(t) \end{matrix} ) = Ac̃(t)

Lösung: c̃(t) = e^{At}c̃_{0}. Was also ist e^{At}?

A^{0} = E, A^{1} = A, A^{2} = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) = −E, A^{3} = A^{2}A = −A,

A^{4} = (A^{2})^{2} = E, A^{4k} = A^{k}

e^{tA} = E+tA+t^{2}A^{2} \frac{1}{2} +t^{3}A^{3} \frac{1}{6} +⋯ = ( \begin{matrix}∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{t^{2k}}{(2k)!} & ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ − ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!} & ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{t^{2k}}{(2k)!} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}cos(t) & sin(t) \\ − sin(t) & cos(t) \end{matrix} )

c̃(t) = e^{At}c̃(0)

( \begin{matrix}c_{1}(t) \\ c_{2}(t) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}cos(t) & sin(t) \\ − sin(t) & cos(t) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}c_{1}(0) \\ c_{2}(0) \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}c_{1}(0) \\ c_{2}(0) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}c(0) \\ ċ(0) \end{matrix} )

Also: c(t) = c(0) cos(t) + ċ(0) sin(t)

Beispiel (c): Sei A = ( \begin{matrix}1 & r \\ 0 & 1 \end{matrix} ) eine obere Dreiecksmatrix. Was ist e^{At}?

A^{0} = E, A^{1} = A, A^{2} = ( \begin{matrix}1 & 2r \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , …, A^{k} = ( \begin{matrix}1 & kr \\ 0 & 1 \end{matrix} )

e^{tA} = E + At + \frac{1}{2}A^{2}t^{2} + ⋯ = ( \begin{matrix}e^{t} & e^{t}tr \\ 0 & e^{t} \end{matrix} ), denn ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}t^{k}kr = tr ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}t^{k}.

17.4 Die Exponentialfunktion und Matritzen

Vorlesung 09.07.2004

exp (( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) t) = ( \begin{matrix}cos(t) & sin(t) \\ − sin(t) & cos(t) \end{matrix} )
exp (( \begin{matrix}1 & r \\ 0 & 1 \end{matrix} ) t) = ( \begin{matrix}e^{t} & e^{t}tr \\ 0 & e^{t} \end{matrix} )

Paragraph ; §17.10

Im Allgemeinen ist es schwierig e^{At} für eine Matrix A auszurechnen. Es gibt ein paar hilfreiche Regeln:

(i) Ist A = ( \begin{matrix}A_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & A_{2} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & A_{r} \end{matrix} ) und A_{ℓ} quadratische Matrix,

dann

e^{At} = ( \begin{matrix}e^{A_{1}t} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & e^{A_{2}t} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & e^{A_{r}t} \end{matrix} )

Insbesondere ist A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) Diagonalmatrix, dann

e^{At} = ( \begin{matrix}e^{a_{11}t} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & e^{a_{nn}t} \end{matrix} )

(ii) Ist v ein Eigenvektor von A, das heißt Av = av und a ∈ ℝ, v ≠ 0, dann e^{At}v = e^{at}v, insbesondere ist v ein Eigenvektor von e^{At} zum Eigenwert e^{at}.

(iii) Ist B invertierbar, so gilt (B^{−1}AB)^{k} = B^{−1}A^{k}B, also B^{−1}e^{At}B = e^{B^{−1}AtB}. Das heißt zum Beispiel: Ist D = B^{−1}AB eine Diagonal-

matrix, D = ( \begin{matrix}d_{1} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & d_{n} \end{matrix} )

⇒ e^{tD} = e^{tB^{−1}AB} = ( \begin{matrix}e^{td_{1}} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & e^{td_{n}} \end{matrix} ) = B^{−1}e^{tA}B

⇒ e^{tA} = B ( \begin{matrix}e^{td_{1}} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & e^{td_{n}} \end{matrix} ) B^{−1}

Beispiel §17.11

Beispiel: DGL y′′ + 4y′ − 2y = 0. Umschreiben auf DGL 1. Ordnung: c_{2} = ċ_{1}, c_{1} = y, ċ_{2} + 4c_{2} − 2c_{1} = 0

ċ_{1} = c_{2}, ċ_{2} = 2c_{1} − 4c_{2}

\underbrace{( \begin{matrix}ċ_{1}(t) \\ ċ_{2}(t) \end{matrix} )}_{=ċ} = \underbrace{( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & −4 \end{matrix} )}_{=A} \underbrace{( \begin{matrix}c_{1}(t) \\ c_{2}(t) \end{matrix} )}_{=c} Lösung: c(t) = e^{At}c(0)

Suche Eigenwerte von A: Über das charakteristische Polynom,

det ( \begin{matrix}0 − x & 1 \\ 2 & −4 − x \end{matrix} ) = x^{2} + 4x − 2

Nullstellen λ_{1} = −1 + \sqrt{6}, λ_{2} = −1 − \sqrt{6}, das sind die Eigenwerte von A. Eigenvektoren: Löse (A − λ_{i})v_{i} = 0, zum Beispiel

v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ −2 + \sqrt{6} \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ −2 − \sqrt{6} \end{matrix} ).

Also: e^{At}v_{1} = e^{(−2+\sqrt{6})t}v_{1}, e^{At}v_{2} = e^{(−2−\sqrt{6})t}v_{2}

e^{At}(r_{1}v_{1} + r_{2}v_{2}) = r_{1}e^{(−2+\sqrt{6})t}v_{1} + r_{2}e^{(−2−\sqrt{6})t}v_{2} = ( \begin{matrix}c_{1}(t) \\ c_{2}(t) \end{matrix} )

Anfangsbedingung: c_{1}(0), c_{2}(0) sind vorgegeben. r_{1}v_{1} + r_{2}v_{2} = ( \begin{matrix}c_{1}(0) \\ c_{2}(0) \end{matrix} ),

( \begin{matrix}1 & 1 \\ −2 + \sqrt{6} & −2 − \sqrt{6} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}r_{1} \\ t_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}c_{1}(0) \\ c_{2}(0) \end{matrix} )

( \begin{matrix}r_{1} \\ r_{2} \end{matrix} ) = \frac{1}{−2\sqrt{6}} ( \begin{matrix}−2 − \sqrt{6} & −1 \\ 2 − \sqrt{6} & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}c_{1}(0) \\ c_{2}(0) \end{matrix} )

⇒ c_{1}(t) = r_{1}e^{(−2+\sqrt{6})t} + t_{2}e^{(−2−\sqrt{6})t}
= \frac{1}{−2\sqrt{6}} (c_{1}(0)(2 + \sqrt{6}) + c_{2}(0)) e^{(−2+\sqrt{6})t}
− \frac{1}{2\sqrt{6}} (c_{1}(0)(2 − \sqrt{6}) + c_{2}(0)) e^{(−2−\sqrt{6})t}

mit c_{1} = y, c_{2} = y′, Startwerte y(0) = c_{1}(0), y′(0) = c_{2}(0). Es folgt:

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & −4 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ −2 + \sqrt{6} & −2 − \sqrt{6} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−2 + \sqrt{6} & 0 \\ 0 & −2 − \sqrt{6} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−2 − \sqrt{6} & −1 \\ 2 − \sqrt{6} & 1 \end{matrix} ) \frac{1}{−2\sqrt{6}}

⇒ eAt = − \frac{1}{2\sqrt{6}} ( \begin{matrix}1 & 1 \\ −2 + \sqrt{6} & −2 − \sqrt{6} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}e(−2+^{\sqrt{6}})t & 0 \\ 0 & e(−2−^{\sqrt{6}})t \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−2 − \sqrt{6} & −1 \\ 2 − \sqrt{6} & 1 \end{matrix} )

ċ(t) = A(t)c(t)

17.5 Inhomogene lineare Differentialgleichungen

Definition ; §17.12

Definition: Sei J ⊆ ℝ ein offenes Intervall mit 0 ∈ J, A: J ⟶ L(V, V) und b: J ⟶ V, beide lokal Lipschitz-stetig. Die Differentialgleichung

ċ(t) = A(t)c(t) + b(t)

heißt inhomogene lineare Differentialgleichung.

Satz §17.13

Satz: Der Definitionsbereich des globalen Flusses ist Ω = J × V, das heißt die Lösungen sind für alle t ∈ J definiert.

Beweis: Sei I ⊆ J abgeschlossen und beschränkt mit 0 ∈ I. Sei R = sup{||A(t)|| | t ∈ I} (das existiert, weil I abg. und beschränkt ist). F (x, t) = A(t)x + b(t), ||F (x, t) − F (y, t)|| = ||A(t)(x − y)|| ≤ R||x − y|| Setze c_{0} = v, c_{n+1}(t) = ∫_{0}^{t} F (c_{n}(s), s) ds + v (Picard-Iteration) ||c_{n+1}(t) − c_{n}(t)|| = || ∫_{0}^{t} F (c_{n}(s), s) ds − ∫_{0}^{t} F (c_{n−1}(s), s) ds|| ≤ | ∫_{0}^{t} R||c_{s}(s) −

c_{n−1}(s)|| ds| ≤ R^{n} \underbrace{|t|^{n}||c_{1} − c_{0}||_{∞}}_{=n!}

Die (c_{n})_{n∈ℕ} bilden als stetige Kurven I ⟶ V eine Cauchy-Folge mit Grenzwert c: I ⟶ V mit c(t) = ∫_{0}^{t} F (c(s), s) ds + v.

⟹ ċ(t) = A(t)c(t) + b(t) für alle t ∈ I
c(0) = v

Das Argument geht für jedes abgeschlossene und beschränkte Intervall I ⊆ J, also für alle t ∈ J. □

Bemerkung ; §17.14

Bemerkung: Einige elementare Beobachtungen: Sei F (x, t) = A(t)x + b(t), die Differentialgleichung ċ(t) = F (c(t), t) hat folgende Eigenschaften:

(i) Ist c_{1} eine Lösung der homogenen linearen DGL, also ċ_{1}(t) = A(t)c_{1}(t) und ist c_{2}(t) eine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung, also ċ_{2}(t) = A(t)c_{2}(t) + b(t), so ist c = c_{1} + c_{2} ebenfalls eine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung ċ(t) = A(t)c(t) + b(t) zum Anfangswert c(0) = c_{1}(0) + c_{2}(0).

(ii) Kann die homogene Differentialgleichung eindeutig lösen und findet man eine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung, so hat man damit alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung zu beliebigen Anfangswerten.

Vorlesung ; 13.07.2004 ; Satz §17.15

Satz: Sei Φ_{t}(u) die Lösung des homogenen Problems, das heißt c(t) = Φ_{t}(u) hat die Eigenschaft, dass

ċ(t) = A(t)c(t) mit c(0) = u

Dann gilt Φ_{t}(u + v) = Φ_{t}(u) + Φ_{t}(v), weil die Differentialgleichung linear ist. Das heißt Φ_{t} ist eine lineare Abbildung mit Φ_{t}: V ⟶ V und Φ_{t} ist invertierbar.

Beweis: Ist ξ: V × J ⟶ V × J ein Vektorfeld mit (u, v) ↦ (A(r)u, 1) und Fluss φ_{t}(u, r) = (φ̃_{t}(u, r), r + t) dann gilt Φ_{t}(u) = φ̃_{t}(u, 0) also ist Φ_{t} invertierbar.□

Ist A(t) = α(t)A (siehe Beispiel §17.8), so ist c(t) = e^{∫_{0}^{t} α(s) dsA}u, das heißt in dieser Situation ist Φ_{t} = e^{∫_{0}^{t} α(s) dsA}

Bemerkung ; §17.16

Bemerkung: Wir finden eine Lösung des inhomogenen Systems mit dem folgenden Ansatz: u̇(t) = Φ_{t}^{−1}(b(t)), das heißt u(t) = ∫_{0}^{t} Φ_{t}^{−1}(b(s)) ds. Setze

c(t) = Φ_{t}(u(t))
ċ(t) = \frac{∂Φ_{t}}{∂t} (u(t)) + Φ_{t}u̇(t) = A(t)Φ_{t}(u(t)) + Φ_{t}Φ_{t}^{−1}(b(t))
= A(t)c(t) + b(t)

Damit haben wir eine Lösung des inhomogenen Systems gefunden. Man nennt diesen Ansatz Variation der Konstanten.

Beispiel §17.17

Beispiel: Sei V = ℝ^{2}, J = ℝ und ċ(t) = A(t)c(t) + b(t) mit

A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) , b(t) = ( \begin{matrix}0 \\ t \end{matrix} ) ⇒ ( \begin{matrix}ċ_{1}(t) \\ ċ_{2}(t) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}c_{2}(t) \\ −c_{1}(t) \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 \\ t \end{matrix} )

1. Schritt: Löse die homogene Differentialgleichung ċ(t) = A(t)c(t) vollständig.

Φ_{t}(u) = e^{∫_{0}^{t} A ds}u = e^{tA}u = ( \begin{matrix}cos(t) & sin(t) \\ − sin(t) & cos(t) \end{matrix} ) u (e^{At} aus Beispiel §17.9)

2. Schritt: Finde eine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung. In dieser Situation ergibt sich: Φ_{s}^{−1} = Φ_{−s}

u(t) = ∫_{0}^{t} ( \begin{matrix}cos(s) & − sin(s) \\ sin(s) & cos(s) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ s \end{matrix} ) ds = ∫_{0}^{t} ( \begin{matrix}−s sin(s) \\ s cos(s) \end{matrix} ) ds
= ( \begin{matrix}t cos(t) − sin(t) \\ t sin(t) + cos(t) − 1 \end{matrix} )
c(t) = Φ_{t}u(t) = ( \begin{matrix}cos(t) & sin(t) \\ − sin(t) & cos(t) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}t cos(t) − sin(t) \\ t sin(t) + cos(t) − 1 \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}t cos^{2}(t) − cos(t) sin(t) + 2 sin^{2}(t) + sin(t) cos(t) − sin(t) \\ −t sin(t) cos(t) + sin^{2}(t) + t sin(t) cos(t) + cos^{2}(t) − cos(t) \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}t − sin(t) \\ 1 − cos(t) \end{matrix} )

Das ist eine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung zum Anfangswert (0, 0)

3. Schritt: Allgemeine Lösung des inhomogenen Problems zum Anfangswert c(0) = v = (v_{1}, v_{2}).

c(t) = Φ_{t}(v) + ( \begin{matrix}t − sin(t) \\ 1 − cos(t) \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}cos(t) & sin(t) \\ − sin(t) & cos(t) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}t − sin(t) \\ 1 − cos(t) \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}cos(t) \\ − sin(t) \end{matrix} ) v_{1} + ( \begin{matrix}sin(t) \\ cos(t) \end{matrix} ) v_{2} + ( \begin{matrix}t − sin(t) \\ 1 − cos(t) \end{matrix} )

17.6 Fundamentalsystem

Bemerkung ; §17.18

Bemerkung: Ist V = ℝ^{n} und sind v_{(1)}, …, v_{(n)} ∈ ℝ^{n} linear unabhängige Vektoren, so gilt für alle v ∈ ℝ^{n} mit v = v_{(1)}r_{1} + ⋯ + v_{(n)}r_{n}:

Φ_{t}(v) = Φ_{t}(v_{(1)}r_{1}) + ⋯ + Φ_{t}(v_{(n)})r_{n} = c_{(1)}(t)r_{1} + ⋯ + c_{(n)}(t)r_{n}

Damit ist c(t) = r_{1}c_{(1)}(t) + ⋯ + r_{n}c_{(n)}(t) Lösung der homogenen Differentialgleichung zum Anfangswert c(0) = v. Man nennt (c_{(1)}, …, c_{(n)}) ein Fundamentalsystem von Lösungen der linearen homogenen Differentialgleichung.

Beispiel §17.19

Beispiel: Sei V = ℝ, J =] − 1, ∞[ und 2(t + 1)^{2}y′′ − (t + 1)y′ + y = 0. Setze c_{1}(t) = y(t), c_{2}(t) = y′(t)

\{ \begin{matrix}2(t + 1)^{2}ċ_{2}(t) − (t + 1)c_{2}(t) + c_{1}(t) & = & 0 \\ ċ_{1}(t) & = & c_{2}(t) \end{matrix}
⇒ \{ \begin{matrix}ċ_{2}(t) & = & −\frac{1}{2} \frac{1}{(t+1)^{2}} c_{1}(t) + \frac{1}{2} \frac{1}{1+t}c_{2}(t) \\ ċ_{1}(t) & = & c_{2}(t) \end{matrix}
⇒ ( \begin{matrix}ċ_{1}(t) \\ ċ_{2}(t) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −\frac{1}{2(t+1)^{2}} & \frac{1}{2(t+1)} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}c_{1}(t) \\ c_{2}(t) \end{matrix} )

Ansatz: Setze c_{1}(t) = (t + 1)^{a} mit a ∈ ℝ, a > 0, also c_{2}(t) = a(t + 1)^{a−1} = ċ_{1}(t) und ċ_{2}(t) = a(a − 1)(t + 1)^{a−2}

a(a − 1)(t + 1)^{a−2} = \frac{−1}{2(t + 1)^{2}} (t + 1)^{a} + \frac{a}{2(t + 1)}(t + 1)^{a−1}
= \frac{1}{2}(t + 1)^{a−2} + \frac{1}{2}a(t + 1)^{a−2}
⇔  a(a − 1) = \frac{1}{2}(a − 1)
⇒  a_{1} = 1,  a_{2} = \frac{1}{2}

Lösung: c_{(1)} = ( \begin{matrix}t + 1 \\ 1 \end{matrix} ) , c_{(2)} = ( \sqrt{t + 1}_{\frac{1}{2\sqrt{t+1}}} )

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist also von der Form

c = ( \begin{matrix}t + 1 \\ 1 \end{matrix} ) r_{1} + ( \sqrt{t + 1}_{\frac{1}{2\sqrt{t+1}}} ) r_{2}

Die bisherigen Methoden funktionieren hier nicht, da A(t) nicht durch α(t) · A ausdrückt werden kann.

Literaturverzeichnis

Analysis Bücher • Bröcker, Analysis 1/2, Spektrum Verlag, Heidelberg, 1995.

• Forster, Analysis 1/2, Vieweg: Mathematik Grundkurs, Braunschweig, 1999.

• Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1/Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1991.

• Königsberger, Analysis 1/2, Springer, Berlin, 1997.

• Walter, Analysis 1/2, Springer, Berlin, 1997.

• Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, Berlin, 1972. Allgemeine Bücher

• Beutelspacher, Das ist o.B.d.A. trivial!

Eine Gebrauchsanleitung zur Formulierung mathematischer Gedanken mit vielen praktischen Tips für Studierende der Mathematik und Informatik. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997.

• Courant and Robbins, Was ist Mathematik?, Fourth edition, Springer, Berlin, 1992.

• Ebbinghaus et al., Zahlen, Springer, Berlin, 1983.

• Graham, Knuth and Patashnik, Concrete mathematics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1994.

• Schönhage-Strassen: Schnelle Multiplikation großer Zahlen, Computing 7 (1971), Seiten 281-292

• Knuth, Arithmetik, Springer, Berlin, 2001.

ABBILDUNGSVERZEICHNIS II

Abbildungsverzeichnis

1 Die Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Schnittmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Vereinigungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Die geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 exp - und ln -Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7 Annäherung der cos -Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10 Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
11 Stufenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
12 Stufenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
13 Funktionsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
14 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
15 Funktionsklassen: Stetig differenzierbare Funktionen . . . . . . . 50
16 Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
17 Die Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
18 Pixelabstand am Bildschirm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
19 Offene r-Kugel in ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
20 Offene r-Kugel von Bildschirmpixeln . . . . . . . . . . . . . . . . 68
21 Stetigkeit im endlichdimensionalen Vektorraum . . . . . . . . . . 78
22 Funktionsgraphen von c_{1} und c_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
23 Funktionsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
24 Stetige Regelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
25 Funktionsgraphen von f und g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
26 Das Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
27 Die Integralkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
28 Lokaler Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
29 Globaler Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Index

1-Norm, 72 2-Norm, 73 r-Kugel, 67, 111

Abbildungen, 23, 75 Abbildungen, kontrahierend, 79 Abbildungen, lineare, 76 Abgeschlossene r-Kugel, 111 Abgeschlossene Mengen, 81 Abgeschlossenheit, 70 Ableitungstabelle, 53 Absolutbetrag, 3 Absolute Konvergenz, 18 Abstandsbegriff, 66 Alternierende Reihen, 18 Anordung von Zahlen, 2 Archimedisches Prinzip, 10 Aussonderung von Mengen, 5 Auswahl-Axiom, 7

Banach’scher Fixpunktsatz, 79 Banachraum, 35 Bernoulli’sche Ungleichung, 10 Beschleunigung, 83 Beschränkte Folgen, 12 Beschränkte Funktionen, 33, 99 Betrag, 3 Bilinearform, 93 Bilinearform, Symmetrie, 94 Binomialkoeffizient, 9 Binomischer Lehrsatz, 9 Bolzano-Weierstraß, 14

Cauchy-Folge, 15, 69 Cauchy-Folge von Funktionen, 35 Cauchy-Produkt, 29 Charakteristische Abbildung, 23

Definitheit, Hurwitz-Kriterium, 98 Definitheit, Kriterien, 97 Differentialgleichungen, 110 Differentialgleichungen, lineare, 120 Differentialoperator, 50 Differentiation, 44, 85 Differentiation, Kettenregel, 48, 87,

93 Differentiation, Leibnizregel, 46, 87 Differentiation, Mittelwertsatz, 49 Differentiation, partielle, 87 Differentiation, Produktregel, 46 Differentiation, Quotientenregel, 46 Differentiation, Rechenregeln, 46 Differentiation, Tabelle, 53 Differenzierbarkeit, 45, 92 Differenzierbarkeit, Kurven, 83 Differenzierbarkeit, mehrfache, 83 Differenzierbarkeit, stetige, 47, 83 Dirichlet’sche Sprungfunktion, 41 Divergenz von Folgen, 14 Dualraum, 86 Durchschnitt von Mengen, 6

Eigenraum, 97 Eigenvektor, 97 Eigenwertproblem, 108 Einheitswurzeln, 61 Einschränkung, 44 Ersetzungsmengen-Axiom, 7 Euklidische Norm, 73 Euklidisches Skalarprodukt, 72 Eulersche Zahl, 30 Existenzmengen-Axiom, 5 exp-Funktion, 29 exp-Funktion, Wachstum, 31 Exponentialfunktion, 119 Exponentialreihe, 20 Extensionalität von Mengen, 5 Extrema, 48, 56, 95 Extrema, lokale, 92, 95

Fibonacci-Zahlen, 8 Fixpunkt, 79 Fluss, 111 Fluss, globaler, 118 Folgen, 11, 68 Folgen, beschränkte, 12 Folgen, Cauchy-Folge, 15, 69 Folgen, Divergenz, 14 Folgen, Fundamental-Folge, 15 Folgen, Grenzwert/Limes, 11 Folgen, Häufungspunkte, 11 Folgen, Konvergenz, 68 Folgen, limes superior/inferior, 14 Folgen, Monotonie, 13 Folgen, rekursive, 27 Folgen, Teilfolgen, 14 Fortsetzung, 44 Fundamental-Folge, 15 Fundamentalsystem, 125 Fundierungsmengen-Axiom, 7 Funktionen, 23, 75 Funktionen, Absolutbetrag, 23 Funktionen, beschränkte, 99 Funktionen, dirichlet’sche, 41 Funktionen, exp-Funktion, 29 Funktionen, Extrema, 92 Funktionen, Hierarchie, 41 Funktionen, hyperbolische, 31 Funktionen, Identität, 23 Funktionen, implizite, 105 Funktionen, konstante, 23 Funktionen, Logarithmus, 29 Funktionen, Polynomfunktionen, 23 Funktionen, Regel-, 99 Funktionen, Stetigkeit, 75 Funktionen, Stufen-, 99 Funktionen, trigonometrische, 31 Funktionen, Umkehrfunktion, 25 Funktionsklassen, 41

g-adische Entwicklung, 21 Ganze Zahlen, 5 Geichmäßige Stetigkeit, 38 Geometrische Reihe, 16 Geometrische Summe, 10 Geschwindigkeit, 83 Glatte Funktionen, 50 Gleichmäßige Konvergenz, 26 Globaler Fluss, 118 Grad eines Polynoms, 58 Gradient, 87 Graphen, 23 Grenzwert von Folgen, 11

Häufungspunkte, 11 Höhenlinien, 85 Harmonische Reihe, 17 Hesse-Matrix, 92 Hesse-Matrix, Symmetrie, 94 Homogene DGL, 120 Homomorphismus, 29 Hurwitz-Kriterium, 98 Hyperbolische Funktionen, 31

Identität, 23 Implizite Funktionen, 105 Infimum, 8 Infinitude-Axiom, 7 Inhomogene DGL, 123 Integral, 37 Integral, Monotonie, 42 Integral, Riemann, 100 Integralkurve, 111 Integralvergleichs-Kriterium, 54 Integration, 33 Integration, Mittelwertsatz, 42, 102 Integration, numerische, 41 Integration, partielle, 53 Integration, Substitution, 53 Integration, Tabelle, 53 Integrationsoperator, 38, 40 Interpolationsproblem, 58 Intervalle, 25 Inverse, lokale, 99 Inverse, lokales, 104 Isomorph, 8

Körperaxiome, 1

Kettenregel, 48, 87, 93

Kombinatorik, 8

Komplement von Mengen, 6

Kontrahierend, 79 Konvergenz, 18, 26, 68 Konvergenz, absolute, 18 Konvergenz, gleichmäßige, 26 Konvergenz, Hilfsregeln, 15 Konvergenz, punktweise, 26 Konvergenzradius, 28 Kurven, 82 Kurven, Differenzierbarkeit, 83 Kurven, Länge, 84 Kurven, Stetigkeit, 82 Kurven, Umparameterisierung, 84

Länge, 84

Lagrange-Polynom, 59 Landau’sches O-Symbol, 59 Landschaftsfunktion, 85 Leere Menge, 6 Leibnizkriterium, 18 Leibnizregel, 46, 87 Limes superior/inferior, 14 Limes von Folgen, 11 Lineare Abbildungen, 76 Lineare Differentialgleichungen, 120 Linearform, 86 Linearität, 93 Lipschitz-stetig, lokal, 113 Lipschitz-Stetigkeit, 24, 75 Logarithmusfunktion, 29 Lokale Extrema, 92 Lokale Inverse, 99 Lokale Lipschitz-Stetigkeit, 113 Lokaler Fluss, 111 Lokales Inverse, 104 Lokales Maximum, 56 Lokales Minimum, 56

Majorantenkriterium, 19 Manhattan-Taxi-Metrik, 68 Matrix, Hesse-Matrix, 92 Maximum, 8, 92 Maximum, lokales, 56 Mengen, 5 Mengen, abgeschlossene, 81 Mengen, Aussonderung, 5 Mengen, Auswahl, 7 Mengen, Durchschnitt, 6 Mengen, Ersetzung, 7 Mengen, Existenz, 5 Mengen, Extensionalität, 5 Mengen, Fundierung, 7 Mengen, Infinitude, 7 Mengen, Komplement, 6 Mengen, leere Menge, 6 Mengen, offene, 81 Mengen, Paarmengen, 6 Mengen, Potenzmenge, 7 Mengen, Vereinigung, 6 Metriken, 66 Metriken, Abgeschlossenheit, 70 Metriken, diskrete, 66 Metriken, Manhattan-Taxi, 68 Metriken, metrischer Raum, 66 Metriken, Vollständigkeit, 69 Metrischer Teilraum, 67 Minima, Maxima, 95 Minimum, 8, 92 Minimum, lokales, 56 Mittelwertsatz, 42, 49, 99 Mittelwertsatz, Folgerungen, 50 Mittelwertsatz, Integration, 102 Monotonie des Integrals, 42 Monotonie von Folgen, 13 Nabla, 87 Neumann’sche Reihe, 103 Newton-Verfahren, 64 Norm, Operatornorm, 90 Normen, 71 Normen, 1-Norm, 72 Normen, 2-Norm, 73 Normen, euklidische Norm, 73 Nullstellen, 58 Numerische Integration, 41

O-Notation, 59 Obere Schranke, 8 Offene Mengen, 81 Operatornorm, 90 Ordung von Zahlen, 2

Paarmengen-Axiom, 6 Paritielle Integration, 53 Partialsummen, 16 Partielle Ableitung, 87 Peano-Axiome, 4 Picard-Iteration, 112 Polynome, 23, 58 Polynome, Grad, 58 Polynome, Interpolation, 58, 62 Polynome, Lagrange, 59 Polynome, Nullstellen, 58 Polynome, Teilpolynome, 61 Potenzmenge, Anzahl Elemente, 9 Potenzmengen-Axiom, 7 Potenzreihe, 27 Punktweise Konvergenz, 26

Quotientenkriterium, 19

Rationale Zahlen, 5 Reelle Funktionen, 85 Regelfunktionen, 38, 42, 99 Reihen, 16 Reihen, alternierende, 18 Reihen, geometrische, 16 Reihen, harmonische, 17 Reihen, Neumann’sche, 103 Reihenkonvergenz, 18, 54 Rekursiv definierte Folgen, 27 Richtungsableitung, 87 Riemann-Integral, 39, 100 Rotation einer Matrix, 94

Satz von Rolle, 49 Schaubilder, 23 Schnittmenge, 6 Skalarprodukt, 72 Stützstellen, 58 Stammfunktionen, 52 Stetige Differenzierbarkeit, 47 Stetigkeit, 23, 75, 82 Stetigkeit, gleichmäßige, 38 Stetigkeit, lipschitz, 24 Stetigkeit, Lipschitz-stetig, 75 Striktes lokales Extremum, 92 Stufenfunktionen, 36, 99 Substitution, 53 Supremum, 8 Supremumsnorm, 34

Tangentialvektor, 83 Taylor-Entwicklung, 55 Taylor-Reihe, 56 Teilfolgen, 14 Teilpolynome, 61 Treppenfunktionen, 36 Trigonometrische Funktionen, 31

Umkehrfunktion, 25 Umparameterisierung, 84 Uneigentliche Integerale, 53 Untere Schranke, 8

Vandermondsche Matrix, 62 Vektorfeld, 110 Vektorräume, 71 Vektorraum, 34, 50 Vektorraum, Banachraum, 35 Vektorraum, normierter, 35 Verdichtungssatz von Cauchy, 19 Vereinigungsmenge, 6 Vollständigkeit, 69

Weierstraß, 26 Wurzelkriterium, 19

Zerlegung, 36 Zweite Ableitung, Linearität, 93 Zweite Ableitung, Symmetrie, 94 Zwischenwertsatz, 25