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  pdftitle={Analysis f\"ur Informatiker und Wirtschaftsinformatiker},
  pdfauthor={Simon Fuhrmann und Christian M. Meyer},
  pdfcreator={dvipdf frontend for dvips(k) 5.92b and GNU Ghostscript 7.07},
  pdfkeywords={Analysis}
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% ==================== Content ===============
\title{{\bf Analysis} \\
   \large f\"ur Informatiker und Wirtschaftsinformatiker}
\author{Simon Fuhrmann \\ Christian M. Meyer}

\begin{document}
  \pagenumbering{Roman}
  \maketitle
  \hrulefill
  \tableofcontents

  % Analysis I Skript
  \newpage
  \pagenumbering{arabic}

  % =============== SECTION 1 ===============
  \section{Zahlen, Induktion, Mengen}
  \marginnote[Vorlesung\\ 27.10.2003]{}
    Wir stellen zuerst einige allgemeing\"ultige {\em Rechenregeln} zusammen,
    die man {\bf Axiome} nennt. Aus diesen Regeln leiten wir {\em neue}
    S\"atze, Formeln und Ergebnisse her.

    \subsection{Die K\"orperaxiome}
      \marginnote{Definition \S1.1}
      \index{K\"orperaxiome}
      Wir gehen von einer Menge von Zahlen $K$ aus (z.B. die Menge der reellen
      Zahlen), die zwei spezielle Elemente 0 und 1 enthalten soll. Weiter soll
      es zwei Verkn\"upfungen $+$ und $\cdot$ geben, die zwei beliebigen
      Elementen in $K$ neue Elemente zuordnen. Zum Beispiel:
      \begin{eqnarray*}
        x + y = u\\
        x \cdot y = v
      \end{eqnarray*}
      Dabei sollen folgende Axiome gelten, f\"ur alle $x$, $y$, $z$ in $K$.
      \subsubsection*{Kommutativgesetz}
      \begin{tabular}{lc}
        $(K_+)$     & $x + y = y + x$ \\
        $(K_\cdot)$ & $x \cdot y = y \cdot x$
      \end{tabular}

      \subsubsection*{Assoziativgesetz}
      \begin{tabular}{lc}
        $(A_+)$     & $(x + y) + z = x + (y + z)$ \\
        $(A_\cdot)$ & $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$
      \end{tabular}

      \subsubsection*{Distributivgesetz}
      \begin{tabular}{lc}
        $(D)$ & $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$ \\
              & $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$
      \end{tabular}

      \subsubsection*{Existenz von Neutralelementen}
      \begin{tabular}{lc}
        $(N_+)$     & $x + 0 = 0 + x = x$ \\
        $(N_\cdot)$ & $x \cdot 1 = 1 \cdot x = x$ \\
                    & $x \cdot 0 = 0 \cdot x = 0$
      \end{tabular}

      \subsubsection*{Existenz von inversen Elementen}
      \begin{tabular}{ll}
        $(I_+)$     & Zu jedem $x$ gibt es ein $y$ mit $x + y = 0$ \\
        $(I_\cdot)$ & Zu jedem $x \neq 0$ gibt es ein $z$ mit $x \cdot z = 1$
      \end{tabular}
      \medskip

      Schreibe $y = -x$, $z = x^{-1} = \frac{1}{x}$
      \medskip

      Sind alle diese Axiome erf\"ullt, so hei{\ss}t
      $(K,0,1,+,\cdot)$ ein {\bf K\"orper}. Beispiele daf\"ur sind die
      reellen Zahlen $\R$ und die rationalen Zahlen
      $\Q$.
      \medskip

      \pagebreak
      Aus den K\"orperaxiomen folgen schnell weitere einfache Regeln.
      Zum Beispiel:
      \bigskip

      $\begin{array}{lrcl}
          & (-1) \cdot x &=& -x\medskip\\
        \mbox{Herleitung:}
          & 0 &=& x + (-x) \\
          &   &=& x + (-1) \cdot x \\
          &   &=& 1 \cdot x + (-1) \cdot x \\
          &   &=& (1 + (-1)) \cdot x \\
          &   &=& 0 \cdot x = 0\medskip\\
        \mbox{Folgerung:}
          & (-x) \cdot (-y) &=& x \cdot y\medskip\\
        \mbox{denn:}
          & (-x) \cdot (-y) &=& (-1) \cdot x \cdot (-1) \cdot y \\
          &   &=& (-1) \cdot (-1) \cdot x \cdot y \\
          &   &=& -(-1) \cdot x \cdot y \\
          &   &=& 1 \cdot x \cdot y = x \cdot y
      \end{array}$
      \bigskip

      Derartige Regeln gelten auch universell in {\em allen}
      K\"orpern. Es gibt neben $\mathbb{F}_2$, $\R$ und $\Q$
      viele weitere wichtige K\"orper; Stichwort: {\em Kryptographie mit
      elliptischen Kurven}.

    \subsection{Beispielk\"orper: \texorpdfstring{$\mathbb F_2$}{F2}}
      \marginnote{Beispiel \S1.2}
      Der K\"orper der Informatik $\mathbb F_2 = \{0, 1\}$. Wir definieren $+$
      und $\cdot$ wie folgt:

      \begin{center}
        \begin{tabular}{c|cc}
          $+$ & $0$ & $1$ \\ \hline
          $0$ & $0$ & $1$ \\
          $1$ & $1$ & $0$
        \end{tabular}
        \qquad
        \begin{tabular}{c|cc}
          $\cdot$ & $0$ & $1$ \\ \hline
          $0$     & $0$ & $0$ \\
          $1$     & $0$ & $1$
        \end{tabular}
      \end{center}
      Hier gelten alle K\"orperaxiome.

      \paragraph{Kuriosum:}In $\mathbb{F}_2$ gilt $0 = 2 = 1 + 1$,
        und $x + x = 0$ also $-x = x$ f\"ur alle $x$ in $\mathbb{F}_2$.

    \subsection{Ordnung von Zahlen}
      \marginnote{Definition \S1.3}
      \index{Ordung von Zahlen}
      \index{Anordung von Zahlen}
      Eine weitere wichtige Eigenschaft der reellen Zahlen
      ist ihre {\bf Ordnung} oder {\bf Anordnung}.

      \paragraph{Definition:}Eine Ordnung $<$ ist eine zweistellige
        Relation, bez\"uglich derer f\"ur alle $x$, $y$, $z$ gelten soll:
      \bigskip

      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        $(O_1)$ & Entweder $x < y$ oder $x = y$ oder $y < x$, genau
                  {\em einer} dieser F\"alle tritt ein. \\
        $(O_2)$ & Wenn gilt $x < y$ und $y < z$, dann soll auch
                  gelten $x < z$
      \end{tabular}
      \bigskip

      Ein K\"orper $K$ ist angeordnet (kurz: ein $A.K.$),
      wenn $<$ eine Ordnung auf $K$ ist, mit:
      \bigskip

      \begin{tabular}{ll}
        $(O_{K+})$     & Wenn $x < y$, dann $x + z < y + z$ \\
        $(O_{K\cdot})$ & Wenn $x < y$ und wenn $z > 0$, dann
                        $x \cdot z < y \cdot z$
      \end{tabular}
      \bigskip

      Beispiele daf\"ur sind $\R$ und $\Q$.

      \paragraph{Beispiel:} $\mathbb{F}_2$ ist {\em kein} $A.K.$! Denn
      w\"are $\mathbb{F}_2$ bez\"uglich $<$ ein $A.K.$, so
      w\"urde gelten:
      \begin{eqnarray*}
        x < y & \leadsto & {\underbrace{x+x}_{= 0}}<y+x \\
        x < y & \leadsto & x + y < {\underbrace{y + y}_{= 0}}
      \end{eqnarray*}
      Dies w\"are ein Widerspruch zu $(O_1)$. \hfill $\square$

      \paragraph{Vereinbarung:} $x \geq y$ falls $x > y$ oder $x = y$
      \marginnote[Vorlesung\\ 30.10.2003]{}
      \medskip

      $x$ hei{\ss}t {\bf positiv} wenn $x > 0$, {\bf negativ}
      wenn $x < 0$, {\bf nicht positiv} wenn $x \leq 0$ und {\bf nicht
      negativ} wenn $x \geq 0$.

      \paragraph{Behauptung:}Das Produkt von zwei positiven oder zwei
        negativen Elementen (Zahlen) ist positiv, das Produkt von
        einem positiven und einem negativen Element ist negativ.

      \paragraph{Beweis:}Falls $x, y > 0$, so ist
        $x \cdot y > 0 \cdot y = 0$. Ist $x < 0$, so ist $x + (-x) < -x$,
        also $-x > 0$. Ist $x, y < 0$ so ist $-x, -y > 0$ und
        $x \cdot y = -x \cdot (-y) > 0$ $\Rightarrow$ wenn $x, y < 0$,
        so ist ihr Produkt $> 0$. Ist $x > 0$, $y < 0$, so gilt
        $x \cdot y < 0 \cdot x = 0$.

      Anmerkung: Insbesondere gilt f\"ur alle $x$, dass $x^2 \geq 0$,
      also $1 = 1^2 \geq 0$. Fazit: Die \"ublichen Vorzeichenregeln
      gelten also alle.

      \paragraph{Bemerkung:}Jeder angeordnete K\"orper ist unendlich. Denn:
        $$1 > 0 \Rightarrow 1+1 > 1 \Rightarrow 1+1+1 > 1+1 \Rightarrow ...$$

    \subsection{Der Absolutbetrag \texorpdfstring{$|x|$}{|x|}}
      \marginnote{Definition \S1.4}
      \index{Absolutbetrag}
      \index{Betrag}
      Der {\bf Absolutbetrag} (oder Betrag) eines Elementes $x$
      eines $A.K.$ ist definiert wie folgt:

      $$|x| = \left\{
        \begin{array}{rl}
           x & \quad \mbox{falls } x > 0\\
           0 & \quad \mbox{falls } x = 0\\
          -x & \quad \mbox{falls } x < 0
        \end{array}
      \right.$$

      % Graph: Betragsfunktion.
      \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{picture}(100,50)
          \put(0,0){\vector(1,0){100}}
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          \put(50,0){\line(-1,1){40}}
        \end{picture}
        \caption{Die Betragsfunktion}
      \end{figure}
      \medskip

      Es gilt:
      \begin{eqnarray}
        |x \cdot y| & = & |x| \cdot |y| \\
        |x|         & = & |-x| \geq 0 \\
        |x + y|     & \leq & |x| + |y| \mbox{\qquad (Dreiecksungleichung)} \\
        |x - y|     & \geq & ||x| - |y||
      \end{eqnarray}

      \paragraph{Beweis:} (1) und (2) sind klar. Zu (3):

      \begin{center}
        \begin{tabular}{lrclcl}
               & $|x|$     & $\ge$ & $\pm x$  &       & \\
          also & $|x|+|y|$ & $\ge$ & $|x|+y$ & $\ge$ & $x+y$\\
          und  & $|x|+|y|$ & $\ge$ & $|x|-y$ & $\ge$ &
              ${\underbrace{-x-y}_{=\,-(x+y)}}$,\\
          also & $|x|+|y|$ & $\ge$ & $|x+y|$ &       &
        \end{tabular}
      \end{center}

      Zu (4):

      \begin{center}
        \begin{tabular}{lrclcl}
          &$|x|$     & $=$   & $|x+y-y|$ & $\le$ & $|x-y|+|y|$\\
          &$|y|$     & $=$   & $|y+x-x|$ & $\le$ & $|y-x|+|x|$\\
          &$|x|-|y|$ & $\le$ & $|x-y|$   &       & \\
          &$|y|-|x|$ & $\le$ & ${\underbrace{|y-x|}_{=\,|x-y|}}$ & & \\
          $\Rightarrow$ & $||x|-|y||$ & $\le$ & $|x-y|$ & &
        \end{tabular}
      \end{center}

    \subsection{Nat\"urliche Zahlen und Induktion}
      \marginnote{Definition \S1.5}

      \subsubsection{Die Peano-Axiome}
      \index{Peano-Axiome}
      Schule: $\N = \{0, 1, 2, 3,...\}$

      \paragraph{Schreibe:} $s(n)=n+1$, wobei $s(n)$ = Nachfolger von $n$,
        dann erf\"ullt $(\N, s, 0)$ die so genannten {\bf Peano-Axiome}.
      \bigskip

      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        $(P_1)$ & Es gibt kein $n$ mit $s(n) = 0$ \\
        $(P_2)$ & Ist $s(n) = s(m)$, dann ist $n = m$ \\
        $(P_3)$ & Axiom der vollst\"andigen Induktion: Ist $X$ eine Teilmenge
                  von $\N$ mit $0 \in X$ und gilt:
                  $x \in X \Rightarrow s(x) \in X$, so ist $X = \N$.
      \end{tabular}

      \paragraph{Satz:}Erf\"ullt $(N, s', 0')$ die Peano-Axiome, so
        {\em ist} $N=\N$, genauer: Es gibt genau eine Abbildung
        $f\colon N \rightarrow \N$, die jedem $t\in N$ eine
        nat\"urliche Zahl zuordnet, mit:
      \begin{eqnarray*}
        f(0')    & = & 0 \\
        f(s'(t)) & = & f(t)+1
      \end{eqnarray*}

      \paragraph{Beispiel:} Wir behaupten
        $0+1+2+...+n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}$ gilt f\"ur jede
        nat\"urliche Zahl n.

      \paragraph{Induktionsanfang:} $n = 0 \Rightarrow$ Formel ist richtig.
        Auch aus $n = 1 \Rightarrow$ Formel ist richtig.

      \paragraph{Induktionsschritt:} Wir nehmen an das gilt f\"ur
        $0, 1, 2, ..., n$ und wir zeigen: es gilt auch f\"ur $n + 1$.
      \begin{eqnarray*}
        0 + 1 + \cdots + n + (n+1) & \stackrel{\rm IV}{=} &
            \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1) \\
        = \frac{n \cdot (n+1)}{2} +
            \frac{2 \cdot (n+1)}{2} & = & \frac{(n+1)(n+2)}{2}
      \end{eqnarray*}

      Also gilt die Formel f\"ur $n+1$, wenn sie auch f\"ur $n$ gilt.

      \paragraph{Behauptung:}Damit gilt die Formel f\"ur {\em alle
        nat\"urlichen Zahlen}!
      \medskip

      Setze: $X = \{n \in \N \mid \mbox{Formel gilt f\"ur }n\}$
      \medskip

      Nach Induktionsanfang (I.A.) ist $0 \in X$, nach Induktionsschritt
      (I.S.) gilt, wenn $n \in X$, dann $s(n) = n+1 \in X$.
      \medskip

      Nach $(P_3)$ ist $X=\N$.

      \paragraph{Bemerkung:}Wir k\"onnen multiplizieren ($\cdot$) und
        addieren ($+$) mittels $s(\dots)$ hinschreiben, durch:
      \begin{eqnarray*}
        0+n&=&0\\
        s(n)+m&=&s(n+m)
      \end{eqnarray*}
      sowie:
      \begin{eqnarray*}
        0 \cdot n    &=& 0 \\
        s(n) \cdot m &=& n\cdot m + m
      \end{eqnarray*}
      Es ist m\"uhsam, Assoziativit\"at, Kommutativit\"at, etc. nachzuweisen.

      \subsubsection{Die ganzen Zahlen \texorpdfstring{$\Z$}{Z}}
      \index{Ganze Zahlen}
      Die ganzen Zahlen $\Z = \{0,\pm1,\pm2,\pm3,\dots\}$
      stellen wir uns als vorzeichenbehaftete, nat\"urliche Zahlen vor,
      mit den \"ublichen Rechenregeln. Die Menge $\N$ der
      nat\"urlichen Zahlen und die Menge $\Z$ der ganzen Zahlen
      sind keine K\"orper.

      \paragraph{Weil:}$2 \cdot x = 1$ hat keine L\"osung in $\Z$.

      \subsubsection{Die rationalen Zahlen \texorpdfstring{$\Q$}{Q}}
      \index{Rationale Zahlen}
      Man erweitert $\Z$ zum K\"orper $\Q =
      \{\frac{a}{b} \mid a, b \in \Z, b \neq 0\}$ mit den
      \"ublichen Rechen- und K\"urzungsregeln ($\frac{a}{b} =
      \frac{a \cdot c}{b \cdot c}, c\neq 0$).
      \medskip

      $(\Q, 0, 1, +, \cdot, \ge)$ ist ein angeordneter K\"orper.

    \subsection{Mengen}
      \marginnote[Vorlesung\\ 03.11.2003\\]{Definition \S1.6}
      \index{Mengen}
      {\bf Mengen} sind die Bausteine der gesamten Mathematik. Unter
      einer Menge stellen wir uns eine Zusammenfassung gewisser
      {\bf Elemente} (die ihrerseits Mengen sind) vor. Wenn ein Element
      $x$ in einer Menge $A$ ist, schreiben wir $x \in A$. Wenn $x$
      nicht in $A$ ist, schreiben wir $x \notin A$. Sind $A$ und $B$
      Mengen, und gilt f\"ur jedes $x \in A$, dass $x \in B$, so schreiben
      wir $A \subseteq B$ ($A$ ist {\bf Teilmenge} von $B$).

      \subsubsection{Existenz, Extensionalit\"at und Aussonderung}
      \index{Mengen, Existenz}
      \index{Existenzmengen-Axiom}
      \index{Mengen, Extensionalit\"at}
      \index{Extensionalit\"at von Mengen}
      \index{Mengen, Aussonderung}
      \index{Aussonderung von Mengen}
      Hier sind Axiome von {\em Zermelo Fraenkel}:
      \bigskip

      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        $(Ex)$  & Existenz. Es gibt Mengen. \\
        $(Ext)$ & Extensionalit\"at. $X = Y$ genau dann, wenn $X$ und $Y$
                  die gleichen Elemente haben, $X \subseteq Y$ und
                  $Y \subseteq X$. \\
        $(Aus)$ & Aussonderung. Ist $\varphi$ eine Eigenschaft und $X$ eine
                  Menge, so auch $\{x \in X \mid x \mbox{ hat Eigenschaft }
                  \varphi\}$.
      \end{tabular}

      \paragraph{Beispiel:}$\R$ ist eine Menge
      $\leadsto \{r \in \R \mid r > 0\}$ ist eine Menge.
      \medskip

      Insbesondere sind {\bf Durchschnitte} und {\bf Komplemente}
      wieder Mengen.

      \paragraph{Durchschnitt oder Schnittmenge\\}
        \index{Mengen, Durchschnitt}
        \index{Durchschnitt von Mengen}
        \index{Schnittmenge}
        $A \cap B = \{a \in A \mid a \in B\}$

        % Graph: Venn-Diagramm der Schnittmenge.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(100,40)
            \put(40,22){\circle{100}}
            \put(60,22){\circle{100}}

            \put(42,17){\line(0,1){10}}
            \put(44,12){\line(0,1){20}}
            \put(46,9){\line(0,1){26}}
            \put(48,7){\line(0,1){30}}
            \put(50,6){\line(0,1){32}}
            \put(52,7){\line(0,1){30}}
            \put(54,9){\line(0,1){26}}
            \put(56,12){\line(0,1){20}}
            \put(58,17){\line(0,1){10}}
          \end{picture}
          \caption{Schnittmenge}
        \end{figure}

      \paragraph{Komplement\\}
        \index{Mengen, Komplement}
        \index{Komplement von Mengen}
        $A \setminus B = \{a \in A \mid a \notin B\}$

        % Graph: Venn-Diagramm des Komplements.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(100,40)
            \put(40,22){\circle{100}}
            \put(60,22){\circle{100}}

            \put(22,17){\line(0,1){10}}
            \put(24,13){\line(0,1){18}}
            \put(26,10){\line(0,1){24}}
            \put(28,8){\line(0,1){28}}
            \put(30,6){\line(0,1){32}}
            \put(32,5){\line(0,1){34}}
            \put(34,4){\line(0,1){36}}
            \put(36,4){\line(0,1){36}}
            \put(38,3){\line(0,1){38}}
            \put(40,3){\line(0,1){12}}
            \put(42,3){\line(0,1){8}}
            \put(44,4){\line(0,1){4}}
            \put(46,4){\line(0,1){2}}
            \put(40,29){\line(0,1){12}}
            \put(42,33){\line(0,1){8}}
            \put(44,36){\line(0,1){4}}
            \put(46,38){\line(0,1){2}}
          \end{picture}
          \caption{Komplement}
        \end{figure}

      \subsubsection{Paarmengen-Axiom, Vereinigunsmengen-Axiom}
      \index{Mengen, Paarmengen}
      \index{Paarmengen-Axiom}
      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        $(Paar)$ & Paarmengen-Axiom. Sind $A$ und $B$ Mengen, so
                   auch $\{A, B\}$. \\
        $(Ver)$  & Vereinigungsmengen-Axiom. Sind $A$ und $B$ Mengen,
                   so auch $A \cup B = \{x \mid x \in A \mbox{ oder }
                   x \in B\}$.
      \end{tabular}

      \paragraph{Vereinigungsmenge\\}
      \index{Mengen, Vereinigung}
      \index{Vereinigungsmenge}
        $A \cup B = \{a \in A \mbox{ oder } a \in B\}$

        % Graph: Venn-Diagramm der Vereinigungsmenge.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(100,40)
            \put(40,22){\circle{100}}
            \put(60,22){\circle{100}}

            \put(22,17){\line(0,1){10}}
            \put(24,13){\line(0,1){18}}
            \put(26,10){\line(0,1){24}}
            \put(28,8){\line(0,1){28}}
            \put(30,6){\line(0,1){32}}
            \put(32,5){\line(0,1){34}}
            \put(34,4){\line(0,1){36}}
            \put(36,4){\line(0,1){36}}
            \put(38,3){\line(0,1){38}}
            \put(40,3){\line(0,1){12}}
            \put(42,3){\line(0,1){8}}
            \put(44,4){\line(0,1){4}}
            \put(46,4){\line(0,1){2}}
            \put(40,29){\line(0,1){12}}
            \put(42,33){\line(0,1){8}}
            \put(44,36){\line(0,1){4}}
            \put(46,38){\line(0,1){2}}

            \put(42,17){\line(0,1){10}}
            \put(44,12){\line(0,1){20}}
            \put(46,9){\line(0,1){26}}
            \put(48,7){\line(0,1){30}}
            \put(50,6){\line(0,1){32}}
            \put(52,7){\line(0,1){30}}
            \put(54,9){\line(0,1){26}}
            \put(56,12){\line(0,1){20}}
            \put(58,17){\line(0,1){10}}

            \put(78,17){\line(0,1){10}}
            \put(76,13){\line(0,1){18}}
            \put(74,10){\line(0,1){24}}
            \put(72,8){\line(0,1){28}}
            \put(70,6){\line(0,1){32}}
            \put(68,5){\line(0,1){34}}
            \put(66,4){\line(0,1){36}}
            \put(64,4){\line(0,1){36}}
            \put(62,3){\line(0,1){38}}
            \put(60,3){\line(0,1){12}}
            \put(58,3){\line(0,1){8}}
            \put(56,4){\line(0,1){4}}
            \put(54,4){\line(0,1){2}}
            \put(60,29){\line(0,1){12}}
            \put(58,33){\line(0,1){8}}
            \put(56,36){\line(0,1){4}}
            \put(54,38){\line(0,1){2}}
          \end{picture}
          \caption{Vereinigungsmenge}
        \end{figure}

      \paragraph{Beispiel:}$A = \{1, 2\} \mbox{ und } B = \{2, 3\}$
        \medskip

      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        $(Paar)$ & $\{A, B\} = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}\}$ \\
        $(Ver)$  & $A \cup B = \{1, 2, 3\}$
      \end{tabular}

      \subsubsection{Die leere Menge \texorpdfstring{$\emptyset$}{}}
      \index{Mengen, leere Menge}
      \index{Leere Menge}
      $\emptyset = \{\} = \{x \in X \mid x \neq x\}$

      F\"ur jedes $x$ gilt also $x \notin \emptyset$
      \paragraph{Beispiel:}Mit $A = \{1, 5\} \mbox{ und } B = \{2, 511\}$
      gilt $A \cap B = \emptyset$

      \paragraph{Beachte auch:}Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:
        $\emptyset \subseteq X$. Z.B. $\emptyset \subseteq \{2, 3\}$,
        aber $\emptyset \notin \{2, 3\}$.

      \subsubsection{Potenzmengen-Axiom, Fundierungs-Axiom}
      \index{Mengen, Potenzmenge}
      \index{Potenzmengen-Axiom}
      \index{Mengen, Fundierung}
      \index{Fundierungsmengen-Axiom}
      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        $(Pot)$ & Potenzmengen-Axiom. Die Teilmengen einer Menge bilden
                  wieder eine Menge, die Potenzmenge.
                  $\mathcal{P}(X) = \{Y \mid Y \subseteq X\}$ \\
        $(Fund)$ & Fundierungs-Axiom: Ist $X \neq \emptyset$ eine
                  Menge, so gibt es ein Element $a \in X$ mit
                  $a \cap X = \emptyset$. Folgerung: Es kommt
                  nie vor, dass $X \in X$.
      \end{tabular}

      \paragraph{Beispiel:}(Potenzmengen-Axiom) $X = \{2, 5, 11\}$

        $\mathcal{P}(x) = \{\{2,5\}, \{2,11\}, \{5,11\}, \{2\}, \{5\},
        \{11\}, \{2,5,11\}, \emptyset\}$

        Die Anzahl der Elemente betr\"agt $2^k$.

      \paragraph{Beweis} durch Widerspruch (Fundierungs-Axiom):

        Angenommen $X$ ist eine Menge mit $X \in X$. Betrachte $\{X\}$,
        nach $(Fund)$ gilt also
        $X \cap \{ X \} = \emptyset$, d.h. $X \in X$. \hfill (Widerspruch)

      \subsubsection{Infinitude-Axiom}
      \index{Mengen, Infinitude}
      \index{Infinitude-Axiom}
      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        $(Inf)$ & Es gibt unendliche Mengen. Genauer gesagt: $\N$
                  existiert. Noch genauer: Es gibt eine Menge
                  $X \neq \emptyset$ mit folgender Eigenschaft: Ist
                  $x \in X$ so ist $x \cup \{x\} \in X$
      \end{tabular}

      \subsubsection{Definition von \texorpdfstring{$\N$}{N}
          nach der Mengentheorie}
      \marginnote[Vorlesung\\ 06.11.2003]{}

      \paragraph{Vorsicht:}Nat\"urlich stellen wir uns $\N$
        nicht so vor; das ist die strenge mengentheoretische Definition.
      \begin{eqnarray*}
        0 &=& \emptyset \\
        1 &=& \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{\emptyset\} = \{0\} \\
        2 &=& \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\} = \{\emptyset,
              \{\emptyset\}\} = \{0, 1\} \\
        3 &=& \{\emptyset, \{\emptyset\}\} \cup \{\{\emptyset,
              \{\emptyset\}\}\} = \{0, 1, 2\} \\
          & \vdots &
      \end{eqnarray*}
      $$0 \in 1 \in 2 \in 3 \in \dots$$

      \subsubsection{Ersetzungs-Axiom, Auswahl-Axiom}
      \index{Mengen, Ersetzung}
      \index{Ersetzungsmengen-Axiom}
      \index{Mengen, Auswahl}
      \index{Auswahl-Axiom}
      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        $(Ers)$ & Ersetzungs-Axiom. Ist $\varphi(x, y)$ eine Vorschrift, die
                  jeder Menge $x$ eine Menge $y$ zuordnet,
                  und ist $X$ eine Menge,
                  so auch $\{y \mid x \in X \mbox{ und } \varphi(x,y)\}$. \\
        $(Ausw)$ & Auswahl-Axiom. Ist $X$ eine Menge mit der Eigenschaft:
                   F\"ur alle $x, y \in X, x \neq y$ gilt
                   $x \cap y = \emptyset$, so gibt es eine Menge $\Z$
                   mit: F\"ur $x \in X$ ist $x \cap Z \neq \emptyset$.
      \end{tabular}

      \paragraph{Hinweis:}Manchmal werden die Grundlagen \"uber die
        sogenannten Kategorientheorie aufgebaut (Algebra-Topologie).

  % =============== SECTION 2 ===============
  \newpage
  \section{Die reellen Zahlen \texorpdfstring{$\R$}{R} und etwas Kombinatorik}
    \index{Kombinatorik}

    \subsection{Infimum und Supremum}
      \index{Infimum}
      \index{Supremum}
      \index{Obere Schranke}
      \index{Untere Schranke}
      \marginnote{Definition \S2.1}
      \paragraph{Defnition:}Ist $A$ eine Teilmenge eines geordneten
        K\"orpers (z.B. $A \subseteq \R$), so hei{\ss}t $x$ die
        {\bf obere Schranke} f\"ur $A$, falls $a \leq x$ f\"ur alle
        $a \in A$ gilt. Analog definiert man {\bf untere Schranken}.

      \paragraph{Beispiel:}$A = \{x \in R \;|\; -1 \leq x < 3\}$

      Obere Schranken: $7, 3, 4$

      Untere Schranken: $-5, -2, -1$
      \medskip

      Die kleinste obere Schranke hei{\ss}t {\bf Supremum}, die
       gr\"o{\ss}te untere Schranke hei{\ss}t {\bf Infimum}. Schreibe:
      \begin{eqnarray*}
        \sup{A} = x &\Longleftrightarrow& x \mbox{ Supremum f\"ur } A \\
        \inf{B} = z &\Longleftrightarrow& z \mbox{ Infimum f\"ur } B
      \end{eqnarray*}

      In unserem Beispiel $A = \{x \in \R \;|\; -1
        \leq x < 3\}$ ist $\sup{A} = 3$ und $\inf{A} = -1$.
      \smallskip

      \begin{tabular}{llll}
        Falls & $\inf{A} \in A$ & schreibe &
            $\inf{A} = \min{A}$ \\
        Falls & $\sup{A} \in A$ & schreibe &
            $\sup{A} = \max{A}$
      \end{tabular}
      \medskip

      \index{Minimum}
      \index{Maximum}
      Die Menge $A$ im Beispiel hat ein {\bf Minimum} ($-1$) aber kein
      {\bf Maximum}.

      \paragraph{Beispiel:}Setze $B = \{q \in \Q \;|\; q^2 \leq 2\}$

      Diese Menge $B$ hat  obere Schranken in $\Q$ (z.B. $5$).
      In dieser Menge $\Q$ gibt es kein Supremum f\"ur $B$. Dagegen
      gibt es in $\R$ nat\"urlich ein Supremum, n\"amlich die
      irrationale Zahl $\sqrt{2}$. Das ist viel besser!
      \bigskip

      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        (Vollst) & Ist $A$ eine Menge der rellen Zahlen, die eine obere
                   (untere) Schranke hat, dann hat $A$ ein Supremum
                   (Infimum) in $\R$. Man sagt, $\R$
                   ist vollst\"andig.
      \end{tabular}

      \index{Isomorph}
      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S2.2}
        Jeder angeordnete K\"orper, der in diesem Sinne
        vollst\"andig ist, ist zu $\R$ {\bf isomorph} (sieht
        genauso aus wie $\R$).

    \subsection{Die Fibonacci-Zahlen}
      \index{Fibonacci-Zahlen}
      \marginnote{Definition \S2.3}
      Die Fibonacci-Zahlen sind rekursiv definiert wie folgt:
      \medskip

      $f_0 = 0$, $f_1 = 1$, und $f_{n+2} = f_n + f_{n+1} \Longrightarrow
      0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$

    \pagebreak
    \subsection{Kombinatorische Formeln}
      \subsubsection{Elemente der Potenzmenge}
      \index{Potenzmenge, Anzahl Elemente}
      \marginnote{Satz \S2.4}
      Ist $A$ eine $n$-elementige Menge, so hat $\mathcal{P}(A)$
      $2^n$ Elemente.

      \paragraph{Beweis:}Induktion nach $n$
      \bigskip

      \begin{tabular}{lllll}
        I.A. & $n = 0$ & $A = \emptyset$ & $\mathcal{P}(\emptyset) =
          \{\emptyset\}$ & $2^0 = 1$ $\Longrightarrow$ stimmt \\
             & $n = 1$ & $A = \{a\}$     & $\mathcal{P}(A) =
          \{\emptyset, \{a\}\}$ & $2^1 = 2$ $\Longrightarrow$ stimmt
      \end{tabular}
      \bigskip

      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        I.S. & $A = \{a\} \cap B$, wobei $a \notin B$ ist. $A$ habe $n+1$
        Elemente. Also hat $B$ $n$ Elemente. $\mathcal{P}(B)$ hat
        $2^n$ Elemente.
        Sei $X \subseteq A$. Ist $a \notin X$ so ist $X \subseteq B$,
        solche Mengen gibt es $2^n$ St\"uck.
        \medskip

        Ist $a \in X$ betrachte $Y = X \setminus \{a\} \subseteq B$, davon
        gibt es auch $2^n$ St\"uck. (Beachte: $X = Y \cap \{a\}$)
        \medskip

        Zusammen: $2^n + 2^n = 2^{n+1}$ St\"uck. \hfill $\square$
      \end{tabular}
      \bigskip

      Schreibe $\#A =$ Anzahl der Elemente von $A$
      \medskip

      Wir haben gezeigt: $\#A = n \Longrightarrow \#\mathcal{P}(A) = 2^n$

      \subsubsection{Der Binomialkoeffizient}
      \index{Binomialkoeffizient}
      \marginnote{Satz \S2.5}
      F\"ur $k \leq n$ ist die Anzahl aller $k$-elementigen Teilmengen
      einer $n$-elementigen Menge der Binomialkoeffizient.

      $${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

      Beweis durch Induktion nach $n$:
      \bigskip

      \begin{tabular}{llll}
        I.A. & $n = 0$ & $\emptyset \subseteq \emptyset$
             & ${0 \choose 0} = \frac{0!}{0!0!} = 1$
      \end{tabular}
      \bigskip

      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        I.S. & Sei $X \subseteq A$ $k$-elementig. Ist $a \notin X$, so
        ist $X \subseteq B$, solche $X$ gibt es also ${n \choose k}$
        St\"uck.
        \medskip

        Ist $k \in X$, so ist $X \setminus \{a\} \subseteq B$ eine
        $k-1$-elementige Teilmenge von $B$. Solche Mengen gibt es
        ${n \choose k-1}$ St\"uck.
        \medskip

        Insgesamt sind es also ${n \choose k} + {n \choose k-1} =
        {n+1 \choose k}$ St\"uck. \hfill $\square$
      \end{tabular}

      \paragraph{Schreibweise:} Sind $a_0, a_1, \dots, a_m$ Zahlen.
        Schreibe $a_0 + a_1 + \dots + a_m = \sum\limits_{k=0}^m a_k$

      \subsubsection{Binomischer Lehrsatz}
        \index{Binomischer Lehrsatz}
        \marginnote{Satz \S2.6}
        Es gilt f\"ur alle $n \in \N$ und alle Zahlen $a$, $b$

        $$(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k$$

        Beweis durch Induktion. Die Formel ist richtig f\"ur $n = 0$,
        $n = 1$ und $n = 2$.
        \bigskip

        % FIXME: Eventuell falsch.
        \begin{tabular}{lrcl}
          I.S. & $(a+b)^{n+1}$ & $=$ & $(a+b)^n \cdot (a+b)$ \\
           & & $=$ & $\left(\sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^k\right)
               (a+b)$ \\
           & & $=$ & $\left(\sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} a^{n+1-k}b^k
               \right) + \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}$ \\
           & & $=$ & $a^{n+1} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} {n \choose k+1}
               a^{n-k} b^{k+1} + b^{n+1}$ \\
           & & $=$ & $\sum\limits_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k}
               a^{n+1-k} b^k$ \hfill $\square$
        \end{tabular}

      \subsubsection{Geometrische Summe}
        \index{Geometrische Summe}
        \marginnote{Satz \S2.7}
        Sei $x \neq 1$
        $$\sum\limits_{k=0}^{n} x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n
          = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} $$
        Beweis:
        $$(1-x) \sum\limits_{k=0}^{n} x^k =
        \left(\sum\limits_{k=0}^{n} x^k\right) - \sum\limits_{k=1}^{n+1} x^k
        = 1 + x^{n+1}$$

      \subsubsection{Archimedisches Prinzip}
        \index{Archimedisches Prinzip}
        \marginnote{Satz \S2.8}
        \begin{tabular}{cp{10cm}}
          (i) & zu jedem $r \in \R$ gibt es ein $n \in \N$ mit $r < n$ \\
          (ii) & zu allen $r, s \in \R$ mit $s>0$ gibt es $n \in \N$ mit
              $sn > r$ \\
          (iii) & zu allen $r, s \in \R$ mit $r<s$ gibt es $n \in \N$ mit
              $r+\frac{1}{n} < s$
        \end{tabular}

        \paragraph{Beweis:}\hfill % \hfill is needed to force \bigskip
        \bigskip

        \begin{tabular}{cp{10cm}}
          (i) & Widerspruchsbeweis:
                \medskip

                Sonst g\"abe es ein $r \in \R$ mit $r \geq n$ f\"ur {\em alle}
                $n \in \N$, das hei{\ss}t $r$ ist eine {\em obere Schranke}
                f\"ur $\N$. Setze $r_0 = \sup{\N}$, also gibt es ein
                $n \in \N$ mit $r_0 - 1 \leq n$, das hei{\ss}t $r_0 \leq n+1
                < n+2$. Ein Widerspruch. Also gilt (i).
                \medskip
                \\
          (ii) & W\"ahle $n > \frac{r}{s}$ \\
          (iii) & W\"ahle $n < \frac{1}{s-r}$
        \end{tabular}

      \subsubsection{Bernoulli'sche Ungleichung}
        \index{Bernoulli'sche Ungleichung}
        \marginnote{Satz \S2.9}
        F\"ur $x > -1$ und $n \in \N$ gilt stets $(1+x)^n \geq 1+nx$.

        \paragraph{Beweis:}Induktion nach $n$:
        \bigskip

        \begin{tabular}{llp{8cm}}
          I.A. & $n = 0$ & $(1+x)^0 \geq 1+0 = 1 \geq 1$ \\
               & $n = 1$ & $(1+x)^1 \geq 1+x \Leftrightarrow
                 1+x \geq 1+x$ \\
          I.S. & $n \mapsto n+1$ &

        \end{tabular}
        \begin{eqnarray*}
          (1+x)^{n+1} &=& (1+x)^n (1+x) \geq (1+nx)(1+x) \\
                      &=& 1+nx+x+ \underbrace{nx^2}_{\geq 0} \geq 1+x(n+1)
        \end{eqnarray*}
        \hfill $\square$

  % =============== SECTION 3 ===============
  \newpage
  \section{Folgen und Reihen}
    \subsection{Folgen}
      \index{Folgen}
      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S3.1}
        Eine {\bf Folge} von (reellen) Zahlen ist eine
        Abbildung, die jeder nat\"urlichen Zahl $n$ ein Folgeglied $a_n$
        zuordnet.
        \medskip

        Schreibe: $\series{a}{n}$

      \subsubsection{Grenzwert oder Limes}
        \index{Grenzwert von Folgen}
        \index{Limes von Folgen}
        \index{Folgen, Grenzwert/Limes}
        Eine Zahl $a$ hei{\ss}t {\bf Grenzwert} oder {\bf Limes} der Folge
        $\series{a}{n}$, wenn folgendes gilt:
        \medskip

        Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $N = N_\varepsilon \in \N$,
        so dass f\"ur alle $k \geq N$ gilt:
        $$\mid a_k - a \mid < \varepsilon$$

        Wir schreiben dann $\liminfty{n} a_n = a$ und sagen: Die Folge $a_n$
        konvergiert gegen $a$.

        \paragraph{Beispiel:}\hfill
        \medskip

        \begin{tabular}{cl}
          (i) & $a_n = n$ \\
          (ii) & $b_n = \left\{
            \begin{array}{rl}
              1 & $falls $n$ gerade ist$ \\
              -1 & $falls $n$ ungerade ist$
            \end{array}
            \right.$ \\
          (iii) & $c_n = c_0$ \qquad (konstante Folge) \\
          (iv) & $d_n = \frac{1}{n}$, $d_0 = 1$
        \end{tabular}

        \paragraph{Grenzwerte:}\hfill
        \medskip

        \begin{tabular}{cl}
          (i) & $\series{a}{n}$ konvergiert nicht. \\
          (ii) & $\series{b}{n}$ konvergiert nicht. \\
          (iii) & $\series{c}{n}$ konvergiert gegen $\liminfty{n} c_n = c_0$ \\
          (iv) & $\series{d}{n}$ konvergiert gegen $\liminfty{n} d_n = 0$
        \end{tabular}

        \paragraph{Warum?}Sei $\varepsilon > 0$ gegeben. Wir wollen also
          $\mid d_k - 0 \mid < \varepsilon$, $\frac{1}{k} < \varepsilon$,

          also ist $\frac{1}{\varepsilon} < k$ gesucht.
          \medskip

        Nach dem Archimedischen Prinzip finden wir $N \in \N$ mit
        $\frac{1}{\varepsilon} < N$. F\"ur $k \geq N$ gilt damit $k >
        \frac{1}{\varepsilon}$, folglich $d_k = \frac{1}{k} < \varepsilon$.
        \medskip

        Mit anderen Worten: $\mid d_k - 0 \mid < \varepsilon$ f\"ur $k \geq N$.

      \subsubsection{H\"aufungspunkte}
        \marginnote{Definition \S3.2}
        \index{H\"aufungspunkte}
        \index{Folgen, H\"aufungspunkte}
        Eine Zahl $a$ hei{\ss}t {\bf H\"aufungspunkt} der Folge $\series{a}{n}$,
        falls f\"ur jedes $\varepsilon > 0$ die Menge $\{k \in \N \,\big|\,
        \mid a_k - a \mid < \varepsilon \}$ unendlich ist.
        \medskip

      Offensichtlich ist jeder Grenzwert ein H\"aufungspunkt.

      \marginnote[Vorlesung\\ 13.11.2003]{}
      \paragraph{Beachte:}Jeder Grenzwert ist ein H\"aufungspunkt, aber
        im Allgemeinen ist ein H\"aufungspunkt nicht notwendig ein Grenzwert.
        \medskip

        Beispiel: $b_n = \left\{
          \begin{array}{rl}
            1 & $falls $n$ gerade ist$ \\
            -1 & $falls $n$ ungerade ist$
          \end{array}
        \right.$
        \medskip

        Diese Folge hat zwei H\"aufungspunkte ($1$ und $-1$), aber keinen
        Grenzwert.

      \subsubsection{Konvergenz und H\"aufungspunkte}
        \paragraph{Satz:}
          \marginnote{Satz \S3.3}
          Eine konvergente Folge hat genau einen H\"aufungspunkt.

        \paragraph{Beweis:}Sei $\series{a}{n}$ konvergent,
          $\liminfty{n} a_n = a$. Sei $b \neq a$. Wir zeigen, dass $b$
          kein H\"aufungspunkt ist. Sei $\varepsilon = \left| \frac{b-a}{2}
          \right| > 0$. W\"ahle $N_\varepsilon$ so, dass f\"ur alle
          $k \geq N_\varepsilon$ gilt: $|a_k - a| < \varepsilon$. Damit gilt
          $$|b - a_k| = |b - a + a - a_k| \geq \big|
          \underbrace{|b - a|}_{= 2 \varepsilon} -
          \underbrace{|a - a_k|}_{< \varepsilon}
          \big| \geq \varepsilon$$

        Also ist $\{k \in \N \,\big|\, |b - a_k| < \varepsilon\}$ endlich, das
        hei{\ss}t $b$ ist kein H\"aufungspunkt.\hfill$\square$
        \medskip

        Insbesondere hat eine konvergente Folge {\em genau einen} Grenzwert.

      \subsubsection{Beschr\"ankte Folgen}
        \marginnote{Definition \S3.4}
        \index{Beschr\"ankte Folgen}
        \index{Folgen, beschr\"ankte}
        Eine Folge $\series{a}{n}$ hei{\ss}t {\bf beschr\"ankt}, wenn
        es ein $r \in \R$ gibt, so dass $|a_k| \leq r$ f\"ur alle $k \in \N$
        (d.h. $-r \leq a_k \leq r$).

        \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S3.5}
        Jede konvergente Folge ist beschr\"ankt.
        \medskip

        Beweis: Sei $\series{a}{n}$ konvergent, $\liminfty{n} a_n = a$
        f\"ur $\varepsilon = 1$ gibt es also $N_\varepsilon$ mit $k
        \geq N_\varepsilon \Rightarrow |a-a_k| < 1$.
        \medskip

        Setze $s = \max\{|a_0|, |a_1|, \dots, |a_{N_\varepsilon}|, |a|\}$.
        F\"ur alle $k$ gilt dann $|a_k| \leq s+1$.\hfill$\square$

        \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S3.6}
        Sind $\series{a}{n}$ und $\series{b}{n}$ konvergent,

        $$\liminfty{n} a_n = a \mbox{,} \qquad \liminfty{n} b_n = b$$

        dann sind $(a_n + b_n)_{n \in \N}$, $(a_n \cdot b_n)_{n \in \N}$,
        $(c \cdot a_n)_{n \in \N}$ (mit $c \in \R$ beliebig) konvergent, und
        %
        $$\liminfty{n}(a_n + b_n) = a+b \mbox{,} \quad
          \liminfty{n}(a_n \cdot b_n)=ab \mbox{,} \quad
          \liminfty{n}(c \cdot a_n) = ca$$

        Beweis f\"ur $(a_n + b_n)_{n \in \N}$: Sei $\varepsilon > 0$ gegeben.
        Es gibt $N_1$, $N_2 \in \N$ mit:
        \bigskip

        \begin{tabular}{l}
          $k \geq N_1 \Rightarrow |a_k - a| < \frac{\varepsilon}{2}$\\
          $k \geq N_2 \Rightarrow |b_k - b| < \frac{\varepsilon}{2}$
        \end{tabular}
        \bigskip

        Setze $N = \max \{N_1, N_2\}$. Dann gilt f\"ur $k \geq N$:

        $\left|(a_k+b_k) - (a+b)\right| \leq |a_k-a|+|b_k-b| < \varepsilon$
        \medskip

        Beweis f\"ur $(a_n \cdot b_n)_{n \in \N}$: Beide Folgen sind
        beschr\"ankt, also gibt es $k \in \R$ mit $|a_k|$, $|b_k| \leq k$ f\"ur
        alle $k \in \N$.
        \medskip

        Sei $\varepsilon > 0$. W\"ahle $N_1$, $N_2$ so, dass gilt:
        \bigskip

        \begin{tabular}{ll}
          $k \geq N_1 \Rightarrow |a_k - a| < \frac{\varepsilon}{2k}$ &
              (o.B.d.A. $k > 0$) \\
          $k \geq N_2 \Rightarrow |b_k - b| < \frac{\varepsilon}{2k}$ &
              (Setze $N = \max\{N_1, N_2\}$)
        \end{tabular}
        \bigskip

        F\"ur $k \geq N$ gilt:
        \begin{eqnarray*}
          |a_k \cdot b_k - a \cdot b| & = & |a_k(b_k - b) + b(a_k - a)| \\
          & \leq & \underbrace{|a_k|}_{\leq k}
              \underbrace{|b_k - b|}_{<\frac{\varepsilon}{2k}} +
              \underbrace{|a_k - a|}_{<\frac{\varepsilon}{2k}}
              \underbrace{|b|}_{\leq k} < \varepsilon
        \end{eqnarray*}

        Beweis f\"ur $(c \cdot a_n)_{n \in \N}$: Diese Behauptung folgt mit
        $\series{b}{n} = c$ (konstante Folge) aus der vorigen Behauptung.
        \hfill$\square$

        \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S3.7}
        Ist $a_k \neq 0$ f\"ur alle $k \in \N$, und gilt
        $\liminfty{n} a_n = a \neq 0$, so konvergiert die Folge
        $\series{(\frac{1}{a})}{n}$ gegen $\frac{1}{a}$.
        \medskip

        Beweis: Sei $\varepsilon > 0$ gegeben. W\"ahle $N$ so, dass gilt:
        $k \geq N \Rightarrow |a_k - a| < \frac{\varepsilon |a|^2}{2}$,
        $\frac{|a|}{2}$.

        Dann gilt $|a_k - a| < \frac{|a|}{2}$, $|a|-|a_k| \leq |a_k - a| <
        \frac{|a|}{2} \Rightarrow \frac{|a|}{2} < |a_k|$.

        Dann ist $\left| \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a} \right| =
        \left| \frac{a - a_k}{a_ka} \right| = \frac{|a - a_k|}{|a_k| \cdot |a|}
        < \frac{|a|^2 \varepsilon}{2 \cdot |a_k| \cdot |a|} =
        \frac{|a| \varepsilon}{2 \cdot |a_k|} < \varepsilon \frac{|a_k|}{|a_k|}
        = \varepsilon$.\hfill$\square$

        \subsubsection*{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S3.8}
        \begin{eqnarray*}
          a_n &=& \frac{2n^3 + 2n^2 + n}{n^3 + 1} =
          \frac{n^3(2+2\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})}{n^3(1 + \frac{1}{n^3})}
          = \frac{2 + 2\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^3}} \\
        \liminfty{n} a_n &=& 2
        \end{eqnarray*}
        Denn: $\left(2+2\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)_
        {n \in \N}$ konvergiert, $\left(1+\frac{1}{n^3}\right)_{n \in \N}$
        konvergiert auch\\
        $\Longrightarrow \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^3}}\right)
        _{n \in \N}$ konvergiert.
        \medskip

        Damit konvergiert $\left( \frac{1}{1+\frac{1}{n^3}} \right)
        \left( 2 + 2\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)$.

      \subsubsection{Monotonie}
        \marginnote{Definition \S3.9}
        \index{Monotonie von Folgen}
        \index{Folgen, Monotonie}
        Eine Folge $\series{a}{n}$ hei{\ss}t {\bf (streng) monoton steigend}
        falls f\"ur alle $n$ gilt:
        $$a_n \leq a_{n+1} \qquad (a_n < a_{n+1})$$

        Analog definiert man {\bf (streng) monoton fallende} Folgen.

        \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S3.10}
        Eine monoton beschr\"ankte Folge konvergiert.
        \medskip

        Beweis: Sei $\series{a}{n}$ monoton wachsend und beschr\"ankt.

        Sei $a = \sup\{a_k \mid k \in \N\}$. F\"ur alle $k$ gilt also
        $a_k \leq a$.
        Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $N$ mit $a_N > a - \varepsilon$.
        Weiter gilt nat\"urlich f\"ur alle $k \in \N$, dass $a_k < a +
        \varepsilon$. F\"ur $k \geq N$ gilt $a_k > a - \varepsilon$, weil
        $a_k \geq a_N$ (denn die Folge ist monoton). F\"ur $k \geq N$ gilt
        also $a-\varepsilon < a_k < a+\varepsilon$, das hei{\ss}t:
        $$|a-a_k| < \varepsilon$$

        F\"ur fallende Folgen nimmt man das Infimum.\hfill$\square$

        \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S3.11}
        $a_0 = 0$, $a_{n+1} = \sqrt{6+a_n}$ \qquad
          (rekursiv definiert).
          \medskip

        Die Folge ist (a) beschr\"ankt und (b) monoton, also konvergent.
        \bigskip

        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          (a) & $|a_0| \leq 3$, ist $a_n \leq 3$, so $a_{n+1} \leq 3$, die
            Folge ist beschr\"ankt. \\
          (b) & $a_0 = 0$, $a_1 = \sqrt{6} > a_0$

            $a_{n+1} = \sqrt{6+a_n} > \sqrt{6+a_{n-1}} = a_n$

            $\Rightarrow$ monoton, denn $0 < x < y \Leftrightarrow
            0 < \sqrt{x} < \sqrt{y}$
        \end{tabular}

      \subsubsection{Divergenz}
        \marginnote[Vorlesung\\ 17.11.2003\\]{Definition \S3.12}
        \index{Divergenz von Folgen}
        \index{Folgen, Divergenz}
        Eine Folge, die nicht konvergent ist, hei{\ss}t {\bf divergent}.
        Wenn es zu jedem $r \in \R$ ein $N_r \in \N$ gibt mit $k \geq N_r
        \Rightarrow a_k \geq r$ schreiben wir:

        $$\liminfty{a} a_n = \infty$$

        Gibt es zu jedem $r \in \R$ ein $N_r$ mit $k \geq N_r \Rightarrow
        a_k \leq r$ schreiben wir:

        $$\liminfty{a} a_n = -\infty$$

      \subsubsection{Teilfolgen}
        \marginnote{Definition \S3.13}
        \index{Teilfolgen}
        \index{Folgen, Teilfolgen}
        Ist $\series{a}{n}$ eine Folge, und ist $\series{n}{k}$ eine Folge
        nat\"urlicher Zahlen ($\N$) mit $n_0 < n_1 < n_2 < \dots$, dann
        hei{\ss}t $\series{a_n}{k}$ eine {\bf Teilfolge} von $\series{a}{n}$.

        \subsubsection*{Beispiel:}
        \begin{tabular}{ll}
          $n_k = k$ & $\series{a}{n}$ ist Teilfolge von sich selbst. \\
          $n_k = 2^k$ & $\left(a_{2^k}\right)_{k \in \N}$
        \end{tabular}

        \paragraph{Satz:}
          \marginnote{Satz \S3.14}
          Ist $a$ ein H\"aufungspunkt der Folge $\series{a}{n}$,
          so gibt es eine Teilfolge $\series{a_n}{k}$, die gegen $a$
          konvergiert.
          \medskip

        Beweis: Setze $n_0 = 0$ und definiere $n_k$ rekursiv wie folgt:
        Zu $\varepsilon_k = \frac{1}{1+k}$ gibt es unendlich viele
        Folgenglieder $a_l$ mit $l \geq n_k$ und $\mid a_l - a \mid <
        \varepsilon$. Setze $n_{k+1} = l$, $a_{n_{k+1}} = a_l$.
        Diese Teilfolge tut's.\hfill$\square$

        \paragraph{Satz:}
          \marginnote{Satz \S3.15}
          \index{Bolzano-Weierstra\ss}
          (Bolzano-Weierstra\ss) Jede beschr\"ankte Folge hat mindestens
          einen H\"au"-fungspunkt.
          \medskip

        Beweis: Sei $\series{a}{n}$ beschr\"ankt. Sei $c = \inf\{a_n \mid
        n \in \N \}$, $d = \sup\{a_n \mid n \in \N \}$. Setze $M = \{x \in \R
        \mid \mbox{ es gibt } N \in \N \mbox{ mit } a_k \leq x
        \mbox{ f\"ur alle } k \geq N\}$. Offensichtlich ist $d \in M$, also $M
        \neq \emptyset$. Sei $a = \inf M$. Behauptung: $a$ ist ein
        H\"aufungspunkt.
        \medskip

        F\"ur jedes $\varepsilon > 0$ gilt: Es gibt nur {\em endlich viele} $k$
        mit $a_k > a + \varepsilon$. Weiter gilt: $a - \varepsilon < a_k$ f\"ur
        unendlich viele $k \in \N$. Also gilt $\mid a - a_k \mid < \varepsilon$
        f\"ur unendlich viele $k$, das hei{\ss}t $a$ ist ein H\"aufungspunkt.
        \hfill$\square$
        \medskip

        \index{Limes superior/inferior}
        \index{Folgen, limes superior/inferior}
        Der gr\"o{\ss}te H\"aufungspunkt solch einer Folge hei{\ss}t {\bf limes
        superior}, $\limsupinfty{n} a_n$, der kleinste H\"aufungspunkt
        hei{\ss}t {\bf limes inferior}, $\liminfinfty{n} a_n$.

      \subsubsection{Hilfsregeln zur Konvergenz}
        \index{Konvergenz, Hilfsregeln}
        \marginnote{Bemerkung \S3.16}
        Die folgenden Kriterien an eine Folge $\series{a}{n}$ sind
        \"aquivalent:
        \bigskip

        \begin{tabular}{cp{10cm}}
          (i) & $\series{a}{n}$ konvergiert, $\liminfty{n} a_n = a$ \\
          (ii) & Es gibt ein $k \in \R$ so, dass es zu jedem $\varepsilon > 0$
            ein $N_\varepsilon$ gibt mit: $l \geq N_\varepsilon \Rightarrow
            \mid a - a_l \mid < k \cdot \varepsilon$. \\
          (iii) & Es gibt $k \in \R$ so, dass es zu jedem $m \in \N$,
            $m > 0$ ein $N_m$ gibt mit: $l \geq N_m \Rightarrow
            \mid a - a_l \mid < k \cdot \frac{1}{m}$.
        \end{tabular}

        \subsubsection*{Beweis:}
        (i) $\Rightarrow$ (ii) und (ii) $\Rightarrow$ (iii) sind klar.
        Wir zeigen (iii) $\Rightarrow$ (i):
        \medskip

        Sei $\varepsilon > 0$, dann gibt es $m \in \N$ mit $\varepsilon > k
        \cdot \frac{1}{m}$ (Archimedisches Prinzip), also
        $\mid a - a_l \mid < k \cdot \frac{1}{m} < \varepsilon$.

      \subsubsection{Cauchy-Folge oder Fundamental-Folge}
        \marginnote{Definition \S3.17}
        \index{Cauchy-Folge}
        \index{Folgen, Cauchy-Folge}
        \index{Fundamental-Folge}
        \index{Folgen, Fundamental-Folge}
        Eine Folge hei{\ss}t {\bf Cauchy-Folge} oder {\bf Fundamental-Folge}
        wenn eine der beiden folgenden, gleichwertigen Bedingungen erf\"ullt
        ist:
        \bigskip

        \begin{tabular}{cp{10cm}}
          (i) & Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $N_\varepsilon \in \N$
          so, dass f\"ur alle $k$, $l \geq N_\varepsilon$ gilt: $|a_k - a_l|
          < \varepsilon$. \\
          (ii) &  Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $N_\varepsilon \in
          \N$ so, dass f\"ur alle $k \geq N_\varepsilon$ gilt: $|a_k -
          a_{N_\varepsilon}| < \varepsilon$.
        \end{tabular}
        \bigskip

        Warum sind (i) und (ii) gleichwertig? Klar: (i) $\Rightarrow$ (ii)
        mit $l = N_\varepsilon$.

        Wieso (ii) $\Rightarrow$ (i)? F\"ur $k$, $l \geq N_\varepsilon$ gilt
        $$|a_k - a_l| = |a_k - a_{N_\varepsilon} + a_{N_\varepsilon} - a_l|
        \leq |a_k - a_{N_\varepsilon}| + |a_l - a_{N_\varepsilon}| < 2
        \varepsilon$$

        \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S3.18}
        F\"ur eine Folge $\series{a}{n}$ reeller Zahlen sind \"aquivalent:
        \bigskip

        \begin{tabular}{cl}
          (i) & $\series{a}{n}$ ist konvergent. \\
          (ii) & $\series{a}{n}$ ist eine Cauchy-Folge.
        \end{tabular}
        \bigskip

        Beweis: (i) $\Rightarrow$ (ii)
        Sei $\liminfty{n} a_n = a$. Zu $\varepsilon > 0$ w\"ahle $N_\varepsilon
        \in \N$ mit: F\"ur $k \geq N_\varepsilon$ gilt $\mid a - a_k \mid <
        \frac{\varepsilon}{2}$. Dann gilt f\"ur $k$, $l \geq N_\varepsilon$:
        $\mid a_k - a_k \mid = \mid a_k - a + a - a_l \mid \leq
        \mid a_k - a \mid + \mid a_l - a \mid < \varepsilon$.
        \medskip

        Beweis: (ii) $\Rightarrow$ (i)

        Wir nehmen an, $\series{a}{n}$ ist eine Cauchy-Folge. Wir zeigen
        zuerst, die Folge ist {\bf beschr\"ankt}: Zu $\varepsilon = 1$ gibt
        es $N_1$ mit $\mid a_k - a_{N_1} \mid < 1$ f\"ur $k \geq N_1$.
        Setze $r = \max\{|a_0|, |a_1|, \dots, |a_{N_1}| \}
        + 1$. Dann gilt f\"ur {\em alle} $k$ $|a_k| \leq r$.
        \medskip

        Nach Bolzano-Weierstrass gibt es einen H\"aufungspunkt $a$ von
        $\series{a}{n}$. Zeige jetzt $\liminfty{n} a_n = a$. Sei $\varepsilon
        > 0$, w\"ahle $N_\varepsilon \in \N$ so, dass $\mid a_k - a_l \mid <
        \frac{\varepsilon}{2}$ f\"ur alle $k$, $l \geq N_\varepsilon$. Weil $a$
        ein H\"aufungspunkt ist, gibt es $m \in \N$ mit $\mid a_m - a \mid
        < \varepsilon$, mit $m \geq N_\varepsilon$. F\"ur $k \geq
        N_\varepsilon$ gilt dann:

        $$\mid a - a_k \mid = \mid a - a_m + a_m - a_k \mid \leq
        \underbrace{\mid a - a_m \mid}_{< \frac{\varepsilon}{2}}
        + \underbrace{\mid a_m - a_k \mid}_{< \frac{\varepsilon}{2}}
        < \varepsilon$$

    \subsection{Reihen}
      \marginnote[Vorlesung\\ 20.11.2003\\]{Definition \S3.19}
      \index{Reihen}
      \index{Partialsummen}
      Aus einer Folge $\series{a}{n}$ konstruieren wir eine neue Folge
      $\series{s}{n}$ durch

      $s_n = \sum\limits^n_{k=0} a_k$. Diese Folgenglieder hei{\ss}en
      {\bf Partialsummen}, die Folge $\series{s}{n}$ hei{\ss}t {\bf Reihe}.
      Schreibe symbolisch:
      $$\series{s}{n} = \suminfty{n=0} a_n$$

      Falls diese Reihe konvergiert, $\liminfty{n} s_n = s$, schreibe
      $$\suminfty{n=0} a_n = s$$

      Das Symbol $\suminfty{n=0} a_n$ hat also zwei verschiedene
      Bedeutungen!

      \subsubsection{Die geometrische Reihe}
        \marginnote{Beispiel \S3.20}
        \index{Geometrische Reihe}
        \index{Reihen, geometrische}
        Die geometrische Reihe: $\suminfty{k=0} q^k$
        \bigskip

        \begin{tabular}{llcl}
          F\"ur & $q=1$ & $\Rightarrow$ & $\suminfty{k=0} 1^k = \infty
            \qquad$ divergiert die Reihe. \\
          F\"ur & $q \neq 1$ & $\Rightarrow$ & wissen wir
            $\sum\limits_{k = 0}^l q^k = \frac{1-q^{l+1}}{1-q} = s_l$ \\
          F\"ur & $|q| < 1$ & $\Rightarrow$ &
            konvergiert das gegen $\frac{1}{1 - q}$ \\
          &&& dann gilt $\liminfty{l} |q|^l = 0$
        \end{tabular}
        \bigskip

        % Graph: Die geometrische Reihe
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(150,80)
            % Coords
            \put(0,5){\vector(1,0){150}}
            \put(75,5){\vector(0,1){100}}
            % |q|^1
            \put(75,5){\line(1,1){70}}
            \put(75,5){\line(-1,1){70}}
            % |q|^2
            \put(75,5){\qbezier(0,0)(50,0)(70,80)}
            \put(75,5){\qbezier(0,0)(-50,0)(-70,80)}
            % |q|^l
            \put(75,5){\qbezier(0,0)(65,0)(65,60)}
            \put(140,65){\line(0,1){30}}
            \put(75,5){\qbezier(0,0)(-65,0)(-65,60)}
            \put(10,65){\line(0,1){30}}
            % Captions
            \put(140,-5){\makebox(0,0){1}}
            \put(10,-5){\makebox(0,0){-1}}
            \put(10,2){\line(0,1){6}}
            \put(140,2){\line(0,1){6}}
            \put(70,70){\makebox(0,0){1}}
            \put(72,70){\line(1,0){6}}

            \put(100,40){\makebox(0,0){$|q|^1$}}
            \put(115,30){\makebox(0,0){$|q|^2$}}
            \put(145,20){\makebox(0,0){$|q|^l$}}
          \end{picture}
          \caption{Die geometrische Reihe}
        \end{figure}


        Warum? Schreibe $\frac{1}{|q|} = 1+x$ mit $x > 0$.

        $(1+x)^l \geq 1+lx$ \qquad (Bernoulli) also $|q|^l \leq \frac{1}{a+lx}$.
        F\"ur jedes $\varepsilon > 0$ gibt es ein $N_\varepsilon$ mit
        $\frac{1}{1+lx} < \varepsilon$ f\"ur $l \geq N_\varepsilon$
        (Archimedisches Prinzip), also $|q| < \varepsilon$ f\"ur $l \geq
        N_\varepsilon \Rightarrow \liminfty{n} |q|^n = 0$.

        F\"ur $|q| < 1$ ist also $\suminfty{n=0} q^n = \frac{1}{1-q}$.

        F\"ur $|q| \geq 1$ ist die geometrische Reihe divergent.

      \subsubsection{Die harmonische Reihe}
        \marginnote{Beispiel \S3.21}
        \index{Harmonische Reihe}
        \index{Reihen, harmonische}
        Die harmonische Reihe: $\suminfty{k=1} \frac{1}{k}$ ist divergent.
        \bigskip

        Denn: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} +
        \dots \geq 1 + \frac{1}{2} + 2 \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{8} + \dots$
        \quad Das wird beliebig gro{\ss}!
        \medskip

        Die Folge der Partialreihen ist also streng monoton und nicht
        beschr\"ankt, also divergiert die Reihe.
        \medskip

        Moral: Wenn $\suminfty{n=0} a_n$ konvergiert, dann {\em muss}
        $\series{a}{n}$ sicher eine Nullfolge sein, $\liminfty{n} a_n = 0$.
        Diese Bedingung alleine garantiert aber noch nicht die Konvergenz,
        wie wir an der harmonischen Reihe sehen.

  % =============== SECTION 4 ===============
  \newpage
  \section{Konvergenzkriterien f\"ur Reihen}
    \index{Konvergenz}
    \index{Reihenkonvergenz}
    \subsection{Das Leibnizkriterium}
      \marginnote{Satz \S4.1}
      \index{Leibnizkriterium}
      \index{Alternierende Reihen}
      \index{Reihen, alternierende}
      Ist $\series{a}{n}$ eine streng monoton fallende Nullfolge, so
      konvergiert die Reihe
      $$\suminfty{k=0} (-1)^k a_k$$

      \paragraph{Beweis:}
        Betrachte
        \begin{eqnarray*}
          &s_{2l+1} = \underbrace{(a_0-a_1)}_{>0} +\underbrace{(a_2-a_3)}_{>0}
            +\dots+\underbrace{(a_{2l}-a_{2l+1})}_{>0}& \\
          &s_{2l} = a_0-\underbrace{(a_1-a_2)}_{>0}-
            \underbrace{(a_3-a_4)}_{>0}-\dots-
            \underbrace{(a_{2l-1}-a_{2l})}_{>0}&
        \end{eqnarray*}
        Die Folge $(s_{2l-1})_{l \in \N}$ ist streng monoton wachsend. Die
        Folge $(s_{2l})_{l \in \N}$ ist streng monoton fallend.
        \medskip

        Es gilt weiter: $0 < s_{2l+1} < s_{2l} < a_0$. Also konvergieren
        beide Folgen:
        $$\liminfty{l} s_{2l+1} = s, \quad \liminfty{l} s_{2l} = t \quad
        \Rightarrow s \leq t$$

        Da $\liminfty{l} |s_{2l+1} - s_{2l}| = \liminfty{l} |a_{2l+1}| = 0$
        gilt $s = t = \liminfty{l} \suminfty{k=0} (-1)^k a_k$.

        $$|q|^l < \varepsilon \mbox{\quad f\"ur \quad} l \geq N_\varepsilon$$

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S4.2}
        Nach dem Leibnizkriterium konvergiert die {\bf alternierende
        harmonische Reihe}:
        $$\suminfty{k=1} (-1)^k \frac{1}{k} \mbox{\qquad ($= \ln 2$)}$$
        Anderes Beispiel:
        $$\suminfty{k=0} (-1)^k \frac{1}{2k+1}
            \mbox{\qquad ($= \frac{\pi}{4}$)}$$

    \subsection{Absolute Konvergenz}
      \marginnote{Definition \S4.3}
      \index{Absolute Konvergenz}
      \index{Konvergenz, absolute}
      Eine Reihe $\suminfty{n=0} a_n$ hei{\ss}t {\bf absolut konvergent}
      falls $\suminfty{n=0} |a_n|$ konvergiert.
      \medskip

      Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent:
      \begin{eqnarray*}
        \left|\sum\limits^l_{k=0} a_k - \sum\limits^m_{k=0} a_k\right| &=&
            \left|\sum\limits^m_{k=l+1} a_k \right| \leq
            \sum\limits^m_{k=l+1} |a_k| \\
        &=& \left|\sum\limits^l_{k=0} |a_k| - \sum\limits^m_{k=0} |a_k|\right|
            \mbox{\qquad (f\"ur $l \leq m$)}
      \end{eqnarray*}
      Das ist eine Cauchy-Folge, falls $\suminfty{n=0} |a_n|$ konvergiert.
      \medskip

      Absolute Konvergenz $\Rightarrow$ Konvergenz. Die Umkehrung ist
      {\em falsch}, denn die alternierende harmonische Reihe konvergiert,
      die harmonische Reihe aber nicht.
      \medskip

      Wir  sagen, eine Eigenschaft trifft auf {\em fast alle} nat\"urlichen
      Zahlen zu, falls sie nur auf endlich viele nat\"urlichen Zahlen
      nicht zutrifft.

    \subsection{Das Majorantenkriterium}
      \marginnote{Satz \S4.4}
      \index{Majorantenkriterium}
      Ist $\suminfty{k=0} c_k$ konvergent, und gilt $|a_n| \leq c_n$ f\"ur
      fast alle $n \in \N$, dann ist $\suminfty{n=0} a_n$ absolut konvergent
      (insbesondere auch konvergent).
      \medskip

      \paragraph{Beweis:}Es gelte $|a_n| \leq c_n$ f\"ur fast alle $n \leq N$.

      Damit $\sum\limits^m_{k=N} |a_k| \leq \sum\limits^m_{k=N} c_k$, die
      rechte Seite konvergiert, also ist $\suminfty{k = 0} |a_k|$
      beschr\"ankt (und monoton), deswegen konvergent.\hfill$\square$

    \subsection{Das Quotientenkriterium}
      \marginnote{Satz \S4.5}
      \index{Quotientenkriterium}
      Ist $a_n \neq 0$ f\"ur (fast) alle $n$, und gibt es ein $q$ mit
      $0 < q < 1$, so, dass $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q$
      f\"ur fast alle $n$, dann konvergiert die Reihe $\suminfty{n=0} a_n$
      absolut.

      \paragraph{Beweis:}Wir nehmen an, alles gilt f\"ur {\em alle}
      $n \in \N$:
      $\left| \frac{a_n}{a_0} \right| \leq q$, $\left| \frac{a_2}{a_1}\right|
      \leq q$, usw.,

      also $\sum\limits^l_{n=0} |a_n| \leq
      \sum\limits^l_{n=0} |a_0| q^n \leq |a_0| \sum\limits^l_{n=0} q^n$
      \medskip

      Die rechte Seite ist eine geometrische Reihe, also konvergent.\hfill
      $\square$

    \subsection{Das Wurzelkriterium}
      \marginnote[Vorlesung\\ 24.11.2003\\]{Satz \S4.6}
      \index{Wurzelkriterium}
      Gibt es ein $q$ mit $0 < q < 1$, so dass $\sqrt[n]{|a_n|} \leq q$
      f\"ur (fast) alle $n$, so konvergiert die Reihe $\suminfty{n=0} a_n$
      absolut.

      \paragraph{Beweis:}Wegen $|a_n| \leq q^n$ gilt $\suminfty{n=0} |a_n|
        \leq \suminfty{n=0} q^n = \frac{1}{1-q}$ wie beim Beweis des
        Quotientenkriterium.

    \subsection{Der Verdichtungssatz von Cauchy}
      \marginnote{Satz \S4.7}
      \index{Verdichtungssatz von Cauchy}
      Ist $a_n > 0$ f\"ur alle $n$, und ist $\series{a}{n}$ monoton fallend,
      so konvergiert die Reihe $\suminfty{n=0} a_n$ genau dann, wenn die
      Reihe $\suminfty{n=0} 2^n a_{2^n}$ konvergiert.

      \paragraph{Beweis:}Setze $s_n = \sum\limits^n_{k=1} a_n$ und
        $t_n = \sum\limits^n_{k=0} 2^k a_{2^k}$.
        \medskip

      F\"ur $n < 2^{m+1}$ gilt dann
      \begin{eqnarray*}
        s_n &=& a_1 + a_2 + \dots + a_n \\
            &=& a_1+(a_2 + a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7) \\
            &&+ \dots+(a_{2^m}+a_{2^m+1}+ \dots + a_{2^{m+1}}-1) \\
            &\leq& a_1 + 2a_2 + 4a_4 + \dots + 2^m a_{2^m} = t_m
      \end{eqnarray*}
      Wenn $\series{t}{m}$ konvergiert, so ist $\series{s}{n}$ monoton
      wachsend und beschr\"ankt, also konvergent.

      \paragraph{Andersrum:} Wenn $n \geq 2^{m+1}$, dann gilt entsprechend:
      \begin{eqnarray*}
        s_n &\geq& a_1 + a_2 + (a_3+a_4) + (a_5+a_6+a_7+a_8) + \dots \\
            &\geq& a_1 + a_2 + 2a_4 + 4a_8 + \dots \\
            &=& \frac{1}{2} a_1 + \frac{1}{2} t_m
      \end{eqnarray*}

      Wenn also $\series{s}{n}$ konvergiert, so auch die Folge
      $\series{\frac{1}{2}t}{m}$, also auch $\series{t}{m}$.

      \hfill$\square$

      \subsubsection*{Beispiele}
        \marginnote{Beispiele \S4.8}
        \begin{itemize}
          \item{F\"ur $r > 1$, $r \in \R$ konvergiert die Reihe
            $\suminfty{n=1} \frac{1}{n^r}$.

            Beweis (Verdichtungssatz): Betrachte

            $\suminfty{n=0} 2^n \frac{1}{(2^n)^r} = \suminfty{n=0} q^n$
            mit $q=2^{1-r} < 1$, das konvergiert (geom. Reihe).}
          \item{Die Reihe $\suminfty{n=0}n^2 2^{-n}$ konvergiert.

          Beweis (Quotientenkriterium):

          $\left| \frac{(n+1)^2 2^{-(n+1)}}{n^2 2^{-n}} \right| =
          \frac{1}{2}\left( \frac{n+1}{n} \right)^2 = \frac{1}{2}
          \left( 1+\frac{1}{n} \right)^2 \leq \frac{1}{2}
          \left( 1+\frac{1}{3} \right)^2 = \frac{8}{9} < 1$

          f\"ur $n \geq 3$.}
        \end{itemize}

    \subsection{Die Exponentialreihe}
      \marginnote{Satz \S4.9}
      \index{Exponentialreihe}
      F\"ur jedes $x \in \R$ konvergiert die Reihe $\suminfty{k=0}
      \frac{1}{k!} x^k = \exp(x)$ absolut.

      Beweis (Quotientenkriterium):
      \medskip

      $\left| \frac{x^{k+1}}{x^k} \cdot \frac{k!}{(k+1)!} \right| =
      |x| \frac{1}{k+1} \leq \frac{1}{2} < 1$
      \medskip

      falls $2 |x| \leq k+1$. F\"ur solche $k$ k\"onnen wir das
      Quotientenkriterium anwenden.

    \subsection{\texorpdfstring{$g$}{g}-adische Entwicklung von Zahlen}
      % FIXME: Beispiel??
      \marginnote{Beispiel \S4.10}
      \index{g-adische Entwicklung}
      Wir stellen und reelle Zahlen als {\em Dezimalbr\"uche} vor,
      z.B:
      $$\sqrt{2} = 1,414213\dots \mbox{\quad (10-adische Entwicklung)}$$
      Andere $g$ (z.B. $g=2$ oder $g=16$) sind als Basen in der Informatik
      relevant.
      \medskip

      Sei $g \in \N$, $g \geq 2$, sei $l \in \Z$ und sei $\series{a}{n}$
      eine Folge mit $a_n \in \{0, 1, 2, \dots, g-1\}$ f\"ur alle $n$.
      Betrachte die Reihe:

      $$\suminfty{n=0} a_n g^{l-n} = g^l \suminfty{n=0} a_n \frac{1}{g^n}$$

      Diese Reihe konvergiert absolut, denn

      $$\suminfty{n=0} a_n g^{l-n} \leq \suminfty{n=0} (g-1) g^l g^{-n} =
      (g-1) g^l \frac{1}{1-\frac{1}{g}}$$

      F\"ur $a = \suminfty{n=0} a_n g^{l-n}$ schreibe:
      $a \buildrel(g)\over= a_0 \cdots a_l \mbox{ {\bf ,} } a_{l+1} \cdots$

      bzw.
      $a \buildrel(g)\over= 0 \mbox{ {\bf ,} }\underbrace{0 \cdots 0}_{a-l}
        \: a_0 \: a_1 \cdots \mbox{\quad (falls $l < 0$)}$
      \medskip

      Beispiel ($g=10$):
      $\frac{1}{6} = \frac{1}{10}+\frac{6}{100}+\frac{6}{1000}+
        \frac{6}{10000}+\cdots \buildrel(10)\over= 0,1666\dots$

      Denn: $\frac{1}{6} = \frac{1}{10} + \suminfty{k=0} \frac{6}{100} \cdot
        \frac{1}{10^k}
      = \frac{1}{10} +  \frac{6}{100} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}}
      = \frac{1}{10} +  \frac{6}{100} \cdot \frac{10}{9} = \frac{1}{6}$

      \paragraph{Satz:}Ist $a<0$ eine reelle Zahl, so gibt es eine Folge
      $\series{a}{n}$ mit

      $a_n \in \{0, \dots, g-1\}$ und ein $l \in \Z$, mit $a_0 \neq 0$, so dass

      $$a = \suminfty{n=0} a_n g^{l-n} \mbox{\qquad Schreibe: }
      a \buildrel(g)\over= a_0 \cdots a_l \mbox{ {\bf ,} } a_{l+1} \cdots$$

      \paragraph{Beweis:}Ein Algorithmus. F\"ur $r \in \R$ sei:
      \marginnote[Vorlesung\\ 27.11.2003]{}
      $$\lfloor r \rfloor = \max\{n \in \Z \mid n \leq r\}$$

      \begin{tabular}{llll}
        1. & Setze & $l = \min\{k \in \Z \mid g^{k+1} > a\}$ &\\
                    & \multicolumn{3}{l}{Dann gilt also $g^{l+1} > a \geq g^l$}
                    \medskip\\
        2. & Setze & $a_0 = \lfloor a \cdot g^{-l} \rfloor$ &
                      $s_0 = a_0 g^l \leq a$\\
                    && $a_1 = \lfloor (a - s_0) \cdot g^{-l+1} \rfloor$ &
                      $s_1 = a_0 g^l + a_1 g^{l - 1}$\\
                    && $\phantom{a_1 } \vdots$ & $\phantom{s_1 } \vdots$\\
                    && $a_l = \lfloor (a - s_{k - 1}) g^{-l + k} \rfloor$ &
                      $s_k = a_0 g^l + a_1 g^{l - 1} + \dots + a_k q^{l - k}$
      \end{tabular}
      \bigskip

      F\"ur $a = 0$ schreibe $a \buildrel(g)\over= 0$

      F\"ur $a < 0$ schreibe $a \buildrel(g)\over= -a_0 \: a_1 \dots$
      \medskip

      Diese Darstellung zur Basis $g$ ist nicht immer eindeutig, z.B. wissen
      wir aus der Schule, dass $1 = 0,\overline{9} = 0,999\dots$, denn:

      \begin{eqnarray*}
        0,999\dots &=& \frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots
            = 9 \left( \left( \suminfty{k=0} 10^{-k} \right) - 1 \right) \\
            &=& 9 \left( \frac{1}{1-\frac{1}{10}} -1 \right)
            = 9 \left( \frac{10}{9} - 1 \right) = 1
      \end{eqnarray*}

      Die Darstellung wird eindeutig, wenn man verlangt, dass nicht fast alle
      Ziffern $=g-1$ sein d\"urfen.

      \paragraph{Beispiel:}$g=2$, $a=\frac{1}{3}$

      Bestimme $l$: $\underbrace{2^{-2+1}}_{\frac{1}{2}} > \frac{1}{3}
      > \underbrace{2^{-2}}_{\frac{1}{4}} \Longrightarrow l = -2$
      \bigskip

      \begin{tabular}{ll}
        $a_0 = \lfloor \frac{1}{3} \cdot 4 \rfloor = 1$ & $s_0=\frac{1}{4}$ \\
        $a_1 = \lfloor \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right) \cdot 8
          \rfloor = 0$ & $s_1=\frac{1}{4}$ \\
        $a_2 = \lfloor \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right) \cdot 16
          \rfloor = 0$ & $s_2=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$ \\
        $a_3 = \lfloor \left( \frac{1}{3}-\frac{5}{16} \right) \cdot 32
          \rfloor = 0$ & $s_3=\frac{5}{16}$ \\
        \vdots & \vdots
      \end{tabular}
      \bigskip

      Also: $\frac{1}{3} \buildrel(2)\over= 0,01010101\dots$
      \medskip

      Denn: $\suminfty{k=0} 4^{-k} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3}
      = 1+\frac{1}{3} \Longrightarrow \suminfty{k=1} 4^{-k} = \frac{1}{3}$

  % =============== SECTION 5 ===============
  \newpage
  \section{Stetigkeit von Funktionen}
    \subsection{Abbildungen}
      \marginnote{Definition \S5.1}
      \index{Abbildungen}
      \index{Funktionen}
      \index{Schaubilder}
      \index{Graphen}
      Sind $X$ und $Y$ Mengen, dann ist eine {\bf Abbildung} $f$ von $X$
      nach $Y$ eine Vorschrift, die jedem $x \in X$ ein Element
      $y = f(x) \in Y$ zuordnet. Schreibweise:
      $$f\colon X \longrightarrow Y \mbox{ oder }
      X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y \mbox{ oder } x \mapsto f(x) = y$$

      Formal im Rahmen der Mengenlehre: $f$ ist eine Menge von Paaren
      $$f = \{(x, y) \;|\; f(x) = y\}$$

      so dass f\"ur jedes $x \in X$ genau ein Paar $(x, y)$ mit $y \in Y$
      existiert.
      \medskip

      Mit anderen Worten: Abbildungen sind {\bf Schaubilder} oder
      {\bf Graphen}.

      \subsubsection*{Beispiele}
        \index{Identit\"at}
        \index{Funktionen, Identit\"at}
        \index{Funktionen, Absolutbetrag}
        \index{Polynome}
        \index{Funktionen, Polynomfunktionen}
        \index{Funktionen, konstante}
        \index{Charakteristische Abbildung}
        \begin{itemize}
          \item{{\bf Identische Abbildung} oder {\bf Identit\"at}:\\
            $id_x\colon X \longrightarrow Y$ f\"ur $X = Y, x \mapsto x$}
          \item{{\bf Reelle Funktionen}:\\
            $f\colon X \longrightarrow Y$ f\"ur $X = \R = Y$}
          \item{{\bf Absolutbetrag}:\\
            $f\colon \R \longrightarrow \R, x \mapsto |x|$}
          \item{{\bf Polynomfunktion}:\\
            $p\colon \R \longrightarrow \R, x \mapsto a_0 + a_1x + a_2x^2 +
                \cdots + a_nx^x$ f\"ur $a_0, ..., a_n \in \R$}
          \item{{\bf Konstante Abbildung}:\\
            $f\colon \R \longrightarrow \R, x \mapsto c$ f\"ur $c \in \R$
                (fest)}
          \item{{\bf Charakteristische Abbildung} der Menge $A \subseteq \R$\\
            $\chi_A\colon \R \longrightarrow \R$ f\"ur $x \mapsto \left\{
              \begin{array}{cc}
                1 & $ falls $a \in A\\
                0 & $ falls $a \not\in A
              \end{array}
            \right.$}
        \end{itemize}

    \subsection{Stetigkeit}
      \marginnote{Definition \S5.2}
      \index{Stetigkeit}
      Sei $X \subseteq \R$ eine Menge der reellen Zahlen (z.B. $X = \R$) und
      $f\colon X \longrightarrow \R$ eine Abbildung. Dann hei{\ss}t $f$
      {\bf stetig}, wenn folgendes gilt: Ist $(x_n)_{n \in \N}$ eine Folge in
      $X$ (d.h. $x_k \in X$ f\"ur alle k), die gegen $x \in X$ konvergiert, so
      gilt:
      $$\liminfty{n} x_n = x \quad\Rightarrow\quad \liminfty{n} f(x_n) = f(x)$$

      \subsubsection*{Beispiele}
        \begin{itemize}
          \item{$x \mapsto x \quad$ ist stetig\\
            $\liminfty{n} x_n = x \quad\Rightarrow\quad
            \liminfty{n} f(x_n) = x = f(x)$}
          \item{$f(x) = \left\{
            \begin{array}{cc}
              -1 & $ falls $ x < 0\\
              +1 & $ falls $ x \ge 0
            \end{array}
            \right.$ ist nicht stetig.

            Setze $x_n = -\frac{1}{n}$, also $f(x_n) = -1$

            $\liminfty{n} -\frac{1}{n} = 0, f(0) = 1 \quad $ Ein Widerspruch.}
        \end{itemize}

    \subsection{Lipschitz-stetige Funktionen}
      \index{Lipschitz-Stetigkeit}
      \index{Stetigkeit, lipschitz}
      Eine Funktion hei{\ss}t {\bf lipschitz-stetig}, wenn es ein
      $L \in \R$ gibt mit:

      $$|x - y| \cdot L \ge |f(x) - f(y)| \qquad\mbox{f\"ur alle $x,y$ im
      Definitionsbereich}$$

      \paragraph{Lemma:}
        \marginnote{Lemma \S5.3}
        Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig.
        \medskip

      Beweis: Sei $(x_n)_{n \in \N}$ konvergent, $\liminfty{n} x_n = x.$

      Also gilt:

      $$|f(x) - f(x_n)| \le \underbrace{L \cdot |x - x_n|}_{\rm{Nullfolge}}$$

      also ist $(|f(x) - f(x_n)|)_{n \in \N}$ eine Nullfolge,

      mit anderen Worten: $\liminfty{n} f(x_n) = f(x)\hfill\square$

      \subsubsection*{Beispiele}
        \begin{itemize}
          \item{Die Betragsfunktion $x \mapsto |x|$ ist
              lipschitz-stetig mit $L = 1$}
          \item{Die konstante Abbildung ist lipschitz-stetig mit $L = 0$}
          \item{Ebenso ist die Identit\"at lipschitz-stetig mit $L = 1$}
        \end{itemize}

    \subsection{Rationale Operationen auf Funktionen}
      \marginnote[Vorlesung\\01.12.2003\\]{Satz \S5.4}
      Sind $f$ und $g$ stetig, so auch die folgenden Funktionen:
      \begin{eqnarray*}
        f + g &=& [x \mapsto f(x) + g(x)] \\
        f \cdot g &=& [x \mapsto f(x) \cdot g(x)] \\
        c \cdot f &=& [x \mapsto c \cdot f(x)]
            \mbox{ f\"ur ein konstantes } c \in \R
      \end{eqnarray*}
      Insbesondere sind alle Polynomfunktionen stetig:
      $$p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$$

      \paragraph{Beweis:}Sei $x = \liminfty{n} x_n$ und $f(x) =
        \liminfty{n} f(x_n)$, $\; g(x) = \liminfty{n} g(x_n)$.\medskip

      Nach \S3.6 gilt dann
      $$f(x) + g(x) = \liminfty{n} \big(f(x_n) + g(x_n)\big)$$
      $$f(x) \cdot g(x) = \liminfty{n} \big(f(x_n) \cdot g(x_n)\big)$$

    \subsection{Ring der stetigen Funktionen}
      \marginnote{Bemerkung \S5.5}
      F\"ur $X \subseteq \R$ sei
      $$\fsetc{X}{\R} = \{f\colon X \longrightarrow \R \;|\; f
      \mbox{ ist stetig }\}$$

      die Menge (der Ring) der stetigen Funktionen auf $X$.

    \subsection{Intervalle}
      \marginnote{Definition \S5.6}
      \index{Intervalle}
      Die folgenden Mengen bezeichnet man f\"ur alle $a < b$ als
      {\bf Intervalle}:
      \begin{eqnarray*}
        \left[\:a, b\:\right] &=& \{x \in \R \;|\; a \le x \le b\}\\
        \left[\:a, b\:\right[ &=& \{x \in \R \;|\; a \le x < b\}\\
        \left]\:a, b\:\right] &=& \{x \in \R \;|\; a < x \le b\}\\
        \left]\:a, b\:\right[ &=& \{x \in \R \;|\; a < x < b\}
      \end{eqnarray*}
      \begin{eqnarray*}
        \left[\:a, \infty\:\right[ &=& \{x \in \R \;|\; a \le x\}\\
        \left]\:a, \infty\:\right[ &=& \{x \in \R \;|\; a < x\}\\
        \left]\:-\infty, a\:\right] &=& \{x \in \R \;|\; x \le a\}\\
        \left]\:-\infty, a\:\right[ &=& \{x \in \R \;|\; x < a\}
      \end{eqnarray*}

    \subsection{Zwischenwertsatz}
      \marginnote{Satz \S5.7}
      \index{Zwischenwertsatz}
      Sei $J$ ein Intervall, sei $f\colon J \longrightarrow \R$ stetig, sei
      $a,b \in J$ mit $f(a) \le f(b)$. Zu jedem $y$ mit $f(a) \le y \le f(b)$
      gibt es ein $x$ zwischen $a$ und $b$ mit $f(x) = y$.

      \paragraph{Beweis:} Wir betrachten nur den Fall $f(a) < y < f(b)$ und
        nehmen an, dass $a \le b$ ist (Der Fall $b < a$ geht analog).
        Sei $ M = \{x \in \left[a, b\right] \;|\; f(x) \le y\}$.
        \medskip

      Da $a \in M$, ist $ M \ne \emptyset$ und es existiert $r = \sup{(M)}$.
      Da $r$ Supremum ist, gibt es eine Folge $\series{r}{n}$ in $M$ mit
      $\liminfty{n} r_n = r$.
      \medskip

      Dann gilt $\liminfty{n} f(r_n) = f(r) \le y$. Da $r < b$ gibt es eine
      Folge $\series{s}{n}$ in $\left]r, b\right]$ mit $\liminfty{n} s_n = r$.
      (z.B. $s_n = r + \frac{1}{n}$), dann ist $s_n \not\in M$, d.h.
      $f(s_n) > y$, damit $\liminfty{n} f(s_n) \ge y$. Damit folgt:
      $f(r) = y$.$\hfill\square$

    \subsection{Umkehrfunktion}
      \marginnote{Folgerung \S5.8}
      \index{Umkehrfunktion}
      \index{Funktionen, Umkehrfunktion}
      Sei $J = \left[a, b\right]$. Wenn $f \in \fsetc{J}{\R}$ streng monoton
      wachsend ($s < t \Rightarrow f(s) < f(t)$ f\"ur alle $s, t \in J$)
      ist, dann hat $f$ eine stetige {\bf Umkehrfunktion $g$}, d.h.:
      $$g(f(x)) = x \qquad \mbox{f\"ur alle $x \in J$}$$

      \paragraph{Beweis:} F\"ur $s \ne t$ folgt $f(s) \ne f(t)$. Nach dem
        Zwischenwertsatz gibt es zu jedem $y$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$
        {\em genau ein} $x \in J$ mit $f(x) = y$. Das liefert $g(y) = x$.
        \medskip

      Warum ist $g$ stetig? Angenommen $\liminfty{n} y_n = y$. Zu zeigen:
      $\liminfty{n} g(y_n) = g(y)$. Setze $g(y) = x$, $g(y_n) = x_n$, d.h.
      $y = f(x)$, $y_n = f(x_n)$. Zu zeigen: $\liminfty{n} x_n = x$. Da
      $\series{x}{n}$ beschr\"ankt ist, k\"onnen wir Bolzano-Weierstra{\ss}
      benutzen. Wenn $\liminfty{n} x_n \ne x$ w\"are, g\"abe es eine Teilfolge
      $\series{x_n}{k}$, die gegen $\hat{x} \ne x$ konvergiert. Dann gilt
      $\liminfty{k} f({x_n}_k) = \liminfty{k} {g_n}_k = f(\hat{x})$.
      \medskip

      Wegen $\liminfty{n} y_n = y$ gilt aber sicher $\liminfty{k} {y_n}_k = y$,
      also ist $f(\hat{x}) = y = f(x)$ ein Widerspruch, denn $x \ne \hat{x}$,
      also $f(x) \ne f(\hat{x})$.$\hfill\square$

      \paragraph{Bemerkung:} Ein entsprechender Satz gilt nat\"urlich f\"ur
        streng monoton fallende stetige Funktionen.

      \paragraph{Beispiel:}
        $X = \left[0, \infty\right[, \quad n \ge 1, n\in \N. f(x) = x^n$. Das
        ist stetig (Polynom) und streng monoton. F\"ur $r > 0$ gilt:
        $x^n + \underbrace{nx^{n-1}r + \cdots + r^n}_{> 0} > x^n$

      Nach dem Satz gibt es auf jedem Intervall $\left[a, b\right]$ eine
      Umkehrfunktion, also auf ganz $\left[0, \infty\right[$. F\"ur
      $y = x^n$ ist diese Umkehrfunktion $g(y) = \sqrt[n]{y} = y^{1/n}$
      stetig.

    \subsection{Satz von Weierstra\ss}
      \marginnote[Vorlesung\\04.12.2003\\]{Satz \S5.9}
      \index{Weierstra\ss}
      Ist $J = \left[a, b\right]$ ein abgeschlossenes Intervall und ist
      $f\colon J \longrightarrow \R$ stetig, dann ist die Menge
      $f(J) = \{f(x) \;|\; x \in J\}$ wieder ein abgeschlossenes Intervall
      $f(J) = \left[c, d\right]$.
      \medskip

      Insbesondere nimmt $f$ ein Maximum und ein Minimum an, d.h. es gibt
      $u \in J$ mit $f(u) = c$ und es gibt $v \in J$ mit $f(v) = d$ aber
      $f(u) \le f(x) \le f(v)$ f\"ur alle $x \in J$.

      \paragraph{Beweis:} Angenommen $f(J)$ ist nicht nach oben beschr\"ankt,
        d.h. es gibt Folgen $\series{x}{n}$ in $J$ mit
        $\liminfty{n} f(x_n) = \infty$. Nach Bolzano-Weierstra{\ss} (\S3.15)
        gibt es eine Teilfolge $\series{x_n}{k}$ und
        $x = \liminfty{n} x_{n_k} \in J$. Da $f$ stetig ist, folgt:
        $$f(x) = \liminfty{k} f(x_{n_k}) = \infty$$

        Ein Widerspruch.
        \medskip

        Sei $d = \sup{f(J)}$, dann gibt es eine Teilfolge $\series{x_n}{k}$ mit
        $$\liminfty{k} f(x_{n_k}) = f(x) = \liminfty{n} f(x_n) = d$$

      Ebenso verf\"ahrt man mit $c = \inf{f(J)}$. Nach dem Zwischenwertsatz
      (\S5.7) ist $f(J) = \left[c, d\right]$. Wir betrachten jetzt Folgen von
      Funktionen. In der Praxis sind das Folgen, die ein
      Aproximationsproblem besser und besser l\"osen.

    \subsection{Punktweise und gleichm\"a{\ss}ige Konvergenz}
      \marginnote{Definition \S5.10}
      \index{Konvergenz}
      \index{Konvergenz, punktweise}
      \index{Punktweise Konvergenz}
      \index{Konvergenz, gleichm\"a{\ss}ige}
      \index{Gleichm\"a{\ss}ige Konvergenz}
      Sei $X \subseteq \R$. Ist f\"ur jedes $n \in \N$
      $f_n\colon X \longrightarrow \R$ eine Abbildung, so hei{\ss}t
      $\series{f}{n}$ {\bf Funktionenfolge}.
      \medskip

      Wir sagen $\series{f}{n}$ {\bf konvergiert punktweise} gegen eine
      Funktion $f\colon X \longrightarrow \R$ falls f\"ur alle $x \in X$ gilt:
      $$\liminfty{n} f_n(x) = f(x)$$

      Wir sagen $\series{f}{n}$ {\bf konvergiert gleichm\"a{\ss}ig} gegen eine
      Funktion $f\colon X \longrightarrow \R$ falls zu jedem $\varepsilon > 0$
      ein $N_\varepsilon \in \N$ existiert mit $\left|f_n(x) - f(x)\right| <
      \varepsilon$ f\"ur alle $x \in X$, f\"ur alle $n > N_\varepsilon$.
      \medskip

      Gleichm\"a{\ss}ige Konvergenz impliziert offensichtlich punktweise
      Konvegenz.

      \subsubsection*{Beispiel}
        \marginnote{Beispiel \S5.11}
        $X = \left[0, 1\right] \quad f_n(x) = x^n \quad$ f\"ur $x = 1$ gilt
        $f_n(x) = 1^n = 1$, f\"ur $0 \le x < 1$ gilt $\liminfty{n} x^n = 0$
        (vgl. \S3.20), Die Folge $\series{f}{n}$ konvergiert punktweise gegen
        die unstetige Funktion:
        $$f(x) = \left\{
          \begin{array}{rl}
            1 & $falls $x = 1\\
            0 & $falls $0 \le x < 1
          \end{array}
          \right.$$

    \subsection{Stetigkeit und gleichm\"a{\ss}ige Konvergenz}
      \marginnote{Satz \S5.12}
      Konvergiert die Folge $\series{f}{n}$ gleichm\"a{\ss}ig gegen die
      Funktion $f$ und sind alle $f_n$ stetig so ist auch $f$ stetig.

      \paragraph{Beweis:} Sei $x \in X$, $\series{x}{n}$ eine Folge in $X$ mit
        $\liminfty{n} x_n = x$. Sei $\varepsilon > 0$. Dann gibt es ein
        $m \in \N$ mit $|f_m(u) - f(u)| < \frac{\varepsilon}{3}$ f\"ur alle
        $u \in X$.
        \medskip

      W\"ahle $N \in \N$ so, dass f\"ur $n > N$ gilt: $|f_m(x) - f_m(x_n)| <
      \frac{\varepsilon}{3} \;$ (da $f_m$ stetig ist) F\"ur $n > N$ gilt also:
      \begin{eqnarray*}
        |f(x_n) - f(x)|
        &=&   |f(x_n)- f_m(x_n) + f_m(x_n) - f_m(x) + f_m(x) - f(x)|\\
        &\le& |f(x_n) - f_m(x_n)| + |f_m(x_n) - f_m(x)| + |f_m(x) - f(x)|\\
        &\le& \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} +
        \frac{\varepsilon}{3} \le \varepsilon
      \end{eqnarray*}

      also $\liminfty{n} f(x_n) = f(x) $\hfill$\square$

    \subsection{Grenzwert von rekursiv definierten Folgen}
      \marginnote{Anwendung \S5.13}
      \index{Rekursiv definierte Folgen}
      \index{Folgen, rekursive}
      Ist $f$ stetig, ist $\series{a}{n}$ rekursiv definiert durch
      $a_{n + 1} = f(a_n)$ und konvergiert $\series{a}{n}$ gegen $a$,
      so ist $a = \liminfty{n} a_{n + 1} = \liminfty{n} f(a_n) =
      f(\liminfty{n} a_n) = f(a)$.

      \subsubsection*{Beispiel}
        $a_{n + 1} = \sqrt{6 + a_n}, \quad a_0 = 0$ (vgl. \S3.11)
        $\quad \series{a}{n}$ konvergiert, also gilt:
        \begin{eqnarray*}
          && a = \liminfty{n} a_n = \sqrt{6 + a} \; > 0 \\
          &\Leftrightarrow& a^2 = 6 + a \\
          &\Leftrightarrow& a^2 - a - 6 = 0 \\
          &\Leftrightarrow& a = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6} = 3
          \quad \mbox{(und $-2$)}
        \end{eqnarray*}

      Der Grenzwert der Folge a betr\"agt also 3, da die Folge streng monoton
      steigend ist mit $a_0 = 0$.

    \subsection{Die Potenzreihe}
      \marginnote{Definition \S5.14}
      \index{Potenzreihe}
      Sei $\series{a}{n}$ eine Folge. Setze $P_k(x) = \sum\limits_{n = 0}^k
      a_n x^n$. Das ist eine Folge stetiger Funktionen. Diese Funktionenfolge
      hei{\ss}t {\bf Potenzreihe}. Schreibe symbolisch:
      $$\series{P}{k} = \suminfty{n = 0} a_n x^n$$

    \subsection{Konvergenzradius}
      \marginnote{Satz \S5.15}
      \index{Konvergenzradius}
      Sei $\series{a}{n}$ eine Folge, $L = \limsup{\sqrt[n]{|a_n|}}$
      (bzw. $L = \infty$ falls $\sqrt[n]{|a_n|}$ unbeschr\"ankt).
      \medskip

      Setze $R = \left\{
      \begin{array}{rl}
        \frac{1}{L} & $falls $ L \ne 0\\
        0 & $falls $ L = \infty\\
        \infty & $falls $ L = 0
      \end{array}
      \right.$
      \medskip

      Die Reihe $\suminfty{n = 0} a_n x^n$ konvergiert absolut f\"ur
      $|x| < R$. Ist $r < R$, so konvergiert die Funktionenfolge
      $\suminfty{n = 0} a_n x^n$ gleichm\"a{\ss}ig auf $X = \left[-r, r\right]$
      gegen eine stetige Funktion, die wir ebenfalls mit
      $\suminfty{n = 0} a_n x^n$ bezeichnen.\medskip

      $R$ hei{\ss}t {\bf Konvergenzradius} der Reihe
      $\suminfty{n = 0} a_n x^n$.
      \medskip

      F\"ur $|x| > R$ divergiert die Reihe $\suminfty{n = 0} a_n x^n$. F\"ur
      $|x| = R$ kann man keine allgemeine Aussage treffen.

      \paragraph{Beweis:} Wir betrachten den Fall $0 \le L < \infty$. Dann ist
        $\sqrt[n]{|a_n x^n|} < |x| \sqrt[n]{|a_n|}$ F\"ur $|x| < \frac{1}{L}$
        gilt also: Es gibt ein $q < 1$ mit $\sqrt[n]{|a_n x^n|} < q$ f\"ur fast
        alle $n$.
        \medskip

        Denn $\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n x^n|} \le |x|
        \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = |x| \cdot
        L < 1$

        Nach dem Wurzelkriterium (\S4.6) konvergiert die Reihe absolut.
        \medskip

        Weiter ist $\suminfty{k = 0} |a_n| \cdot |r|^n = \suminfty{k = 0}
        (\sqrt[n]{|a_n|} r)^n$ eine Majorante  f\"ur $|x| \le r$, die gar nicht
        von $x$ abh\"angt, daraus folgt die gleichm\"a{\ss}ige Konvergenz auf
        $\left[-r, r\right]$.\hfill$\square$

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S5.16}
        Die Exponentialfunktion $\exp{(x)} = \suminfty{n = 0} \frac{1}{n!}x^n$
        ist stetig. Die Exponentialreihe konvergiert auf jedem Intervall
        $\left[-r, r\right]$ gleichm\"a{\ss}ig gegen $\exp{(x)}$.
        $$L = \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} = 0$$

    \subsection{Potenzreihen mit Entwicklungspunkt}
      \marginnote{Bemerkung \S5.17}
      Manchmal betrachtet man Reihen der Form:
      $$\suminfty{n = 0} a_n (x - x_o)^n \qquad
      \mbox{f\"ur festes } x_o \in \R$$

      Man spricht von {\bf Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $x_0$}. Die
      Theorie ist die gleiche wie oben (ersetze $z = x - x_0$)
      $$\suminfty{k = 0} a_n (x - x_0)^n \quad \mbox{konvergiert absolut auf }
      \left]-R + x_0,\, R + x_0\right[$$

    \subsection{Das Cauchy-Produkt}
      \marginnote{Hilfssatz \S5.18}
      \index{Cauchy-Produkt}
      Wenn $\suminfty{n = 0} a_n$ und $\suminfty{n = 0} b_n$ absolut
      konvergieren, so konvergiert auch das {\bf Cauchy-Produkt}
      $\suminfty{n = 0} c_n$ (absolut) gegen $a \cdot b$ mit:
      $$c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + a_2 b_{n - 2} + \cdots
      + a_n b_0 = \sum^n_{k = 0} a_k b_{n - k}$$

      Der Beweis ist einfach, aber l\"anglich (siehe Forster Analysis I \S8.3).
      \begin{eqnarray*}
        \left(\suminfty{n = 0} a_n\right) \left(\suminfty{n = 0} b_n\right) &=&
          (a_0 + a_1 + a_2 + \cdots) (b_0 + b_1 + b_2 + \cdots)\\
          &=& a_0 b_0 + a_0 b_1 + a_1 b_0 + a_2 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 +
          \cdots
      \end{eqnarray*}

    \subsection{Exponential- und Logarithmusfunktion}
      \subsubsection{Die Exponentialfunktion}
        \marginnote[Vorlesung\\08.12.2003\\]{Satz \S5.19}
        \index{exp-Funktion}
        \index{Funktionen, exp-Funktion}
        \index{Homomorphismus}
        Es gilt:
        \renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
        \begin{enumerate}
          \item{$\exp{(0)} = 1$}
          \item{$\exp{(-x)} = \frac{1}{\exp{(x)}}$}
          \item{$\exp{(x + y)} = \exp{(x)} \exp{(y)}$}
        \end{enumerate}
        Diese Eigenschaften sagen: $\exp{}$ ist ein {\bf Homomorphismus} von
        der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe
        der reellen Zahlen.

        \paragraph{Beweis:} (i) ist klar. F\"ur (iii) betrachte:
          $$\left(\suminfty{n = 0} \frac{1}{n!}x^n \right) \left(
          \suminfty{n = 0} \frac{1}{n!} y^n\right) = \suminfty{n = 0} c_n$$
          mit $c_n = \sum\limits^n_{k = 0} \frac{1}{k!} x^k \frac{1}{(n - k)!}
          y^{n - k} = \frac{1}{n!} \sum\limits^n_{k = 0}
          {n \choose k} x^k y^{n - k} = \frac{1}{n!} (x + y)^n$

          also $c_n = \frac{1}{n!} (x + y)^n \Rightarrow
          \exp{(x)} \cdot \exp{(y)} = \exp{(x + y)}$
          \medskip

          Damit folgt f\"ur (ii): $1 = \exp{(0)} = \exp{(x + (-x))} = \exp{(x)}
          \cdot \exp{(-x)}$.

          Also $\exp{(-x)} = \frac{1}{\exp{x}}$.\hfill$\square$

      \subsubsection{Die Logarithmusfunktion}
        \marginnote{Satz \S5.20}
        \index{Logarithmusfunktion}
        \index{Funktionen, Logarithmus}
        Die Exponentialfunktion ist streng monoton steigend, f\"ur jedes
        $y > 0$ gibt es genau ein $x \in \R$ mit $y = \exp{(x)}$.
        Setze $x = \ln{(y)}$. Dies ist die {\bf Logarithmusfunktion}
        $\ln{}$ (nat\"urlicher Logarithmus), die f\"ur alle positiven
        Zahlen definiert ist.
        $$\ln{}\colon \left]0, \infty\right[ \longrightarrow \R$$

        % Graph: EXP und LN-Funktion.
        \begin{figure}[ht]
          \centering
          \begin{picture}(250,100)
            % EXP-Funktion
            \put(0,0){\vector(1,0){100}}
            \put(50,0){\vector(0,1){100}}
            \put(0,1){\qbezier(0,0)(40,2)(50,10)}
            \put(50,11){\qbezier(0,0)(18,10)(20,80)}
            \put(48,11){\line(1,0){3}}
            \put(45,11){\makebox(0,0){\scriptsize $1$}}
            \put(10,50){\makebox(0,0){$\exp{(x)}$}}
            % LN-Funktion
            \put(150,50){\vector(1,0){100}}
            \put(150,0){\vector(0,1){100}}
            \put(151,0){\qbezier(0,0)(2,40)(10,50)}
            \put(161,50){\qbezier(0,0)(10,18)(80,20)}
            \put(161,48){\line(0,1){3}}
            \put(161,40){\makebox(0,0){\scriptsize $1$}}
            \put(190,30){\makebox(0,0){$\ln{(x)}$}}
          \end{picture}
          \caption{$\exp{}$- und $\ln{}$-Funktion}
        \end{figure}

      \subsubsection{Die eulersche Zahl}
        \index{Eulersche Zahl}
        Man setzt $\exp{(1)} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \cdots
        \approx 2,7$

        \paragraph{Beweis:} F\"ur $r > 0$ gilt
          $\exp{(r)} = 1 + \underbrace{r + \frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{6}}_{> 0}
          + \cdots > 1$,

        also $\exp{(x + r)} = \exp{(x)} \cdot
        \underbrace{\exp{(r)}}_{> 1} > \exp{(x)}$,

        also ist $\exp{}$ streng monoton steigend. F\"ur $x \ge 0$ ist
        $\exp{(x)} > 0$, also gilt $\exp{(x)} > 0$ f\"ur alle $x \in \R$.

      \subsubsection{Die Exponentialfunktion zur Basis \texorpdfstring{$a$}{a}}
        F\"ur alle $n \in \N$ gilt: $\exp{(n)} = 1 + n + \frac{n^2}{2} +
        \frac{n^3}{6} + \cdots \ge 1 + n$, d.h. $\liminfty{n} \exp{(n)} =
        \infty$.
        Weiter gilt: $\exp{(-n)} = \exp{(n)}^{-1} \le \frac{1}{1 + n}$, also
        $\liminfty{n} \exp{(-n)} = 0$.

        Nach dem Zwischenwertsatz gibt es zu jedem $y > 0$ ein $x$ mit
        $y = \exp{(x)}$.

        Man setzt $\mathrm{e} = \exp{(1)} \approx 2,7$ und schreibt dann formal
        $\exp{(x)} = \mathrm{e}^x$.
        \medskip

        F\"ur $y, z > 0$ gilt: $\ln{(y z)} = \ln{(y)} + \ln{(z)}$.
        F\"ur $a > 0$ schreiben wir f\"ur $x \in \R$.
        $$a^x = \exp{(x \cdot \ln{a})}$$
        $$\mathrm{e}^x = \exp{(x \cdot \ln{\mathrm{e}})}$$

      \subsubsection{Der Logarithmus zur Basis \texorpdfstring{$a$}{a}}
        F\"ur alle $x \in \N$ gilt:
        \begin{eqnarray*}
          x &=& \underbrace{1 + 1 + 1 + \cdots + 1}_{x \;\mathrm{mal}} \\
          a^x &=& \exp{\big((\underbrace{1 + 1 + 1 + \cdots + 1)}_{x
            \;\mathrm{mal}} \cdot \ln{a}\big)}\\
          &=& \underbrace{\exp(\ln a) \cdot \exp(\ln a) \cdots
            \exp(\ln a)}_{x \;\mathrm{mal}} \\
          &=& \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{x \;\mathrm{mal}}
        \end{eqnarray*}
        d.h. wir haben die \"ubliche Potenzfunktion $a \longrightarrow a^n$
        auf ganz $\R$ erweitert.
        \pagebreak

        Offensichtlich gilt:
        \begin{itemize}
          \item{$a^{(x + y)} = a^x \cdot a^y$}
          \item{$a^0 = 1$}
          \item{$a^{-x} = \frac{1}{a^x}$}
        \end{itemize}

        Entsprechend definieren wir
        $$\ln_a{x} = \frac{\ln{x}}{\ln{a}} \qquad \mbox{f\"ur } a, x > 0$$
        als {\bf Logarithmus zur Basis $a$}

      \paragraph{Beispiel}
        $$\ln_a{a^n} = \frac{\ln{a^n}}{\ln{a}} = \frac{n \ln{a}}{\ln{a}} = n$$
        $$\ln_2{1024} = 10$$

      \subsubsection{Wachstum der Exponentialfunktion}
        \marginnote{Satz \S5.21}
        \index{exp-Funktion, Wachstum}
        F\"ur jedes Polynom $p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n$
        gilt $\liminfty{k} \frac{\exp{(k)}}{|p(k)|} = \infty$
        \medskip

        {\em ''Die Exponentialfunktion w\"achst schneller als jedes Polynom.''}
        \medskip

        \paragraph{Beweis:} F\"ur $x > 1$ gilt: $|p(x)| \le |a_0 + a_1 + a_2 +
          \cdots + a_n| \cdot |x^n|$. Deshalb gen\"ugt es den Fall $p(x) = x^n$
          zu betrachten. $\liminfty{k} \frac{\exp{(k)}}{k} = \infty$
          f\"ur $n$ fest.

          $\exp{(k)} \ge \frac{k^{n + 1}}{(n + 1)!}$ also
          $\frac{\exp{(k)}}{k^n} \ge \frac{k^{n + 11!}}{(n + 1)!}
          \frac{1}{k^n} = \frac{k}{(n + 1)!}$
          \medskip

        \"Ahnlich zeigt man $\liminfty{k} \frac{\exp{(-k)}}{k^{-n}} =
        \liminfty{k} k^n \cdot \exp{(-k)} = 0$ sowie $\liminfty{k}
        \frac{\ln{k}}{\sqrt[n]{k}} = 0$
        \medskip

        {\em ''Die Logarithmusfunktion w\"achst langsamer als jede
        Wurzelfunktion.''}

    \subsection{Hyperbolische Funktionen}
      \index{Hyperbolische Funktionen}
      \index{Funktionen, hyperbolische}
      Manchmal betrachtet man:
      $$\cosh{(x)} = \frac{1}{2}(\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}) \qquad
        \mbox{Cosinus hyperbolicus}$$
      $$\sinh{(x)} = \frac{1}{2}(\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}) \qquad
        \mbox{Sinus hyperbolicus}$$

    \subsection{Trigonometrische Funktionen}
      \marginnote{Definition \S5.22}
      \index{Trigonometrische Funktionen}
      \index{Funktionen, trigonometrische}
      $$\cos{(x)} = \suminfty{n = 0} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
      $$\sin{(x)} = \suminfty{n = 0} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$$

      Mit dem Quotientenkriterium sieht man schnell, dass beide Reihen f\"ur
      alle $x \in \R$ konvergieren.
      \pagebreak

      Wie bei der Exponentialfunktion zeigt man:
      \begin{itemize}
        \item{$\cos{(0)} = 1$}
        \item{$\sin{(0)} = 0$}
        \item{$\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1$}
        \item{$\sin{(x + y)} = \sin{(x)} \cos{(y)} + \cos{(x)} \sin{(y)}$}
        \item{$\cos{(x + y)} = \cos{(x)} \cos{(y)} - \sin{(x)} \sin{(y)}$}
      \end{itemize}

      \marginpar{Vorlesung\\ 11.12.2003}
      Man \"uberlegt sich, dass f\"ur $0 < y \le 3$ gilt:
      $$c_2 = 1 - \frac{x^2}{2} < \cos{x} < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4}
        = c_4$$

      % Graph: Annäherung der Cosinusfunktion.
      \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{picture}(200,100)
          \put(10,10){\vector(1,0){190}}
          \put(10,10){\vector(0,1){90}}
          \put(8,80){\qbezier(0,0)(60,0)(70,-75)}
          \put(8,80){\qbezier(0,0)(70,0)(80,-75)}
          \put(8,80){\qbezier(0,0)(80,0)(90,-75)}
          \put(3,80){\makebox(0,0){\scriptsize 1}}
          \put(132,70){\makebox(40,0){$c_2(x)$}}
          \put(132,55){\makebox(40,0){$\cos{(x)}$}}
          \put(132,40){\makebox(40,0){$c_4(x)$}}
          \put(135,67){\vector(-1,-1){55}}
          \put(135,57){\vector(-1,-1){45}}
          \put(135,47){\vector(-1,-1){35}}
        \end{picture}
        \caption{Ann\"aherung der $\cos{}$-Funktion}
      \end{figure}

      Weil $c_2$ und $c_4$ Nullstellen haben
      $$c_2(\sqrt{2}) = 0, \qquad c_4(\sqrt{6 - 2 \sqrt{3}}) = 0$$

      hat auch $\cos{}$ eine Nullstelle (Zwischenwertsatz).

      Diese Nullstelle liegt im Intervall
      $\left[\sqrt{2}, \sqrt{6 - 2 \sqrt{3}}\right]$.
      \medskip

      Wir definieren die Zahl $\pi$ wie folgt: $\frac{\pi}{2}$ ist die
      kleinste positive Nullstelle von $\cos{}$. Es gilt $\pi = 3,14159\dots$

      \"Ahnlich zeigt man: F\"ur $0 < x \le 3$ ist $\sin{x} > 0$,
      insbesondere ist $\sin{\frac{\pi}{2}} > 0$, folglich gilt:
      $\sin{\frac{\pi}{2}} = 1$
      \medskip

      Mit den Additionstheoremen folgt nun:
      \bigskip

      \begin{tabular}{lcl}
        $\sin{(x + \frac{\pi}{2})} =   \cos{x}$ &&
        $\cos{(x + \frac{\pi}{2})} = - \sin{x}$ \\
        $\sin{(x + \pi)}           = - \sin{x}$ &&
        $\cos{(x + \pi)}           = - \cos{x}$ \\
        $\sin{(x + 2 \pi)}         =   \sin{x}$ &&
        $\cos{(x + 2 \pi)}         =   \cos{x}$ \\
        $\cos{\pi}                 = - 1$ &&
        $\sin{\pi}                 =   0$
      \end{tabular}

  % =============== SECTION 6 ===============
  \newpage
  \section{Integration}
    \index{Integration}
    Motivation: Wir wollen Fl\"acheninhalte unter Kurven bestimmen.

    %  Graph: Approximation
    \begin{figure}[h]
      \centering
      \begin{picture}(250,60)
        \put(10,10){\vector(1,0){90}}
        \put(10,10){\vector(0,1){50}}
        \put(20,40){\qbezier(0,0)(18,10)(30,-5)}
        \put(50,35){\qbezier(0,0)(12,-10)(30,5)}
        \put(125,30){\makebox(0,0){$\stackrel{
            \mbox{\scriptsize Approximation}}{\Longrightarrow}$}}
        \put(160,10){\vector(1,0){90}}
        \put(160,10){\vector(0,1){50}}
        \put(180,40){\line(1,0){5}}
        \put(185,41){\line(1,0){5}}
        \put(190,42){\line(1,0){5}}
        \put(195,43){\line(1,0){5}}
        \put(200,42){\line(1,0){5}}
        \put(205,40){\line(1,0){5}}
        \put(210,38){\line(1,0){5}}
        \put(215,36){\line(1,0){5}}
        \put(220,34){\line(1,0){5}}
        \put(225,35){\line(1,0){5}}
        \put(230,37){\line(1,0){5}}
        \put(235,39){\line(1,0){5}}
      \end{picture}
      \caption{Integration}
    \end{figure}

    \subsection{Beschr\"ankte Funktionen}
      \marginnote{Definition \S6.1}
      \index{Beschr\"ankte Funktionen}
      Sei $X \subseteq \R$. Eine Funktion $f\colon X \longrightarrow \R$
      hei{\ss}t {\bf beschr\"ankt}, wenn es eine Zahl $K \in \R$ gibt, so dass
      $|f(x)| \le K$ f\"ur alle $x \in X$. Die Menge aller beschr\"ankten
      Funktionen auf $X$
      $$\left\{f\colon X \longrightarrow \R \;|\; f
          \mbox{ ist beschr\"ankt} \right\}$$

      hei{\ss}t $\fsetb{X}{\R}$ (Set of bounded functions).

      %\begin{center}
      %  \includegraphics[width= 9cm]{6_1_1.eps}
      %\end{center}
      %TODO: Graph

      \subsubsection*{Beispiel}
        \begin{itemize}
          \item{$X = \left]0, \infty\right[, \qquad f(x) = \frac{1}{x}$\\
            $f$ ist nicht beschr\"ankt.

            % Graph: Hyperbel
            \begin{figure}[h]
            \begin{center}
              \begin{picture}(140,70)
                \put(0,10){\vector(1,0){70}}
                \put(10,0){\vector(0,1){70}}
                \put(10,10){\qbezier(1,45)(0,0)(45,1)}
                % \put(50,50){\qbezier(-1,-45)(0,0)(-45,-1)}
                \put(80,30){\makebox(0,0){$f\colon \: ]0, \infty[
                    \longrightarrow \R, \: x \mapsto \frac{1}{x}$}}
              \end{picture}
              \end{center}
              \caption{Hyperbel}
            \end{figure}
            }
          \item{Dagegen ist z.B. $|sin(x)| \le 1$ f\"ur alle $x$, also ist
            $\sin{}$ beschr\"ankt.}
          \item{$X = \left[1, 5\right], \qquad f(x) = \frac{1}{x}\\
            $F\"ur $1 \le x \le 5$ gilt sicherlich $|\frac{1}{x}| \le 1$, d.h.
            auf dem Intervall $\left[1, 5\right]$ ist die Funktion $f(x) =
            \frac{1}{x}$ beschr\"ankt.}
        \end{itemize}

      \subsubsection*{Rationale Operationen auf beschr\"ankte Funktion}
        Sind $f, g \in \fsetb{X}{\R}$ und $c \in \R$, so definieren wir:
        \begin{eqnarray*}
          (f + g)(x) &=& f(x) + g(x) \in \fsetb{X}{\R}\\
          (cf)(x) &=& c \cdot f(x) \in \fsetb{X}{\R}\\
          (f \cdot g)(x) &=& f(x) \cdot g(x) \in \fsetb{X}{\R}
        \end{eqnarray*}

        \paragraph{Beweis:} F\"ur alle $x \in X$ gelte:
          $|f(x)| \le K$, $|g(x)| \le L$ f\"ur gewisse $K, L \in \R$

          Dann gilt also:
          \begin{eqnarray*}
            |f(x) + g(x)| &\leq& |f(x)| + |g(x)| \leq K+L \\
            |c f(x)| &=& |c| \cdot |f(x)| \le |c| \cdot |K| \\
            |(fg)(x)| &=& |f(x) \cdot g(x)| \le K \cdot L
          \end{eqnarray*}

        \paragraph{Lemma:}
          \marginnote[Vorlesung\\ 15.12.2003\\]{Lemma \S6.2}
          \index{Vektorraum}
        Die Menge $\fsetb{X}{\R}$ der beschr\"ankten Funktionen auf
        $X$ ist ein {\bf reeller Vektorraum}, d.h. f\"ur alle
        $f, g, h \in \fsetb{X}{\R}$ gilt:
        \begin{itemize}
          \item{$(f + g) + h = f + g + h = f + (g + h)$}
          \item{$f + g = g + f$}
          \item{$f + (-1)f = 0 \quad$ (dabei steht $0$ f\"ur die Nullfunktion
            $x \mapsto 0)$}
        \end{itemize}
        sowie f\"ur alle $c, d \in \R$ und $f, g \in \fsetb{X}{\R}$ gilt stets:
        \begin{itemize}
          \item{$cf + dg \in \fsetb{X}{\R}$}
          \item{$(c + d)f = cf + df$}
          \item{$c(f + g) = cf + cg$}
          \item{$(cd)f = cdf = c(df)$}
        \end{itemize}\medskip

        $\fsetb{X}{\R}$ ist ein Ring (zum K\"orper fehlt {\em nur} das
        multiplikative Inverse), denn $f(x) \cdot g(x) = 1$ hat keine L\"osung
        falls $f$ eine Nullstelle hat.

      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Bemerkung \S6.3}
        Ist $X = \left[a, b\right]$ ein abgeschlossenes Intervall und
        $f\colon X \longrightarrow \R$ stetig, so gilt durch den Satz von
        Weierstra{\ss}, dass $f$ beschr\"ankt ist, also:
        %$$\left(\left[a, b\right], \R\right) \subseteq
        $$\fsetc{[a,b]}{\R} \subseteq
        \fsetb{\left[a, b\right]}{\R}$$

        Eine beschr\"ankte Funktion ist nicht notwendig stetig.

        $f\colon [0, 2] \longrightarrow \R$, $\quad f(x) = 0$
        f\"ur $0 \le x \le 1$, $\quad f(x) = 1$ f\"ur $1 \le x \le 2$.

    \subsection{Supremumsnorm}
      \marginnote{Satz \S6.4}
      \index{Supremumsnorm}
      F\"ur $f \in \fsetb{X}{\R}$ definieren wir die {\bf Supremumsnorm}:
      $$||f|| = \sup \{\, |f(x)| \;\big|\; x \in X\} \quad \Rightarrow
      \quad ||f|| \geq 0$$

      Dann gilt:

      \renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
      \begin{enumerate}
        \item{$||f|| = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0 \quad$
            f\"ur alle $x \in X$}
        \item{$||c \cdot f|| = |c| \cdot ||f|| \quad$
            f\"ur alle $c \in \R$ und $f \in \fsetb{X}{\R}$}
        \item{$||f + g|| \le ||f|| + ||g|| \quad$
            f\"ur alle $f, g \in \fsetb{X}{\R}$}
      \end{enumerate}

      \paragraph{Beweis:} (i) ist klar.

      Zu (ii) und (iii): Es gilt: $|c \cdot f(x)| = |c| \cdot |f(x)|$
      also $||c \cdot f|| = |c| \cdot ||f||$.

      Wegen $|f(x) + g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le ||f|| + ||g||$ f\"ur alle
      $x \in X$,\\
      also $||f + g|| = \sup{\{|f(x) + g(x)| \;|\; x \in X\}} \le
      ||f|| + ||g||$.\hfill$\square$

    \subsection{Cauchy-Funktionenfolge}
      \marginnote{Definition \S6.5}
      \index{Cauchy-Folge von Funktionen}
      Eine Funktionenfolge $\series{f}{n}$ in $\fsetb{X}{\R}$ hei{\ss}t
      {\bf Cauchy-Folge}, falls zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $N \in \N$
      existiert mit dem f\"ur alle $l, m \ge N$ gilt:
      $||f_l - f_m|| < \varepsilon$
      \medskip

      Eine Folge $\series{f}{n}$ konvergiert gegen $f$ in $\fsetb{X}{\R}$ falls
      $\liminfty{n} ||f_n - f|| = 0$, die Bedingung sagt genau, dass
      $\series{f}{n}$ gleichm\"a{\ss}ig gegen $f$
      konvergiert (vgl. \S5.10). $f_n$ konvergiert also gegen $f$.
      \medskip

      F\"ur alle $\varepsilon > 0$ existiert $N \in \N$,
      so dass f\"ur alle $n \ge N$ und $x \in X$ gilt: $|f_n(x) - f(x)| <
      \varepsilon$, also gilt
      $$\sup{\{|f_n(x) - f(x)| \;\big|\; x \in X\}} <
      \varepsilon \qquad \mbox{also} \qquad ||f_n - f|| < \varepsilon$$

      \paragraph{Satz:} Ist $\series{f}{n}$ eine Cauchy-Folge in
        \marginnote{Satz \S6.6}
        $\fsetb{X}{\R}$, dann gibt es $f \in \fsetb{X}{\R}$ mit
        $\liminfty{n} ||f_n - f|| = 0$. Schreibe:

        $$f = \liminfty{n} f_n$$

      \paragraph{Beweis:} Da $|f_l(x) - f_m(x)| \le ||f_l - f_m||$ f\"ur
        alle $x \in X$ gilt, ist die Folge $\series{f}{n}$ eine Cauchy-Folge
        in $\R$.
        \medskip

      Setze $f(x) = \liminfty{n} f_n(x) \;$ f\"ur alle $x \in X$.
      $\series{f}{n}$ konvergiert gleichm\"a{\ss}ig gegen $f$.
      Sei $\varepsilon > 0$, dann existiert $N \in \N$, so dass f\"ur alle $x
      \in X$ und $l, m \ge N$ gilt:
      $|f_l(x) - f_m(x)| < \varepsilon$,
      $\; f(x) = \liminfty{l} f_l(x)$ also gilt:
      $|f(x) - f_n(x)| \leq \varepsilon$
      f\"ur alle $x \in X$ also gilt: $||f - f_n|| < \varepsilon$
      f\"ur alle $n \ge N$, also gilt:
      $$\liminfty{n} ||f - f_n|| = 0$$

      Warum gilt $f \in \fsetb{X}{\R}$?

      Zu $\varepsilon > 0$ gibt es ein $N \in \N$, so dass f\"ur alle
      $m \ge N$ und $x \in X$ gilt:
      $$|f(x) - f_m(x)| < \varepsilon$$

      W\"ahle $m > N$ fest. $f_m$ ist beschr\"ankt, d.h. es gibt ein $K \in \R$
      mit $|f_m(x)| \le K$ f\"ur alle $x \in X$.

      $|f(x)| = |f(x) - f_m(x) + f_m(x)| \le |f(x) - f_m(x)| + |f_m(x)|
      \le \varepsilon + K$\hfill$\square$

    \subsection{Banachraum}
      \marginnote{Bemerkung \S6.7}
      \index{Banachraum}
      \index{Vektorraum, Banachraum}
      \index{Vektorraum, normierter}
      Ein reeller Vektorraum hei{\ss}t {\bf normiert}, wenn es eine Abbildung
      $||\cdot||\colon V \longrightarrow \R$ gibt mit:
      \begin{itemize}
        \item{$||x|| \ge 0 \;$ und $\; ||x|| = 0 \Leftrightarrow x = 0 \quad$
      f\"ur alle $x \in V$}
        \item{$||c x|| = |c| \cdot ||x|| \quad$ f\"ur alle
      $c \in \R,\: x \in V$}
        \item{$||x + y|| \le ||x|| + ||y|| \quad$ f\"ur alle $x, y \in V$}
      \end{itemize}

      Ein normierter Raum hei{\ss}t {\bf Banachraum}, wenn jede Cauchy-Folge
      konvergiert. Nach \S6.6 ist $\fsetb{X}{\R}$ ein {\em Banachraum}.

      \paragraph{Bemerkung:} Wenn $X = \left[a, b\right]$ ein abgeschlossenes
        \marginnote{Bemerkung \S6.8}
        Intervall ist, so gilt:
        $$\fsetc{X}{\R} \subseteq \fsetb{X}{\R} \quad \mbox{(vgl. \S6.3)}$$

      Nach \S6.6 gilt: Wenn $\series{f}{n}$ eine Cauchy-Folge
      in $\fsetc{X}{\R}$ ist, so ist\\
      $f = \liminfty{n} f_n$ stetig nach \S5.12.\medskip

      Mit anderen Worten: Ist $X = \left[a, b\right]$ ein abgeschlossenes
      Intervall, dann ist $\fsetc{X}{\R}$ mit der Supremumsnorm $||-||$ ein
      Banachraum.\medskip

      F\"ur den Rest dieses Kapitels nehmen wir an, dass
      $X = \left[a, b\right]$ ein abgeschlossenes Intervall ist.

    \subsection{Zerlegungen}
      \marginnote{Definition \S6.9}
      \index{Zerlegung}
      Eine Menge $\left\{a = s_0 < s_1 < \cdots < s_k = b\right\}$ hei{\ss}t
      {\bf Zerlegung} von $X = \left[a, b\right]$ der L\"ange $k$.

      % Graph: Zerlegung.
      \begin{figure}[h]
        \begin{center}
        \begin{picture}(100,30)
          \put(20,25){\line(1,0){60}}
          \put(20,22){\line(0,1){6}}
          \put(40,22){\line(0,1){6}}
          \put(60,22){\line(0,1){6}}
          \put(80,22){\line(0,1){6}}
          \put(10,10){\makebox(0,10)[b]{$a = s_0$}}
          \put(40,10){\makebox(0,10)[b]{$s_1$}}
          \put(60,10){\makebox(0,10)[b]{$s_2$}}
          \put(90,10){\makebox(0,10)[b]{$s_n = b$}}
        \end{picture}
        \end{center}
        \caption{Zerlegung}
      \end{figure}

      Eine Zerlegung $Z_1 = \left\{a = s_0 < s_1 < \cdots < s_k = b\right\}$
      wird von einer Zerlegung
      $Z_2 = \left\{a = t_0 < t_1 < \cdots < t_l = b\right\}$ verfeinert,
      wenn gilt: $Z_1 \subseteq Z_2$
      \medskip

      %TODO: Graph

      Sind $Z_1, Z_2$ Zerlegungen, so offensichtlich auch
      $Z_3 = Z_1 \cup Z_2$ und es gilt:
      $$Z_1 \subseteq Z_3 \mbox{ und } Z_2 \subseteq Z_3$$

    \subsection{Stufenfunktionen}
      \index{Stufenfunktionen}
      \index{Treppenfunktionen}
      Ist $Z = \left\{s_0 < s_1 < \cdots < s_k\right\}$ eine Zerlegung
      von $X$ und $c_1 \dots c_k, d_1 \dots d_k \in \R$, so hei{\ss}t die
      Abbildung
      $$f\colon X \longrightarrow \R \mbox{ mit }
        f(x) = \left\{
        \begin{array}{rl}
          c_k & \mbox{ falls } x = s_k\\
          d_k & \mbox{ falls } s_k < x < s_{k+1}
        \end{array}
        \right.$$
      {\bf Stufenfunktion/Treppenfunktion} bez\"uglich $Z$. Stufenfunktionen
      sind offensichtlich beschr\"ankt.

      % Graph: Stufenfunktion
      \begin{figure}[h]
        \begin{center}
        \begin{picture}(100,50)
          \put(0,0){\vector(1,0){100}}
          \put(0,0){\vector(0,1){50}}
          \put(0,10){\line(1,0){20}}
          \multiput(20,10)(0,2.5){6}{.}
          \put(20,25){\line(1,0){20}}
          \multiput(40,25)(0,2.5){10}{.}
          \put(40,50){\line(1,0){20}}
          \multiput(60,15)(0,2.5){14}{.}
          \put(60,15){\line(1,0){20}}
          \multiput(80,15)(0,2.5){8}{.}
          \put(80,35){\line(1,0){20}}
        \end{picture}
        \end{center}
        \caption{Stufenfunktion}
      \end{figure}

      Ist $f$ eine Stufenfunktion bzgl. einer Zerlegung $Z_1$ und ist $Z_2$
      eine Zerlegung von $X$ und $Z_1 \subseteq Z_2$, so ist $f$ auch eine
      Stufenfunktion bzgl. $Z_2$.
      \medskip

      Die Menge $\fsets{X}{\R}$ aller Stufenfunktionen ist aber ein
      Untervektorraum vom Raum der beschr\"ankten Funktionen $\fsetb{X}{\R}$,
      damit ist $f$ Stufenfunktion bzgl. $Z_1$, $g$ Stufenfunktion bzgl. $Z_2$,
      also sind $f$ und $g$ Stufenfunktionen
      bzgl. $Z = Z_1 \cup Z_2$, also ist auch $f + g$ eine Stufenfunktion
      bzgl. $Z$ und $c \cdot f$ Stufenfunktion bzgl. $Z_1$.

    \subsection{Das Integral}
      \marginnote{Definition\\ \S6.10}
      \index{Integral}
      Das Integral einer Stufenfunktion $f \in \fsets{X}{\R}$ bzgl. einer
      Zerlegung\\
      $Z = \left\{s_0 < s_1 < s_2 < \cdots < s_k\right\}$ ist definiert als:
      $$\int_a^b f(x) \dx = \sum_{l = 1}^k \left(s_l - s_{l - 1}\right) d_l
      = \sum_{l = 1}^k \left(s_l - s_{l - 1}\right) \cdot
      f\left(\frac{s_l + s_{l - 1}}{2}\right)$$

      % Graph: Treppenfunktion
      \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{picture}(110,70)
          \put(13,30){\vector(1,0){95}}
          \put(13,10){\vector(0,1){50}}
          \put(20,30){\line(0,1){10}}
          \put(20,40){\line(1,0){25}}
          \put(45,30){\line(0,1){20}}
          \put(45,50){\line(1,0){25}}
          \put(70,15){\line(0,1){35}}
          \put(70,15){\line(1,0){25}}
          \put(95,15){\line(0,1){15}}
          \put(10,15){\line(1,0){6}}
          \put(5,15){\makebox(0,0){$d_3$}}
          \put(10,40){\line(1,0){6}}
          \put(5,40){\makebox(0,0){$d_1$}}
          \put(10,50){\line(1,0){6}}
          \put(5,50){\makebox(0,0){$d_2$}}
          \put(20,27){\line(0,1){6}}
          \put(20,22){\makebox(0,0){$s_0$}}
          \put(45,27){\line(0,1){6}}
          \put(45,22){\makebox(0,0){$s_1$}}
          \put(70,27){\line(0,1){6}}
          \put(77,37){\makebox(0,0){$s_2$}}
          \put(95,27){\line(0,1){6}}
          \put(95,37){\makebox(0,0){$s_3$}}
          \put(75,65){\makebox(0,0){$d_2 (s_2 - s_1)$}}
          \put(57,58){\vector(0,-1){10}}
          \put(90,0){\makebox(0,0){$d_3 (s_3 - s_2)$}}
          \put(90,7){\vector(0,1){10}}
        \end{picture}
        \caption{Stufenfunktion}
      \end{figure}

     Achtung: Fl\"achen unterhalb der x-Achse werden negativ gez\"ahlt.

     \paragraph{Lemma:} Ist $f$ Stufenfunktion bzgl. $Z_1$ und $Z_2$ eine
       \marginnote[Vorlesung\\ 18.12.2003\\]{Lemma \S6.11}
       Verfeinerung von $Z_1$ mit $Z_1 = \{s_0 < s_1 < \cdots < s_l\}$,
       $Z_2 = \{t_0 < t_1 < \cdots < t_m\}$, $ Z_1 \subseteq Z_2$ so gilt:
       $$\sum\limits_{k = 1}^l (s_k - s_{k - 1}) \cdot
       f\left(\frac{s_k + s_{k - 1}}{2}\right) = \sum\limits_{k = 1}^m
       (t_k - t_{k - 1}) \cdot f\left(\frac{t_k + t_{k - 1}}{2}\right)$$

     Das hei{\ss}t der Ausdruck $\int_a^b f(x) \dx$ h\"angt {\em nicht}
     von der gew\"ahlten Zerlegung ab.

     %TODO: Nochmal ansehen.
     \paragraph{Beweis:} Induktion nach $m-l$\\
       F\"ur $m = l$ ist $Z_1 = Z_2$.\medskip

       F\"ur $m = l + 1$ gibt es ein $n \in \N$ mit:

       $s_0 = t_0, \; s_1 = t_1, \;\dots, \; s_n = t_n, \;
       %$\underset{\updownarrow}{s_0 = t_0}, \;
       %\underset{\updownarrow}{s_1 = t_1}, \;\dots, \;
       %\underset{\updownarrow}{s_n = t_n}, \;
       t_{n + 1} < s_{n + 1} = t_{n + 2}, s_{n + 2} = t_{n + 3}, \;\dots,\;
       s_l = t_{l + 1}$

       $s_0 = t_0, \; s_1 = t_1, \;\dots,\;
       s_n = t_n, \; s_{n + 1} = t_{n + 1}$\\
       und $s_{n + 1} - s_n = (t_{n + 1} - t_n) + (t_{n + 2} - t_{n + 1})$
       \medskip

       $f\left(\frac{s_{n + 1} + s_n}{2}\right) =
       f\left(\frac{t_{n + 1} + t_n}{2}\right) =
       f\left(\frac{t_{n + 2} + t_{n + 1}}{2}\right)$

       \begin{eqnarray*}
         & & \sum\limits_{k = 1}^l (s_k - s_{k - 1}) \cdot
             f\left(\frac{s_k + s_{k - 1}}{2}\right)\\
         &=& \sum\limits_{k = 1}^n (s_k - s_{k - 1}) \cdot
             f\left(\frac{s_k + s_{k - 1}}{2}\right) +
             (s_{n + 1} - s_n) \cdot
             f\left(\frac{s_{n + 1} + s_n}{2}\right)\\
         & & + \sum\limits_{k = n + 2}^l (s_k - s_{k - 1})
             f\left(\frac{s_k + s_{k - 1}}{2}\right) \\
         &=& \sum\limits_{k = 1}^n (t_k - t_{k - 1}) \cdot
             f\left(\frac{t_k + t_{k - 1}}{2}\right)\\
         & & + \; (t_{n + 1} - t_n) \cdot
             f\left(\frac{t_{n + 1} + t_n}{2}\right) +
             (t_{n + 2} - t_{n + 1}) \cdot
             f\left(\frac{t_{n + 2} + t_{n + 1}}{2}\right)
       \end{eqnarray*}

       Da $Z_2$ und $Z_1$ durch sukzessives Hinzuf\"ugen von Punkten
       entsteht, folgt die Behauptung.\hfill$\square$

     \subsection{Der Integrationsoperator}
       \marginnote{Bemerkung \S6.12}
       \index{Integrationsoperator}
       F\"ur $f, g \in \fsets{X}{\R}$ und $c \in \R$ gilt:
       $$\int_a^b (f + g)(x) \dx = \int_a^b f(x) \dx + \int_a^b g(x) \dx$$
       $$\int_a^b (cf)(x) \dx = c \int_a^b f(x) \dx$$
       Mit anderen Worten: Der {\bf Integrationsoperator}
       $$\fsets{X}{\R} \longrightarrow \R, \quad f \mapsto \int_a^b f(x) dx$$
       ist eine lineare Abbildung (man sagt auch ein
       {\bf lineares Funktional}).

     \subsection{Regelfunktionen}
       \marginnote{Definition \S6.13}
       \index{Regelfunktionen}
       Eine beschr\"ankte Funktion $f \in \fsetb{X}{\R}$ hei{\ss}t
       {\bf Regelfunktion}, falls es eine Folge $\series{f}{n}$ von
       Stufenfunktionen gibt, die gleichm\"a{\ss}ig gegen $f$ konvergiert.
       Die Menge aller Regelfunktionen ist ein Untervektorraum von
       $\fsetb{X}{\R}$.
       $$\fsets{X}{\R} \subseteq \fsetr{X}{\R} \subseteq \fsetb{X}{\R}$$

     \subsection{Gleichm\"a{\ss}ige Stetigkeit}
       \marginnote{Satz \S6.14}
       \index{Stetigkeit, gleichm\"a{\ss}ige}
       \index{Geichm\"a{\ss}ige Stetigkeit}
       Wenn $X = \left[a, b\right]$ ein abgeschlossenes Intervall ist und
       $f\colon X \longrightarrow \R$ stetig ist, dann gibt es ein
       $\varepsilon > 0$ und $\delta > 0$, so dass f\"ur alle $u, v \in X$
       gilt: $$|u - v| < \delta \Rightarrow |f(u) - f(v)| < \varepsilon$$

       Man sagt auch $f$ ist {\bf gleichm\"a{\ss}ig stetig}.

       \paragraph{Beweis:} Wir f\"uhren einen Widerspruchsbeweis und nehmen
         an, die Behauptung sei falsch. Es gibt ein $\varepsilon > 0$, so
         dass f\"ur alle $\delta > 0$ ein $u, v \in X$ existiert mit:
         $$|u - v| < \delta \mbox{ und } |f(u) - f(v)| \ge \varepsilon$$

         Setze $\delta = \frac{1}{n} > 0$. Es gibt $u_n, v_n \in X$
         mit $|u_n - v_n| < \frac{1}{n}$ und $|f(u_n) - f(v_n)| \ge
         \varepsilon$.
         \medskip

         Weil $X$ ein abgeschlossenes Intervall ist, finden wir eine
         konvergente Teilfolge $\series{u_n}{k}$ und eine konvergente
         Teilfolge $\series{u_n}{k}$ und $\series{v_{n_k}}{l}$
         (Bolzano-Weierstra{\ss} \S3.15).

         Schreibe: $u^\prime_l = u_{n_{k_l}}$, $v^\prime_n = v_{n_{k_l}}$,
         $u = \liminfty{l} u^\prime_l$, $v = \liminfty{l} v^\prime_l$,
         $u = v$ da $\liminfty{l} u^\prime_l - v^\prime_l = 0$
         \begin{eqnarray*}
           \varepsilon &\le& |f(u^\prime_l) - f(v^\prime_l)|\\
           &=& |f(u^\prime_l) - f(u) + f(u) - f(v^\prime_l)|\\
           &=& |f(u^\prime_l) - f(u) + f(v) - f(v^\prime_l)|\\
           &\le& |f(u^\prime_l) - f(u)| + |f(v) - f(v^\prime_l)|
         \end{eqnarray*}

         Da $f$ stetig ist und der rechte Ausdruck eine Nullfolge, ergibt
         sich ein Widerspruch.\hfill$\square$

     \subsection{Stetige Regelfunktionen}
       \marginnote{Satz \S6.15}
       Auf einem abgeschlossenen Intervall $X = \left[a, b\right]$ ist jede
       stetige Funktion eine Regelfunktion:
       $$\fsetc{X}{\R} \subseteq \fsetr{X}{\R}$$

       \paragraph{Beweis:} Sei $f\colon X \longrightarrow \R$ stetig. Zu
         jedem $\varepsilon > 0$ finden wir $\delta > 0$, so dass gilt:
         $$|f(u) - f(v)| < \varepsilon \;\mbox{ falls }\; |u - v| < \delta$$

         W\"ahle $m \in \N$ mit $\frac{b - a}{m} < \delta$.
         Setze $t_0 =a, t_1 = t_0 + \frac{b - a}{m},
         t_2 = t_1 + \frac{b - a}{m}, \dots, t_n = b$, also
         $t_k = a + k\frac{b - a}{m}$ f\"ur $k \in 0, \dots, n$.

         Dann ist $a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = b$ eine Zerlegung
         von $X$. Setze $c_k = f(t_k)$. Definiere $g \in \fsets{X}{\R}$ durch:
         $$g(x) = \left\{
           \begin{array}{ll}
             c_0 & $falls $ t_0 \le x < t_1\\
             c_1 & $falls $ t_1 \le x < t_2\\
             \vdots & \vdots \\
             c_{n - 1} & $falls $ t_{n - 1} \le x < t_m\\
             c_n & $falls $ t_m = x
           \end{array}
           \right.$$

       %TODO: Insert Graph

       F\"ur $t_{k-1} \leq t_k$ gilt dann:
       $$0 = t_{k-1} - t_{k-1} \leq x - t_{k-1} \leq t_k - t_{k-1} <
       \delta$$

       also $|f(x) - f(t_{k-1})| < \varepsilon$. $f(t_{k-1}) = g(x)$,
       also auch $|f(x) - g(x)| < \varepsilon$ f\"ur alle
       $x \in X$, also gilt $||f - g|| \leq \varepsilon$.
       \medskip

       W\"ahle also $g_n \in \fsets{X}{\R}$ mit $||f-g_n|| \leq \frac{1}{n}$,
       so ist $\series{g}{n}$ eine Folge in $\fsets{X}{\R}$, die
       gleichm\"a{\ss}ig gegen $f$ konvergiert, also $f \in \fsetr{X}{\R}$.

     \subsection{Das Riemann-Integral}
       \marginnote{Definition \S6.16}
       \index{Riemann-Integral}
       F\"ur eine Regelfunktion $f \in \fsetr{X}{\R}$ definieren wir das
       {\bf Riemann-Integral} wie folgt:
       $$\int_a^b f(x) \dx = \liminfty{n} \int_a^b g_n(x) \dx$$

       Wobei $\series{g}{n}$ eine beliebige Folge von Stufenfunktionen ist,
       die gleichm\"a{\ss}ig gegen $f$ konvergiert.

       Nat\"urlich m\"ussen wir \"uberlegen, ob diese Definition \"uberhaupt
       Sinn macht. Konvergiert die rechte Seite, ist es egal, welche Folge
       man w\"ahlt. F\"ur eine Stufenfunktion $g$ gilt offensichtlich:
       $$\left|\int_a^b g(x) \dx \:\right| \le \int_a^b |g(x)| \dx
         = ||g|| \cdot (b - a)$$

       Da die Folge $\series{g}{n}$ eine Cauchy-Folge bildet,
       ist auch die Folge $\int_a^b g_n(x) \dx$ eine Cauchy-Folge.
       $$\left| \int_a^b \left(g_n(x) - g_m(x)\right) \dx \right| \le
       |g_n - g_m| \cdot (b - a)$$

       Das hei{\ss}t die rechte Seite konvergiert jedenfalls.
       \medskip

       Angenommen $\series{h}{n}$ ist eine weitere Folge von
       Stufenfunktionen, die gleich"-m\"a{\ss}ig gegen $f$ konvergiert,
       dann ist
       $$||h_n - g_n|| = ||h_n - f + f - g_n|| \le ||h_n - f|| +
       ||f - g_n||$$
       $$\left|\int_a^b (h_n - g_n)(x) \dx\right| \le ||h_n - g_n||
       (b - a) \leq (||h_n - f|| + ||f - g_n||) \cdot (b - a)$$

       Also gilt: $\liminfty{n} \int_a^b (h_n - g_n)(x) \dx = 0 =
       \liminfty{n} \int_a^b h_n(x) \dx - \int_a^b g_n(x) \dx$\\
       also folgt: $\liminfty{n} \int_a^b g_n(x) \dx =
       \liminfty{n} \int_a^b h_n(x) \dx$

     \subsection{Eigenschaften des Integrationsoperators}
       \marginnote[Vorlesung\\ 05.01.2004\\]{Satz \S6.17}
       \index{Integrationsoperator}
       Sind $f$ und $g$ Regelfunktionen und $c \in \R$, so gilt:
       \begin{itemize}
         \item{$\int_a^b (f + g)(x) \dx =
           \int_a^b f(x) \dx + \int_a^b g(x) \dx$}
         \item{$\int_a^b (cf)(x) \dx = c \int_a^b f(x) \dx$}
         \item{$\left|\int_a^b f(x) \dx\right| \le \int_a^b |f(x)| \dx \le
           ||f|| (b - a)$}
       \end{itemize}
       Denn diese Aussagen stimmen f\"ur Stufenfunktionen, also nach den
       Rechenregeln f\"ur konvergente Zahlenfolgen auch f\"ur Regelfunktionen.
       Mit anderen Worten: Der Integrationsoperator
       $$\fsetr{X}{\R} \longrightarrow \R, \quad f \mapsto \int_a^b f(x) \dx$$

       ist eine {\bf lineare Abbildung}.
       $$\left|\int_a^b f(x) \dx \right| \le \int_a^b |f(x)| \dx \le
       ||f|| \; (b - a)$$

       \subsubsection*{Beispiel}
         \marginnote{Beispiel \S6.18}
         \begin{itemize}
           \item{F\"ur die konstante Funktion $f(x) = C$ gilt:
             $\int_a^b f(x) \dx = C (b - a)$,
             denn die konstanten Funktionen sind Stufenfunktionen.}
           %TODO: Graph
           \item{F\"ur die Identit\"at $f(x) = x$ gilt: Setze $t_k = a + k
             \frac{b - a}{n}$

             $\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(t_k) \frac{b - a}{n} =
             \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (a + k \frac{b - a}{n})
             \frac{b - a}{n} = n \cdot a \frac{b - a}{n} +
             \left(\frac{b - a}{n}\right)^2 \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} k$

             $= ab - a^2 + \left(\frac{b - a}{n}\right)^2
             \frac{n (n - 1)}{2} = ab - a^2 + (b^2 + 2ab + a^2)
             \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{n})$

             Im Grenzwert $n \rightarrow \infty$ erhalten wir also:

             $ab - a^2 + \frac{1}{2}(b^2 - 2ab + a^2) =
             \frac{1}{2}(b^2 - a^2)$

             Das war m\"uhsam, wir brauchen bessere Methoden! Aber: Die
             Methode ist gut f\"ur {\em numerische Zwecke}.}
         \end{itemize}

     \subsection{Numerische Berechnung von Integralen}
       \marginnote{Bemerkung \S6.19}
       \index{Numerische Integration}
       \index{Integration, numerische}
       Sei $f \colon \left[a, b\right] \longrightarrow \R$ stetig.
       F\"ur $N \in \N$ setze $t_{k, N} = a + k \frac{b - a}{N}$ und
       betrachte:
       $$s_N = \frac{b - a}{N} \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} f(t_k)$$

       F\"ur $N \rightarrow \infty$ konvergiert $s_N$ gegen
       $\int_a^b f(x) \dx$, also ist $s_N$ f\"ur gro{\ss}e $N$ eine gute
       Approximation f\"ur das Integral.

     \subsection{Funktionsklassen}
       \marginnote{Bemerkung \S6.20}
       \index{Funktionsklassen}
       \index{Funktionen, Hierarchie}
       Die Regelfunktionen sind eine echte Teilmenge der beschr\"ankten
       Funktionen:
       $$\fsetr{X}{\R} \subset \fsetb{X}{\R}$$

       \subsubsection*{Beispiel}
         Sei $f \in \fsetb{X}{\R}$ mit $X = \left[a, b\right]$
         und
         $$f(x) = \left\{
         \begin{array}{rl}
            1 & $ falls $x \in \Q\\
            0 & $ falls $x \in \R \backslash \Q
         \end{array}
         \right.$$

         \index{Dirichlet'sche Sprungfunktion}
         \index{Funktionen, dirichlet'sche}
         Das ist die Dirichlet'sche Sprungfunktion. Sie ist {\em keine}
         Regelfunktion und {\em nicht Riemann-integrierbar}.\bigskip

       %\marginpar{\centering\scriptsize Bemerkung \S6.21}
       \marginnote{Bemerkung \S6.21}
       In der Klasse der beschr\"ankten Funktionen haben wir folgende
       Hierarchie:

       \begin{figure}[ht]
         \begin{center}
         \begin{picture}(200,100)
           \put(100,100){\makebox(0,0){$\fsetb{X}{\R}$}}
           %\put(100,95){\makebox(0,0){\scriptsize Beschr\"ankte Funktionen}}
           %\put(75,95){\line(1,1){10}}
           \put(100,85){\line(0,1){10}}
           \put(100,75){\makebox(0,0){$\fsetr{X}{\R}$}}
           \put(65,60){\line(1,1){10}}
           \put(135,60){\line(-1,1){10}}
           \put(50,50){\makebox(0,0){$\fsets{X}{\R}$}}
           \put(150,50){\makebox(0,0){$\fsetc{X}{\R}$}}
           \put(75,35){\line(-1,1){10}}
           \put(125,35){\line(1,1){10}}
           \put(100,25){\makebox(0,0){\{Konstante Funktionen\}}}
           \put(100,10){\line(0,1){10}}
           \put(100,0){\makebox(0,0){\{Nullfunktion\}}}
         \end{picture}
         \end{center}
         \caption{Funktionsklassen}
       \end{figure}

       Diese sechs Klassen von Funktionen bilden jeweils einen
       {\bf reellen Vektorraum}. Das Integral ist eine {\bf lineare
       Abbildung} in die reellen Zahlen auf die unteren f\"unf
       Funktionsklassen.

     \subsection{Eigenschaften von Regelfunktionen}
       \marginnote{Bemerkung \S6.22}
       \index{Regelfunktionen}
       Sind $f, g$ Regelfunktionen, so ist auch $f \cdot g\colon
       x \mapsto f(x) \cdot g(x)$ wieder eine Regelfunktion.

       Es gilt aber im Allgemeinen {\em nicht}, dass:
       $$\int_a^b f(x) g(x) \dx = \int_a^b f(x) \dx \int_a^b g(x) \dx$$

     \subsection{Monotonie des Integrals}
       \marginnote{Satz \S6.23}
       \index{Monotonie des Integrals}
       \index{Integral, Monotonie}
       Sind $f, g \in \fsetr{X}{\R}$ und gilt $f(x) \le g(x)$ f\"ur alle
       $x \in X$, so schreiben wir:
       $$f \le g$$

       \paragraph{Satz:} Es gilt $\int_a^b f(x) \dx \le \int_a^b g(x) \dx$
         falls $f \le g$.

       \paragraph{Beweis:} Falls $f, g$ Stufenfunktionen sind, ist das klar.

         Seien jetzt $\series{f}{n}$ und $\series{g}{n}$ Folgen von
         Stufenfunktionen, die gegen $f$ bzw. $g$ konvergieren und gelte
         $f \le g$.\medskip

         Setze: $\tilde{f}_n(x) = f_n(x) - ||f_n - f||$

         $\phantom{Setze:}\tilde{g}_n(x) = g_n(x) + ||g_n - g||$
         \medskip

         Dann sind $\series{\tilde{f}}{n}$ und $\series{\tilde{g}}{n}$
         Stufenfunktionen, die immer noch gegen $f$ bzw. $g$ konvergieren.
         Es gilt $\tilde{f}_n(x) \le f(x) \le g(x) \le \tilde{g}_n(x)$
         f\"ur alle $x$ und alle $n$, also $\int_a^b \tilde{f}_n(x) \dx \le
         \int_a^b \tilde{g}_n(x) \dx$, also $\int_a^b f(x) \dx \le
         \int_a^b g(x) \dx$\hfill$\square$

    \subsection{Mittelwertsatz der Integralrechnung}
      \marginnote[Vorlesung\\ 08.01.2004\\]{Satz \S6.24}
      \index{Mittelwertsatz}
      \index{Integration, Mittelwertsatz}
      Seien $p \in \fsetr{X}{\R}, \; f \in \fsetc{X}{\R}$ mit $p(x) \geq 0$
      f\"ur alle $x \in X$, dann gibt es ein $t \in \left[a, b\right]$ mit:
      $$\int_a^b f(x) p(x) \dx = f(t) \int_a^b p(x) \dx$$

      Wichtiger Spezialfall: $p(x) = 1$ f\"ur alle $x \in X$
      $$\int_a^b f(x) \dx = (b-a) \cdot f(t)$$

      \paragraph{Beweis:}Sei $M = \max\{f(x) \mid x \in X\}$,
      $m = \min\{f(x) \mid x \in X\}$
      \medskip

      Diese Extrema existieren nach dem Satz von Weierstra\ss
      \space (\S5.9).
      \medskip

      Es gibt also $m \cdot p(x) \leq f(x) \; p(x) \leq M \cdot p(x)$
      f\"ur alle $x \in X$. Wegen der Monotonie des Integrales folgt:
      $$m \int_a^b p(x) \dx \leq \int_a^b f(x) \; p(x) \dx
          \leq M \int_a^b p(x) \dx$$

      Also gibt es eine Zahl $q$ mit
      $$q \int_a^b f(x) \dx = \int_a^b f(x) \; p(x) \dx \mbox{ mit }
          m \leq q \leq M$$

      Nach dem Zwischenwertsatz (\S 5.7) gibt es ein
      $t \in [a,b]$ mit $f(t) = q$. \hfill $\square$
      \medskip

      Integrale berechnen k\"onnen wir im Moment noch nicht, dazu brauchen
      wir Ableitungen. Mit einem verfeinertem Integralbegriff lassen sich
      {\em mehr} Funktionen integrieren $\longrightarrow$
      {\em Lebesgue-Integral, Ma{\ss}theorie}.

  % =============== SECTION 7 ===============
  \newpage
  \section{Differentiation}
    \index{Differentiation}
    Problemstellung: Sei $f\colon X \longrightarrow \R$ eine stetige Funktion.
    Sei $t_0 \in  X$. Wir wollen $f$ nahe bei $t_0$ durch eine Gerade,
    das hei{\ss}t eine {\bf affin-lineare} Funktion approximieren.

    % Graph: Differentiation
    \begin{figure}[h]
      \centering
      \begin{picture}(100,100)
        \put(6,6){\vector(1,0){90}}
        \put(6,6){\vector(0,1){90}}
        \put(0,10){\line(1,1){80}}
        \put(15,30){\qbezier(0,0)(40,0)(60,60)}
        \put(20,30){\dashbox{2}(54,0){}}
        \put(74,30){\dashbox{2}(0,55){}}
        \put(90,90){\makebox(0,0){$f$}}
        \put(100,6){\makebox(0,0){$x$}}
        \put(20,100){\makebox(0,0){$f(x)$}}
        \put(-1,16){\makebox(0,0){$b$}}
        \put(3,16){\line(1,0){6}}
        \put(-9,30){\makebox(0,0){$f(t_0)$}}
        \put(3,30){\line(1,0){6}}
        \put(-9,85){\makebox(0,0){$f(t_1)$}}
        \put(3,85){\line(1,0){6}}
        \put(20,-5){\makebox(0,0){$t_0$}}
        \put(20,3){\line(0,1){6}}
        \put(74,-5){\makebox(0,0){$t_1$}}
        \put(74,3){\line(0,1){6}}
        \put(85,57){\makebox(0,0){$\Delta f$}}
        \put(47,23){\makebox(0,0){$\Delta t$}}
      \end{picture}
      \caption{Differentiation}
    \end{figure}

    \begin{tabular}{ll}
      Geradengleichung: & $l(t) = m \cdot t + b$ \\
      Steigung der Geraden: & $m = \frac{\Delta f}{\Delta t} =
          \frac{f(t_1) - f(t_o)}{t_1 - t_0}$
    \end{tabular}
    \bigskip

    Weiter wollen wir: $l(t_0) = f(t_0)$. Nach Umformen erhalten wir:
    $$l(t) = \frac{f(t_1) - f(t_0)}{t_1 - t_0} \cdot (t - t_0) + f(t_0)$$

    dann gilt: $l(t_0) = f(t_0)$.

    Um das Problem am Anfang zu l\"osen, betrachten wir den Fall
    $\Delta t \rightarrow 0$. Im Folgenden wird diese Idee pr\"azisiert.

    \subsection{Einschr\"ankungen und Fortsetzungen}
      \marginnote{Definition \S7.1}
      \index{Einschr\"ankung}
      \index{Fortsetzung}
      Sei $Y \subseteq X \subseteq \R$ und sei $f\colon X \longrightarrow \R$
      eine Funktion. Dann liefert $f$ eine Funktion auf $Y$,
      $$f \mid_Y\colon Y \longrightarrow \R, \quad y \mapsto f(y)$$
      die {\bf Einschr\"ankung} von $f$ auf die Teilmenge $Y \subseteq X$.

      Sei umgekehrt $g\colon Y \longrightarrow \R$ eine Funktion. Wir sagen
      $f\colon X \longrightarrow \R$ setzt $g$ fort
      ({\bf Fortsetzung von $g$}), falls $f \mid_Y \, = g$.
      \medskip

      Im Allgemeinen hat solch ein $g$ (unendlich) viele Fortsetzungen.

    %TODO: Graph

    \subsection{Stetige Fortsetzungen}
      \marginnote{Definition \S7.2}
      Jetzt nehmen wir an, dass $g$ {\em stetig} ist und suchen {\bf stetige
      Fortsetzungen}.
      \medskip

      Ist $\series{y}{n}$ eine Folge in $Y$, die gegen $x \in X$ konvergiert,
      und ist $f$ eine stetige Fortsetzung von $g$, so gilt nat\"urlich
      $\liminfty{n} g(y_n) = f(x)$.
      \medskip

      Die linke Seite h\"angt nur von $y$ auf $g$ ab, sie legt $f(x)$
      eindeutig fest! Wir schreiben in dieser Situation:
      $$\lim_{y \rightarrow x} g(y) = f(x)$$

      \subsubsection*{Beispiel}
        \marginnote{Beispiel \S7.3}
        $X = [-1, 1]$, $Y = X \setminus \{0\}$
        %TODO: Graph

        \begin{itemize}
          \item{$g(y) = y^2$ f\"ur $y \in Y$, stetige Fortsetzung $f(x) = x^2$
              $$\lim_{y \rightarrow 0} y^2 = 0$$}
          \item{$g(y) = \left\{
              \begin{array}{rl}
                 1 & \quad \mbox{falls } \phantom{-}0 < y \leq 1 \\
                -1 & \quad \mbox{falls } -1 \leq y < 0
              \end{array}
            \right.$
            % TODO: Graph

            f\"ur $y \in Y$. Auf $Y$ ist $g$ eine stetige Abbildung!
            \medskip

            Aber $g$ hat {\em keine} stetige Fortsetzung auf $X$ denn:
            $$\liminfty{n} g \left(\frac{1}{n} \right) = \liminfty{n} 1 = 1$$
            aber
            $$\liminfty{n} g \left( \frac{-1}{n} \right) = \liminfty{n}
            (-1) = -1 \neq 1$$
            das hei{\ss}t der Grenzwert $\lim\limits_{y \rightarrow 0} g(y)$
            existiert {\em nicht}.}
        \end{itemize}

    \subsection{Differenzierbarkeit}
      \marginnote{Definition \S7.4}
      \index{Differenzierbarkeit}
      Es sei $X = ]a,b[$ ein offenes Intervall, $f\colon X \longrightarrow \R$
      stetig, $t_0 \in X$.

      Wir sagen, $f$ ist in $t_0$ {\bf differenzierbar} mit Ableitung
      $f'(t_0) = c$, falls die Funktion $p(h) = \frac{f(t_0 + h) - f(t_0)}{h}$
      (Differenzenquotient) eine stetige Fortsetzung in $0$ hat:
      $$\lim\limits_{h \rightarrow 0} p(h) = c = f'(t_0)$$

      Andere Schreibweisen f\"ur die Ableitung:

      $$f'(t_0) = \dot{f}(t_0) = \left. \frac{df}{dt}
        \right|_{t=t_0} = \left. \frac{d}{dt} f(t) \right|_{t=t_0}$$

      \subsubsection*{Beispiel}
        \marginnote[Vorlesung\\ 12.01.2004]{}
        \begin{itemize}
          \item{$f(t) = c \qquad$ f\"ur alle $t \in X$

            $p(h) = \frac{f(t_0 + h) - f(t_0)}{h} = \frac{c - c}{h} = 0$

            Es gibt eine stetige Fortsetzung $p(0) = 0 = f^\prime(t_0)$ f\"ur
            alle $t_0 \in X$}
          \item{$f(t) = mt + b \qquad$ f\"ur alle $m, b \in \R$

            $p(h) = \frac{f(t_0 + h) - f(t_0)}{h} =
            \frac{m(t_0 + h) + b - (mt_0 + b)}{h} = \frac{m h}{h} = m$

            Es gibt eine stetige Fortsetzung $p(0) = m = f^\prime(t_0)$ f\"ur
            alle $t_0 \in X$}
          \item{$f(t) = t^2 \qquad$ (Parabelgleichung) f\"ur alle $t \in X$

            $p(h) = \frac{f(t_0 + h) - f(t_0)}{h} = \frac{(t_0 + h)^2 - t_0^2}
            {h} = \frac{t_0^2 + 2t_0h + h^2 - {t_0}^2}{h} = 2 t_0 + h$

            Es gibt eine stetige Fortsetzung $p(0) = 2 t_0 = f^\prime(t_0)$
            f\"ur alle $t_0 \in X$}
          \item{$f(t) = \frac{1}{t} \qquad$ f\"ur $t \ne 0$

            $p(h) = \frac{f(t_0 + h) - f(t_0)}{h} = \frac{\frac{1}{t_0 + h} -
            \frac{1}{t_0}}{h} = \frac{t_0 - (t_0 + h)}{t_0 (t_0 + h) h} =
            \frac{-1}{t_0(t_0 - h)}$

            Es gibt eine stetige Fortsetzung $p(0) = \frac{-1}{{t_0}^2} =
            f^\prime(t_0)$ f\"ur alle $t_0 \in X$}
          \item{$f(t) = |t|$

            $p(h) = \frac{f(t_0 + h) - f(t_0)}{h} =
            \frac{|t_0 + h| - |t_0|}{h}$
            \bigskip

            \begin{tabular}{ll}
              1. Fall: & $t_0 > 0 \quad$ f\"ur $h > -t_0$ ist $t_0 + h > 0$\\
              & also $p(h) = \frac{t_0 + h - t_0}{h} = 1$, also $p(0) = 1 =
              f^\prime(t_0)$\medskip\\
              2. Fall: & $t_0 < 0 \quad$ f\"ur $h < t_0$ ist $t_0 + h < 0$\\
              & also $p(h) = \frac{-(t_0 + h) + t_0}{h} = -1$, also $p(0) = -1
              = f^\prime(t_0)$\medskip\\
              3. Fall: & $t_0 = 0 \quad$\\
              & also $p(h) = \frac{|h|}{h} = \left\{
              \begin{array}{rl}
                1 & \mbox{falls } h > 0\\
                -1 & \mbox{falls } h < 0
              \end{array}
              \right.$
            \end{tabular}
            \bigskip

            Es gibt {\em keine} stetige Fortsetzung in $h = 0$, also ist die
            Betragsfunktion in der Stelle $t_0 = 0$ nicht differenzierbar.}
        \end{itemize}

        \paragraph{Bemerkung:} Es gibt Funktionen, die in {\em keiner} Stelle
          differenzierbar sind.

      \marginnote{Bemerkung \S7.6}
      Setze $\phi(h) = p(h) - p(0)$, dann gilt:
      $$f(t_0 + h) = f(t_0) + h \cdot p(0) + h \cdot \phi(0)$$

      Dann sieht man also: $f$ ist in $t_0$ differenzierbar genau dann, wenn
      es eine Zahl $c \in \R$ und eine stetige Funktion $\phi$ mit
      $\phi(0) = 0$ gibt, so dass
      $$f(t_0 + h) = f(t_0) + c \cdot h + h \cdot \phi(h)$$

      Dann gilt $f^\prime(t_0) = c$
      \medskip

    \subsection{Rechenregeln f\"ur das Differenzieren}
      \index{Differentiation, Rechenregeln}
      \index{Differentiation, Leibnizregel}
      \index{Differentiation, Produktregel}
      \index{Differentiation, Quotientenregel}
      \index{Leibnizregel}
      Seien $f, g$ in $t_0$ differenzierbar, dann gilt:

      \begin{enumerate}
        \item{Die Summe $f + g\colon t \mapsto f(t) + g(t)$ ist in $t_0$
          differenzierbar:

          $(f + g)(t_0) = f'(t_0) + g'(t_0)$}
        \item{F\"ur $c \in \R$ ist $cf\colon t \mapsto cf(t)$ in $t_0$
          differenzierbar:

          $(cf)^\prime(t_0) = cf^\prime(t_0)$}
        \item{{\bf Leibnizregel:} Das Produkt $f \cdot g\colon t \mapsto f(t)
          \cdot g(t)$ ist in $t_0$ differenzierbar:

          $(fg)(t_0) = f^\prime(t_0)g(t_0) + f(t_0)g^\prime(t_0)$}
        \item{Ist $g(t) \ne 0$ f\"ur alle $t \in X$, so ist $\left(
          \frac{f}{g}\right)\colon t \mapsto \frac{f(t)}{g(t)}$ in $t_0$
          differenzierbar:
          $\left(\frac{f}{g}\right)^\prime(t_0) = \frac{f^\prime(t_0)g(t_0) -
          f(t_0)g^\prime(t_0)}{g(t)^2}$

          Spezialfall: $\left(\frac{1}{g}\right)^\prime(t_0) =
          - \frac{g^\prime(t_0)}{g(t_0)^2}$}
      \end{enumerate}

      \subsubsection*{Beweis}
        \begin{tabular}{lll}
          Setze: & $\; p(h) = \frac{f(t_0 + h) - f(t_0)}{h}$ &
            $p(t_0) = f^\prime(t_0)$ \medskip\\
          & $\; q(h) = \frac{g(t_0 + h) - g(t_0)}{h}$ & $q(t_0)
            = g^\prime(t_0)$
        \end{tabular}
        \medskip

        \begin{enumerate}
          \item{$\frac{(f + g)(t_0 + h) - (f + g)(t_0)}{h}
            = \frac{f(t_0 + h) - f(t_0) + g(t_0 + h) - g(t_0)}{h}
            = p(h) + q(h)$

            $(f + g)^\prime(t_0) = p(0) + q(0)$}
          \item{$\frac{cf(t_0 + h) - cf(t_0)}{h} = c p(h)$}
          \item{$\frac{f(t_0 + h) g(t_0 + h) - f(t_0) g(t_0)}{h}
            = \frac{f(t_0 + h) - f(t_0)}{h} g(t_0) + f(t_0)
            \frac{g(t_0 + h) + g(t_0)}{h}$

            $= p(h) \cdot g(t_0) + f(t_0 + h) \cdot q(h)$

            F\"ur $n \rightarrow 0$ erh\"alt man $p(0)
            \cdot g(t_0) + f(t_0) \cdot q(0)$}
          \item{F\"ur (iv) gen\"ugt es den Spezialfall
            $\left(\frac{1}{g}\right)'(t_0)$ zu betrachten, weil
            $\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}$

            $\frac{\frac{1}{g(t_0 + h)} - \frac{1}{g(t_0)}}{h}
            = \frac{g(t_0) - g(t_0 + h)}{g(t_0) g(t_0 + h) h}
            = - q(h) \frac{1}{g(t_0) g(t_0 + h)}$

            F\"ur $n \rightarrow 0$ erh\"alt man $q(0) \frac{-1}{g(t_0)^2}$}
        \end{enumerate}

    \subsection{Differenzierbare Funktionen}
      \marginnote{Definition \S7.7}
      \index{Differenzierbarkeit, stetige}
      \index{Stetige Differenzierbarkeit}
      Ist eine Funktion $f$ an {\em jeder} Stelle $t_0 \in X$ differenzierbar,
      so hei{\ss}t $f$ {\bf differenzierbar}, die Funktion $f'\colon
      t \mapsto f^\prime(t)$ hei{\ss}t {\bf Ableitung} von $f$.

      Falls $f$ zus\"atzlich stetig ist, hei{\ss}t $f$
      {\bf stetig differenzierbar} oder $C^1$-Funktion.
      $$\fsetc[1]{X}{\R} = \{f\colon X \longrightarrow \R \;|\; f \mbox{ ist
      stetig differenzierbar}\}$$

      Nach den Rechenregeln ist $\fsetc[1]{X}{\R}$ ein
      {\em reeller Vektorraum}.

      \subsubsection*{Beispiel}
        \marginnote{Beispiel \S7.8}
        \begin{itemize}
          \item{$f(t) = t^n \qquad n \in \N$

            Vollst\"andige Induktion \"uber $n$. Behauptung: $f(t) = t^n
            \Rightarrow f^\prime(t) = n t^{n - 1}$

            \begin{tabular}{llll}
              I.A.: & $n = 0$ & $f(t) = 1$ & $f^\prime(t) = 0$\\
                    & $n = 1$ & $f(t) = t$ & $f^\prime(t) = 1$
            \end{tabular}

            \begin{tabular}{ll}
              I.S.: & $t^{n + 1} = t^n \cdot t \stackrel{\rm Ableitung}
                {\longrightarrow} n \cdot t^{n - 1} t + t^n \cdot 1 = n \cdot
                t^n + t^n = (n + 1) t^n$
            \end{tabular}

            \hfill$\square$}
          \item{$f(t) = \frac{1}{t^n} \qquad$ Rechenregel (iv) mit $g(t) = t^n$

            $- \frac{g^\prime(t)}{g(t)^2} = \frac{-n \cdot t^{n - 1}}{t^{2n}}
            = -n \frac{1}{t^{n + 1}}$

            Fazit: F\"ur $n \in \Z$ und $f(t) = t^n$ gilt also $f^\prime(t) =
            n \cdot t^{n - 1}$}
          \item{$f(t) = \cos{(t)} \phantom{\sin\exp} \qquad
            f^\prime(t) = - \sin{(t)}$}
          \item{$f(t) = \sin{(t)} \phantom{\cos\exp} \qquad
            f^\prime(t) = \phantom{-} \cos{(t)}$}
          \item{$f(t) = \exp{(t)} \phantom{\sin\cos} \qquad
            f^\prime(t) = \phantom{-} \exp{(t)}$}
        \end{itemize}

    \subsection{Die Kettenregel}
      \marginnote[Vorlesung\\ 15.01.2004\\]{Satz \S7.9}
      \index{Kettenregel}
      \index{Differentiation, Kettenregel}
      \paragraph{Satz:}Seien $g: X \longrightarrow \R$ und $f\colon Y
        \longrightarrow \R$ Funktionen mit $g(x) \subseteq Y$ und sei
        $s_0 = g(t_0)$ f\"ur $t_0 \in X$. Wenn $g$ in $t_0$ differenzierbar
        ist, und $f$ in $s_0$ differenzierbar ist, dann ist die Komposition
        (Hintereinanderausf\"uhrung) $f \circ g: X \longrightarrow Y
        \longrightarrow \R$ in $t_0$ differenzierbar mit Ableitung:
        $$(f \circ g)'(t_0) = f'(s_0) g'(t_0) = f'\left(g(t_0)\right) g'(t_0)$$

      \paragraph{Achtung:}Unterscheide {\em Komposition} $f \circ g$ vom
        {\em Produkt} $f \cdot g$:
        \begin{eqnarray*}
          (f \circ g)(t) = f\left(g(t)\right)
          % \quad \mbox{ und } \quad
          \quad \not\equiv \quad
          (f \cdot g)(t) = f(t) \cdot g(t)
        \end{eqnarray*}

      \paragraph{Beweis:}Betrachte $p(h) \cdot h = f(s_0 + h) - f(s_0)$:
        \medskip

        $\frac{f\left(g(t_0 + h)\right) - f\left(g(t_0)\right)}{h} =
        \frac{f\left(g(t_0+h)\right) - f(s_0)}{h} =
        \frac{g(t_0 + h) - g(t_0)}{h} \cdot p\left( g(t_0 + h) - g(t_0)\right)$
        \medskip

        Im $\lim h \rightarrow 0$ erh\"alt man $g'(t_0) \cdot f'(s_0)$
        \hfill$\square$

    \subsection{Extrema}
      \marginnote{Erinnerung \S7.10}
      \index{Extrema}
      \paragraph{Definition:}Eine Funktion $f\colon X \longrightarrow \R$
        hat ein {\bf Maximum} (ein {\bf Minimum}) in $t_0 \in X$, falls
        $f(t) \leq f(t_0)$ (falls $f(t) \geq f(t_0)$)
        f\"ur alle $t \in X$ gilt.
        \medskip

      Liegt ein Minimum oder ein Maximum vor, spricht man von eimem
      {\bf Extremum}.

      \paragraph{Satz:}Ist $f$ differenzierbar in $t_0$ und hat ein Extremum
        in $t_0$, dann ist
        $$f'(t_0) = 0$$

      \paragraph{Beweis:}Wir betrachten den Fall, dass $f$ in $t_0$ ein
        Maximum hat. Dann ist $f(t_0 + h) \leq f(t_0)$. Also gilt:
        $$p(h) = \frac{f(t_0 + h) - f(t_0)}{h} \quad \left\{
          \begin{array}{rl}
            \leq 0 & \; \mbox{falls } \; h > 0 \\
            \geq 0 & \; \mbox{falls } \; h < 0
          \end{array} \right.$$
        In $h = 0$ gilt (weil $p$ stetig ist) $p(0) = 0$.

      \paragraph{Anwendung:}
        \marginnote{Anwendung \S7.11}
        Sei $X = [a,b]$, $f\colon X \longrightarrow \R$ sei stetig und
        differenzierbar in allen $t \in ]a,b[$. Um Extrema von $f$ zu finden,
        betrachtet man die Randpunkte $a$ und $b$, sowie alle $t \in ]a,b[$
        mit $f'(t) = 0$. An einer dieser Stellen liegen die Extrema.

      \paragraph{Beispiel:}Wie kann man die Oberfl\"ache eine Blechdose
        (mit Volumen $= 1$) minimieren?
      % TODO: Graph
      \begin{eqnarray*}
        \mbox{Radius} \quad r &=& r \\
        \mbox{H\"ohe} \quad h &=& \frac{1}{\pi r^2} \quad \mbox{wegen $V=1$} \\
        \mbox{Volumen} \quad V &=& \pi r^2 \cdot h \\
        \mbox{Oberfl\"ache} \quad A &=& 2 \pi r^2 + h \cdot 2 \pi r \\
        &=& 2 \pi r^2 + \frac{2 \pi r}{\pi r^2} = 2 \pi r^2 + \frac{2}{r}
      \end{eqnarray*}
      % TODO: Graph

      Ein Intervall $X=[a,b]$ ist physikalisch sinnvoll. Suche nun Extremum
      $A' = 0$:
      $$A' = 4 \pi r - \frac{2}{r^2} \quad \Leftrightarrow \quad
        4 \pi r = \frac{2}{r^2} \quad \Leftrightarrow \quad
        r^3 = \frac{1}{2 \pi} \quad \Leftrightarrow \quad
        r = \sqrt[3]{\frac{1}{2 \pi}} \approx 0,572\dots$$

      F\"ur $a$ sehr klein und $b$ sehr gro\ss\space sind $A(a)$ und $A(b)$
      ebenfalls sehr gro\ss, in $r = \frac{1}{\sqrt[3]{2 \pi}}$ liegt ein
      Minimum vor.

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S7.12}
        Jede Polynomfunktion $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots +
        a_0$ ist stetig differenzierbar mit Ableitung $p'(x) = na_nx^{n-1}
        + \cdots + 2a_2x + a_1$, das bleibt auch f\"ur Potenzreihen richtig
        (\S5.14).
      \begin{eqnarray*}
        f(x) &=& \suminfty{k=0} a_kx^k \\
        f'(x) &=& \suminfty{k=0} (k+1) a_{k+1} x^k \quad \mbox{f\"ur alle
          $|x| < R$}
      \end{eqnarray*}

      Wenn $\suminfty{k=0} a_k x^k$ f\"ur diese $x$ konvergiert (Beweis
      vielleicht sp\"ater). Damit kann man zum Beispiel die Ableitung der
      $\exp$-Funktion berechnen:
      \begin{eqnarray*}
        \exp \phantom{'} x &=& \suminfty{k=0} \frac{1}{k!} x^k \\
        \exp 'x &=& \suminfty{k=0} (k+1) \frac{1}{(k+1)!} x^k = \exp x
      \end{eqnarray*}

    \subsection{Der Satz von Rolle}
      \marginnote{Lemma \S7.13}
      \index{Satz von Rolle}
      Sei $f\colon [a,b] \longrightarrow \R$ stetig, $f(a) = f(b)$, sei $f$ in
      allen $t \in ]a,b[$ differenzierbar. Dann gibt es ein $t_0 \in ]a,b[$
      mit $f'(t_0) = 0$.

      \subsubsection*{Beweis:}
        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          1. Fall: & $f$ ist {\em konstant}, klar. \\
          2. Fall: & $f$ ist nicht konstant, es gibt also ein $t \in ]a,b[$ mit
            $f(t) \neq f(a)$.
            \medskip

            Wir nehmen an, $f(t) > f(a)$ (Der andere Fall $f(t) < f(a)$ geht
            analog). Da $f$ stetig ist, hat $f$ ein Maximum in Punkt
            $t_0 \in [a,b]$, also $f(t_0) \geq f(t) > f(a) = f(b)$ also
            $t_0 \in ]a,b[$.
            \medskip

            Also gilt $f'(t_0) = 0$.\hfill$\square$
        \end{tabular}

    \subsection{Mittelwertsatz der Differentialrechnung}
      \marginnote{Satz \S7.14}
      \index{Mittelwertsatz}
      \index{Differentiation, Mittelwertsatz}
      Ist $f\colon [a,b] \longrightarrow \R$ stetig und differenzierbar in allen
      $t \in ]a,b[$, so gibt es ein $t_0 \in ]a,b[$ mit:
      $$f'(t_0) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$

      % TODO: Graph und Beschriftung

      \paragraph{Beweis:}Betrachte $g(t) = f(t) - m(t-a)$, mit
        $m = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$.

      Es gilt $g(a) = f(a)$, $g(b) = f(b) - m(b-a) = f(a)$.
      \medskip

      Nach dem Satz von Rolle gilt: Es gibt ein $t_0 \in ]a,b[$ mit
      $g'(t_0) = 0$.

      Aber $g'(t) = f'(t) - m$, also $f'(t_0) = m$.\hfill$\square$

      \paragraph{Folgerungen:}
        \index{Mittelwertsatz, Folgerungen}
        Sei $f\colon [a,b] \longrightarrow \R$ differenzierbar
        \bigskip

      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        (a) & gilt $f'(t) \geq 0$ f\"ur alle $t \in ]a,b[$, so ist $f$
            monoton steigend. \\
        (b) & gilt $f'(t) \leq 0$ f\"ur alle $t \in ]a,b[$, so ist $f$
            monoton fallend. \\
        (c) & ist $f'(t) = 0$ f\"ur alle $t \in ]a,b[$, so ist $f$ konstant. \\
        (d) & ist $|f'(t)| \leq k$ f\"ur alle $t \in ]a,b[$, so ist $f$
            lipschitz-stetig:

            $|f(u) - f(v)| \leq k |u-v|$
      \end{tabular}

      \subsubsection*{Beweise:}
      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        (a) & Sei $a < u < v < b$, damit $\frac{f(v)-f(u)}{v-u} = f'(t_0)
            \geq 0$ also $f(v) \geq f(u)$. \\
        (b) & Geht analog. \\
        (c) & Folgt aus (a) und (b). \\
        (d) & $\frac{|f(v)-f(u)|}{|v-u|} = |f'(t_0)| \leq k$\hfill$\square$
      \end{tabular}

    \subsection{Mehrfach stetig differenzierbare Funktionen}
      \marginnote[Vorlesung\\ 19.01.2004\\]{Definition \S7.15}
      \index{Glatte Funktionen}
      \index{Vektorraum}
      \index{Differentialoperator}
      Sei $X = \left]a, b\right[$ und $f\colon X \longrightarrow \R$. Falls $f$
      stetig differenzierbar ist und falls $f'\colon X \longrightarrow \R$
      stetig differenzierbar ist, so hei{\ss}t $f$ {\bf zweimal stetig
      differenzierbar}. $f''$ ist die Ableitung von $f'$. Analog definiert man
      $k$-mal stetig differenzierbare Funktionen. Setze:
      $$\fsetc[k]{X}{\R} = \{f\colon X \longrightarrow \R \;|\; f \mbox{ ist
      $k$-mal stetig differenzierbar} \}$$

      Offensichtlich ist $\fsetc[k]{X}{\R}$ ein {\em reeller Vektorraum}.

      Die Funktionen in $\fsetc[\infty]{X}{\R} = \bigcap\limits_{k \ge 1}
      \fsetc[k]{X}{\R}$ hei{\ss}en {\bf glatte Funktionen}.
      \bigskip

      Wir haben also eine Hierarchie von reellen Vektorr\"aumen:

      \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{picture}(200,100)
          \put(100,100){\makebox(0,0){$\fsetc{X}{\R}$}}
          \put(100,83){\line(0,1){10}}
          \put(100,75){\makebox(0,0){$\fsetc[1]{X}{\R}$}}
          \put(100,58){\line(0,1){10}}
          \put(100,50){\makebox(0,0){$\fsetc[2]{X}{\R}$}}
          \put(100,40){\makebox(0,0){$\vdots$}}
          \put(100,25){\makebox(0,0){$\fsetc[k]{X}{\R}$}}
          \put(100,8){\line(0,1){10}}
          \put(100,0){\makebox(0,0){$\fsetc[\infty]{X}{\R}$}}
        \end{picture}
        \caption{Funktionsklassen: Stetig differenzierbare Funktionen}
      \end{figure}

      Die Rechenregeln f\"ur Ableitungen sagen, dass der Differentialoperator

      $\frac{d}{dx}\colon f \mapsto f'$, der jeder Funktion $f$ die Ableitung
      $f'$ zuordnet, eine {\em lineare Abbildung} ist:
      $$\fsetc[k]{X}{\R} \stackrel{\frac{d}{dx}}{\longrightarrow}
      \fsetc[{k - 1}]{X}{\R}$$

  % =============== SECTION 8 ===============
  \newpage
  \section[Haupts\"atze der Differential- \& Integralrechnung]
    {Die Haupts\"atze der Differential- und Integralrechnung}
    \subsection{Schreibweisen in der Integralrechnung}
      \marginnote{Definition \S8.1}
      Sei $X = \left[a, b\right]$ und $f\colon X \longrightarrow \R$ eine
      Regelfunktion. F\"ur $a \le u \le v \le b$ setze:
      $$f(x) \Big|_{u}^v = f(v) - f(u)$$

      Die Einschr\"ankung von $f$ auf $\left[u, v\right]$ ist eine
      Regelfunktion, deren Integral wir schreiben als $\int_u^v f(x) \dx$.
      Setze au{\ss}erdem $f(x) \big|_v^u = - f(x) \big|_u^v$.
      $$\int_v^u f(x) \dx = - \int_u^v f(x) \dx$$

      F\"ur festes $t_0 \in \left[a, b\right]$ betrachte die reelle Funktion
      $F\colon X \longrightarrow \R$ mit
      $$F(t) = \int_{t_o}^t f(x) \dx$$

    \subsection{I. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}
      \marginnote{Satz \S8.2}
      Sei $f\colon \left[a, b\right] \longrightarrow \R$ stetig und $t_0 \in
      \left[a, b\right]$ sowie $F(t) = \int_{t_0}^t f(x) \dx$. Dann ist $F$ in
      jedem Punkt $t \in \left[a, b\right]$ stetig differenzierbar und
      $$F' = f$$

      \subsubsection*{Beweis}
        $\frac{1}{h}\big(F(t + h) - F(t)\big) = \frac{1}{h}\left(
        \int_{t_0}^{t + h} f(x) \dx - \int_{t_0}^t f(x) \dx \right) =
        \frac{1}{h} \int_t^{t + h} f(x) \dx$

        $ = \frac{1}{h} h \cdot f(r)$ f\"ur ein
        $r \in \left[t, t + h\right]$ und f\"ur $h > 0$ (Der Fall $h < 0$ geht
        analog).
        \medskip

        Der letzte Schritt folgt mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung
        (\S6.24). Im Limes $h \rightarrow 0$ konvergiert das gegen $f(t)$, weil
        $f$ stetig ist. Also ist $F'(t) = f(t)$

        \hspace*{1cm}\hfill$\square$

    \subsection{II. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}
      \marginnote{Satz \S8.3}
      Sei $f\colon \left]a, b\right[ \longrightarrow \R$ stetig
      differenzierbar. F\"ur $a < u \le v < b$ gilt:
      $$\int_u^v F'(x) \dx = F(x) \Big|_u^v = F(v) - F(u)$$

      \subsubsection*{Beweis}
        Setze $g(t) = \int_a^b F'(x) \dx$. Nach dem I. Hauptsatz gilt
        jedenfalls $g'(t) = F'(t)$. Also gilt:
        $$g'(t) - F'(t) = 0 = (g - F)'(t)$$

        Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (\S7.14c) ist
        $g - F$ konstant. Also gilt: $g(t) = F(t) - F(u)$, denn $g(u) = 0$.
        \hfill$\square$

    \subsection{Stammfunktionen}
      \marginnote{Bemerkung \S8.4}
      \index{Stammfunktionen}
      Ist $F$ stetig differenzierbar mit Ableitung $F' = f$, so hei{\ss}t $F$
      {\bf Stammfunktion} zu $f$. Integrale l\"osen bedeutet also
      eigentlich das Finden von solchen Stammfunktionen.

      \paragraph{Beispiel:} $f(x) = x^n$ hat die Stammfunktion $F(x) =
        \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + c$. Die Konstante $c$ ist egal, wir setzen
        $c = 0$. Mit dem II. Hauptsatz ist also:
        $$\int_u^v x^n \dx = \left(\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + c \right)
        \Bigg|_u^v = \frac{1}{n + 1} (v^{n + 1} - u^{n + 1})$$

       \paragraph{Satz:}
         \marginnote{Satz \S8.5}
         Es sei $\series{f}{n}$ eine Folge von Funktionen auf
         $X = \left]a, b\right[$. Wenn $\series{f}{n}$ punktweise gegen
         $f\colon X \longrightarrow \R$ konvergiert, jedes $f_n$ stetig
         differenzierbar ist und wenn die Folge $\series{f'}{n}$
         gleichm\"a{\ss}ig gegen $g\colon X \longrightarrow \R$ konvergiert,
         so ist $f$ stetig differenzierbar und $f' = g$.

       \paragraph{Erinnerung:} Eine Folge von Funktionen $\series{h}{n}$
         konvergiert {\em punktweise} gegen eine Funktion $h$, falls
         $\liminfty{h} = h(x)$ f\"ur alle $x \in X$.

         Die Konvergenz ist gleichm\"a{\ss}ig, falls
         $\liminfty{n} ||h_n - h|| = 0$, dabei ist

         $||h_n - h|| = \sup{\{|h_n(x) - h(x)| \;\big|\; x \in X\}}$.

         Gleichm\"a{\ss}ige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz.
         \medskip

         Beweis (von Satz 5): $\quad$ F\"ur jedes $t \in X$ gilt:
         $$\int_{t_0}^t g(x) \dx = \liminfty{h} \int_{t_0}^t f'_n(x) \dx =
         \liminfty{h} \big(f_n(t) - f_n(t_0)\big) = f(t) - f(t_0)$$

         Also gilt: $f' = g$.\hfill$\square$

         Warum gilt das erste '$=$' im Beweis?

       \paragraph{Satz:}
         \marginnote{Satz \S8.6}
         Ist $\series{f}{n}$ eine Folge von Funktionen, die gleichm\"a{\ss}ig
         gegen $f$ konvergiert, so ist

         $$\liminfty{n} \int_u^v f_n(x) \dx = \int_u^v f(x) \dx$$

         Beweis: $\quad \left|\int_u^v f(x) - f_n(x) \dx\right| \le
         \int_u^v |f(x) - f_n(x)| \dx \le |u - v| \cdot ||f - f_n||$
         \hfill$\square$

       \subsubsection*{Folgerung}
         \marginnote{Folgerung \S8.7}
         Sei $f(t) = \suminfty{h = 0} a_n t^n$ eine Potenzreihe, die f\"ur alle
         $|t| < R$ konvergiert. Dann ist $f'(t) = \suminfty{h = 0} a_{n + 1}
         (n + 1) t^n$ und $\int_0^t f(t) \dx[t] = \suminfty{h = 1} \frac{1}{n}
         a_{n - 1} t^n$ f\"ur $|t| < R$.

         Denn das ist genau die Situation von Satz 5 mit $f_n(t) =
         \sum\limits_{k = 0}^n a_k t^k$

    \subsection{Tabelle mit Ableitungen}
      \marginnote[Vorlesung 22.01.2004\\]{Paragraph \S8.8}
      \index{Ableitungstabelle}
      \index{Differentiation, Tabelle}
      \index{Integration, Tabelle}

      \begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c|c}
        $f(x)$ & $\sin x$ & $\cos x$ & $x^n$ & $\exp x$ & $\sinh x$ &
            $\cosh x$ & $\ln x$ \\ \hline
        $f'(x)$ & $\cos x$ & $-\sin x$ & $n\cdot x^{n-1}$ & $\exp x$ &
            $\cosh x$ & $\sinh x$ & $\frac{1}{x}$
      \end{tabular}
      \bigskip

      Liest man die Tabelle anders herum, erh\"alt man Stammfunktionen, damit
      lassen sich Integrale berechnen, z.B.:
      $$\int_u^v \cos x \dx \; = \; \sin x \big|_u^v \; = \; \sin v - \sin u$$

      Es folgen weitere Methoden zum L\"osen von Integralen:

    \subsection{Partielle Integration}
      \index{Paritielle Integration}
      \index{Integration, partielle}
      \marginnote{Paragraph \S8.9}
      Es gilt:
      $$\int_a^b f'(x) g(x) \dx = f(x) g(x) \big|_a^b -
          \int_a^b f(x) g'(x) \dx$$
      falls $f$ und $g$ stetig differenzierbar sind, denn
      $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$ (Leibniz-Regel).

      \paragraph{Beispiel:}$\int_a^b \ln x \dx = \int_a^b \ln x \cdot 1 \dx$
        mit $g(x) = \ln x$, $f'(x) = 1$ und $f(x) = x$:
        $$\int_a^b \ln x \dx = \int_a^b 1 \cdot \ln x \dx =
            x \cdot \ln x \big|_a^b - \int_a^b x \cdot \frac{1}{x} \dx =
            b \cdot \ln b - a \cdot \ln a + (b - a)$$

    \subsection{Integration durch Substitution}
      \marginnote{Paragraph \S8.10}
      \index{Substitution}
      \index{Integration, Substitution}
      Das ist das Integral der Kettenregel:
      $$\int_u^v f(g(x)) \cdot g'(x) \dx = \int_a^b f(s) \dx[s]
          \qquad \qquad
          \begin{array}{l}
            g(v) = b \\
            g(u) = a
          \end{array}$$

      \paragraph{Beispiel:}Mit Substitution $x = \ln t$:
        $$\int_a^b \frac{2 \cdot \exp x + 1}{\exp x + 1} \dx =
            \int_c^d \frac{2t + 1}{t + 1} \cdot \frac{1}{t} \dx[t]
            \qquad \qquad
            \begin{array}{l}
              g\phantom{'}(t) = \ln t \\
              g'(t) = \frac{1}{t}
            \end{array}$$

      Es gibt viele Tafeln (z.B. Bronstein, Handbuch der Mathematik) mit
      Integralen und viele weitere Tricks zum Berechnen von Integralen.
      Moderne Computer-Algebra wie MAPLE oder MATHEMATICA l\"osen viele
      Integrale, allerdings manchmal mit Fehlern!

    \subsection{Uneigentliche Integrale}
      \marginnote{Paragraph \S8.11}
      \index{Uneigentliche Integerale}
      Bisher k\"onnen wir nur Regelfunktionen auf Intervallen $X = [a,b]$
      integrieren. Machmal will man einen allgemeinen Definitionsbereich.

      \paragraph{Fall 1:}Sei $f\colon [a, \infty[ \longrightarrow \R$ eine
        Funktion, die auf jedem Intervall $[a, r]$ eine Regelfunktion
        ist, z.B.: $f$ ist eine stetige Funktion.
        \medskip

      Falls der Grenzwert $\liminfty{r} \int_a^r f(x) \dx$ existiert,
      schreibt man:
      $$\int_a^\infty f(x) \dx = \liminfty{r} \int_a^r f(x) \dx$$

      Analog definiert man:
      $$\int_{-\infty}^a f(x) \dx = \lim\limits_{r \rightarrow -\infty}
      \int_r^a f(x) \dx$$

      \paragraph{Fall 2:}Schlie{\ss}lich sieht man, warum das Sinn macht:
        $$\int_{-\infty}^\infty f(x) \dx = \int_{-\infty}^a f(x) \dx +
        \int_a^\infty f(x) \dx$$

      \subsubsection*{Beispiel:}
        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          (a) & $\int_0^r \sin x \dx = -\cos x \big|_0^r = \cos 0 - \cos r
              = 1 - \cos r$
              \medskip

              Der Grenzwert f\"ur $r \rightarrow \infty$ existiert nicht. \\
          (b) & $\int_r^0 \exp x \dx = \exp x \big|_r^0 = \exp 0 - \exp r
              = 1 - \exp r$
              \medskip

              $\lim\limits_{r \rightarrow -\infty} \exp r = 0$ also
              $\int_{-\infty}^0 \exp x = 1$
        \end{tabular}

      \paragraph{Fall 3:}Ist $X=[a,b[$ und ist $f$ auf dem Interfall $[0,r]$
        eine Regelfunktion f\"ur $a < r < b$, und existiert
        $\lim\limits_{r \rightarrow b} \int_a^b f(x) \dx$, setzt man
        $$\int_a^b f(x) \dx = \lim_{r \rightarrow b} \int_a^r f(x) \dx$$
        Analoge Definition f\"ur $X = ]a,b]$ oder $X=]a,b[$.

    \subsection{Das Integralvergleichs-Kriterium}
      \marginnote{Satz \S8.13}
      \index{Integralvergleichs-Kriterium}
      \index{Reihenkonvergenz}
      Sei $f\colon [1, \infty[ \longrightarrow \R$ monoton fallend. Dann gilt
      f\"ur alle $n$:
      $$ 0 \leq \left(\sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^{n+1} f(x) \dx \right)
      \leq f(1)$$

      und der Term in der Mitte konvergiert f\"ur $n \rightarrow \infty$.
      $$0 \leq \liminfty{n} \left( \sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^{n+1} f(x) \dx
      \right) \leq f(1)$$

      Die Reihe konvergiert genau dann, wenn das Integral konvergiert.

      \paragraph{Beweis:}F\"ur $x \in [k,k+1]$ gilt
        $$f(k) \geq f(x) \geq f(k+1) \qquad \mbox{also} \qquad
        f(k) \geq \int_k^{k+1} f(x) \dx \geq f(k+1)$$
        Wir addieren diese Ungleichungen:
        \bigskip

      \begin{tabular}{lclclcl}
        & $\sum\limits_{k=1}^{n} f(k)$ & $\geq$ &
          $\int_1^{n+1} f(x) \dx$ & $\geq$ &
          $\sum\limits_{k=2}^{n+1} f(k)$ & \\
          % $\big| -\sum_{k=1}^n f(k)$ \\
        $\Leftrightarrow$ & $0$ & $\geq$ &
          $\int_1^{n+1} f(x) \dx - \sum\limits_{k=1}^n f(k)$ & $\geq$ &
          $f(n+1) - f(1)$ & \\
        $\Leftrightarrow$ & $0$ & $\leq$ &
          $\sum\limits_{k=1}^n f(k) - \int_1^{n+1} f(x) \dx$ & $\leq$ &
          $f(1) - f(n+1)$ &
      \end{tabular}
      \bigskip

      Also ist $\sum\limits_{k=1}^n f(x) - \int_1^{n+1} f(x) \dx$ eine
      beschr\"ankte monotone Folge und damit konvergent.\hfill$\square$

      \paragraph{Beispiel}
        \marginnote[Vorlesung\\26.01.2004\\]{Beispiel \S8.14}
        \begin{itemize}
          \item{$f(x) = \frac{1}{x}$

            $\liminfty{n} \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k} -
            \int\limits_1^{n + 1} \frac{1}{x} \dx = \liminfty{n}
            \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k} - \ln{x} \Big|_1^{n + 1} =
            \liminfty{n} \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k} - \ln{(n + 1)}$

            Die harmonische Reihe w\"achst also ungef\"ahr wie
            der Logarithmus.}
          \item{$f(x) = \frac{1}{x^s} \qquad s \ge 2 \qquad \int_1^{n + 1}
            \frac{1}{x^s} \dx = \frac{-1}{s - 1} \cdot \frac{1}{x^{s - 1}}
            \Big|_1^{n + 1}$

            $\liminfty{n} \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k^s} -
            \int\limits_1^{n + 1} \frac{1}{x^s} \dx =  \liminfty{n}
            \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k^s} - \frac{1}{s - 1} +
            \frac{1}{s - 1} \cdot \frac{1}{(n + 1)^{s - 1}}
            \le 1$

            Also konvergiert die Reihe $\suminfty{k = 1} \frac{1}{k^s}$
            f\"ur $s \ge 2$.}
        \end{itemize}

    \subsection{Die Taylor-Entwicklung}
      \index{Taylor-Entwicklung}
      \marginnote{Satz \S8.15}
      Es gilt $f(t) = f(t_0) + f(t) - f(t_0) = f(t_0) + \int\limits_{t_0}^t
      f'(s) \dx[s]$.

      \paragraph{Satz:} Sei $f \in \fsetc[n + 1]{X}{\R}$, also $n+1$-mal
        stetig differenzierbar. Sei $t_0 \in X$. Dann gilt die
        {\bf Taylor-Formel}:
        $$f(t) = \underbrace{\sum_{k = 0}^n \frac{1}{k!} f^{(k)}(t_0) \cdot
        (t - t_0)^k}_{\rm Taylor-Polynom} +
        \underbrace{R_n(t, t_0)}_{\rm Restglied}$$

        $f^{(k)}(t_0)$ ist die $k$-te Ableitung an der Stelle $t_0$.
        $$R_n(t, t_0) = \frac{1}{n!} \int_{t_0}^t (t - s)^n
        \cdot f^{(n + 1)}(s) \dx[s] = \frac{1}{(n + 1)!} \cdot
        f^{(n + 1)}(s_0) \cdot (t - t_0)^{n + 1}$$

        mit $|s_0 - t_0| \le |t - t_0|$.

      \paragraph{Beweis:} Induktion nach $n$. F\"ur $n = 0$ steht folgendes da:

        $\begin{array}{rcl}
          f(t) &=& \frac{1}{0!} f^{(0)}f(t_0) \cdot 1 + \frac{1}{0!}
             \int\limits_{t_0}^t 1 \cdot f^{(1)}(s) \dx[s] \\
               &=& f(t_0) + \int\limits_{t_0}^t f'(s) \dx[s] \\
               &=& f(t_0) + f(t) - f(t_0) = f(t)
        \end{array}$
        \medskip

        Induktionsschritt: Wir nehmen an, die Formel stimmt f\"ur $n$,
        $f \in \fsetc[n + 1]{X}{\R}$, wir wollen den Satz f\"ur
        $n + 1$ beweisen.
        \bigskip

        $\begin{array}{rcl}
          f(t) &=& \sum\limits_{k = 0}^n \frac{1}{k!} f^{(k)}(t_0) \cdot
             (t - t_0)^k + R_n(t, t_0)\\
          R_n(t, t_0) &=& \frac{1}{n!} \int\limits_{t_0}^t f^{(n + 1)}(s)
             \cdot (t - s)^n \dx[s] \\
          &=& \frac{(-1)^n}{n!} \cdot \frac{(s - t)^{n + 1}}{n + 1}
             f^{(n + 1)}(s) \Big|_{s = t_0}^{s = t} - \frac{(-1)^n}{n!}
             \int_{t_0}^t f^{(n + 2)}(s) \frac{(s - t)^{n + 1}}{n + 1}
             \dx[s] \\
          &=& \frac{1}{(n + 1)!} (t - t_0)
             f^{(n + 1)}(t_0) + R_{n + 1}(t, t_0) $\hfill$\square
        \end{array}$
        \bigskip

        Die 2. Formel ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung.

      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Bemerkung \S8.16}
        \index{Taylor-Reihe}
        Ist $f \in \fsetc[\infty]{X}{\R}$ glatt, kann man die
        {\bf Taylor-Reihe}
        $$\suminfty{k = 0} \frac{1}{k!} f^{(k)}(t_0) \cdot (t - t_0)^k$$

        konstruieren. Trotzdem gilt i.A. {\em nicht}, dass
        $f(t) = \suminfty{k = 0} \frac{1}{k!} f^{(k)}(t_0) \cdot (t - t_0)^k$.
        \medskip

        Wichtiger als die Taylor-Reihe ist die Taylor-Formel.

    \subsection{Lokale Extrema}
      \marginnote{Definition \S8.17}
      \index{Extrema}
      \index{Maximum, lokales}
      \index{Lokales Maximum}
      \index{Minimum, lokales}
      \index{Lokales Minimum}
      Wir sagen $f$ hat in $t_0$ ein {\bf striktes lokales Maximum
      (striktes lokales Minimum)}, falls es ein $r > 0$ gibt, so
      dass f\"ur alle $t$ mit $|t - t_0| < r$ gilt:
      $$f(t) < f(t_0) \quad (\mbox{bzw. } f(t) > f(t_0) )$$

      \paragraph{Satz:} Ist $f \in \fsetc[2]{X}{\R}$ und $t_0 \in X$ mit
        $f'(t_0) = 0$ und $f''(t_0) < 0$ (bzw. $f''(t_0) > 0$), dann hat $f$
        in $t_0$ ein striktes lokales Maximum (striktes lokales Minimum).

      \subsubsection*{Beweis:}
        $\begin{array}{rcl}
          f(t) &=& f(t_0) + f'(t_0) (t - t_0) + \frac{1}{2}
             \int\limits_{t_0}^t f''(s) (t - s)^2 \dx[s] \\
          &=& f(t_0) + \frac{1}{2} \int\limits_{t_0}^t f''(s) (t - s)^2 \dx[s]
        \end{array}$

        Weil $f'$ stetig ist, gibt es ein $r > 0$ mit $f'(s) < 0$ f\"ur
        alle $s$ mit $|s - t_0| < r$.

        F\"ur $|t - t_0| < r$ und $t \ne t_0$ ist also $\int\limits_{t_0}^t
        f'(s) \cdot (t - s)^2 \dx[s] < 0$, also $f(t) < f(t_0)$

        F\"ur das strikte lokale Minimum argumentiert man entsprechend.

     \subsubsection*{Beispiele:}
       \marginnote{Beispiel \S8.18}
       \begin{itemize}
         \item{$f(t) = \cos(t) \qquad f'(x) = -\sin(x)
             \qquad f''(x) = -\cos(x)$

           $f'(0) = 0 \qquad f''(0) = -\cos{0} = -1$

           Lokales Maximum in $0$.}
         \item{$f(t) = t^3 \qquad f'(t) = 3t^2 \qquad f''(t) = 6t$

           $f'(0) = 0 \qquad f''(0) = 0$

           Hier liefert der Satz keine Information.}
         \item{$f(t) = t^4 \qquad f'(t) = 4t^3 \qquad f''(t) = 12t^2$

           $f'(0) = 0 = f''(0)$

           Hier liefert der Satz auch keine Information, obwohl $0$ ein
           Minimum ist.}
       \end{itemize}

  % =============== SECTION 9 ===============
  \newpage
  \section{Algorithmen}
    \marginnote[Vorlesung 29.01.2004\\]{}
    \index{Polynome, Interpolation}
    \index{Interpolationsproblem}
    Als erstes Problem betrachten wir die {\bf Polynominterpolation}.

    \subsection{Polynominterpolation}
      \index{St\"utzstellen}
      \index{Polynome}
      Gegeben sind {\em St\"utzstellen} $s_0$, $s_1$, $\dots$, $s_n$ und
      {\em Wertvorgaben} $w_0$, $w_1$, $\dots$, $w_n$. Gesucht ist eine
      Polynomfunktion $f$ mit $f(s_0) = w_0$, $f(s_1) = w_1$, $\dots$,
      $f(s_n) = w_n$.
      \medskip

      % TODO: Graph

      Die St\"utzstellen, Wertvorgaben und L\"osungen sind im Folgenden
      {\em reell} oder {\em komplex}.

      \subsubsection{\"Uberlegungen \"uber Polynome}
        \marginnote{Paragraph \S9.1}
        \index{Polynome, Grad}
        \index{Grad eines Polynoms}
        Sei $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ eine
        Polynomfunktion. Die Variable $x$ und die Koeffizienten $a_0$,
        $\dots$, $a_n$ d\"urfen {\em reell} oder {\em komplex} sein.
        \medskip

        Ist $a_n \neq 0$ so hei{\ss}t $n$ der Grad des Polynoms $f$,
        $n = \deg(f)$.

        F\"ur das Nullpolynom setzt man $\deg(0) = -\infty$.

      \subsubsection*{Beispiele}
        \begin{itemize}
          \item{$\deg(f) = 0 \quad$ falls $f(x) = 3$ f\"ur alle $x$}
          \item{$\deg(f) = 1 \quad$ falls $f(x) = 3x-7$ f\"ur alle $x$}
          \item{$\deg(f) = 2 \quad$ falls $f(x) = (3x-7)(x+5)$ f\"ur alle $x$}
        \end{itemize}

        Der Grad ist {\bf wohldefiniert}, d.h. die Koeffizienten $a_n$,
        $\dots$, $a_0$ lassen sich von der Polynomfunktion eindeutig
        ablesen:
        $$f(0) = a_0, \quad f'(0) = a_1, \quad f''(0) = 2a_2, \quad
        \dots, \quad f^{(k)}(x) = k!a_k$$

      \subsubsection{Rechenregeln f\"ur den Grad}
        F\"ur Polynome gilt stets:
        \begin{itemize}
          \item{$\deg(f \cdot g) = \deg(f) + \deg(g)$}
          \item{$\deg(f+g) \leq \max\{\deg(f), \deg(g)\}$}
        \end{itemize}

        \paragraph{Beispiel:}$\deg \left( (x^7 + 3) + (4x - x^7) \right) =
          \deg(4x+3) = 1$
          \medskip

        Ist $f$ ein Polynom mit $\deg(f) = n$, so ist $g(x) = f(x+x_0)$
        ebenfalls ein Polynom mit $\deg(f) = \deg(g)$.

      \subsubsection{Polynome und Nullstellen}
        \marginnote{Satz \S9.2}
        \index{Polynome, Nullstellen}
        \index{Nullstellen}
        Ist $f$ ein Polynom mit $\deg(f) \geq 0$, und ist $x_0$ eine
        {\bf Nullstelle} (d.h. $f(x_0) = 0$), dann gibt es ein Polynom
        $g$ mit $f(x) = g(x)(x-x_0)$ mit $\deg(g) = \deg(f) - 1$.

        \paragraph{Beweis:}Falls $x_0 = 0$ eine Nullstelle ist, so ist
          $a_0 = 0$, also:
        $$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x
        = (a_nx^n + \dots + a_1)(x-0)$$

        F\"ur $x_0$ beliebig, betrachte $h(x) = f(x+x_0)$, dann ist $h(0)
        = f(x_0) = 0$ also $h(x) = h_1(x-x_0)(x-x_0) = g(x)$.\hfill$\square$

        \paragraph{Folgerung:}
          \marginnote{Folgerung \S9.3}
          Ist $f$ ein Polynom mit $\deg(f) = n \geq 0$
          (d.h. $f \neq 0$), dann hat $f$ h\"ochstens $n$ verschiedene
          Nullstellen.

        \paragraph{Beweis:}Seien $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_r$ Nullstellen
          von $f$. Dann gilt nach dem vorigen Satz:
        $$\underbrace{f(x)}_{\deg = n} =
          \underbrace{h(x)}_{\deg(h) = n-r \geq 0}
          (x - x_1) (x - x_2) \cdots (x - x_r)$$

      \subsubsection{Das Lagrange-Polynom}
        \marginnote{Definition \S9.4}
        \index{Lagrange-Polynom}
        \index{Polynome, Lagrange}
        Seien $s_0$, $s_1$, $\dots$, $s_n$ gegeben mit $s_i \neq s_j$ f\"ur
        $i \neq j$. Das $k$-te {\bf Lagrange-Polynom} ist:
        $$L_k(x) = \frac{x-s_0}{s_k-s_0} \cdot \frac{x-s_1}{s_k-s_1}
        \cdot \cdots \cdot \frac{x-s_{k-1}}{s_k-s_{k-1}} \cdot
  \frac{x-s_{k+1}}{s_k-s_{k+1}} \cdot \cdots \cdot
  \frac{x-s_n}{s_k-s_n}$$

        Dann ist $L_k(x)$ ein Polynom vom Grad $n$.

        $$L_k(s_j) = \left\{ \begin{array}{l}
            0 \quad \mbox{ falls } k \neq j \\
            1 \quad \mbox{ falls } k = j
          \end{array} \right.$$

        Setzt man $f(x) = w_0L_0(x) + w_1L_1(x) + \cdots + w_nL_n(x)$ dann
        gilt $\deg(f) \leq n$.
        \medskip

        Weiter gilt: $f(s_j) = w_0L_1(s_j) + \cdots + w_nL_n(s_j) =
        u_jL_j(s_j) = w_j$
        \medskip

        \paragraph{Satz:}
          \marginnote{Satz \S9.5}
          Seien $s_0$, $\dots$, $s_n$ paarweise verschiedene St\"utzstellen.
          F\"ur Wertvorgaben $w_0$, $\dots$, $w_n$ gibt es genau ein
          Polynom $f$ mit $f(s_j) = w_j$ f\"ur alle $j = 0 \dots n$ mit
          $\deg(f) \leq n$.

        \paragraph{Beweis:}Eine explizite L\"osung f\"ur $f$ haben wir mit
          den Lagrange-Polynomen schon gefunden. Eine andere L\"osung gibt
          es nicht, denn angenommen $f_1$ w\"are eine weitere L\"osung mit
          $\deg(f_1) \leq n$, $f_1(s_j) = w_j$ mit $j = 0 \dots n$,
          $\deg(f) \leq n$, $f(s_j) = w_j$ mit $j = 0 \dots n$. Also
          gilt $\deg(f-f_1) \leq n$ und $(f-f_1)(s_j) = w_j - w_j = 0$.
          Also hat $f-f_1$ $n+1$ Nullstellen. Also ist $f = f_1$.
          \hfill$\square$

        \paragraph{Bemerkung:}
          \marginnote{Bemerkung \S9.6}
          Betrachte  $h(x) = q(x)(x-s_0)(x-s_1)\cdots(x-s_n)$ f\"ur $q$
          beliebig. Dann gilt $h(s_j) = 0$ f\"ur alle $j$, d.h. $h+f$
          l\"ost auch das Interpolationsproblem, aber $\deg(h+f) \geq n$
          im Allgemeinen.

      \subsubsection{Anzahl der Rechenoperationen}
        \marginnote[Vorlesung\\02.02.2004]{}
        \index{Landau'sches O-Symbol}
        \index{O-Notation}
        \paragraph{Gesucht:}
          Eindeutige L\"osung f\"ur das Polynom $f$ mit $\deg(f) \le n$ und den
          St\"utzstellen $s_1, \dots, s_n$ mit $f(s_j) = q_j$.
          \medskip

          Insbesondere bestimmt das $n + 1$-Tupel $(w_0, w_1, \dots, w_n)$ das
          Polynom eindeutig.

        \marginnote{Definition \S9.7}
        Wir betrachten jetzt wieviel Rechenoperationen ben\"otigt werden.

        \paragraph{Schreibweise:}
          Ist $\series{c}{k}$ eine Folge nicht negativer Zahlen und
          $\series{a}{k}$ eine weitere solche Folge, dann sagt man, $a_k$ ist
          von der Ordnung $O(c_k)$ falls es eine Konstante $K \ge 0$ gibt mit:
          $$c_k \cdot K \ge a_k \quad \mbox{f\"ur alle $k$}$$

          Das Ordnungssymbol hei{\ss}t auch Landau'sches $O$-Symbol.

        \paragraph{Beispiel:}
          Sind die Lagrange-Polynome berechnet, so ist die Anzahl der
          Rechenoperationen, die man braucht um
          $$f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n a_k L_k(x)$$

          zu berechnen: $O\big((n + 1)^2\big)$

      \subsubsection{Optimierung der Rechenoperationen}
        Schnelle Auswertung von Polynomen:

        \paragraph{Naiv:}
          $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n$$

          \begin{center}
            \begin{tabular}{rl}
              $n$ & Additionen \\
              $\frac{n (n + 1)}{2}$ & Multiplikationen
            \end{tabular}
          \end{center}

        \paragraph{Horner-Schema:}
          $$f(x) = ((a_n x + a_{n - 1}) x + a_{n - 2}) x + \cdots a_0$$

          \begin{center}
            $\left.
            \begin{tabular}{rl}
              $n$ & Additionen \\
              $n$ & Multiplikationen
            \end{tabular}
            \right\} O(n)$ Rechenoperationen
          \end{center}

        \paragraph{Problem:}
          \marginnote{Problem \S9.8}
          Gegeben sind die Polynome
          $$p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 \qquad \mbox{mit } \deg(p) \le n$$
          $$q(x) = b_n x^n + \cdots + b_0 \qquad \mbox{mit } \deg(q) \le n$$
          $$p(x) \cdot q(x) = c_{2n} x^{2n} + \cdots + c_0$$

          Frage: Wie berechnet man die Koeffizienten $c_{2n}, \dots, c_0$?
          Es gilt:
          $$c_k = \sum\limits_{j = 0}^{2n} a_j b_{k - j}$$

           Die direkte Methode
          braucht $O(n^2)$ Rechenoperationen.

        \paragraph{Idee zur L\"osung:}
          \marginnote{Idee \S9.9}
          W\"ahle St\"utzstellen $s_0, s_1, \dots, s_{2n}$ dann gilt:
          $$f(s_j) = p(s_j) \cdot q(s_j)$$

          Rekonstruiere $f$ aus den Daten $f(s_j), j = 0, \dots, 2n$ durch
          Interpolation.

      \subsubsection{Die \texorpdfstring{$n$}{n}-ten Einheitswurzeln
          in \texorpdfstring{$\C$}{C}}
        \marginnote{Definition \S9.10}
        \index{Einheitswurzeln}
        F\"ur $n  \in \N, n \ge 2$ betrachte L\"osungen der Gleichung
        $x^n = 1$, das hei{\ss}t die Nullstellen von
        $$x^n - 1$$

        Dieses Polynom hat {\em h\"ochstens} $n$ verschiedene Nullstellen
        (3. Folgerung).
        Na"-t\"urlich gibt es h\"ochstens $2$ reelle Nullstellen.
        Es gibt in $\C$ genau $n$ Nullstellen. Setze:
        $$\vartheta = \cos\left(\frac{2 \pi}{n}\right) + i \cdot
        \sin\left(\frac{2 \pi}{n}\right) \in \C$$

        Es gilt: F\"ur $0 \le k < l \le n - 1$ ist $\vartheta^k \ne
        \vartheta^l$ und $\vartheta^{k \cdot n} = 1$.
        \medskip

        Die komplexen Nullstellen des Polynoms $x^n - 1$ sind also genau:
        $$1 = \vartheta^0, \vartheta, \vartheta^2, \vartheta^3, \dots,
        \vartheta^{n - 1}$$

        \paragraph{Beachte:}
          $\vartheta = \cos\left(\frac{2 \pi}{n}\right) + i \cdot
          \sin\left(\frac{2 \pi}{n}\right)$ h\"angt vom gegebenen $n$ ab.
          Es gilt immer: $\vartheta^{k + n} = \vartheta^k$. Nach der 3.
          Folgerung gilt also auch
          $$(x^n - 1)^n = (x - 1) (x - \vartheta) (x - \vartheta^2) \cdots
          \quad\mbox{(Abspaltung der Nullstellen)}$$

      \subsubsection{Gerade und ungerade Teilpolynome}
        \marginnote{\"Uberlegung \S9.11}
        \index{Polynome, Teilpolynome}
        \index{Teilpolynome}
        Jedes Polynom $f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$ l\"asst sich zerlegen in
        einen {\bf geraden Teil} und einen {\bf ungeraden Teil}. Es gilt:
        \begin{eqnarray*}
          f(x)   &=& f_g(x^2) + x \cdot f_u(x^2) \\
          f_g(t) &=& a_0 + a_2 t + a_4 t^2 + \cdots \\
          f_u(t) &=& a_1 + a_3 t + a_5 t^2 + \cdots \\
          f_g(x^2) + x \cdot f_u(x^2) &=& a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \cdots \\
                &+& x(a_1 + a_3 x^2 + a_5 x^4 + \cdots)
        \end{eqnarray*}

        \paragraph{Algorithmus:}
          \marginnote{Algorithmus \S9.12}
          Gegeben sind Polynome $p$ und $q$, wir suchen $p \cdot q$.
          \bigskip

          \begin{tabular}{ll}
            1. Schritt: & Auswerten von $p$ und $q$ auf geeigneten
              Einheitswurzeln. \\
              & Sei $m = 2^r > \deg(p), \deg(q)$.
              \medskip\\
            Setze: & $\vartheta = \cos\left(\frac{2 \pi}{m}\right) +
              i \cdot \sin\left(\frac{2 \pi}{m}\right) \qquad$
              ($m$-te Einheitswurzel)
              \medskip\\
            Gesucht: & $p(1), p(\vartheta), p(\vartheta^2), \dots,
              p(\vartheta^{n - 1})$ und \\
              & $p(\vartheta^k) = p_g(\vartheta^{2 k}) +
              \vartheta p_u(\vartheta^{2 k})$
              \medskip\\
            Daten: & $p(x) = a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_0$ \\
              & $A = (a_0, a_1, a_2, \dots, a_{m - 1})$
              \medskip\\
            Ausgabe: & $P\big(p(1), p(\vartheta), p(\vartheta^2), \dots,
              p(\vartheta^{n - 1})\big)$
          \end{tabular}

        %\verb|procedure Ausw(m, A, |$\tt\alpha$\verb|, P)|
        \pagebreak
\begin{verbatim}
  procedure Ausw(m, A, alpha, P)
    if m = 1 then
      P := (A(0))
    else
      m2 := m / 2

    AG := (A(0), A(2), ..., A(m - 2))
    AU := (A(1), A(3), ..., A(m - 1))

    Ausw(m2, AG, alpha^2, PG)
    Ausw(m2, AU, alpha^2, PU)

    for j := 0 to m2 - 1 do
      P(j) := PG(j) + theta * PU(j)

    P(j + m2) := PG(j) - theta * PU(j)
  end.
\end{verbatim}

        Wir haben benutzt, dass $\vartheta^{k + m_2} = - \vartheta^k$ und
        $\vartheta^0, \vartheta^2, \vartheta^4, \dots$ die
        $\frac{m}{2}$-ten Einheitswurzeln sind.
        \medskip

        Anzahl der ben\"otigten Multiplikationen

        $M(m) =$ \#Multiplikationen f\"ur $m = 2^r$
        \medskip

        \begin{tabular}{ll}
          $m = 1$: & $M(1) = 0$ \\
          $m = 2^r > 1$: & Wir erhalten wir rekursiv $M(2^r) = 2 M(2^{r-1})$
        \end{tabular}
        \bigskip

        Also gilt $M(m) = \frac{m}{2} \log_2(m)$. Die Anzahl der
        Rechenoperationen zum Berechnen
        $$P = (p(1), p(\vartheta), \dots, p(\vartheta^{m - 1})$$

        mit $O(m \log_2 m)$

      % TODO
      \subsubsection{Das Interpolationsproblem}
        \marginnote[Vorlesung 05.02.2004\\]{Paragraph \S9.14}
        \index{Vandermondsche Matrix}
        \index{Polynome, Interpolation}
        Ist $z = (z_0, z_1, \dots, z_{m-1}) \in \C^m$, setze
        $$V(z) = \left(
          \begin{array}{ccccc}
            1 & z_0 & z_0^2 & \cdots & z_0^{m-1} \\
            1 & z_1 & z_1^2 & \cdots & z_1^{m-1} \\
            \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
            1 & z_{m-1} & z_{m-1}^2 & \cdots & z_{m-1}^{m-1}
          \end{array} \right)$$

        $V(z)$ ist eine $m \times m$-Matrix, die {\bf Vandermondsche
        Matrix} zu $z$.
        \medskip

        Ist $a = (a_0, a_1, \dots, a_{m-1})$, so ist
        $$V(z) \cdot a^T = \left(
          \begin{array}{c}
            a_0 + a_1z_0 + a_2z_0^2 + \dots + a_{m-1}z_0^{m-1} \\
            \vdots
          \end{array} \right)$$

        das hei{\ss}t, f\"ur $p(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_{m-1}x^{m-1}$
        gilt:
        $V(z) a^T = \left(
          \begin{array}{c}
            p(z_0) \\
            p(z_1) \\
            \vdots \\
            p(z_{m-1})
          \end{array} \right)$.
        \medskip

        \paragraph{Idee:} Man multipliziere diese Gleichung von links
          mit $V(z)^{-1}$, dann erh\"alt man:
          $$a^T = V(z)^{-1} = \left(
          \begin{array}{c}
            p(z_0) \\
            p(z_1) \\
            \vdots \\
            p(z_{m-1})
          \end{array} \right)$$

        \paragraph{Satz:}
          \marginnote{Satz \S9.15}
          Sei $z = (\vartheta^0, \vartheta^1, \dots, \vartheta^{m-1})$ und
          $w = (\vartheta^0, \vartheta^{-1}, \dots, \vartheta^{1-m})$. Dann
          gilt:
          $$V(z) \cdot V(w) = \left(
            \begin{array}{ccc}
              m & \cdots & 0 \\
              \vdots & \ddots & \vdots \\
              0 & \cdots & m
            \end{array} \right)
            \quad \Leftrightarrow \quad V(z)^{-1} = \frac{1}{m}V(w)$$

        Beweis: $V(z)_{ij} = z_i^j = (\vartheta^i)^j = \vartheta^{ij}$,
        $V(w)_{jk} = z_j^{-k} = (\vartheta^{-j})^k = \vartheta^{-jk}$,
        also $$\left(V(z) \cdot V(w)\right)_{i,k} = \sum_{j=0}^{m-1}
        \vartheta^{ij} \cdot \vartheta^{-jk} = \sum_{j=0}^{m-1}
        \vartheta^{j(i-k)} = \left\{
          \begin{array}{ll}
            m & \mbox{falls } i=k \\
            \frac{\vartheta^{(i-k)m} - 1}{\vartheta^{i-k} - 1} & \mbox{falls }
                i \neq k
          \end{array} \right.$$

        Damit haben wir das Interpolationsproblem gel\"ost!
        $$(a_0, a_1, \dots, a_{m-1}) = V(\vartheta^0, \dots, \vartheta^{1-m})
        \cdot \left( \begin{array}{c} p(\vartheta^0) \\ \vdots \\
        p(\vartheta^{m-1}) \end{array} \right)$$

        Daten: $(p(1), p(\vartheta), p(\vartheta^2), \dots,
        p(\vartheta^{m-1}))$

        Gesucht: $(a_0, a_1, \dots, a_{m-1})$ Koeffizienten
        \bigskip

        \verb|  procedure Koeff (m, B, |$\vartheta$\verb|, P)|\\
        \verb|    Ausw(m, B, |$\vartheta^{-1}$\verb|, C)|\\
        \verb|    P = |$\frac{1}{m}$\verb| C|\\
        \verb|  end|
        \medskip

        Wenn man das aufruft mit $B=(p(1), p(\vartheta), \dots,
        p(\vartheta^{m-1}))$ erh\"alt man $P = (a_0, a_1, \dots, a_{m-1})$

      \subsubsection{Zusammenfassung}
        \marginnote{Paragraph \S9.16}
        Gegeben sind Polynome $p$ und $q$, die multipliziert werden sollen.
        \begin{itemize}
          \item{W\"ahle $l$ minimal mit $z^l > 2 \deg(p), 2 \deg(q)$.}
          \item{Rufe \verb|Ausw| f\"ur $p$ und $q$ auf, um $(p(\vartheta^0),
            \dots, p(\vartheta^{m-1}))$ und \\ $(q(\vartheta^0), \dots,
            q(\vartheta^{m-1}))$ zu berechnen.}
          \item{Bestimme $B=(p(\vartheta^0) \cdot q(\vartheta^0), \dots,
            p(\vartheta^{m-1}) \cdot q(\vartheta^{m-1}))$.}
          \item{Berechne Koeffizienten des zugeh\"origen
            Interpolationspolynom mit \verb|Koeff|.}
        \end{itemize}

        \paragraph{Rechenaufwand:} $O(m \log_2 m)$ mit $m = 2^l$, $\deg(p),
        \deg(q) \leq k$.

        Aufwand: $O(k \log_2 k)$.
        \medskip

        Das Verfahren ist gut, wenn $p$ und $q$ \"ahnlichen Grad haben.
        Wegen
        $$\vartheta = \cos\left(\frac{2 \pi}{m}\right) +
        i \sin\left(\frac{2 \pi}{m}\right)$$

        braucht man eine gute Gleitzahlarithmetik, selbst f\"ur ganzzahlige
        Polynome!

      \subsubsection{Anwendung}
        \marginnote{Paragraph \S9.17}
        Schnelle Multiplikation gro{\ss}er Zahlen. $M$, $N$ nat\"urliche
        Zahlen in $g$-adischer Entwicklung,
        \begin{eqnarray*}
          \quad M &=& a_0 + ga_1 + g^2a_2 + \dots + g^ka_k \\
          \quad N &=& b_0 + gb_1 + g^2b_2 + \dots + g^kb_k
        \end{eqnarray*}

        Unser Algorithmus bestimmt $p \cdot q$ f\"ur
        $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_kx^k$ und
        $q(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \dots + b_kx^k$.
        $$N \cdot M = p(g) \cdot q(g) = c_0 + c_1g + c_2g^2 + \dots +
            c_{2k}g^{2k}$$

        Rechenaufwand: $O(k \log_2 k)$

        \paragraph{Literatur:}
          \begin{itemize}
            \item{Sch\"onhage-Strassen: {\em Schnelle Multiplikation
              gro{\ss}er Zahlen}, \\
              Computing 7 (1971), Seiten 281-292}
            \item{Knuth, {\em Arithmetik}, Springer, Berlin, 2001.}
          \end{itemize}

      \subsection{Das Newton-Verfahren}
        \index{Newton-Verfahren}
        Nun betrachten wir das {\bf Newton-Verfahren} zur Bestimmtung von
        {\bf Nullstellen}.

        \subsubsection{Problemstellung}
          Funktion $f\colon X \longrightarrow \R$, gesucht sind die Nullstellen
          von $f$, also $f(x_0) = 0$
          \medskip

        % Graph: Newton-Verfahren.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(100,100)
            \put(10,10){\vector(1,0){90}}
            \put(10,10){\vector(0,1){90}}
            \put(20,0){\qbezier(0,0)(40,20)(50,90)}
            \put(37,0){\line(1,2){40}}
            \put(35,7){\line(0,1){6}}
            \put(42,7){\line(0,1){6}}
            \put(57,7){\line(0,1){6}}
            \put(30,15){\makebox(0,0){$z$}}
            \put(45,0){\makebox(0,0){$x_1$}}
            \put(60,0){\makebox(0,0){$x_0$}}
            \put(60,90){\makebox(0,0){$f$}}
            \put(100,15){\makebox(0,0){$x$}}
            \put(22,100){\makebox(0,0){$f(x)$}}
          \end{picture}
          \caption{Newton-Verfahren}
        \end{figure}

        Idee: $f(z) = 0$ Nullstelle, $x_0$ liegt {\em nahe} bei $z$.
        Konstruiere bessere Approximation $x_1, x_2, x_3, \dots$ bis eine
        gute N\"aherungsl\"osung f\"ur $z$ gefunden ist.

        $x_1$ ist Nullstelle der Tangente. Die Steigung ist $f'(x_0) =
        \frac{f(x_0)}{x_0 - x_1}$.
        $$x_0 - x_1 = \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \qquad
        x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$

        Setze $\varphi(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$. $x_1 = \varphi(x_0)$,
        $x_2 = \varphi(x_1)$, $\dots$, $x_{n+1} = \varphi(x_n)$.
        \medskip

        Konvergiert das gegen $z$?

        \subsubsection{Konvergenz des Newton-Verfahrens}
          \marginnote{Satz \S9.18}
          Sei $f$ eine C$^2$-Funktion, $f(z) = 0$ und $f'(z) \neq 0$.
          Dann konvergiert das Newton-Verfahren gegen $z$, sogar gut,
          falls $x_0$ nahe genug bei $z$ liegt.

          \paragraph{Beweis:}Wegen $f'(z) \neq 0$ gibt es ein $r > 0$, so dass
          $f'(x) \neq 0$ falls $|x - z| < r$. Dann ist auch $\varphi(x) =
          x - \frac{f(x)}{f'(x)}$ ebenfalls eine C$^2$-Funktion.
          $$\varphi'(x) = 1 - \frac{1}{f'(x)^2} \cdot \left( f'(x)^2
          + f(x) f''(x) \right)$$

          also $\varphi'(x) = 0$. Nach der Taylor-Formel gilt:

          $\varphi(x) - \varphi(z) = (x-z)^2 \cdot \underbrace{\varphi''(s)
          \frac{1}{2}}_{\leq k}$
          f\"ur ein $s$ mit $|z-s| \leq |x-z| \leq r$.
          $$|\varphi(x) - \varphi(z)| = |x - z|^2 \cdot k$$

          Die Iteration liefert also eine Nullfolge, im Grenzwert erhalten
          wir $\varphi(z) = z$. \hfill $\square$

        \subsubsection*{Beispiele}
          \begin{itemize}
            \item{{\bf Wurzelziehen:} $f(x) = a-x^2 \\
                \varphi(x) = \frac{1}{2}x + \frac{9}{2x}$ \\
                $x_{n+1} = \frac{1}{2} x_n + \frac{9}{2x_n}$}
            \item{{\bf Division:} $f(x) = \frac{1}{x} - a$ \\
                $\varphi(x) = 2x - ax^2$ \\
                $x_{n+1} = 2x_n - ax_n^2$}
          \end{itemize}

  % Analysis II Skript
  \newpage

  % =============== SECTION 10 ===============
  \section{Metrische R\"aume und Normen}
    \index{Metriken}
    \index{Abstandsbegriff}
    \marginnote[Vorlesung\\ 13.04.2004\\]{}
    Gegeben sei eine (nicht leere) Menge $X$. Wir wollen auf $X$ einen
    {\bf Abstandsbegriff}. Der Abstand zweier Elemente in $X$ soll eine
    nicht negative reelle Zahl sein. Eine Einheit wie zum Beispiel
    {\em Kilometer} oder {\em Stunden} lassen wir weg, weil wir sie nicht
    brauchen.

    \paragraph{Erinnerung:}$X \times X$ ist die Menge aller {\bf Paare}
    $(u, v)$ mit $u, v \in X$.

    \subsection{Die Axiome der Metrik}
      \marginnote{Definition \S10.1}
      Eine Abbildung $d\colon X \times X \longrightarrow \R$ hei{\ss}t
      {\bf Metrik} auf $X$, falls folgendes gilt:
      \bigskip

      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        ($M_1$) & $d(u,v) = d(v,u) \geq 0$ gilt f\"ur alle $u,v \in X$ \\
               & ({\bf symmetrisch}, {\bf positiv}) \\
        ($M_2$) & $d(u,v) = 0$ genau dann, wenn $u = v$ gilt. \\
        ($M_3$) & $d(u,w) \leq d(u,v) + d(v,w)$ f\"ur alle $u, v, w \in X$ \\
        & ({\bf Dreiecksungleichung})
    \end{tabular}
    \medskip

    % Graph: Die Dreiecksungleichung.
    \begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{picture}(112,25)
      \put(6,0){\vector(2,1){50}}
      \put(56,25){\vector(-2,-1){50}}
      \put(56,25){\vector(2,-1){50}}
      \put(106,0){\vector(-2,1){50}}
      \put(6,0){\vector(1,0){100}}
      \put(106,0){\vector(-1,0){100}}
      \put(0,0){\makebox(0,0){$u$}}
      \put(112,0){\makebox(0,0){$w$}}
      \put(56,30){\makebox(0,0){$v$}}
      \put(56,2){\makebox(0,6){$d(u,w)$}}
      \put(20,18){\makebox(0,6){$d(u,v)$}}
      \put(92,18){\makebox(0,6){$d(v,w)$}}
    \end{picture}
    \caption{Die Dreiecksungleichung}
    \end{figure}

    \index{Metriken, metrischer Raum}
    Ist $d$ eine Metrik auf $X$, so hei{\ss}t $(X,d)$ {\bf metrischer
    Raum}. Die Axiome ($M_1$), ($M_2$) und ($M_3$) formalisieren
    Alltagserfahrungen mit {\em physikalischen} Abst\"anden.

    \subsection{Beispiele}
      \marginnote{Beispiel \S10.2}
      \paragraph{Beispiel (a)} $X$ mit reeller Metrik:
      $$X = \R,\; d(u,v) = |u - v|$$

      Behauptung: Das ist eine Metrik. ($M_1$) gilt offensichtlich,
      ebenso ($M_2$). Nach Analysis I \S1.4 gilt auch ($M_3$).

      \paragraph{Beispiel (b)} $X$ mit diskreter Metrik:
        $$d(u,v) = \left\{
          \begin{array}{lll}
          0 & \mbox{falls} & u = v \\
          1 & \mbox{falls} & u \neq v
        \end{array} \right.$$

      ($M_1$) und ($M_2$) gelten. Zu ($M_3$): F\"ur $d(u,w) = 0$ ist nichts
      zu zeigen. Falls $d(u,w) = 1 \Rightarrow u \neq w$. F\"ur jedes
      $v \in X$ gilt dann: $v \neq w$ oder $v \neq u$, also $d(v,w) = 1$
      oder $d(v,u) = 1$, also $d(u,w) \leq d(v,w) + d(v,u)$.
      \medskip

      \index{Metriken, diskrete}
      Diese Metrik hei{\ss}t {\bf diskrete Metrik} (weil der Wertebereich
      nur bestimmte Werte annehmen kann).

      \paragraph{Beispiel (c)} Computerbildschirm:
        \begin{eqnarray*}
          & I = \{1, 2, 3, \dots, 1024\} \quad J = \{1, 2, 3, \dots, 768\}
            \quad X = I \times J \\
          & d\colon X \times X \longrightarrow \R \qquad
            d((u_1, v_1), (u_2, v_2)) = |u_1 - u_2| + |v_1 - v_2|
        \end{eqnarray*}

      ($M_1$) und ($M_2$) gelten. ($M_3$) gilt auch:
      \begin{eqnarray*}
        |u_1 - u_3| & \leq & |u_1 - u_2| + |u_2 - u_3| \\
        |v_1 - v_3| & \leq & |v_1 - v_2| + |v_2 - v_3|
      \end{eqnarray*}

      also $d((u_1, v_1), (u_3, v_3)) \leq d((u_1, v_1), (u_2, v_2)) +
      d((u_2, v_2), (u_3, v_3)) \Rightarrow (M_3)$

      % Graph: Pixelabstand am Bildschirm.
      \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{picture}(100,35)
          \put(6,0){\vector(1,0){88}}
          \put(94,0){\vector(-1,0){88}}
          \put(94,0){\vector(0,1){25}}
          \put(94,25){\vector(0,-1){25}}
          \put(6,7){\makebox(0,0){$(u_1, v_1)$}}
          \put(75,25){\makebox(0,0){$(u_2, v_2)$}}
        \end{picture}
        \caption{Pixelabstand am Bildschirm}
      \end{figure}

      \paragraph{Beobachtung:}
          \index{Metrischer Teilraum}
          \marginnote{Beobachtung \S10.3}
          Ist $(X, d)$ ein metrischer Raum, und ist $A \subseteq X$ eine
          (nicht leere) Teilmenge, so ist die Einschr\"ankung der Metrik
          auf $A \times A$ wieder eine Metrik, man sagt $(A,d)$
          ist ein {\bf metrischer Teilraum} (oder {\bf Unterraum})
          von $(X,d)$.

    \subsection{Die offene \texorpdfstring{$r$}{r}-Kugel}
      \index{$r$-Kugel}
      \marginnote{Definition \S10.4}
      Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $r \in \R$, $r > 0$. \\
      F\"ur $u \in X$ ist $B_r(u) = \{v \in X \;|\; d(u,v) < r\}$
      {\bf die offene $r$-Kugel um $u$}.
      \medskip

      In den vorherigen Beispielen sehen die Kugeln wie folgt aus:

      \paragraph{Zu Beispiel (a)} $X$ mit reeller Metrik:
        $$B_r(u) = \; ]u-r, u+r[ \; \subseteq \R$$

      % Graph: Offene r-Kugel in R.
      \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{picture}(100,26)
          \put(6,20){\line(1,0){88}}
          \put(50,17){\line(0,1){6}}
          \put(20,14){\line(0,1){12}}
          \put(20,14){\line(-1,0){3}}
          \put(20,26){\line(-1,0){3}}
          \put(80,14){\line(0,1){12}}
          \put(80,14){\line(1,0){3}}
          \put(80,26){\line(1,0){3}}
          \multiput(20,20)(1,0){60}{\line(0,1){1}}
          \put(50,5){\makebox(0,0){$u$}}
          \put(20,5){\makebox(0,0){$u - r$}}
          \put(80,5){\makebox(0,0){$u + r$}}
        \end{picture}
        \caption{Offene $r$-Kugel in $\R$}
      \end{figure}

      \paragraph{Zu Beispiel (b)} $X$ mit diskreter Metrik:
      \begin{eqnarray*}
        B_1(u) & = & \{v \in X | d(u,v) < 1\} = \{u\} \\
        B_2(u) & = & \{v \in X | d(u,v) < 2\} = X
      \end{eqnarray*}

      \pagebreak
      \paragraph{Zu Beispiel (c)} Computerbildschirm:
      \begin{eqnarray*}
        B_1((u_1, v_1)) & = & \{(u_1, v_1)\} \\
        B_\frac{3}{2}((u_1, v_1)) & = & \{(u_1, v_1), (u_1 \pm 1, v_1),
         (u_1, v_1 \pm 1)\}
      \end{eqnarray*}

      % Graph: Offene r-Kugel von Bildschirmpixeln.
      \begin{figure}[ht]
      \centering
      \begin{picture}(100,20)
        \put(50,13){\circle*{2}}
        \put(50,26){\circle*{2}}
        \put(50,0){\circle*{2}}
        \put(63,13){\circle*{2}}
        \put(37,13){\circle*{2}}
        \put(50,5){\makebox(0,0){\scriptsize $(u_1, v_1)$}}
      \end{picture}
      \caption{Offene $r$-Kugel von Bildschirmpixeln}
      \end{figure}

    \subsection{Folgen und metrische R\"aume}
      \index{Folgen}
      \index{Folgen, Konvergenz}
      \index{Konvergenz}
      Definition: Eine {\bf Folge} in einem metrischen Raum $(X,d)$ ist eine
      Abbildung $\N \longrightarrow X$, die jeder nat\"urlichen Zahl $n$
      ein Folgeglied $x_n \in X$ zuordnet. Schreibe wie gehabt
      $\series{x}{n}$.
      \medskip

      \marginnote{Definition \S10.5}
      Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $\series{x}{n}$ eine Folge in $X$.
      Wir sagen $\series{x}{n}$ {\bf konvergiert} gegen $x \in X$,
      $\liminfty{n} x_n = x$, falls gilt: F\"ur jedes $\varepsilon > 0$
      gibt es ein $N \in \N$ (abh\"angig von $\varepsilon$), so dass f\"ur
      alle $k \geq N$ gilt $d(x_k, x) < \varepsilon$.
      $$d(x,y) < \varepsilon \quad \mbox{ist \"aquivalent zu} \quad
      y \in B_\varepsilon(x)$$

      Eine Folge hat h\"ochstens {\em einen} Grenzwert: Falls $\liminfty{n}
      x_n = x$ und $\liminfty{n} x_n = y$, so gilt $x=y$, denn sonst w\"are
      $d(x,y) > 0$. Setze $\varepsilon = \frac{1}{2} d(x,y) > 0$. F\"ur
      $k \geq N$ gilt dann $d(x_k,x) < \varepsilon$, $d(x_k,y) <
      \varepsilon$. Mit der Dreiecksungleichung folgt:
      $$d(x,y) \leq d(x,x_k) + d(x_k,y) < 2\varepsilon = d(x,y)
      \quad \mbox{(Widerspruch)}$$

      \paragraph{Zu Beispiel (a)} $X$ mit reeller Metrik:
      \medskip

      $X = \R,\; d(u,v) = |u-v| \leadsto$ Konvergenzbegriff aus
      Analysis I \S3.1

      \paragraph{Zu Beispiel (b)} $X$ mit diskreter Metrik:
      \medskip

      Setze $\varepsilon = 1$. Wenn $\liminfty{n} x_n = x$, so gibt es
      also $N \in \N$ mit: $d(x_k,x) < 1$ f\"ur alle $k \geq N$, d.h.
      $x_k = x$ f\"ur alle $k \geq N$.

      \paragraph{Zu Beispiel (c)} Computerbildschrim:
      \medskip

      Es gilt wie in Beipiel (b), dass konvergente Folgen ab einem
      bestimmten Folgenglied konstant sind.


      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote[Vorlesung\\ 16.04.2004]{}
        $X = \R^n = \{(v_1, \dots, v_n) \mid v_1, \dots, v_n \in \R\}$

      Metrik: $d(u,v) = |u_1 - v_1| + |u_2 - v_2| + \cdots + |u_n - v_n|$
      \medskip

      \index{Manhattan-Taxi-Metrik}
      \index{Metriken, Manhattan-Taxi}
      Das ist eine Metrik, die {\bf Manhattan-Taxi-Metrik}. Eine Folge von
      Vektoren $\series{v}{k}$ in $X$ konvergiert gegen einen Vektor $u$
      genau dann, wenn f\"ur jedes $i = 1, \dots, n$ die Folge der $i$-ten
      Eintr\"age $\left(v_{i,k}\right)_{k \in \N}$ gegen $u_i$ konvergiert.
      \medskip

      Warum? $d(u, v) \ge |u_i - v_i|$ f\"ur jedes $i = 1, \dots, n$

    \subsection{Cauchy-Folge}
      \marginnote{Definition \S10.6}
      \index{Cauchy-Folge}
      \index{Folgen, Cauchy-Folge}
      Eine Folge $\series{v}{n}$ im metrischen Raum hei{\ss}t
      {\bf Cauchy-Folge}, wenn sie folgende Eigenschaft hat:
      \bigskip

      \begin{tabular}{ll}
        (CF) & Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $N \in \N$ so, dass f\"ur
           alle $k, \ell \ge N$ gilt: \\
           & $d(v_k, v_\ell) < \varepsilon$
      \end{tabular}
      \bigskip

      F\"ur $X = \R$, $d(u,v) = |u - v|$ ist das genau die Definition aus
      Analysis I (\S3.17).

      \paragraph{Satz:} Ist $\series{x}{n}$ eine konvergente Folge in einem
        \marginnote{Satz \S10.7}
        metrischen Raum $X$, dann ist $\series{x}{n}$ eine Cauchy-Folge.
        \medskip

      Beweis: Sei $\varepsilon > 0$. Es gibt ein $N \in \N$ so, dass f\"ur
      alle $k \ge N$ gilt $d(x_k, x) < \frac{\varepsilon}{2}$, wobei
      $x = \liminfty{n} x_n$. F\"ur $k, \ell \ge N$ gilt:
      $$d(x_k, x_\ell) \le \underbrace{d(x_k, x)}_{< \frac{\varepsilon}{2}} +
      \underbrace{d(x_\ell, x)}_{< \frac{\varepsilon}{2}} < \varepsilon$$
      \hfill$\square$

    \subsection{Vollst\"andigkeit}
      \marginnote{Definition \S10.8}
      \index{Vollst\"andigkeit}
      \index{Metriken, Vollst\"andigkeit}
      Ein metrischer Raum $(X, d)$ hei{\ss}t {\bf vollst\"andig}, wenn
      {\em jede} Cauchy-Folge in $X$ einen Grenzwert in $X$ hat.

      \paragraph{Zu Beispiel (a)} $X$ mit reeller Metrik:
      \medskip

      $(X, d)$ ist vollst\"andig (nach Satz Analysis I \S3.18).

      \paragraph{Zu Beispiel (b)} $X$ mit diskreter Metrik:
      \medskip

      $(X, d)$ ist immer vollst\"andig:
      \medskip

      Setze $\varepsilon = \frac{1}{2}$. Sei $\series{x}{n}$ eine
      Cauchy-Folge. F\"ur $k, \ell\ge N$ gilt also $d(x_k, x_\ell) <
      \frac{1}{2}$, also $x_k = x_\ell$. Die Folge wird konstant
      und konvergiert also.

      \paragraph{Zu Beispiel (c)} Computerbildschirm:
      \medskip

      Der Bildschirm ist ebenfalls vollst\"andig.

      \paragraph{Beispiel} $X = \Q,\quad d(u,v) = |u - v|$:
      \medskip

      $(X, d)$ ist {\em nicht} vollst\"andig, es gibt eine Folge
      $\series{x}{n}$ in $\Q$, die gegen $\sqrt{2} \not\in \Q$ konvergiert
      (in $\R$).

      \paragraph{Beispiel} $A = ]0, 1] = \{x \in \R \mid 0 < x \le 1\},\quad
        d(u,v) = |u - v|$:
        \medskip

      $(A, d)$ ist {\em nicht} vollst\"andig. $x_0 = 1,\; x_n
      = \frac{1}{n} \in A$ konvergiert gegen $0 \not\in A$, bildet
      also eine Cauchy-Folge die {\em in $A$} nicht konvergiert.

      \paragraph{Bemerkung:}
        \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
        \begin{enumerate}
          \item{Unterr\"aume metrischer R\"aume m\"ussen nicht unbedingt
            vollst\"andig sein \\
            ($\rightarrow$ sp\"ater genaueres Kriterium).}
          \item{Die Begriffe {\em Konvergenz, Cauchy-Folge} und
            {\em Vollst\"andigkeit} h\"angen nicht nur von der Menge $X$,
            sondern auch und vor allem von der Metrik ab.}
        \end{enumerate}

    \subsection{Abgeschlossenheit}
      \marginnote{Definition \S10.9}
      \index{Abgeschlossenheit}
      \index{Metriken, Abgeschlossenheit}
      Eine Teilmenge $A$ in einem metrischen Raum $(X, d)$ hei{\ss}t
      {\bf abgeschlossen}, wenn f\"ur jede Folge $\series{a}{n}$ in $A$ gilt:
      \medskip

      Falls $\liminfty{n} a_n = x$ existiert (in $X$), so gilt $x \in A$.

      \paragraph{Beispiel:} $A = \:]0, 1],\; X = \R,\; d(u,v) = |u - v|$ ist
        {\em nicht} abgeschlossen, denn $a_n = \frac{1}{n} \in A$ hat keinen
        Grenzwert in $A$: $\liminfty{n} a_n = 0 \not\in A$
        \medskip

      \paragraph{Erinnerung:}
        Abgeschlossene Intervalle im Sinne der Analysis I sind abgeschlossen
        in $\R$ mit $|u - v| = d(u, v)$.

      $$[r, s], \qquad [r, \infty[, \qquad ]-\infty, s] \qquad\Rightarrow\;
      \mbox{abgeschlossen.}$$

      \paragraph{Bemerkung:} $X$ und $\emptyset$ sind immer abgeschlossen im
      Sinne der Definition.

      \subsection{Eigenschaften abgeschlossener Mengen}
      \marginnote{Satz \S10.10}

      \begin{tabular}{lp{9.5cm}}
        (a) & {\bf Vereinigungen} von {\em endlich vielen} abgeschlossenen
             Mengen sind abgeschlossen. \\
        (b) & {\bf Durchschnitte} von {\em beliebig vielen} abgeschlossenen
             Mengen sind abgeschlossen.
      \end{tabular}
      \bigskip

      Beweis von (a) mit Induktion nach der Anzahl der abgeschlossenen Mengen.
      F\"ur {\em eine} Menge ist das banal. Seien $A_1, A_2, \dots, A_k,
      A_{k + 1}$ abgeschlossene Mengen. Setze $B = A_1 \cup A_2 \cup \cdots
      \cup A_k, C = A_{k + 1}$. Nach Induktionsannahme d\"urfen wir annehmen,
      dass $B$ und $C$ abgeschlossen sind, zu zeigen ist die Abgeschlossenheit
      von $B \cup C$.

      Sei $\series{x}{n}$ eine Folge in $B \cup C$, mit dem Grenzwert
      $x = \liminfty{n} x_n$. Dann gibt es eine Teilfolge $\series{x_n}{k}$,
      f\"ur die alle Folgenglieder in $B$ oder alle Folgenglieder in $C$
      liegen. Dann gilt:
      $$\liminfty{k} {x_n}_k = x = \liminfty{n} x_n$$

      Da $B$ und $C$ abgeschlossen sind, gilt: $x \in B$ oder $x \in C$,
      jedenfalls $x \in B \cup C$.
      \medskip

      Beweis von (b): Sei $A_i, i \in I$ eine Menge abgeschlossener Teilmengen
      von $X$. Sei $\series{x}{n}$ eine Folge im Durchschnitt mit
      $\liminfty{n} x_n = x$. Zu zeigen ist nun, dass auch $x$ im Durchschnitt
      liegt.

      F\"ur jedes $i$ gilt: $\series{x}{n}$ liegt in $A_i$, also gilt
      $x \in A_i$ (mit $A_i$ abgeschlossen). Also liegt $x$ im Durchschnitt.
      \hfill$\square$

      \paragraph{Beispiel:} (a) ist im Allgemeinen falsch, wenn man unendlich
        viele Mengen zul\"asst. $X=\R,\; d(u,v) = |u - v|$
        \medskip

        $A_1 = \{1\},\; A_2 = [\frac{1}{2}, 1],\; A_n = [\frac{1}{n}, 1]$
        \medskip

        $\bigcup\limits_{i = 1}^\infty A_i = ]0, 1] \quad \Rightarrow\; $
        nicht abgeschlossen.

      \paragraph{Satz:} Ist $(X, d)$ ein vollst\"andiger metrischer Raum und
        \marginnote{Satz \S10.11}
        $A \subseteq X$, so ist $A$ vollst\"andig als Unterraum genau dann,
        wenn $A$ abgeschlossen ist.
        \medskip

        Beweis: Angenommen $A$ ist abgeschlossen, so ist zu zeigen, dass $A$
        vollst\"andig ist. Sei $\series{a}{n}$ eine Cauchy-Folge in $A$, also
        existiert $x = \liminfty{n} a_n$ (weil $X$ vollst\"andig ist). Weil
        $A$ abgeschlossen in $X$ ist, gilt $x \in A$.
        \medskip

        Angenommen $A$ ist vollst\"andig. Sei $\series{a}{n}$ eine Folge in
        $A$, die gegen $x \in X$ konvergiert. Zu zeigen ist $x \in A$. Dann
        ist $\series{a}{n}$ eine Cauchy-Folge, also gilt
        $x = \liminfty{n} a_n \in A$, weil $A$ vollst\"andig ist.
        \hfill$\square$

      \paragraph{Vollst\"andigkeit und Abgeschlossenheit:}
        \marginnote[Vorlesung\\ 20.04.2004\\]{}
        F\"ur folgende Aussagen gilt \"Aquivalenz:
        \begin{itemize}
          \item{$X$ ist vollst\"andig $\Leftrightarrow$ jede Cauchy-Folge
              konvergiert.}
          \item{$A \subseteq X$ ist abgeschlossen $\Leftrightarrow$
              jede konvergente Folge $\series{a}{n}$ in $A$ hat ihren
              Grenzwert in $A$.}
        \end{itemize}

        Beispiele:
        \begin{itemize}
          \item{$]0, 1] \subseteq \R$ ist nicht abgeschlossen}
          \item{$[0, 1] \subseteq \R$ ist abgeschlossen}
          \item{$[0, 5] \cup [201, 395]$ ist abgeschlossen}
        \end{itemize}

        \begin{itemize}
          \item{Abgeschlossene Intervalle in $\R$ (oder endliche
              Vereinigungen davon) sind abgeschlossen.}
          \item{In einem diskreten metrischen Raum oder
              {\em Bildschirm-Raum} ist {\em jede} Teilmenge abgeschlossen.}
        \end{itemize}

      \paragraph{Bemerkung:} Ist $A$ ein Unterraum von $(X,d)$ und ist
        $A$ vollst\"andig, dann ist $A$ abgeschlossen in $X$ (folgt
        aus dem Beweis von Satz \S10.11).

    \subsection{Vektorr\"aume und Normen}
      \index{Vektorr\"aume}
      \index{Normen}
      Eine wichtige Klasse metrischer R\"aume stammt aus der linearen
      Algebra, die {\bf Vektorr\"aume}.

      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S10.12}
        Sei $V$ ein {\bf reeller Vektorraum} (\"uber den K\"orper $\R$).
        $V$ darf endlich oder unendlich viele Dimensionen haben.
        Ein L\"angenma{\ss}\space f\"ur Vektoren hei{\ss}t {\bf Norm},
        wenn gilt:
        $$\underbrace{||\;\cdot\;||}_{\mbox{Norm}}\colon V \longrightarrow
        \R,\quad u \mapsto ||u||$$

      \begin{tabular}{lll}
        $(N_1)$ & $||u|| \geq 0$ \\
                & $||u|| = 0 \Leftrightarrow u = 0$  & f\"ur alle $u \in V$ \\
        $(N_2)$ & $||ru|| = |r| \cdot ||u||$ &  f\"ur alle $u \in V,
                  r \in \R$ \\
        $(N_3)$ & $||u+v|| \leq ||u|| + ||v||$ & f\"ur alle $u,v \in V$\\
                & {\bf (Dreiecksungleichung)}
      \end{tabular}
      \bigskip

      Das Paar $(V, ||\,\cdot\,||)$ hei{\ss}t dann normierter Raum.
      Jeder normierte Raum ist auch ein metrischer Raum.

      \subsubsection{Die \texorpdfstring{$1$}{1}-Norm}
        \index{$1$-Norm}
        \index{Normen, $1$-Norm}
        $V = \R^n = \{ \mbox{reelle $n$-Tupel} \}$
        $$||u||_1 = |u_1| + |u_2| + \dots + |u_n|$$

        Dies ist eine Norm, die {\bf $1$-Norm}. Beweis:
        \bigskip

        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          Zu $(N_1)$ & Das gilt, klar. \\
          Zu $(N_2)$ & $||ru||_1 = |ru_1| + \dots + |ru_n| = |r| \cdot |u_1|
              + \dots + |r| \cdot |u_n| = |r| \cdot ||u||$ \\
          Zu $(N_3)$ & $||u+v||_1 = |u_1 + v_1| + \dots + |u_n + v_n| \leq
              |u_1| + |v_1| + \dots + |u_n| + |v_n| = ||u||_1 + ||v||_1$
        \end{tabular}

        \paragraph{Lemma:}
          \marginnote{Lemma \S10.13}
          Ist $(V, ||\,\cdot\,||)$ ein normierter Raum, dann ist
          $d(u,v) = ||u-v||$ eine Metrik.
          \bigskip

        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          $(M_1)$ & $d(u,v) = ||u-v|| \geq 0 \quad$ {\bf (positiv)} \\
                  & $d(u,v) = ||u-v|| = |-1| \cdot ||u-v||
                  = ||(-1)\cdot (u-v)||$ \\
                  & $\phantom{d(u,v)} = ||v-u|| = d(v,u) \quad$
                  {\bf (symmetrisch)} \\
          $(M_2)$ & $d(u,v) = ||u-v|| = 0 \Leftrightarrow u - v = 0
                  \Leftrightarrow u = v$ \\
          $(M_3)$ & $||u-w|| = ||(u-v) + (v-w)|| \leq ||u-v|| + ||v-w||$
        \end{tabular}

      \subsubsection{Das euklidische Skalarprodukt}
        \index{Skalarprodukt}
        \index{Euklidisches Skalarprodukt}
        \marginnote{Definition \S10.14}
        Sei $V = \R^n$. F\"ur $u,v \in \R^n$ setze $\sprod{u}{v}
        = u_1v_1 + \dots + u_nv_n$.
        $$\sprod{\cdot}{\cdot}\colon V \times V \longrightarrow \R$$

        Es gelten folgende Rechenregeln:
        \bigskip

        \begin{tabular}{lll}
          $(i)$   & $\sprod{u}{u} \geq 0$ \\
                  & $\sprod{u}{u} = 0 \Leftrightarrow u = 0$ &
                  f\"ur alle $u \in V$ \\
          $(ii)$  & $\sprod{u}{v+w} = \sprod{u}{v} + \sprod{u}{w}$ \\
                  & $\sprod{u+v}{w} = \sprod{u}{w} + \sprod{v}{w}$ &
                  f\"ur alle $u,v,w \in V$ \\
                  & {\bf (bilinear)} \\
          $(iii)$ & $\sprod{ru}{v} = r\sprod{u}{v} = \sprod{u}{rv}$ &
                  f\"ur alle $u,v \in V$, $r \in \R$ \\
          $(iv)$  & $\sprod{u}{v} = \sprod{v}{u}$ & f\"ur alle $u,v \in V$
        \end{tabular}

      \subsubsection{Die euklidische Norm oder \texorpdfstring{$2$}{2}-Norm}
        \index{$2$-Norm}
        \index{Normen, $2$-Norm}
        \index{Euklidische Norm}
        \index{Normen, euklidische Norm}
        $$\mbox{Setze } ||u||_2 = \sqrt{\sprod{u}{u}} =
            \sqrt{u_1^2+u_2^2+\dots+u_n^2}$$

      \subsubsection{Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung}
        \marginnote{Satz \S10.15}
        $$\mbox{Es gilt:} \quad |\sprod{u}{v}| \leq ||u||_2 \cdot ||v||_2
        \quad \mbox{f\"ur alle $u,v \in V = \R^n$}$$

        Beweis: Setze $a = \sprod{v}{v}$ und $b = -\sprod{u}{v}$. Dann gilt:
        \begin{eqnarray*}
          0 & \leq & \sprod{au+bv}{au+bv} = a^2\sprod{u}{u}+b^2\sprod{v}{v}
              +ab\sprod{u}{v}+ab\sprod{v}{u} \\
            & = & a^2\sprod{u}{u}+b^2\sprod{v}{v}+2ab\sprod{u}{v} \\
            &   & \mbox{also} \\
          0 & \leq & ||v||_2^4 \cdot ||u||_2^2 + \sprod{u}{v}^2
              \cdot ||v||_2^2 - 2||v||_2^2 \cdot \sprod{u}{v}^2
        \end{eqnarray*}

        Falls $||v||_2^2 = 0 \Leftrightarrow v = 0$ nach $(i)$, also gilt
        die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Falls $||v||_2^2 \neq 0$
        teilen wir durch $||v||_2^2$.

        \begin{eqnarray*}
          & 0 \leq ||v||_2^2 \cdot ||u||_2^2 + \sprod{u}{v}^2
            - 2\sprod{u}{v}^2 \\
          & \sprod{u}{v}^2 \leq (||u||_2 \cdot ||v||_2)^2 \quad \mbox{also}
          \quad |\sprod{u}{v}| \leq ||u||_2 \cdot ||v||_2
        \end{eqnarray*}

        \paragraph{Bemerkung:} Es gilt f\"ur alle $u,v \in V$:
          $$||u+v||_2^2 = ||u||_2^2 + ||v||_2^2 + 2\sprod{u}{v}$$

        \paragraph{Satz:}
          \marginnote{Satz \S10.16}
          Die $2$-Norm ist eine Norm. Beweis:

          \bigskip
          \begin{tabular}{lp{9.9cm}}
            Zu $(N_1)$ & Das ist klar. \\
            Zu $(N_2)$ & $||ru||_2 = \sqrt{\sprod{ru}{ru}}
                = \sqrt{r^2 \sprod{u}{u}} = r||u||_2$ \\
            Zu $(N_3)$ & $||u+v||_2^2 = ||u||_2^2 + ||v||_2^2
                + 2\sprod{u}{v}$\\
                & $\phantom{||u+v||_2^2} \leq^* ||u||_2^2 + ||v||_2^2
                + 2||u||_2 \cdot ||v||_2$ \\
                & $\phantom{||u+v||_2^2} = (||u||_2 + ||v||_2)^2$
                also $||u+v||_2 \leq ||u||_2 + ||v||_2$ \hfill $\square$
          \end{tabular}
          \bigskip

          * An dieser Stelle wird die Cauchy-Schwarz-Ungleichung verwendet.
          \medskip

          Es gibt auf $\R^n$ viele weitere Normen.

      \subsubsection{Die Maximums- oder Supremumsnorm}
        $$||u||_\infty = \max\{|u_1|, |u_2|, \dots, |u_n|\}$$

        Das ist die {\bf Maximums-} oder {\bf Supremumsnorm}. Man rechnet
        schnell nach, dass das eine Norm ist.

      \subsubsection{Verh\"altnis der Normen zueinander}
        \marginnote{Satz \S10.17}
        F\"ur alle drei Normen auf $\R^n$ gilt:
        $$||u||_1 \geq ||u||_2 \geq ||u||_\infty \geq \frac{1}{n} ||u||_1
          \quad \mbox{f\"ur alle $u \in \R^n$}$$

        Beweis:
        \begin{eqnarray*}
          (|u_1| + \dots + |u_n|)^2 & \geq & |u_1|^2 + \dots + |u_n|^2 \\
          |u_1|^2 + \dots + |u_n|^2 & \geq & \max\{|u_1|, \dots, |u_n| \} \\
          n \cdot \max\{|u_1|, \dots, |u_n| \} & \geq & |u_1| + \cdots + |u_n|
        \end{eqnarray*}\hfill$\square$

        \paragraph{Konsequenz:} Alle drei Normen liefern die selben
          konvergenten Folgen beziehungsweise die selben Cauchy-Folgen!

        \paragraph{Satz:}
          \marginnote{Satz \S10.18}
          $\R^n$ ist bez\"uglich jeder der drei Normen $||\,\cdot\,||_1$,
          $||\,\cdot\,||_2$, $||\,\cdot\,||_\infty$ vollst\"andig.

          Beweis: Es gen\"ugt, die $||\,\cdot\,||_1$-Norm zu betrachten,
          denn alle drei Normen liefern die gleichen Cauchy-Folgen bzw.
          konvergenten Folgen nach Satz \S10.17.
          \medskip

          Sei $\series{u}{k}$ eine Cauchy-Folge in $\R^n$ (bez\"uglich
          der $1$-Norm). Wegen $||u||_1 = |u_1| + |u_2| + \dots + |u_n|$
          gilt f\"ur jeden Eintrag $u_j$: $||u||_1 \geq |u_j|$. F\"ur
          jedes $j=1 \dots n$ ist deshalb die Folge
          $\left({u}_{j,k}\right)_{k \in \N}$ eine Cauchy-Folge in
          $\R$, also konvergent nach Analysis I.

          Setze $v_j = \liminfty{k} u_{j,k}$ und $v = (v_1, \dots, v_n)$.
          Behauptung: $\liminfty{k} u_k = v$.
          \medskip

          W\"ahle zu gegebenen $\varepsilon > 0$ eine Zahl $N \in \N$ so,
          dass $|u_{j,k} - v_j| < \varepsilon$ f\"ur alle $k \geq N$ und
          f\"ur alle $j = 1 \dots n$. Dann gilt
          $||u_k - v||_1 < n \cdot \varepsilon$, damit folgt die Konvergenz.
          \hfill$\square$

          \paragraph{Beispiel:}
            \marginnote{Beispiel \S10.19}
            $X = C([a,b], \R) = \{f\colon\, [a,b] \longrightarrow \R \;|\:
            f \mbox{ stetig} \}$

            Mit der Norm $||f||_\infty = \sup \{|f(x)|, x \in [a,b] \}$
            ist dieser Vektorraum vollst\"andig.

          \paragraph{Definition:}
            \marginnote{Definition \S10.20}
            Ein vollst\"andiger, normierter Raum hei{\ss}t {\bf Banachraum}.

            Beispiele f\"ur Banachr\"aume:
            \medskip

            Endlich dimensionale Banachr\"aume:
            \begin{itemize}
              \item{$\R$ mit dem Absolutbetrag}
              \item{$\R^n$ mit der $1$-Norm}
              \item{$\R^n$ mit der $2$-Norm}
              \item{$\R^n$ mit der Supremumsnorm}
            \end{itemize}

            Unendlich dimensionale Banachr\"aume:
            \begin{itemize}
              \item{$\fsetc{[a,b]}{\R}$ mit der Supremumsnorm}
              \item{$\fsetr{[a,b]}{\R}$ mit der Supremumsnorm}
            \end{itemize}

            Beispiele, die {\em keine} Banachr\"aume sind:
            \begin{itemize}
              \item{Polynomfunktionen mit der Supremumsnorm}
              \item{$\fsets{[a,b]}{\R}$ mit der Supremumsnorm}
            \end{itemize}

  % =============== SECTION 11 ===============
  \newpage
  \section{Stetigkeit von Funktionen}
    Wir betrachten Abbildungen zwischen metrischen R\"aumen.

    \subsection{Stetigkeit}
      \index{Abbildungen}
      \index{Funktionen}
      \index{Funktionen, Stetigkeit}
      \index{Stetigkeit}
      \marginnote{Definition \S11.1}
      Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische R\"aume. Eine Abbildung
      $f\colon X \longrightarrow Y$ hei{\ss}t {\bf stetig}, wenn f\"ur jede
      konvergente Folge $\series{x}{n}$ in $X$ gilt:
      $$f(\liminfty{n} x_n) = \liminfty{n} f(x_n)$$

      Beispiel: $X \subseteq \R$, $f\colon X \longrightarrow \R$ stetig
      $\Leftrightarrow$ stetig im Sinne der Analysis I.
      \medskip

      Verfeinerung: $f\colon Y \longrightarrow Y$ ist {\bf stetig im Punkt}
      $x \in X$, falls f\"ur jede Folge $\series{x}{n}$ mit
      $\liminfty{n} x_n = x$ gilt:
      $$\liminfty{n} f(x_n) = f(x)$$

      Also ist $f$ stetig genau dann, wenn $f$ in jedem Punkt $x \in X$ stetig
      ist.

    \subsection{Lipschitz-stetige Funktionen}
      \index{Stetigkeit, Lipschitz-stetig}
      \index{Lipschitz-Stetigkeit}
      \marginnote{Definition \S11.2}
      Eine Funktion $f\colon X \longrightarrow Y$ hei{\ss}t
      {\bf $L$-Lipschitz-stetig}, wenn es ein $L \in \R$ gibt mit:
      $$d_Y\big(f(u), f(v)\big) \leq L \cdot d_X(u, v) \qquad
      \mbox{f\"ur alle } u,v \in X$$

      Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig.

    \paragraph{Satz:}
      \marginnote{Satz \S11.3}
      Ist $X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y$ stetig und $Y
      \stackrel{g}{\longrightarrow} Z$ stetig, so ist $g \circ f\colon X
      \longrightarrow Z$ ebenfalls stetig.
      \medskip

      Beweis: Angenommen $\series{x}{n}$ konvergiert gegen $x \in X$.

      Also $\liminfty{n} f(x_n) = f(x)$. Nun ist $(f(x_n))_{n \in \N}$
      eine konvergente Folge in $Y$, also $\liminfty{n} g(f(x_n)) =
      g(f(x))$. \hfill $\square$

    \subsection{Das \texorpdfstring{$\varepsilon$-$\delta$}{E-D}-Kriterium
      f\"ur Stetigkeit}
      \marginnote{Satz \S11.4}
      Eine Abbildung $f\colon X \longrightarrow Y$ zwischen metrischen
      R\"aumen ist stetig in $u \in X$ genau dann, wenn die Abbildung das
      $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium erf\"ullt:
      \medskip

      Zu jedem $\varepsilon > 0$ und jedem $x \in X$ gibt es ein $\delta > 0$,
      so dass aus $d_X(u,x) < \delta$ folgt:
      $$d_Y\big(f(u), f(x)\big) < \varepsilon$$

      Beweis: Angenommen, $f$ ist stetig und das
      $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium gilt {\em nicht}:
      Dann gibt es ein $x \in X$ und ein $\varepsilon > 0$, so dass f\"ur
      jedes $n \in \N$ ein $u_n \in X$ existiert mit $d_X(u_n,x) < \frac{1}{n}$
      und $d_Y(f(u_n), f(x)) \geq \varepsilon$. Es folgt also
      $\liminfty{n} f(u_n) = f(x)$. Widerspruch.
      \medskip

      Angenommen das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium gilt. Sei
      $\liminfty{n} x_n = x$. Zu jedem $\varepsilon > 0$ finden wir
      $\delta > 0$ mit: $d_X(x_n, x) < \delta \Rightarrow d_Y(f(x_n), f(x))
      < \varepsilon$. Es gibt $N \in \N$ so, dass aus $k \geq N$ folgt
      $d_X(x_n,x) < \delta$. Dann folgt also $d_Y(f(x_n), f(x)) <
      \varepsilon$ f\"ur alle $k \geq N$, also $\liminfty{n} f(x_n) = f(x)$.
      \hfill$\square$

    \paragraph{Beispiel:}
      \marginnote{Beispiel \S11.5}
      Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $x_0 \in X$. Setze $f(x) = d(x,x_0)$.
      Das ist {\bf $1$-Lipschitz-stetig}:
      $$|f(x) - f(y)| = |d(x,x_0) - d(y,x_0)| \leq d(x,y)$$

    \paragraph{Beispiel:}
      \marginnote{Beispiel \S11.6}
      $C([a,b], \R) \longrightarrow \R, f \mapsto \int_a^b f(x) \dx$

      Das ist stetig, wenn man auf $C([a,b], \R)$ die
      $||\,\cdot\,||_\infty$-Norm nimmt, denn:

      \begin{eqnarray*}
        \Big|\int_a^b f(x) \dx - \int_a^b g(x) \dx \Big| &=&
        \Big|\int_a^b f(x) - g(x) \dx \Big| \leq \int_a^b |f(x)-g(x)| \dx \\
        & \leq & \int_a^b ||f-g||_\infty \dx = ||f-g||_\infty (b-a)
      \end{eqnarray*}

      also ist die Funktion $f \mapsto \int_a^b f(x) \dx$ sogar
      $L$-Lipschitz-stetig mit $L = b-a$.

    \paragraph{Beispiel:}
      \marginnote[Vorlesung\\27.04.2004]{}
      $\fsetc{[a,b]}{\R} \longrightarrow \fsetc{[a,b]}{\R},
      \quad f \mapsto F, \quad F(x) = \int_a^x f(s) \dx[s]$

      Beide Seiten versehen wir mit der $||\cdot||_\infty$-Norm. Dann ist das
      ebenfalls eine lineare Lipschitz-stetige Abbildung.

    \subsection{Lineare Abbildungen in normierten R\"aumen}
      \index{Lineare Abbildungen}
      \index{Abbildungen, lineare}
      \marginnote{Satz \S11.7}
      F\"ur eine lineare Abbildung $f\colon V \longrightarrow W$ zwischen
      normierten Vektorr\"aumen sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:

      \renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
      \begin{enumerate}
        \item{$f$ ist stetig}
        \item{$f$ ist $L$-Lipschitz-stetig f\"ur eine Zahl $L \in \R$}
        \item{Es gilt $||f(v)||_W \le L \cdot ||v||_V$ f\"ur ein $L \in \R$ und
          alle $v \in V$}
      \end{enumerate}

      Beweis: (ii) $\Rightarrow$ (i) ist klar.
      \medskip

      (iii) $\Rightarrow$ (ii): Angenommen (iii) gilt. F\"ur $u, v \in V$
      gilt dann:
      $$L \cdot ||u - v||_V \ge ||f(u) - f(v)||_W = ||f(u - v)||_W$$

      Das ist die Lipschitz-Bedingung, d.h. (iii) $\Rightarrow$ (ii)
      \medskip

      (i) $\Rightarrow$ (iii): Wir nehmen an (i) gilt. Benutze
      $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium.

      Zu $\varepsilon = 1$ und $v = 0 \in V$ gibt es also ein
      $\delta > 0$ mit:
      $$||v - 0||_V < \delta \quad\Rightarrow\quad
      ||f(v) - f(0)||_W < \varepsilon = 1$$

      Ist $v = 0$, so ist $f(v) = 0$, ist $v \ne 0$, so setze $r =
      \frac{\delta}{2 ||v||_V}$. Dann ist

      $||r - v||_V = |r| \cdot ||v||_V = \frac{\delta}{2 ||v||_V} ||v||_V =
      \frac{\delta}{2} < \delta$, also $||f(rv)||_W = |r|
      \cdot ||f(v)||_W < 1$, $r \ne 0$ da $v \ne 0$, also:
      $||f(v)||_W \le \frac{2}{\delta} ||v||_V = L \cdot ||v||_V$
      \hfill$\square$

      \paragraph{Bemerkung:} Dieser Beweis zeigt auch: Eine lineare Abbildung,
        die in einem Punkt stetig ist, ist {\em \"uberall} stetig.

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S11.8}
        Sei $V = \fsetc[1]{[a,b]}{\R}$ der Vektorraum der 1-mal stetig
        differenzierbaren Funktionen und $W = \fsetc{[a,b]}{\R}$ der Vektorraum
        der stetigen Funktionen. Sei $f$ eine lineare Abbildung mit:
        $$f \mapsto f' = {\rm\frac{d}{dx}} f$$

        Ist das stetig?
        \medskip

        1. Versuch: Beide Vektor\"aume, $V$ und $W$, mit der
        $||\cdot||_\infty$-Norm.

        $f_n(x) = x^n, f_n'(x) = n x^{n - 1}$.
        Es gilt also: $||f_n'||_\infty = n ||f_{n - 1}||_\infty$.

        Angenommen die Abbildung w\"are stetig. Also gibt es $L \in \R$ (nach
        vorigem Satz) mit $||f'||_\infty \le L \cdot ||f||_\infty$. Setze
        $[a, b] = [0, 1]$. $||f_n||_\infty = 1, ||f_n'||_\infty = n$. Die
        Gleichung $L \cdot ||f_n||_\infty = L \ge ||f_n'||_\infty = n$ ergibt
        einen Widerspruch, da sie nicht f\"ur alle $n \in \N$ gilt.
        \medskip

        2. Versuch: Gleiche Vektorr\"aume, gleiche Abbildungen, {\em andere}
        Normen.
        \medskip

        \begin{tabular}{lll}
          Auf $V$: & $||f||_V = ||f||_\infty + ||f'||_\infty$ \\
          Auf $W$: & $||f||_W = ||f||_\infty$ & (wie gehabt)
        \end{tabular}
        \medskip

        Dann gilt: $||f'||_W = ||f'||_\infty \le ||f'||_\infty +
        ||f||_\infty = ||f||_V$. Das Ableiten ist also bez\"uglich dieser
        neuen Norm 1-Lipschitz-stetig!
        \medskip

        {\em Es ist also ganz wichtig, welche Norm betrachtet wird, wenn man
        \"uber Stetigkeit spricht.}

    \subsection{Stetigkeit von linearen Abbildungen}
      \paragraph{Lemma:}
        \marginnote{Lemma \S11.9}
        Ist $(V, ||\cdot||_1)$ ein normierter Vektorraum und $f\colon \R^n
        \longrightarrow V$ eine lineare Abbildung, dann ist $f$ stetig
        bez\"uglich der $||\cdot||_1$-Norm auf $\R^n$.
        \medskip

        Beweis: Standardbasis f\"ur den $\R^n$:
        \medskip

        \begin{tabular}{l}
          $e_1 = (1, 0, \dots, 0)$ \\
          $e_2 = (0, 1, \dots, 0)$ \\
          $\vdots$ \\
          $e_n = (0, \dots, 0, 1)$
        \end{tabular}
        \medskip

        F\"ur $v \in \R^n, v = (v_1, v_2, \dots, v_n) = \sum\limits_{k = 1}^n
        v_k e_k$, $f(v) = \sum\limits_{k = 1}^n v_k f(e_k)$ gilt:
        $$||f(v)||_V \le |v_1| \cdot ||f(e_1)||_1 + |v_2| \cdot ||f(e_2)||_1 +
        \cdots \le (|v_1| + \cdots + |v_n|) \cdot L$$

        mit $L = \max\{||f(e_1)||_1, \dots, ||f(e_n)||_1\}$, also $||f(v)||_V
        \le L \cdot ||v||_1$\hfill$\square$

      \paragraph{Lemma:}
        \marginnote{Lemma \S11.10}
        Sei $||\cdot||$ eine beliebige Norm auf $\R^n$. Dann gibt es ein
        $R > 0$ so, dass $||u|| \ge R$ gilt f\"ur alle $u \in \R^n$ mit
        $||u||_1 = 1$.
        \medskip

        Beweis (Widerspruchsbeweis): Wenn das falsch w\"are, g\"abe es also
        zu jedem $k \in \N$ einen Vektor $u_k \in \R^n$ mit $||u_k||_1 = 1$
        und $||u_k|| < \frac{1}{k}$. F\"ur jede Komponente $u_{i, k}$ gilt
        $|u_{i, k}| \le 1$ f\"ur alle $i, k$ und $u_k = (u_{1,k},
        \dots, u_{n, k})$.
        \medskip

        Nach dem Satz von Bolzano-Weierstra\ss\space (Analysis I \S3.15)
        gibt es eine konvergente Teilfolge
        $\left(u_{i, k}\right)_{k \in \N}$. Ersetze
        die urspr\"ungliche Folge durch diese Teilfolge (umnummerieren der
        Indizes). Mache das selbe f\"ur $i = 2$ (Konvergenz f\"ur $i = 1$
        bleibt erhalten), und so weiter.
        \medskip

        Wir erhalten so eine neue Folge (Teilfolge) $\series{v}{k}$ so, dass
        {\em jede} Komponentenfolge $\left(v_{i, k}\right)_{k \in \N}$ gegen
        $v_j$ konvergiert. Dann konvergiert also die Folge $\series{v}{k}$
        gegen $(v_1, \dots, v_n)$ bez\"uglich der 1-Norm. Wegen $||v_k||_1 = 1$
        und $||v_k|| < \frac{1}{k}$ folgt ein Widerspruch, denn $||v||_1 = 1$
        und $||v|| = 0$.

        Die Abbildung $(\R^n, ||\cdot||_1) \longrightarrow (\R^n, ||\cdot||)$
        ist ja stetig.\hfill$\square$

      \subsubsection*{Zusammenfassung}
        \marginnote[Vorlesung\\30.04.2004]{}

        \begin{tabular}{ll}
          Lemma 9:  & $(\R^n, ||\cdot||_1) \stackrel{f}{\longrightarrow}
                      (V, ||\cdot||), f$ ist linear $ \Rightarrow f$
                      ist stetig \smallskip\\
          Lemma 10: & $(\R^n, ||\cdot||) \Rightarrow \exists\, R > 0.\;
                      \forall\, u \in \R^n.\; ||u||_1 = 1
                      \Rightarrow ||u|| \ge R$
        \end{tabular}


    \subsection[Fundamentalsatz \"uber normierte Vektorr\"aume]
        {Fundamentalsatz \"uber endlichdimensionale\\ normierte Vektorr\"aume}
      \marginnote{Theorem \S11.11}
      Es seien $(V, ||\cdot||_V)$ und $(W, ||\cdot||_W)$ normierte
      Vektorr\"aume und $f\colon V \longrightarrow W$ eine lineare
      Abbildung. Wenn $V$ endliche Dimension hat (z.B. $V = \R^n$), dann ist
      $f$ (automatisch) stetig.
      \medskip

      Beweis: Sei $b_1, \dots, b_n$ eine Basis f\"ur $V$. F\"ur $v \in V$ haben
      wir:
      $$v = v_1 b_1 + v_2 b_2 + \cdots + v_n b_n, \qquad(v_1, \dots, v_n) \in
      \R^n$$

      Setze $||v||_1 = |v_1| + \cdots + |v_n|$. Nach Lemma 9 ist $(V,
      ||\cdot||_1) \stackrel{f}{\longrightarrow} (W, ||\cdot||_W)$ stetig. Nach
      Lemma 10 gibt es ein $R > 0$ so, dass $||u||_V \ge R$ f\"ur alle $u \in
      V$ mit $||u||_1 = 1$ gilt. F\"ur $u \ne 0$ gilt: $||\frac{1}{||u||_1} u
      ||_V = \frac{1}{||u||_1} ||u||_V = 1 \ge R$, also $$||u||_V \ge R ||u||_1
      \quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{R} ||u||_V \ge ||u||_1$$
      \hfill$\square$

      % Graph: Fundamentalsatz über endlichdimensionale normierte Vektorräume.
      \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{picture}(100,50)
          \put(0,50){\makebox(0,0){$(V, ||\cdot||_V)$}}
          \put(0,0){\makebox(0,0){$(V, ||\cdot||_1)$}}
          \put(100,25){\makebox(0,0){$(W, ||\cdot||_W)$}}
          \put(30,50){\vector(4,-1){50}}
          \put(0,40){\vector(0,-1){30}}
          \put(30,0){\vector(4,1){50}}
          \put(50,52){\makebox(0,0){$f$}}
          \put(70,52){\makebox(0,0){\scriptsize stetig}}
          \put(50,12){\makebox(0,0){$f$}}
          \put(80,0){\makebox(0,0){\scriptsize Lipschitz-stetig}}
          \put(-10,25){\makebox(0,0){$id$}}
          \put(14,24){\makebox(0,0){\scriptsize stetig}}
        \end{picture}

        \caption{Stetigkeit im endlichdimensionalen Vektorraum}
      \end{figure}

      \paragraph{1. Folgerung:}
        \marginnote{Folgerung \S11.12}
        Ist $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, z. B. $\R^n = V$ und sind
        $||\cdot||_a$ und $||\cdot||_b$ zwei Normen auf $V$, dann gibt es
        Zahlen $A, B \in \R$ mit $||u||_a \le B \cdot ||u||_b$ sowie
        $||u||_b \le A \cdot ||u||_a$ f\"ur alle $u \in V$. Alle Normen auf
        $\R^n$ sind also \"aquivalent.

      \paragraph{2. Folgerung:}
        \marginnote{Folgerung \S11.13}
        Alle Normen auf $\R^n$ liefern den gleichen Konvergenzbegriff.

      \paragraph{3. Folgerung:}
        \marginnote{Folgerung \S11.14}
        {\em Jeder} endlichdimensionale normierte Vektorraum (z.B. $\R^n$) ist
        ein {\bf Banachraum}.
        \bigskip

      {\em Im Unendlichen ist das im Allgemeinen falsch.}

    \subsection{Banach'scher Fixpunktsatz}
      \index{Banach'scher Fixpunktsatz}
      \index{Fixpunkt}
      \index{Kontrahierend}
      \index{Abbildungen, kontrahierend}
      \marginnote{Theorem \S11.15}
      Es sei $(X, d)$ ein vollst\"andiger metrischer Raum (z.B. $X = \R^n$
      oder eine abgeschlossene Teilmenge von $\R^n$) und sei
      $f\colon X \longrightarrow X$ eine {\bf kontrahierende} Abbildung, d.h.
      $f$ ist $L$-Lipschitz-stetig f\"ur ein $L < 1$, also
      $d\big(f(u), f(v)\big) \le L \cdot d(u,v)$. Dann hat $f$ genau einen
      {\bf Fixpunkt} $x \in X$, d.h. $f(x) = x$.
      \medskip

      Beweis: (a) Es gibt h\"ochstens {\em einen} Fixpunkt, denn sonst
      w\"urde gelten:
      $f(u) = u$, $f(v) = v, u \ne v \Rightarrow d(u,v) = r > 0$, d.h.
      $d\big(f(u), f(v)\big) = d(u,v) \le L \cdot d(u,v)$. Ein Widerspruch.
      Also kann es h\"ochstens einen Fixpunkt geben.
      \medskip

      (b) Es gibt (wenigstens) einen Fixpunkt. Wir finden ihn
      algorithmisch. W\"ahle $x_0 \in X$ beliebig. Setze $x_1 = f(x_0)$ und
      rekursiv $x_{n + 1} = f(x_n)$.

      Behauptung: Die Folge $\series{x}{n}$ ist eine Cauchy-Folge.
      \begin{eqnarray*}
        d(x_2, x_1) &=& d\big(f(x_1), f(x_0)\big) \le L \cdot d(x_1, x_0) \\
        d(x_3, x_2) &=& d\big(f(x_2), f(x_1)\big) \le L \cdot d(x_2, x_1)
            \le L^2 \cdot d(x_1, x_0) \\
        &\vdots& \\
        d(x_{n + 1}, x_n) &=& d\big(f(x_n), f(x_{n - 1})\big)
            \le L^n \cdot d(x_1, x_0)
      \end{eqnarray*}

      Es gilt also:
      \begin{eqnarray*}
        d(x_{k + m}, x_k) &\le& d(x_{k + m}, x_{k + m - 1}) + d(x_{k + m - 1},
            x_{k + m - 2}) + \cdots \\
        &\le& L^k (L^{m - 1} + L^{m - 2} + \cdots + L + 1) \cdot d(x_1, x_0) \\
        &\le& L^k \cdot \frac{1 - L^m}{1 - L} \cdot d(x_1, x_0) \\
        &\le& L^k \cdot \underbrace{\frac{1}{1 - L} \cdot d(x_1,
            x_0)}_{\mbox{\scriptsize konstant}}
      \end{eqnarray*}

      W\"ahlt man $k$ gro\ss\space genug, so gilt: $L^k \cdot \frac{1}{1 - L}
      \cdot d(x_1, x_0) < \frac{\varepsilon}{2}$ f\"ur beliebiges
      $\varepsilon > 0$, also $d(x_{k + m}, x_{k + \ell}) \le
      d(x_{k + m}, x_k) + d(x_{k + \ell}, x_k) < \varepsilon$.
      Also ist die Folge $\series{x}{k}$ eine Cauchy-Folge.
      Setze $x = \liminfty{k} x_k$. Behauptung: $x$ ist ein Fixpunkt.
      $$f(x) = f(\liminfty{k} x_k = \liminfty{k} f(x_k) =
      \liminfty{k} x_{k + 1} = x$$
      \hfill$\square$

      Der Beweis liefert ein gutes N\"aherungsverfahren, um $x$ zu finden.
      W\"ahle $x_0 \in X$, setze $x_{k + 1} = f(x_k)$. Wir haben die
      Fehlerabsch\"atzung:
      $$d(x, x_k) \le L^k \cdot \frac{1}{1 - L} \cdot d(x_0, x_1)$$

      \paragraph{Beispiele:}
        \marginnote[Vorlesung\\07.05.2004\\]{Beispiel \S11.16}
        Sei $X = [1, \infty[\: \subseteq \R$ mit $|u-v| = d(u,v)$ ein
        metrischer Raum. $X$ ist abgeschlossen in $\R$, also vollst\"andig.
        Betrachte $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{x}$:
        $$f(x) = x \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{x}{2} + \frac{1}{x}
        \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 2 \quad \Leftrightarrow \quad
        x = \sqrt{2}$$

      \begin{itemize}
        \item{F\"ur $x \in X$ gilt $f(x) = x$: es gilt jedenfalls $f(x) > 0$
          $$\frac{x}{2} + \frac{1}{x} \geq 1 \; \Leftrightarrow \;
          \frac{x^2}{2}-x+1 \geq 0 \; \Leftrightarrow \;
          x^2-2x+2 \geq 0 \; \Leftrightarrow \; (x-1)^2+1 \geq 0$$
          also $x \in X \; \Longrightarrow \; f(x) \in X$}

        \item{Finde $L$: $|f(u)-f(v)| = |\frac{u-v}{2} + \frac{v-u}{uv}| =
          |u-v| \cdot \big| \frac{1}{2} - \frac{1}{uv} \big|$

          Behauptung: $\big| \frac{1}{2} - \frac{1}{uv} \big| \leq \frac{1}{2}$

          $\frac{1}{2} - \frac{1}{uv} \leq \frac{1}{2} \; \Leftrightarrow \;
          -\frac{1}{uv} \leq 0 \quad \surd$

          $\frac{1}{uv} - \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \; \Leftrightarrow \;
          \frac{1}{uv} \leq 1 \quad$ weil $\quad u,v \geq 1 \quad \surd$

          Also gilt $|f(u) - f(v)| \; \leq \; \frac{1}{2} \cdot |u-v|$
          \medskip

          Setze $x_0 = 1,5 = \frac{3}{2}$, $x_1 = f(\frac{3}{2}) =
          \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{17}{12}$, $|x_1 - x_0|
          = \big| \frac{3}{2} - \frac{17}{12} \big| = \frac{1}{12}$.

          Nach $n$ Iterationen haben wir also $d(\sqrt{2}, x_n) \leq
          \frac{1}{2^n} \cdot 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{2^{n+1}} \cdot
          \frac{1}{3}$.

          F\"ur $n = 10$ haben wir einen Fehler von $\leq \frac{1}{2^{11}}
          \cdot \frac{1}{3} = 1,63 \cdot 10^{-4}$. }
      \end{itemize}

  % =============== SECTION 12 ===============
  \newpage
  \section{Offene Mengen und differenzierbare Abbildungen}
    Erinnerung: Ein offenes Intervall $J \subseteq \R$ ist von der Form
    $]a,b[, ]-\infty, a[, ]a, \infty[$.
    \medskip

    Ist $x \in J$ so gibt es ein $r > 0$ mit $]x-r, x+r[ \subseteq J$. Wir
    benutzen diese Eigenschaft als Definition offener Mengen.

    \paragraph{Definition:}
      \index{Offene Mengen}
      \index{Mengen, offene}
      \marginnote{Definition \S12.1}
      Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $U \subseteq X$. Wir sagen $U$ ist
      {\bf offen} wenn es f\"ur jedes $u \in U$ ein $r > 0$ gibt, so dass
      $B_r(u) \subseteq U$ (Erinnerung: $B_r(u) =
      \{v \in X \mid d(u, v) < r\}$). Offene Intervalle in $\R$ haben
      offensichtlich diese Eigenschaft.

      Beachte: Die {\bf leere Menge $\emptyset$} ist offen, ebenso ist
      $X$ offen.

    \subsection{Offene und abgeschlossene Mengen}
      \index{Abgeschlossene Mengen}
      \index{Mengen, abgeschlossene}
      \marginnote{Satz \S12.2}
      \paragraph{Satz:}
      Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Eine Menge $U \subseteq X$ ist offen
      genau dann, wenn ihr Komplement $X \setminus U = \{ x \in X \mid x \notin
      U \}$ abgeschlossen ist. Eine Menge $A \subseteq X$ ist abgeschlossen
      genau dann, wenn ihr Komplement $X \setminus A$ offen ist.
      \medskip

      Beweis: Vor\"uberlegung: Wenn gilt $\liminfty{n} x_n = x$, dann liegt
      in jeder $B_r(x)$ mindestens ein $x_n$.

      Angenommen, $U \subseteq X$ ist offen, setze $A = X \setminus U$. Falls
      $A = \emptyset$ ist $A$ abgeschlossen. Sei $\series{a}{n}$ eine Folge
      in $A$, die gegen $x \in X$ konvergiert. Zu zeigen: $x \in A$.
      Wenn $x \notin A$, dann $x \in U$, also gibt es ein $r > 0$ mit $B_r(x)
      \subseteq U$, das hei{\ss}t $B_r(x) \cap A = \emptyset$. Es gibt aber ein
      $n$ mit $a_n \in B_r(x)$, also $B_r(x) \cap A \neq \emptyset$. Das ist
      ein Widerspruch. Also ist $A$ abgeschlossen.
      $$(U \mbox{ offen} \; \Longrightarrow \; X \setminus U
      \mbox{ abgeschlossen})$$

      Sei nun $A \subseteq X$ abgeschlossen, sei $U = X \setminus A$. Falls
      $U = \emptyset$, ok. Sei $u \in U$. Wenn es zu jedem $k \geq 1$ ein
      $a_k \in A$ g\"abe mit $a_k \in B_{\frac{1}{k}}(u)$, so $\liminfty{k}
      a_k = u \in A$. Das ist ein Widerspruch. Also gibt es ein $k$ mit
      $B_{\frac{1}{k}}(u) \cap A = \emptyset$, das hei{\ss}t
      $B_{\frac{1}{k}}(u) \subseteq U$, $U$ offen.
      $$(A \mbox{ abgeschlossen} \; \Longrightarrow U = X \setminus A
      \mbox{ offen})$$
      \begin{eqnarray*}
        X \setminus (X \setminus U) = U \;\; \leadsto & X \setminus U
        \mbox{ abges.} & \Longrightarrow \;\; U \mbox{ offen} \\
        X \setminus (X \setminus A) = A \;\; \leadsto & X \setminus A
        \mbox{ offen} & \Longrightarrow \;\; A \mbox{ abges.}
      \end{eqnarray*}

      \paragraph{Achtung:} Es gibt viele Mengen, die weder offen noch
        abgeschlossen sind. Beispiel: $Y = [0, 1[ \subseteq \R$ ist nicht
        abgeschlossen. $Y$ ist auch nicht offen. Es gibt Mengen, die
        sowohl offen als auch abgeschlossen sind ({\em abgeschloffen}),
        zum Beispiel sind $\emptyset$ und $X$ immer abgeschlossen und offen.

    \subsection{Durchschnitte und Vereinigungen offener Mengen}
      \marginnote{Satz \S12.3}
      \paragraph{Satz:}
      Endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigung offener Mengen
      sind offen.
      \medskip

      Beweis: Benutze \S10.10. Sei $U_1, \dots, U_n$ offen.
      $$X \setminus (U_1 \cap \dots \cap U_n) =
      \underbrace{X \setminus U_1}_{\mbox{abges.}} \cup \dots \cup
      \underbrace{X \setminus U_n}_{\mbox{abges.}}$$

      Das ist also abgeschlossen nach \S10.10, also ist $U_1 \cap \dots
      \cap U_n$ offen. Sei $\{U_i | i \in I\}$ eine Menge von offenen
      Mengen. Behauptung: $\bigcup\limits_{i \in I} U_i$ ist offen.

      $X \setminus (\bigcup\limits_{i \in I} U_i) = \bigcap\limits_{i \in I}
      (X \setminus U_i)$ ist abgeschlossen, also ist
      $\bigcup\limits_{i \in I} U_i$ offen. \hfill $\square$
      \medskip

    \subsection{Kurven}
      \index{Kurven}
      \index{Kurven, Stetigkeit}
      \index{Stetigkeit}
      Wir wollen differenzierbare Abbildungen zwischen Banach-R\"aumen
      (zum Beispiel $\R^n$) studieren und fangen an mit {\bf Kurven}.

      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S12.4}
        Sei $J \subseteq \R$ ein Intervall (offen, halboffen, oder
        abgeschlossen) und $(V, ||\cdot||)$ ein Banachraum. Eine stetige
        Abbildung $c\colon J \longrightarrow V$ hei{\ss}t {\bf stetige Kurve}
        in $V$. $t \mapsto c(t) \in V$.

      \paragraph{Beispiele:}
        \begin{itemize}
          \item{$V = \R^2,\; J = \R,\;
            c_1(t) = (\cos t,\, \sin t) \in \R^2$}
          \item{$V = \R^3,\; J = \R,\;
            c_2(t) = (\cos t,\, \sin t,\, t) \in \R^3$}
        \end{itemize}

        % Graph: Funktionsgraphen von c1 und c2.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(250,60)
            \put(10,30){\vector(1,0){90}}
            \put(55,5){\vector(0,1){55}}
            \put(65,60){\makebox(0,0){$x_2$}}
            \put(110,30){\makebox(0,0){$x_1$}}
            \put(55,30){\circle{30}}
            \put(75,15){\makebox(0,0){$c_1$}}

            \put(180,10){\vector(0,1){55}}
            \put(180,10){\vector(2,1){40}}
            \put(180,10){\vector(2,-1){40}}
            \put(190,60){\makebox(0,0){$x_3$}}
            \put(230,30){\makebox(0,0){$x_2$}}
            \put(230,-8){\makebox(0,0){$x_1$}}
            \put(198,-2){\qbezier(0,0)(-6,-7)(-20,-9)}
            \put(200,0){\qbezier(0,0)(15,15)(0,30)}
            \put(197,33){\qbezier(0,0)(-5,5)(-15,7)}
            \put(160,32){\qbezier(0,0)(1,9)(18,8)}
            \put(160,32){\qbezier(0,0)(1,-9)(20,-9)}
            \put(200,32){\qbezier(0,0)(-6,-7)(-20,-9)}
            \put(200,32){\qbezier(0,0)(15,15)(0,30)}
          \end{picture}
          \caption{Funktionsgraphen von $c_1$ und $c_2$}
        \end{figure}

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S12.5}
        Ist $V=\R^n$, $c\colon J \longrightarrow \R^n$ eine Abbildung, dann
        wird $c$ beschrieben durch die Koordinaten/Komponenten $c(t) =
        (c_1(t), c_2(t), \dots, c_n(t))$. $c$ ist genau dann stetig, wenn alle
        einzelnen $c_k$ stetig sind.
        \medskip

        Beweis: Sei $e_k = (0, \dots, 1, \dots, 0) \in \R^n$ an der $k$-ten
        Stelle $1$.

        Daraus folgt $c(t) = c_1(t) \cdot e_1 + c_2(t) \cdot e_2 + \dots
        + c_n(t) \cdot e_n$. Sei $\series{t}{m}$ eine Folge in
        $J$, $\liminfty{m} t_m = t$, alle $c_k$ seien stetige Funktionen.
        W\"ahle $\varepsilon > 0$ so, dass $|c_k(t_m)-c_k(t)| < \varepsilon$
        f\"ur alle $k$, alle $m \geq N$ $\Longrightarrow ||c(t_k) - c(t)||_1
        \leq n \cdot \varepsilon$, also $\liminfty{m} c(t_m) = c(t)$, weil
        die $||\cdot||_1$-Norm die gleiche Konvergenz liefert,
        wie $||\cdot||$.

        Also: Alle $c_k$ stetig, also ist $c$ stetig. $c_k = P_k \cdot c$,
        $P_k(v_1, \dots, v_k) = v_k$ ist stetig. Also $c$ stetig, alle
        $c_k$ stetig.\hfill$\square$

    \subsection{Differenzierbare Kurven}
      \index{Differenzierbarkeit, Kurven}
      \index{Kurven, Differenzierbarkeit}
      \index{Differenzierbarkeit, stetige}
      \index{Geschwindigkeit}
      \index{Tangentialvektor}
      \marginnote[Vorlesung\\11.05.2004\\]{Definition \S12.6}
      Eine auf einem offenen Intervall $I \subseteq \R$ definierte stetige
      Kurve $c$ mit Werten in einem normierten Vektorraum $V$ hei{\ss}t
      {\bf differenzierbar} in $t_0 \in I$, falls die Abbildung
      $p\colon h \mapsto \frac{1}{h} \big(c(t_0 + h) - c(t_0)\big)$ eine
      stetige Fortsetzung in $h = 0$ hat, falls also der Grenzwert
      $$\dot{c}(t_0) = p(0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}
      \frac{c(t_0 + h) - c(t_0)}{h}$$

      existiert. Der Vektor $\dot{c}(t_0) \in V$ hei{\ss}t
      {\bf Geschwindigkeitsvektor} oder {\bf Tangentialvektor} an $c$ im Punkt
      $t_0$ und $||\dot{c}(t_0)||$ ist die {\bf Geschwindigkeit} von $c$
      in $t_0$.
      \medskip

      Falls $c$ in jedem $t \in I$ differenzierbar ist, hei{\ss}t $c$
      {\bf differenzierbar} und falls die Abbildung $\dot{c}\colon I
      \longrightarrow V,\; t \mapsto \dot{c}(t)$ stetig ist, hei{\ss}t $c$
      {\bf stetig differenzierbar}.

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S12.7}
        Ist $V = \R^n$ (mit beliebiger Norm), dann ist $c\colon I
        \longrightarrow V$ genau dann differenzierbar in $t_0 \in I$, wenn
        es die Komponenten $c_1, c_2, \dots, c_n$ sind. Entsprechendes gilt
        f\"ur (stetige) Differenzierbarkeit.
        \medskip

        Beweis: $p(h) = \frac{1}{h}\big(c(t_0 + h) - c(t_0)\big) =
        \big(p_1(h), p_2(h), \dots, p_n(h)\big)$ Die Behauptung folgt aus Satz
        5. \hfill$\square$

      \paragraph{Bemerkung:} Dann gilt:
        $$c'(t) = p(0) = \big( c_1'(t), c_2'(t), \dots, c_n'(t)\big)$$

      \paragraph{Beispiel:}Die Kurven aus den Beispielen in \S12.4 sind
        stetig differenzierbar:
        \begin{eqnarray*}
          c(t) &=& (\cos t, \sin t, t) \\
          c'(t) &=& (-\sin t, \cos t, 1) \\
          ||c'(t)||_2 &=& \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1}
            = \sqrt{2}
        \end{eqnarray*}

      \paragraph{Bemerkung:}
        \index{Differenzierbarkeit, mehrfache}
        \index{Beschleunigung}
        \marginnote{Bemerkung \S12.8}
        Entsprechend definiert man {\bf $k$-mal (stetig) differenzierbare}
        Kurven. Wenn $c$ zweimal stetig differenzierbar ist, hei{\ss}t die 2.
        Ableitung $\ddot{c}(t)$ die {\bf Beschleunigung} im Punkt $t$.

      \paragraph{Vereinbarung:}
        \marginnote{Vereinbarung \S12.9}
        Ist $I = [a, b]$ ein abgeschlossenes Intervall, $c\colon I
        \longrightarrow V$ eine Kurve, so hei{\ss}t $c$ (stetig)
        differenzierbar, wenn es ein $r > 0$ gibt und eine (stetig)
        differenzierbare Kurve $e\colon ]a - r, b + r[ \longrightarrow V$ mit
        $e(t) = c(t)$ f\"ur alle $t \in I$.

    \subsection{Verkn\"upfungen von differenzierbaren Kurven}
      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S12.10}
        Seien $I, J \subseteq \R$ Intervalle, $f\colon I \longrightarrow J$
        eine (stetig) differenzierbare Abbildung, $c\colon J \longrightarrow V$
        eine (stetig) differenzierbare Kurve. Dann ist die
        Hintereinanderausf\"uhrung $e = c \circ f\colon I \longrightarrow V,\;
        t \mapsto c\big(f(t)\big)$ eine (stetig) differenzierbare Kurve und
        $\dot{e}(t) = f'(t) \cdot \dot{c}\big(f(t)\big)$
        \medskip

        Beweis: Schreibe $s_0 = f(t_0)$.
        \medskip

        \begin{tabular}{ll}
          $p(h) = \frac{1}{h} \big(c(s_0 + h) - c(s_0)\big)$ &
            $p(0) = \dot{c}(s_0)$ \\\medskip
          $q(k) = \frac{1}{k} \big(f(t_0 + k) - f(t_0)\big)$ &
            $q(0) = f'(t_0)$
        \end{tabular}
        \medskip

        Dann ist:
        \begin{eqnarray*}
          \frac{e(t_0 + k) - e(t_0)}{k} &=&
            \frac{c\big(f(t_0 + k)\big) - c\big(f(t_0)\big)}{k} \\
          &=& \frac{p\big(f(t_0 + k) - f(t_0)\big) \cdot
            \big(f(t_0 + k) - f(t_0)\big)}{k} \\
          &=& p\big(f(t_0 + k) - f(t_0)\big) \cdot q(k)
        \end{eqnarray*}

        F\"ur $k \rightarrow 0$ ergibt sich:
        $p(0) \cdot q(0) = f'(t_0) \cdot \dot{c}(t_0)$\hfill$\square$

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S12.11}
        Ist $f\colon I \longrightarrow \R$ (stetig) differenzierbar und
        $c\colon J \longrightarrow V$ eine (stetig) differenzierbare Kurve, so
        ist $e\colon I \longrightarrow V,\; t \mapsto f(t) \cdot c(t)$ eine
        (stetig) differenzierbare Kurve mit der Ableitung:
        $$\dot{e}(t) = f'(t) \cdot c(t) + f(t) \cdot \dot{c}(t)$$

        Beweis: Gleiche Idee wie bei der Leibniz-Regel (siehe Analysis I \S7.6)
        \hfill$\square$

    \subsection{Kurvenl\"ange}
      \index{Kurven, L\"ange}
      \index{L\"ange}
      \marginnote{Definition \S12.12}
      Die {\bf L\"ange} einer stetig differenzierbaren Kurve $c\colon [a, b]
      \longrightarrow V$ ist:
      $$L(c) = \int\limits_a^b ||\dot{c}(t)|| \dx[t]$$

      \paragraph{Beispiel:} Seien $u, v \in V$ und $c\colon [0, 1]
        \longrightarrow V,\; t \mapsto (1 - t)u + t v = u + t(v - u)$ eine
        Kurve, so gilt:
        \begin{eqnarray*}
          \dot{c}(t) &=& \lim\limits_{h \rightarrow 0}
            \frac{c(t + h) - c(t)}{h} \\
           &=& \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{u + (t + h)(v - u) - u -
             t(v - u)}{h} = v - u \\
          L(c) &=& \int\limits_0^1 ||\dot{c}(t)|| \dx[t] = \int\limits_0^1
            ||v - u|| \dx[t] = ||v - u|| (1 - 0) = d(u, v)
        \end{eqnarray*}
        F\"ur gerade Strecken erh\"alt man also die gew\"ohnliche
        Streckenl\"ange.

    \subsection{Umparameterisierung}
      \index{Umparameterisierung}
      \index{Kurven, Umparameterisierung}
      \marginnote{Bemerkung \S12.13}
      Ist $f\colon I \longrightarrow J$ eine streng monotone bijektive
      stetig differenzierbare Abbildung und $c\colon J \longrightarrow V$
      eine Kurve, so hei{\ss}t $e = c \circ f\colon I \longrightarrow V,\;
      t \mapsto c\big(f(t)\big)$ die zu $f$ geh\"orige
      {\bf Umparameterisierung} von $c$.
      \medskip

      Man kann zeigen:
      $$L(e) = L(c)$$

      Beweisidee:
      \begin{eqnarray*}
        L(e) & = & \int\limits_a^b ||\dot{c}(t)|| \dx[t]
               =   \int\limits_a^b ||f'(t) \cdot \dot{c}(f(t))|| \dx[t]
               =   \int\limits_a^b |f'(t)| \cdot ||\dot{c}(f(t))|| \dx[t] \\
             & = & \int\limits_{f(a)}^{f(b)} ||\dot{c}(s)|| \dx[s]
               =   L(c) \quad \mbox{ falls } f' \ge 0
      \end{eqnarray*}
      Falls $f' \leq 0 $ dreht sich das Vorzeichen um.\hfill$\square$

    \subsection{Reelle Funktionen}
      \index{Reelle Funktionen}
      \index{H\"ohenlinien}
      \index{Landschaftsfunktion}
      Kurven sind Abbildungen von $\R$ in Vektorr\"aume, jetzt betrachten
      wir Abbildungen von Vektorr\"aumen nach $\R$.
      \medskip

      Es sei $V$ ein Banachraum und $U \subseteq V$ eine offene Menge. Zu
      jedem $u \in U$ gibt es also ein $r > 0$ so, dass $U$ die offene
      $r$-Kugel $B_r(u) = \{v \in V \;\big\vert\; ||u - v|| < r\}$
      enth\"alt.
      \medskip

      Wir interessieren uns f\"ur stetige Abbildungen $f\colon U
      \longrightarrow \R$. Ist $V = \R^n$, dann ist $f(v) = f(v_1, v_2,
      \dots, v_n)$. Um die Stetigkeit von $f$ zu zeigen, gen\"ugt es
      {\em nicht} die Stetigkeit der Funktionen $\R \ni t \mapsto
      f(v_1, v_2, \dots, v_{j - 1}, t, v_{j + 1}, \dots, v_n)$ zu fordern.
      \medskip

      \marginnote[Vorlesung\\14.05.2004]{}
      Erinnerung an Analysis I: Wir hatten
      $\quad p(h) = \left\{
        \begin{array}{ll}
          \frac{f(t_0 + h) - f(t_0)}{h} & \mbox{falls } h \neq 0 \\
          f'(t_0) & \mbox{falls } h = 0
        \end{array} \right.$
      \medskip

      also $f(t_0 + h) - f(t_0) = h \cdot p(h) = p(0) \cdot h + h \cdot
      (p(h) - p(0)) = f'(t_0) \cdot h + |h| \cdot \lambda(h)$
      \medskip

      mit $\lambda(h) = \left\{
        \begin{array}{ll}
          p(h) - p(0) & \mbox{f\"ur } h > 0 \\
          0 & \mbox{f\"ur } h = 0 \\
          p(0) - p(h) & \mbox{f\"ur } h < 0
        \end{array} \right.$
      $\quad \Longrightarrow \quad \lambda$ ist stetig!

    \subsection{Differenzierbare reelle Funktionen}
      \index{Differentiation}
      \index{Reelle Funktionen}
      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S12.14}
        Es sei $U$ eine offene Menge in einem normierten Vektorraum $V$,
        $f\colon U \longrightarrow \R$ stetig und $u_0 \in U$. W\"ahle $r > 0$
        so, dass $B_r(u_0) \subseteq U$. Wir sagen $f$ ist {\bf differenzierbar
        im Punkt $u_0$}, falls es eine stetige lineare Abbildung $A\colon V
        \longrightarrow \R$ gibt, und eine stetige Funktion $\lambda\colon
        B_r(0) \longrightarrow \R$ mit $\lambda(0) = 0$ so, dass f\"ur alle
        Vektoren $h \in V$ mit $||h|| < r$ gilt:
        $$f(u_0 + h) - f(u_0) = A(h) + ||h|| \cdot \lambda(h)$$

        Wenn $U$ ein offenes Intervall in $\R$ ist, ist das genau die
        Definition aus Ana I.

      \paragraph{Bemerkung:} Wegen $\lambda(h) = \frac{f(u_0 + h) -
        f(u_0) - A(h)}{||h||}$ f\"ur $h \neq 0$ ist $\lambda$ eindeutig
        durch $A$ bestimmt.
        \medskip

      Die lineare Abbildung $A\colon V \longrightarrow \R$ ist in dieser
      Situation ebenfalls eindeutig bestimmt, und wir nennen
      $df(u_0) := A\colon V \longrightarrow \R$ das {\bf Differential}
      (oder die Ableitung) von $f$ im Punkt $u_0$.
      \medskip

      \marginnote{Paragraph \S12.15}
      Warum ist $A$ eindeutig bestimmt?
      \begin{eqnarray*}
        A(h) & = & f(u_0 + h) - f(u_0) - ||h|| \cdot \lambda(h) \\
        \tilde{A}(h) & = & f(u_0 + h) - f(u_0) - ||h|| \cdot
          \tilde{\lambda}(h) \\
        A(h) - \tilde{A}(h) & = & ||h||(\tilde{\lambda}(h) - \lambda(h))
          \quad \mbox{ f\"ur } 0 < t \leq 1 \\
        A(th) - \tilde{A}(th) & = & ||th||(\tilde{\lambda}(th)
          - \lambda(th)) \\
        tA(h) - t\tilde{A}(h) & = & t \cdot ||h||(\tilde{\lambda}(th)
          - \lambda(th)) \\
        \underbrace{A(h) - \tilde{A}(h)}_{\mbox{unabh. von $t$}}
          & = & ||h|| \underbrace{(\tilde{\lambda}(th) - \lambda(th))}_{
          \mbox{gegen $0$ f\"ur $t \rightarrow 0$}}
      \end{eqnarray*}
      also $A(h) = \tilde{A}(h)$ f\"ur alle $h$ mit $||h|| < r$, damit
      folgt $A = \tilde{A}$ \hfill $\square$
      \medskip

      Die Ableitung ordnet also einem Punkt $u \in U$ eine lineare Abbildung
      $$df(u)\colon V \longrightarrow \R$$

      zu. Eine Funktion, die in jedem Punkt $u$ differenzierbar ist, hei{\ss}t
      eine {\bf differenzierbare Abbildung}. Um zu sagen, was es hei{\ss}t,
      dass eine Funktion stetig differenzierbar ist, brauchen wir eine
      Norm auf der Menge aller stetigen linearen Abbildungen von $V$ nach
      $\R$.

    \subsection{Dualraum}
      \index{Linearform}
      \index{Dualraum}
      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S12.16}
        Es sei $(V, ||\cdot||_V)$ ein normierter Vektorraum und
        $$V^* := \{\varphi\colon V \longrightarrow \R \:|\; \varphi \mbox{ ist
        eine stetige lineare Abbildung} \}$$

        die Menge aller stetigen, linearen Abbildungen
        von $V$ nach $\R$ (manchmal sagt man auch {\bf Linearformen}).
        $V^*$ hei{\ss}t {\bf Dualraum} oder {\bf Dual} von $V$ und ist
        ein Vektorraum: F\"ur $\varphi, \psi \in V^*$, $c \in \R$ setze
        $\varphi + \psi = [u \mapsto \varphi(u) + \psi(u)]$, $c\varphi
        = [u \mapsto c\varphi(u)]$. Dann sind $\varphi + \psi$, $c\varphi$
        wieder stetige lineare Abbildungen. F\"ur $\varphi \in V^*$ setzen
        wir $||\varphi|| = \sup\{||\varphi(u)|| \:\big|\; u \in V,
        ||u|| < 1\}$.

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S12.17}
        $(V^*, ||\cdot||)$ ist ein normierter Vektorraum.
        \medskip

        Beweis: Ist $\varphi \in V^*$ und $\varphi \neq 0$ (das hei{\ss}t
        $\varphi$ ist nicht die Null-Abbildung), so gibt es $v \in V$ mit
        $\varphi(v) \neq 0$ und es folgt:
        $$||\varphi|| \geq \left| \varphi \left(\frac{1}{||v||_V}
          \cdot v\right) \right| = \frac{1}{||v||_V} \cdot |\varphi(v)| > 0
          \quad \mbox{mit} \quad |\varphi(v)| \neq 0$$

        Aus $|\varphi(v) + \psi(v)| \leq |\varphi(v)| + |\psi(v)|$ folgt
        $||\varphi + \psi|| \leq ||\varphi|| + ||\psi||$ und
        aus $|c \varphi(v)| = |c| \cdot |\varphi(v)|$ folgt $||c \varphi||
        = |c| \cdot ||\varphi||$, also ist $||\cdot||\colon V^* \longrightarrow
        \R$ eine Norm. \hfill $\square$

      \subsubsection*{Bemerkungen}
        \marginnote{Bemerkung \S12.18}
        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          (a) & Es gilt: $|\varphi(v)| \leq ||\varphi|| \cdot ||v||_V$,
            $||\varphi||$ ist die kleinstm\"ogliche Lipschitz-Konstante f\"ur
            $\varphi$ \\
          (b) & $V^*$ ist sogar ein Banachraum: F\"ur eine Cauchy-Folge
            $\series{\varphi}{n}$ in $V^*$, setze $\varphi(v) = \liminfty{n}
            \varphi_n(v)$; das macht Sinn, weil $\varphi_n(v)$ eine
            Cauchy-Folge in $\R$ ist.
        \end{tabular}
        \medskip

      \marginnote{Paragraph \S12.19}
      Wenn $f$ differenzierbar ist, und die Abbildung $df\colon U
      \longrightarrow V^*, u \mapsto df(u)$ stetig ist (bez\"uglich der gerade
      definierten Norm), dann hei{\ss}t $f$ {\bf stetig differenzierbar}.

    \subsection{Erweiterung der Kettenregel}
      \index{Kettenregel}
      \index{Leibnizregel}
      \index{Differentiation, Kettenregel}
      \index{Differentiation, Leibnizregel}
      \paragraph{Satz (Kettenregel von $\R \longrightarrow V
        \longrightarrow \R$):}
        \marginnote{Satz \S12.20}
        Ist $c\colon I \longrightarrow V$ eine stetig differenzierbare Kurve
        und ist $c(I) \subseteq U$, und ist weiter $f\colon U \longrightarrow
        \R$ stetig differenzierbar, dann ist $g := f \circ c\colon I
        \longrightarrow \R, t \mapsto f(c(t))$ stetig differenzierbar und es
        gilt $g'(t) = df(c(t))(\dot{c}(t))$.
        \medskip

      Beweis: $p(h) = \frac{1}{h} (c(t_0 + h) - c(t_0))$
      \begin{eqnarray*}
        & & \frac{1}{h} \Big(f\big(c(t_0 + h)\big) - f\big(c(t_0)\big)\Big) \\
        &=& \frac{1}{h} \Big(f\big(c(t_0) + \big(c(t_0 + h) - c(t_0)\big)\big)
         -  f\big(c(t_0)\big)\Big) \\
        &=& \frac{1}{h} \big(df\big(c(t_0)\big)\big(c(t_0 + h) - c(t_0)\big)
         +  ||c(t_0 + h) - c(t_0)|| \lambda\big(c(t_0 + h)
         -  c(t_0)\big)\big) \\
        &=& df\big(c(t_0)\big)\big(p(h)\big) \pm ||p(h)|| \cdot
            \lambda\big(c(t_0 + h) - c(t_0)\big)
      \end{eqnarray*}

      Das ist stetig in $h=0$ und ergibt dort $g'(t_0) = df\big(c(t_0)\big)
      \big(\dot{c}(t_0)\big) \pm \big[||\dot{c}(t_0)|| \cdot \lambda(0)\big]$

    \subsection{Richtungsableitung}
      \index{Richtungsableitung}
      \index{Partielle Ableitung}
      \index{Differentiation, partielle}
      \marginnote{Definition \S12.21}
      \paragraph{Definition:}
        Speziell sei $0 \in I$, $u_0 \in U \subseteq V$, $v \in V$ und
        $c\colon I \longrightarrow U, t \mapsto u_0 + tv$. Dann $(f \circ
        c)'(0) = df\big(c(0)\big)\big(\dot{c}(0)\big) = df(u_0)(v)$.
        \medskip

        F\"ur $v \in V$ hei{\ss}t die Zahl $df(u_0)(v) =: D_v f(u_0)$
        auch {\bf Richtungsableitung} von $f$ in Richtung $v$. Speziell
        f\"ur  $V = \R^n$ und $v = e_j = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ an der
        $j$-ten Stelle $1$ schreibt man
        $$\partdiff{x_j}(u_0) = df(u_0)(e_j) = D_{e_j} f(u_0)$$

        Die Richtungsableitung einer Funktion $f\colon U \longrightarrow \R$,
        $U \subseteq R^n$ in Koordinatenrichtungen erh\"alt man also, indem
        man die Variablen $x_1, \dots, x_{j-1}, x_{j+1}, \dots, x_n$ fest
        l\"a{\ss}t und nur die $j$-te Koordinate variiert, man leitet also nach
        der $j$-ten Variable ab und betrachtet die anderen Variablen als
        Konstanten:
        \medskip

        \begin{tabular}{l}
          $g(x) = f(x_1, \dots, x_{j-1}, x, x_{j+1}, \dots, x_n)$ \\
          $g'(x_j) = \partdiff{x_j}(x)$
        \end{tabular}

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote[Vorlesung\\18.05.2004]{}
        Sei $f\colon \R^3 \longrightarrow \R$ eine Funktion mit
        $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 - x_2 x_3$. Es ergeben sich die
        folgenden Richtungsableitungen:
        \medskip

        \begin{tabular}{l}
          $\partdiff{x_1}(v_1, v_2, v_3) = 2v_1$ \smallskip\\
          $\partdiff{x_2}(v_1, v_2, v_3) = 2v_2 - v_3$ \smallskip\\
          $\partdiff{x_3}(v_1, v_2, v_3) = -v_2$
        \end{tabular}

      \paragraph{Bemerkung:}
        \index{Gradient}
        \index{Nabla}
        \marginnote{Bemerkung \S12.22}
        Mit den Richtungsableitungen kann man das Differential ganz konkret
        angeben:
        \medskip

        \begin{tabular}{ll}
          $h_k(t) = u_0 + t(0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)$
            & an der $k$-ten Stelle $1$ \\
          $\dot{h}_k(t) = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)$
            & an der $k$-ten Stelle $1$ \smallskip \\
          $df(u_0)\big(\dot{h_k}(0)\big) = \partdiff{x_k}(u_0)$
        \end{tabular}
        \medskip

        Also gilt f\"ur $h = (h_1, h_2, \dots, h_n)$:
        $$df(u_0)(h) = \sum\limits_{k = 1}^n \partdiff{x_k}(u_0) h_k$$

        Weil $h$ Linearkombination der Vektoren $(0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)$
        ist, setzt man den {\bf Gradienten} ein:
        $$\nabla f(u_0) = \Big(\partdiff{x_1}(u_o), \partdiff{x_2}(u_o), \dots,
        \partdiff{x_n}(u_o)\Big) \qquad
        \mbox{\em (sprich: Nabla $f$ von $u_0$)}$$

        Mit dieser Bezeichnung und Notation gilt f\"ur $h \in \R^n$,
        $h = (h_1, h_2, \dots, h_n)$:
        $$df(u_0)(h) = \sum\limits_{k = 1}^n \partdiff{x_k}(u_0) h_k =
        \sprod{\nabla f(u_0)}{h}$$

      \paragraph{Beispiel:} Sei $V = U = \R^2$ und $f(x, y) = x^2 - 2xy$.
        \medskip

        \begin{tabular}{l}
          $\partdiff{x} = 2x - 2y \qquad \partdiff{y} = -2x$ \smallskip\\
          $\nabla f(u_1, u_2) = (2u_1 - 2u_2, -2u_1)$ \smallskip\\
          $df(u_1, u_2)(h_1, h_2) = (2u_1, -2u_2) h_1 - 2u_1h_2 =
          \sprod{\nabla f(u_1, u_2)}{(h_1, h_2)}$
        \end{tabular}

      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Bemerkung \S12.23}
        Ist $f\colon V \longrightarrow \R$ linear und stetig ($f \in V^*$), so
        ist $f$ stetig differenzierbar und $df(u_0)(h) = f(h)$, denn
        $f(u_0 + h) - f(u_0) = f(h) = df(u_0)(h)$.

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S12.24}
        Sei $U \subseteq \R^n$ offen, $f\colon U \longrightarrow \R$ stetig,
        dann ist $f$ stetig differenzierbar genau dann, wenn alle Ableitungen
        $\partdiff{x_k}$ existieren und stetige Funktionen auf $U$ sind.
        \medskip

        Beweis: Wenn $f$ stetig differenzierbar ist, so existieren die
        partiellen Ableitungen $\partdiff{x_k}$ und sind stetig (vgl: \S12.22).
        F\"ur die umgekehrte Implikation betrachte: $g(u) = f(u) -
        \sprod{\nabla f(u)}{u - u_0}$. Dann hat $g$ die gleichen
        Differenzierbarkeitseigenschaften wie $f$ und $\nabla g(u_0) =
        \nabla f(u_0)$. Es gilt nun f\"ur $u = (u_1, u_2, \dots, u_n)$,
        $u_0 = (u_{1,0}, u_{2,0}, \dots, u_{n,0})$:
        \begin{eqnarray*}
          g(u) - g(u_0) = &\sum_{k = 1}^n& g(u_1, u_2, \dots, u_{k - 1},
            u_{k\phantom{,0}}, u_{k + 1, 0}, \dots, u_{n,0}) \\
          &-& g(u_1, u_2, \dots, u_{k - 1}, u_{k, 0}, u_{k + 1, 0},
            \dots, u_{n, 0})
        \end{eqnarray*}

        Da die Funktionen $\partdiff[g]{x_k}$ stetig sind und
        $\partdiff[g]{x_k}(u_0) = 0$ gilt, gibt es zu jedem $\varepsilon > 0$
        ein $\delta > 0$ mit $|\partdiff[g]{x_k}(u)| < \varepsilon$ falls
        $||u - u_0|| < \delta$. Mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung
        (Analysis I, \S7.16) folgt:
        $$|g(u) - g(u_0)| \le \sum\limits_{k = 1}^n ||u - u_0|| \varepsilon = n
        ||u - u_o|| \varepsilon$$

        Das hei{\ss}t $dg(u_0) = 0$, die Funktion $g$ ist in $u_0$
        differenzierbar. Man kann leicht die Stetigkeit nachweisen.
        \hfill$\square$

      \subsubsection*{Beispiele}
        \marginnote{Beispiel \S12.25}
        \begin{itemize}
          \item{Sei $V = \R^n$ und $f(x) = ||x||_2^2 = x_1^2 + x_2^2 +
            \cdots + x_n^2$.

            $\partdiff{x_k} = 2x_k \qquad \nabla f(x) = 2x$

            (Also ist $f$ stetig differenzierbar.)}
          \item{Sei $V = \R^3$ und $f(x, y, z) = 2xy - y \cos(z)$.

            $\nabla f(x, y, z) = \big(2y, 2x - \cos(z), y \sin(z)\big)$}
        \end{itemize}

    \subsection{Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen}
      \marginnote{Bemerkung \S12.26}
      Ist $V$ ein Banachraum und $U \subseteq V$ eine offene Menge, setze:
      $$\fsetc[1]{U}{\R} = \{ f\colon U \longrightarrow \R \:\vert\;\
      f \mbox{ ist stetig differenzierbar} \}$$

      F\"ur beliebige $f, g \in \fsetc[1]{U}{\R}$ und $c\in \R$ setzt man
      $(f + g)(u) = f(u) + g(u)$ und $(cf)(u) = c f(u)$, damit gilt:
      $d(f + g) = df + dg$ sowie $d(cf) = c \cdot df$
      \medskip

      Mit $(f \cdot g)(u) = f(u) \cdot g(u)$ ist $(fg) \in \fsetc[1]{U}{\R}$
      und $d(fg) = g \cdot df + f \cdot dg$ (Leibnizregel).

  % =============== SECTION 13 ===============
  \newpage
  \section{Ableitungen vektorwertiger Funktionen}
    Wir hatten betrachtet:
    \begin{tabular}{lll}
      Kurven & $J \stackrel{c}{\longrightarrow} V$ & Geschwindigkeit \\
      Reelle Funktionen & $V \stackrel{f}{\longrightarrow} \R$ & Differential
    \end{tabular}

    \subsection{Die Operatornorm}
      \index{Operatornorm}
      \index{Norm, Operatornorm}
      \marginnote{Definition \S13.1}
      Seien $V, W$ Banachr\"aume, $L(V,W) = \{f\colon V \longrightarrow W \;|\:
      f \mbox{ ist stetig und linear} \}$, zum Beispiel $V = \R^n$, $W = \R^m$
      $\leadsto L(\R^n, \R^m)$ entspricht eindeutig $\R^{n \times m}$, also der
      Menge der $\{n \times m \mbox{-Matrizen} \}$. Offensichtlich ist $L(V,W)$
      ein Vektorraum, wenn man setzt:
      \bigskip

      \begin{tabular}{lcl}
        $(f+g)(v) = f(v) + g(v)$ & f\"ur & $f,g \in L(V,W)$ \\
        $(cf)(v) = cf(v)$ & f\"ur & $f \in L(V,W), r \in \R$
      \end{tabular}
      \bigskip

      F\"ur $f \in L(V,W)$ setze
      $$\sup\{ ||f(v)||_W \;\big|\; ||v||_V \leq 1 \} = ||f||$$

      Diese Norm hei{\ss}t {\bf Operatornorm} auf $L(V,W)$.

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S13.2}
        Sind $(V, W)$ Banachr\"aume (zum Beispiel $V = \R^n$, $W = \R^m$),
        dann ist $L(V,W)$ mit der Operatornorm ein Banachraum.
        \medskip

      Beweis: Warum ist das eine Norm? Ist $f \neq 0$, so gibt es $v \in V$
      mit $f(v) = w \neq 0$, also
      $$\frac{1}{||v||_V} \cdot f(v)
      = f\underbrace{\left(\frac{1}{||v||_V} \cdot v \right)}_{
      \mbox{\scriptsize Einheitsvektor}} \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad
      ||f|| \neq 0$$

      \paragraph{Dreiecksungleichung f\"ur die Operatornorm:}
        $$||f(v) + g(v)||_W \leq ||f(v)||_W + ||g(v)||_W$$

        Das bleibt im Supremum richtig, also $||f+g|| \leq ||f|| + ||g||$.
        \medskip

        Zur Vollst\"andigkeit: Sei $\series{f}{n}$ eine Cauchy-Folge in
        $L(V,W)$. F\"ur $v \in V$ ist dann $\left(f_n(v)\right)_{n \in \N}$
        eine Cauchy-Folge in $W$, definiere $f(v) = \liminfty{n} f_n(v)$.

      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Bemerkung \S13.3}
        Sind $X$, $Y$, $Z$ Banachr\"aume, $X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y
        \stackrel{g}{\longrightarrow} Z$ stetige lineare Abbildungen, so
        gilt $||g \circ f|| \leq ||g|| \cdot ||f||$ (submultiplikativ).

    \subsection{Differenzierbarkeit}
      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S13.4}
        Seien $V$, $W$ Banachr\"aume (zum Beispiel $V = \R^n$, $W = \R^m$),
        sei $U \subseteq V$ offen, sei $f\colon U \longrightarrow W$ stetig.
        Sei $u \in U$, sei $r > 0$ mit $B_r(u) \subseteq U$. Wir sagen
        $f$ ist {\bf differenzierbar in $u$}, falls es eine stetige Abbildung
        $\lambda\colon B_r(0) \longrightarrow W$ gibt mit $\lambda(0) = 0$
        {\em und} $A \in L(V,W)$ mit
        $$f(u+h)-f(u) = A(h) + ||h|| \cdot \lambda(h) \quad \mbox{f\"ur alle
        $h \in B_r(0)$}$$

        Falls $f$ in jedem $u \in U$ differenzierbar ist, hei{\ss}t $f$
        {\bf differenzierbar}. Die definierte Gleichung zeigt, dass die
        lineare Abbildung $A \in L(V,W)$ durch $f$ eindeutig bestimmt ist,
        wir schreiben $Df(u) = A$, also $Df(u) \in L(V,W)$:
        $$f(u+h)-f(u) = Df(u)(h) + ||h|| \cdot \lambda(h)$$

        Falls die Abbildung $U \longrightarrow L(V,W), u \mapsto Df(u)$
        stetig ist, hei{\ss}t $f$ {\bf stetig differenzierbar}.

      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Beispiel \S13.5}
        Diese neue Definition passt zu den alten, bekannten
        Differenzierbarkeitsbegriffen:

        \begin{itemize}
          \item{Analysis I: $f\colon U \longrightarrow \R$, $U \subseteq \R$
            offen, $f'(u) \cdot h = Df(u)(h)$ mit $u \in U \subseteq \R$,
            $h \in \R$}
          \item{Kurven: $c\colon J \longrightarrow V$, $J \subseteq \R$ offenes
            Intervall, $\dot{c}(t) \in V$, $Dc(t)(h) = \dot{c}(t) \cdot h$,
            $h \in \R$, $t \in J$}
          \item{Reelle Funktionen: $U \subseteq V$ offen, $f\colon U
            \longrightarrow \R$, $df(u)\colon V \longrightarrow \R$ linear,
            $Df(u)(h) = df(u)(h)$}
        \end{itemize}

    \subsection{Beispiele}
      \paragraph{Beispiel:} Ist $f\colon V \longrightarrow W$ stetig und
        linear, dann ist $f$ stetig differenzierbar:
        $$f(u+h)-f(u) = f(h) \quad \mbox{also} \quad Df(u)(h) = f(h)$$

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Paragraph \S13.6}
        Ist $V=\R^n$, $W=\R^m$, $f\colon V \longrightarrow W$.

      $f(v) = f(v_1, v_2,
      \dots, v_n) = \left(f_1(v_1, \dots, v_n), f_2(v_1, \dots, v_n),
      \dots, f_m(v_1, \dots, v_n)\right)$

      Dann ist $f$ (stetig) differenzierbar genau dann, wenn es die
      Komponenten $$f_1,\; f_2,\; \dots,\; f_m$$ sind.
      Setze $f_k\colon V \longrightarrow \R$, $k = 1, 2, \dots, m$.
      F\"ur die Ableitung gilt dann:
      $$Df(u)(h) = (w_1, w_2, \dots, w_n) \quad \mbox{mit} \quad
      h = (h_1, h_2, \dots, h_n)$$
      $$w_\ell = \sum\limits_{k=1}^n \partdiff[f_\ell]{x_k} (u) h_k$$

      In Matrixschreibweise erhalten wir:
      $$\left( \partdiff[f_\ell]{x_k} (u)
        \right)_{\fontsize{7}{3}\selectfont
      \begin{array}{l}
        {\ell = 1 \dots m} \\
        k = 1 \dots n
      \end{array}} \cdot \left( \begin{array}{c}
        h_1 \\ \vdots \\ h_n
      \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
        w_1 \\ \vdots \\ w_m
      \end{array} \right)$$

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S13.7}
        $f\colon \R^3 \longrightarrow \R^2,\; (x,y,z) \mapsto (2x^2z, -xy)$

      $$\left( \begin{array}{ccc}
        \partdiff[f_1]{x} & \partdiff[f_1]{y} & \partdiff[f_1]{z} \smallskip \\
        \partdiff[f_2]{x} & \partdiff[f_2]{y} & \partdiff[f_2]{z}
      \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc}
        4xz & 0 & 2x^2 \smallskip \\
        -y & -x & 0
      \end{array} \right) \leadsto Df(x,y,z)$$

    \subsection{Zweimal stetig differenzierbare Funktionen}
      \index{Differenzierbarkeit}
      \paragraph{Definition:}
        \marginnote[Vorlesung\\25.05.2004\\]{Definition \S13.8}
        Sei $U \subseteq V$ eine offene Teilmenge.
        Eine Funktion $U \longrightarrow W$ hei{\ss}t {\bf zweimal stetig
        differenzierbar}, falls $f$ einmal stetig differenzierbar ist und
        falls ihre Ableitung $Df$ ebenfalls stetig differenzierbar ist.
        \medskip

        \begin{tabular}{ll}
          $f\colon U \longrightarrow W$ & $u \mapsto f(u)$ \\
          $Df\colon U \longrightarrow L(V, W)$ & $u \mapsto Df(u)$ \\
          $D^2f\colon U \longrightarrow L(V, L(V, W))$ & $u \mapsto D^2f(u)$
        \end{tabular}
        \medskip

        $Df(u)$ ist eine stetige lineare Abbildung von $V$ nach $W$.
        $DDf = D^2f$ ist eine Abbildung mit $D^2f\colon U \longrightarrow
        L(V, L(V, W))$, das hei{\ss}t $D^2f(u)(v)$ ist eine lineare Abbildung
        von $V$ nach $W$, also $D^2f(u)(v_1)(v_2) \in W$ mit $u \in U$
        und $v_1, v_2 \in V$.

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S13.9}
        Sei $U = \R^2 = V, W = \R$ und $f\colon V \longrightarrow W$ eine
        Abbildung mit $f(x,y) = x^2 - 2xy$
        \medskip

        1. Ableitung: Gradient $\nabla f(x, y) = (2x - 2y, -2x)$
        \smallskip

        2. Ableitung: Bilde partielle Ableitungen von $\nabla f$:
        \medskip

        \begin{tabular}{ll}
          $\ppartdiff{x}{x}(x, y) =  2$ & $\ppartdiff{x}{y}(x, y) = -2$
            \smallskip\\
          $\ppartdiff{y}{x}(x, y) = -2$ & $\ppartdiff{y}{y}(x, y) =  0$
        \end{tabular}

    \subsection{Die Hesse-Matrix}
      \index{Hesse-Matrix}
      \index{Matrix, Hesse-Matrix}
      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S13.10}
        Sei $U \subseteq \R^n$ eine offene Menge und sei
        $f\colon U \longrightarrow \R$ zweimal stetig differenzierbar. Die
        Matrix
        $$H(f)(u) = \left(\ppartdiff{x_j}{x_i}(u)\right)_{i,j = 1}^n
        \in \R^{n \times n}$$

        hei{\ss}t {\bf Hesse-Matrix} von $f$ im Punkt $u \in U$. Gradient und
        Hesse-Matrix braucht man zur Berechnung lokaler Extrema von reellen
        Funktionen.

    \subsection{Lokale Extrema}
      \index{Lokale Extrema}
      \index{Extrema, lokale}
      \index{Striktes lokales Extremum}
      \index{Maximum}
      \index{Minimum}
      \index{Funktionen, Extrema}
      \paragraph{Erinnerung:}
        \marginnote{Erinnerung \S13.11}
        Ein $u \in U$ hei{\ss}t {\bf lokales Maximum} einer Funktion
        $f\colon U \longrightarrow \R$, falls es ein $r > 0$ gibt, mit
        $f(u) \ge f(u')$ f\"ur alle $u' \in B_r(u)$. Entsprechend definiert
        man ein {\bf lokales Minimum}. Gilt $f(u) > f(u')$ f\"ur alle
        $u' \ne u$ in $B_r(u)$ spricht man von einem {\bf strikten lokalen
        Maximum} (Entsprechend: {\bf striktes lokales Minimum}).

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S13.12}
        Sei $f\colon U \longrightarrow \R$ stetig differenzierbar. Falls $f$
        in $u \in U$ ein lokales Extremum hat, gilt $df(u) = 0$. Falls
        $U \subseteq \R^n$ bedeutet das:
        $$\partdiff{x_i}(u) = 0, \qquad \mbox{f\"ur } i = 1, \dots, n$$

        Beweis: Sei $v \in V$. Setze $c(t) = u + vt$ und $g(t) =
        f\big(c(t)\big)$. Dann ist die Abbildung $g\colon ]-r, r[
        \longrightarrow \R$ stetig differenzierbar und hat ein lokales Extremum
        in $0 \in \R$, weil $g(0) = f(u + tv) \le f(u)$ beziehungsweise
        $g(0) = f(u + tv) \ge f(u)$) ist. Also gilt $g'(0) = 0$ (siehe
        Analysis I). Mit der Kettenregel gilt nun:

        $g'(0) = df\big(c(0)\big)\big(\dot{c}(0)\big) = df(u)(v) = 0$, also
        $df(u) = 0$. Da $df$ in $\R^n$ durch $\nabla f$
        gegeben ist, gilt $\partdiff{x_i}(u) = 0$ f\"ur $i = 1, \dots, n$
        \hfill$\square$

      \subsubsection*{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S13.13}
        \begin{itemize}
          \item{$f(x, y) = x^2 + y^2, \qquad \nabla f(x, y) = (2x, 2y)$

            $\nabla f(x, y) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x, y) = 0$}
          \item{$f(x, y) = x^2 - y^2, \qquad \nabla f(x, y) = (2x, -2y)$

            $\nabla f(x, y) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x, y) = 0$

            $(0, 0)$ ist aber {\em kein} lokales Extremum dieser Funktion.}
        \end{itemize}

    \subsection{Linearit\"at der zweiten Ableitung}
      \marginnote{Bemerkung \S13.14}
      \index{Linearit\"at}
      \index{Zweite Ableitung, Linearit\"at}
      \index{Bilinearform}
      Ist $f\colon U \longrightarrow \R$ stetig differenzierbar, dann ist
      $df(u) = Df(u)$ eine lineare Abbildung $V \longrightarrow \R$. Die
      2. Ableitung $D^2f(u)\colon V \longrightarrow L(V, \R) = V^*$
      (Dualraum von $V$) ist ebenfalls eine lineare Abbildung.
      F\"ur $v, w \in V$ ist $D^2f(u)(v)(w) \in \R$. Wir schreiben kurz:
      $$D^2f(u)(v, w) = D^2f(u)(v)(w)$$

      So geschrieben ist $D^2f(u)$ eine Abbildung $V \times V
      \longrightarrow \R,\; (v, w) \mapsto D^2f(u)(v, w)$. Diese Abbildung
      $D^2f(u)(v, w)\colon V \times V \longrightarrow \R$ ist offensichtlich
      in jedem der beiden Argumente {\bf linear}, das hei{\ss}t $D^2f(u)$ ist
      {\bf bilinear}. F\"ur alle $v, v_1, v_2, w, w_1, w_2 \in V, r \in \R$
      gilt:
      \begin{enumerate}
        \item{$D^2f(u)(v_1 + v_2, w) = D^2f(u)(v_1, w) + D^2f(u)(v_2, w)$}
        \item{$D^2f(u)(v, w_1 + w_2) = D^2f(u)(v, w_1) + D^2f(u)(v, w_2)$}
        \item{$D^2f(u)(rv, w) = r D^2f(u)(v, w) = D^2f(u)(v, rw)$}
      \end{enumerate}

      Die zweite Ableitung ist eine bilineare Abbildung. Ist $U \subseteq
      \R^n, v = (v_1, \dots, v_n)$ und $w = (w_1, \dots, w_n)$, so gilt:
      $$D^2f(u)(v, w) = \sum_{i,j = 1}^n v_j \ppartdiff{x_i}{x_j}(u)\cdot w_j
      = (v_1, \dots, v_n) \cdot H(f)(u) \cdot \left(
        \begin{array}{c}
          w_1 \\
          \vdots \\
          w_n
        \end{array}\right)$$

      Die Bilinearform $D^2f(u)$ wird also durch die Hesse-Matrix gegeben.

    \subsection{Die Kettenregel}
      \index{Differentiation, Kettenregel}
      \index{Kettenregel}
      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S13.15}
        Sind $V_1, V_2, V_3$ Banachr\"aume, $U_1 \subseteq V_1, U_2 \subseteq
        V_2$ offen und $f\colon U_1 \longrightarrow V_2$, $g\colon U_2
        \longrightarrow V_3$ Funktionen mit $f(U_1) \subseteq U_2$, so gilt:
        Wenn $f, g$ stetig differenzierbar sind, so auch $g \circ f\colon
        U_1 \longrightarrow V_3$ mit $D(g \circ f)(u) =
        Dg\big(f(u)\big) \circ Df(u)$
        \medskip

        Beweis: Der Beweis funktioniert analog der Kettenregel f\"ur Kurven und
        reelle Funktionen.\hfill$\square$

    \subsection{Die Symmetrie der zweiten Ableitung}
      \paragraph{Lemma:}
        \marginnote{Lemma \S13.16}
        Sei $r > 0$, $U = \{(x, y) \in \R^2 \:\big|\; |x|, |y| < r\}$ und
        $f\colon U \longrightarrow \R$ zweimal stetig differenzierbar, dann
        gilt:
        $$\ppartdiff{x}{y}(0, 0) = \ppartdiff{y}{x}(0, 0)$$

        Beweis: Setze: $F(x) = f(x, y) - f(x, 0)$. Dann ist $F$ stetig
        differenzierbar mit $F'(x) = \partdiff{x}(x, y) - \partdiff{x}(x, 0)$.
        Nach dem Mittelwertsatz (Analysis I, \S7.14) ist $F(x) - F(0) =
        F'(\hat x) x$ f\"ur ein $\hat x$ mit $|\hat x| \le |x|$, damit gilt:
        $$f(x, y) - f(x, 0) - f(0, y) + f(0, 0) = \partdiff{x}(\hat x, y) x +
        \partdiff{x}(\hat x, 0) x$$

        Setze $G(y) = \partdiff{x}(\hat x, y)$, dann gibt es $\hat y$ mit
        $|\hat y| \le |y|$ so, dass:
        $$G(y) - G(0) = G'(\hat y) y \qquad
        G'(y) = \ppartdiff{y}{x}(\hat x, y)$$

        Insgesamt: $f(x, y) - f(x, 0) - f(0, y) + f(0, 0) =
        \ppartdiff{y}{x}(\hat x, \hat y) x y$. F\"angt man mit $y$ an, benutzt
        dann $x$, erh\"alt man: $f(x, y) - f(x, 0) - f(0, y) + f(0, 0) =
        \ppartdiff{x}{y}(\tilde x, \tilde y) x y$ mit $|\hat x|, |\tilde x|
        \le |x|; |\hat y|, |\tilde y| \le |y|$ F\"ur $x y \ne 0$ hat man also:
        $\ppartdiff{x}{y}(\tilde x, \tilde y) = \ppartdiff{y}{x}(\hat x,
        \hat y)$. L\"asst man $x, y$ gegen $0$ gehen, streben auch $\hat x,
        \tilde x, \hat y, \tilde y$ gegen $0$. Da $f$ zweimal {\em stetig}
        differenzierbar ist, gibt im Grenzwert:
        $\ppartdiff{x}{y}(0, 0) = \ppartdiff{y}{x}(0, 0)$\hfill$\square$

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote[Vorlesung\\28.05.2004\\]{Satz \S13.17}
        \index{Bilinearform, Symmetrie}
        \index{Zweite Ableitung, Symmetrie}
        Sei $V$ ein Banachraum, $U \subseteq V$ offen, $f\colon U
        \longrightarrow        \R$ zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt:
        $$D^2f(u)(v_1, v_2) = D^2f(u)(v_2, v_1) \quad \mbox{f\"ur alle
        $u \in U$, $v_1, v_2 \in V$}$$

        \index{Hesse-Matrix, Symmetrie}
        Die Bilinearform $D^2f(u)$ ist {\bf symmetrisch}. F\"ur $V = \R^n$
        gilt speziell, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist:
        $$\ppartdiff[f]{x_i}{x_j}(u) = \ppartdiff[f]{x_j}{x_i}(u) \quad
        \mbox{f\"ur alle $i, j$}$$

        Beweis: Setze $g(x,y) = f(u + xv_1 + yv_2)$ f\"ur $x,y \in \R$, dann
        ist
        \bigskip

        \begin{tabular}{l}
          $\partdiff[g]{x}(x,y) = Df(u + xv_1 + yv_2)(v_1)$ \\
          $\partdiff[g]{y}(x,y) = Df(u + xv_1 + yv_2)(v_2)$ \\
          $\partdiff[]{y} \partdiff[g]{x}(x,y) =
              D^2f(u + xv_1 + yv_2)(v_1)(v_2)$ \\
          $\partdiff[]{x} \partdiff[g]{y}(x,y) =
              D^2f(u + xv_1 + yv_2)(v_2)(v_1)$
        \end{tabular}

      \paragraph{Folgerung:}
        \marginnote{Folgerung \S13.18}
        Ist $U \subseteq \R^n$ offen, $v\colon U \longrightarrow \R^n$ stetig
        differenzierbar, so kann man fragen, ob es eine stetig differenzierbare
        Funktion $f\colon U \longrightarrow \R$ gibt mit $v(u) = \nabla f(u)$
        f\"ur alle $u \in U$.
        \bigskip

      \begin{tabular}{llll}
        Beispiel:
          & (a) & $v\colon \R^2 \longrightarrow \R^2, (x,y) \mapsto (y,x)$
          & $f\colon \R^2 \longrightarrow \R, (x,y) \mapsto xy$ \\
          & (b) & $v\colon \R^2 \longrightarrow \R^2, (x,y) \mapsto (y, -x)$
          & $f$ gibt es hier nicht!
      \end{tabular}
      \bigskip

      \index{Rotation einer Matrix}
      Eine notwendige Bedingung daf\"ur ist, dass $\partdiff[v_i]{x_j}
      = \partdiff[v_j]{x_i}$ f\"ur alle $i,j$ gilt. Ist noch spezieller
      $n = 3$, setzt man
      $$\rot(v) = \left( \begin{array}{c}
        \partdiff[v_3]{x_2} - \partdiff[v_2]{x_3} \\
        \partdiff[v_1]{x_3} - \partdiff[v_3]{x_1} \\
        \partdiff[v_2]{x_1} - \partdiff[v_1]{x_2}
      \end{array}\right)$$

      dann lautet die notwendige Bedingung $\rot(v) = 0$. $\rot(v)\colon \R^3
      \longrightarrow \R^3$ hei{\ss}t {\bf Rotation von $v$}.

  % =============== SECTION 14 ===============
  \newpage
  \section{Lokale Extrema reeller Funktionen}
    \index{Extrema}
    \index{Extrema, lokale}
    \index{Minima, Maxima}
    Wir betrachten eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $f\colon U
    \longrightarrow \R$, $U \subseteq V$ eine offene Teilmenge eines
    Banachraumes. Gesucht sind (lokale) Extrema (Maxima oder Minima)
    von $f$.
    \medskip

    \subsection[Finden von potentiellen Extrema]
        {Schritt 1: Finden von potentiellen Extrema}
      \marginnote{Paragraph \S14.1}
      Falls $f$ ein Extremum in $u \in U$ hat, so gilt $df(u) = 0$, vergleiche
      \S13.12. Zuerst sucht man also die Punkte $u \in U$ mit $df(u) = 0$;
      falls $U \subseteq \R^n$ bedeutet das, man sucht Punkte $u \in U
      \subseteq \R^n$ mit $\partdiff[f]{x_i}(u) = 0$ f\"ur $i \in \{1,
      \dots, n\}$.
      \medskip

    \subsection[Validieren der gefundenen Stellen]
        {Schritt 2: Validieren der gefundenen Stellen}
      \marginnote{Paragraph \S14.2}
      Angenommen, $df(u) = 0$. Setze $g(s) = f(u + sv)$ f\"ur einen festen
      Vektor $v \in V$, $v \neq 0$ und gen\"ugend kleine $s \in \R$. Wenn $f$
      ein Extremum in $u$ hat, dann hat $g$ ein Extremum in $0$. Nun ist
      $g\colon\, ]-r, r[\, \longrightarrow \R$ eine Funktion, die wir mit den
      Mitteln aus Analysis I behandeln k\"onnen. Es gilt
      $g'(s) = df(u + sv)(v)$. $g''(f) = D^2f(u + sv)(v,v)$.

      \paragraph{Schreibweise:}Wir setzen $h(v_1, v_2) = D^2f(u)(v_1, v_2)$.

      Wenn $f$ in $u$ ein lokales Maximum hat, muss $g''(0) \leq 0$ gelten,
      f\"ur ein Minimum muss gelten $g''(0) \geq 0$.
      \bigskip

      \begin{tabular}{llcl}
        Also: & $f$ hat ein lokales Minimum in $u$ & $\Longrightarrow$ &
          $h(0,0) \geq 0$ f\"ur alle $v \in V$ \\
        & $f$ hat ein lokales Maximum in $u$ & $\Longrightarrow$ &
          $h(0,0) \leq 0$ f\"ur alle $v \in V$
      \end{tabular}
      \bigskip

      Eine symmetrische Bilinearform $h: V \times V \longrightarrow \R$
      hei{\ss}t
      \bigskip

      \begin{tabular}{llll}
        {\bf positiv definit} & falls $v \neq 0$ & $\Longrightarrow$ &
            $h(v,v) > 0$ \\
        {\bf positiv semi-definit} & falls $v \neq 0$ & $\Longrightarrow$ &
            $h(v,v) \geq 0$ \\
        {\bf negativ definit} & falls $v \neq 0$ & $\Longrightarrow$ &
            $h(v,v) < 0$ \\
        {\bf negativ semi-definit} & falls $v \neq 0$ & $\Longrightarrow$ &
            $h(v,v) \leq 0$ \\
        {\bf indefinit} & ansonsten
      \end{tabular}

    \subsection*{Beispiele}
      $f(x,y) = x^2 - y^2 \quad \leadsto \quad \nabla f(x,y) = (2x, -2y)$

      $\nabla f(x,y) = (0,0) \Leftrightarrow (x,y) = (0,0)$ ist einziger
      Kandidat f\"ur lokales Extremum.
      \medskip

      Hesse-Matrix: $H(f)(x,y) = \left( \begin{array}{rr}
        2 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \; \leadsto \;
        Df(0,0)(v,v) = v^T \left( \begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & -2
        \end{array} \right) v$
      \medskip

      Mit konkreten Werten:
      \bigskip

      \begin{tabular}{l}
        $Df(0,0)\left(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right),
          \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \right) =
          (1,0) \cdot \left( \begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}
          \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
          = 2$ \smallskip \\
        $Df(0,0)\left(\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right),
          \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \right) =
          (0,1) \cdot \left( \begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}
          \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
          = -2$
      \end{tabular}
      \bigskip

      Das hei{\ss}t, $D^2f(0,0)$ ist weder positiv semi-definit noch
      negativ semi-definit, also kann in $(0,0)$ kein lokales Extremum liegen.

    \subsection{Hinreichendes Kriterium f\"ur lokale Extrema}
      Wir suchen jetzt ein hinreichendes Kriterium f\"ur die Existenz
      lokaler Extrema. Sei $df(u) = 0$, $g(s) = f(u + sv)$.
      Dann wissen wir aus Analysis I \S8.16:
      \begin{eqnarray*}
        g(s) &=& g(0) + g'(0) \cdot s + \int_0^s (s-t) \cdot g''(t)
          \dx[t] \\
        f(u + sv) &=& f(u) + \int_0^s D^2f(u + tv)(v,v) \cdot (s-t)
          \dx[t]
      \end{eqnarray*}

      Angenommen, es gibt ein $\delta > 0$ so, dass f\"ur alle $v \in V$
      mit $||v|| = 1$ gilt: $D^2f(u)(v,v) > \delta$, dann gilt f\"ur alle
      $w$ nahe bei $u$, dass $D^2f(w)(v,v) \geq \frac{\delta}{2}$, der
      Ausdruck im Integral wird also positiv, $g(s) > g(0)$ f\"ur
      gen\"ugend kleine $s \neq 0$.

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S14.4}
        Sei $U \subseteq V$ offen, $f\colon U \longrightarrow \R$ zweimal
        stetig differenzierbar, sei $u \in U$ mit $df(u) = 0$. Falls es ein
        $\delta > 0$ gibt so, dass f\"ur alle $v \in V$ mit $||v|| = 1$ gilt:
        $D^2f(u)(v,v) > \delta$, so hat $f$ in $u$ ein striktes Minimum,
        das hei{\ss}t es gibt $r > 0$ so, dass f\"ur alle $w \in U$ mit
        $||u - w|| \leq r$ und $w \neq u$ gilt: $f(u) < f(w)$.
        \medskip

        Gilt entsprechend $D^2f(u)(v,v) < -\delta$ mit $||v|| = 1$, so hat
        $f$ in $u$ ein striktes lokales Maximum.
        \medskip

        \marginnote[Vorlesung\\01.06.2004]{}
        Beweis: Es gibt ein $\varepsilon > 0$ so, dass aus $||w - v|| <
        \varepsilon$ folgt: $D^2f(u)(v, v) > \frac{\delta}{2}$ f\"ur alle
        $v \in V$ mit $||v|| = 1$, denn: Setze $A(v, v) = D^2f(w)(v, v) -
        D^2f(u)(v, v)$. $||A(v, v)|| \le ||A|| \cdot ||v||^2$ (gilt f\"ur
        Operatornorm).
        $$D^2f(w)(v, v) = D^2f(u)(v, v) - A(v, v)$$
        $$|D^2f(w)(v, v)| \ge \underbrace{|D^2f(u)(v, v)|}_{\ge \delta} -
        \underbrace{|A(v, v)|}_{> \frac{\delta}{2}}$$

        ($A(v, v) > \frac{\delta}{2}$ gilt falls $w$ nahe bei $u$ liegt.)

        Es gilt: $g(s) = f(u + sv), g(s) = f(u) + \int_0^s D^2f(u + ts)(v,v)
        \cdot (s - t) \dx[t]$\hfill$\square$

      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Bemerkung \S14.5}
        Wenn $V$ {\em endliche Dimension} hat und $D^2f(u)$ positiv definit
        ist, dann gibt es automatisch so ein $\delta > 0$, denn $||v|| =
        \sqrt{D^2f(u)(v, v)}$ ist eine Norm auf $V$. Weil auf endlich
        dimensionalen Vektorr\"aumen alle Normen \"aquivalent sind
        (nach \S11.12) gibt es ein $\delta > 0$ mit
        $||v|| = 1, ||v||' > \sqrt{\delta}$,
        also $D^2f(u)(v, v) > \delta$.

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S14.6}
        Sei $U \subseteq \R^n$ eine offene Menge und $f\colon U \longrightarrow
        \R$ zweimal stetig differenzierbar. Sei $u \in U$ mit $df(u) = 0$
        (das hei{\ss}t $\nabla f(u) = 0$). Dann hat $f$ ein striktes lokales
        Minimum (Maximum), falls $D^2f(u)$ positiv definit (negativ definit)
        ist.

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S14.7}
        \begin{itemize}
          \item{$f(x, y) = x^2 + y^2, \quad \nabla f(x, y) = (2x, 2y), \quad
            \nabla f(x, y) = 0 \:\Leftrightarrow\: (x, y) = (0, 0)$

            $H(f)(x, y) = \left(\begin{array}{rr}
              2 & 0 \\
              0 & 2
            \end{array}\right), \quad H(f)(x, y)$ ist positiv definit, denn:

            $\left(\begin{array}{rr}
              v_1 & v_2
            \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
              2 & 0 \\
              0 & 2
            \end{array}\right)\left(\begin{array}{r}
              v_1 \\
              v_2
            \end{array}\right) = 2v_1^2 + 2v_2^2 > 0 \quad$ f\"ur $(v_1, v_2)
            \ne (0, 0)$}
          \item{$f(x, y) = 4xy, \quad \nabla f(x, y) = (4y, 4x), \quad
            \nabla f(x, y) = 0 \:\Leftrightarrow\: (x, y) = (0, 0)$

            $H(f)(x, y) = \left(\begin{array}{rr}
              0 & 4 \\
              4 & 0
            \end{array}\right)$

            $\left(\begin{array}{rr}
              1 & \phantom{-}1
            \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
              0 & 4 \\
              4 & 0
            \end{array}\right)\left(\begin{array}{r}
               1 \\
               \phantom{-}1
            \end{array}\right) = \phantom{-}4 + 4 = \phantom{-}8 > 0$

            $\left(\begin{array}{rr}
               1 & -1
            \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
              0 & 4 \\
              4 & 0
            \end{array}\right)\left(\begin{array}{r}
               1 \\
              -1
            \end{array}\right) = -4 - 4 = -8 < 0$

            Die Hesse-Matrix ist indefinit, also gibt es {\em kein} lokales
            Extremum.}
          \item{$f(x, y) = x y^2, \quad \nabla f(x, y) = (y^2, 2x y), \quad
            \nabla f(x, y) = 0 \:\Leftrightarrow\: y = 0$

            $H(f)(x, y) = \left(\begin{array}{rr}
              0  & 2y \\
              2y & 2x
            \end{array}\right)$

            $ H(f)(x, y)$ ist positiv semi-definit f\"ur $x \ge 0$

            $ H(f)(x, y)$ ist negativ semi-definit f\"ur $x \le 0$

            $\Rightarrow$ Hier kann man Satz \S14.6 nicht anwenden.}
        \end{itemize}

    \subsection{Definitheitskriterien}
      \marginnote{Paragraph \S14.8}
      \index{Definitheit, Kriterien}
      \index{Eigenvektor}
      \index{Eigenraum}
      Im Folgenden soll kurz ein Kriterium betrachtet werden, mit dem sich
      die Definitheit einer Bilinearform leicht ermitteln l\"asst. Weitere
      Verfahren und Kriterien werden in der linearen Algebra vorgestellt.
      Ist $T\colon V \longrightarrow V$ eine lineare Abbildung und $v \in V$,
      $v \ne 0$ ein Vektor mit $T(v) = c \cdot v$, so hei{\ss}t $v$ {\bf
      Eigenvektor} zum {\bf Eigenwert} $c$. Es gilt der folgende Satz:
      \medskip

      Ist $T\colon \R^n \longrightarrow \R^n$ linear und symmetrisch
      (selbstadjungierend, das hei{\ss}t es gilt $\sprod{Tv}{w} = \sprod{v}{Tw}$
      f\"ur alle $v, w \in \R^n$, oder auch: $T$ wird durch eine symmetrische
      Matrix beschrieben), dann gibt es eine Basis $v_1, v_2, \dots, v_n$ des
      $\R^n$ aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren, die Eigenvektoren
      von $T$ sind, das hei{\ss}t es gilt: $\sprod{v_i}{v_j} = 0$,
      $\sprod{v_i}{v_i} = 1$ sowie $Tv_i = c_i v_i$ f\"ur $i, j = 1, \dots, n
      \; i \ne j$ und $c_1, c_2, \dots, c_n$ Eigenwerte von $T$ mit $c_1 \le
      c_2 \le \cdots \le c_n$.
      \medskip

      Die Bilinearform $(v, w) \mapsto \sprod{Tv}{w}$ ist:
      \medskip

      \begin{tabular}{lcl}
        \bf positiv definit      & $\Leftrightarrow $ &
          $0  <  c_1 \le c_2 \le \cdots \le c_n$ \\
        \bf positiv semi-definit & $\Leftrightarrow $ &
          $0 \le c_1 \le c_2 \le \cdots \le c_n$ \\
        \bf negativ definit      & $\Leftrightarrow $ &
          $c_n \le \cdots \le c_2 \le c_1  <  0$ \\
        \bf negativ semi-definit & $\Leftrightarrow $ &
          $c_n \le \cdots \le c_2 \le c_1 \le 0$ \\
        \bf indefinit            & $\Leftrightarrow $ &
          $c_1 < 0 < c_n$
      \end{tabular}
      \medskip

      Bez\"uglich der neuen Basis $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ hat $T$
      Diagonalgestalt:
      \medskip

      $T = \left(\begin{array}{cccc}
        c_1   & 0      & \cdots & 0      \\
       0      & c_2    & \cdots & 0      \\
       \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
       0      & 0      & \cdots & c_n
      \end{array}\right)$, also: $\quad$
      \begin{tabular}{l}
        $\det(T)\;\: = c_1 \;\cdot\: c_2 \;\cdot\: \dots \;\cdot\: c_n$ \\
        $\spur(T) = c_1 + c_2 + \dots + c_n$
      \end{tabular}
      \medskip

      \begin{tabular}{ll}
        Falls $T$ positiv definit ist, gilt also: &
          $\det(\phantom{-}T) > 0$ und $\spur(T) > 0$ \\
        Falls $T$ negativ definit ist, gilt also: &
          $\det(-T) > 0$ und $\spur(T) < 0$
      \end{tabular}

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S14.9}
        Im $\R^2$ gilt: $\det(T) > 0$ und $\spur(T) > 0 \;\Rightarrow\; T$ ist
        positiv definit.
        \medskip

        Beweis: $\det(T) = c_1 \cdot c_2 > 0$ und $\spur(T) > 0 \;\Rightarrow\;
        c_1 > 0$ und $c_2 > 0$\hfill$\square$

      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Bemerkung \S14.10}
        Betrachtet man den $\R^3$, so reicht das Kriterium \S14.9 nicht, zum
        Beispiel ist die Matrix
        $$M = \left(\begin{array}{ccc}
          -1 &  0 &  0 \\
           0 & -1 &  0 \\
           0 &  0 &  3
        \end{array}\right)$$

        indefinit, obwohl gilt: $\det(M) = 3 > 0$ und $\spur(M) = 1 > 0$.

    \subsection*{Das Hurwitz-Kriterium}
      \index{Hurwitz-Kriterium}
      \index{Definitheit, Hurwitz-Kriterium}
      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S14.11}
        Ist $M = \big(m_{ij}\big)_{i, j = 1}^n$ symmetrisch, so ist $M$
        posititv definit genau dann, wenn f\"ur alle $k = 1, 2, \dots, n$ gilt:
        $$\det\left(\begin{array}{ccc}
          m_{11} & \cdots & m_{1k} \\
          \vdots & \ddots & \vdots \\
          m_{k1} & \cdots & m_{kk}
        \end{array}\right) > 0$$

        Beweis: Siehe Lineare Algebra, zum Beispiel Fischer: "`Lineare
        Algebra"'.\hfill$\square$

      \paragraph{Bemerkung:}
        $M$ ist negativ definit genau dann, wenn $-M$ positiv definit ist.

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S14.12}
        Die Matrix
        $$M = \left(\begin{array}{ccc}
          2           & \frac{1}{2} & 0           \\
          \frac{1}{2} & 2           & \frac{1}{3} \\
          0           & \frac{1}{3} & 2
        \end{array}\right)$$

        ist nach dem Hurwitz-Kriterium positiv definit, denn:
        $$\det(2) = 2 > 0 \qquad \det\left(\begin{array}{cc}
          2           & \frac{1}{2} \\
          \frac{1}{2} & 2
        \end{array}\right) = \frac{15}{4} > 0 \qquad \det(M) = 8 - \frac{2}{9}
        - \frac{1}{2} > 0$$

  % =============== SECTION 15 ===============
  \newpage
  \section{Mittelwertsatz und das lokale Inverse}
    \marginnote[Vorlesung\\04.06.2004]{}
    \index{Mittelwertsatz}
    \index{Inverse, lokale}
    \index{Lokale Inverse}

    \subsection{Beschr\"ankte Funktionen}
      \index{Beschr\"ankte Funktionen}
      \index{Funktionen, beschr\"ankte}
      Es sei $J = \;[a,b]\; \subseteq \R$ ein abgeschlossenes Intervall, $V$
      ein Banachraum. Eine Abbildung $f\colon J \longrightarrow V$ hei{\ss}t
      {\bf beschr\"ankt} falls es ein $R > 0$ gibt, so $||f(t)|| \leq R$
      f\"ur alle $t \in J$. Die beschr\"ankten Funktionen auf $J$ bilden
      einen reellen Vektorraum (das hei{\ss}t $||f(t)|| \leq R$, $||g(t)|| \leq
      S \; \Rightarrow ||(f+g)(t) \leq R+S$). Setze $||f||_\infty = \sup\{
      ||f(t)|| \; \big| \; t \in J\}$, damit ist $||\cdot||_\infty$ eine Norm
      auf diesem Vektorraum, die {\bf Supremumsnorm}. Setze $\fsetb{J}{V}
      = \{f\colon J \longrightarrow V \;|\; f \mbox{ ist beschr\"ankt}\}$ mit
      dieser Norm $||\cdot||_\infty$. In Analysis I hatten wir den Spezialfall
      $V = \R$.

    \paragraph{Lemma:}
      \marginnote{Lemma \S15.1}
      $\fsetb{J}{V}$ ist ein Banachraum.
      \medskip

      Beweis: Sei $\series{f}{n}$ eine Cauchy-Folge in $\fsetb{J}{V}$.
      Wegen $||f_k(t)-f_\ell(t)|| \leq ||f_k - f_\ell||$ ist
      $\big(f_k(t)\big)_{k \in \N}$ eine Cauchy-Folge in $V$. Setze
      $f(t) = \liminfty{k} f_k(t)$. Wegen $||f_k(t)|| \leq ||f_k||_\infty$
      ist $(||f_k(t)||)_{k \in \N}$ beschr\"ankt, die Schranke h\"angt
      nicht von $t$ ab, also $f \in \fsetb{J}{V}$.
      \medskip

      Schlie{\ss}lich gilt: Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $N \in \N$
      mit $||f_k - f_t|| < \frac{\varepsilon}{2}$ f\"ur $k,\ell \in \N$.
      Dann gilt $||f(t)-f_k(t)|| = \liminfty{n} ||f_n(t)-f_k(t)|| \leq
      \frac{\varepsilon}{2}$ f\"ur $k \geq N$, also $\liminfty{n} f_n = f$.

    \subsection{Stufenfunktionen}
      \marginnote{Definition \S15.2}
      \index{Stufenfunktionen}
      \index{Funktionen, Stufen-}
      Eine beschr\"ankte Funktion $f$ hei{\ss}t {\bf Stufenfunktion}
      falls es eine Zerlegung
      $$s_o = a < s_1 < \dots < s_N = b$$

      gibt, so dass $f$ auf jedem
      Intervall $]s_{k-1}, s_k[$ konstant ist. Die Menge $\fsets{J}{V}$
      aller Stufenfunktionen ist ein Untervektorraum von $\fsetb{J}{V}$.
      \medskip

    \subsection{Regelfunktionen}
      \index{Regelfunktionen}
      \index{Funktionen, Regel-}
      Eine beschr\"ankte Funktion $f \in \fsetb{J}{V}$ die sich als
      Grenzfunktion einer Folge von Stufenfunktionen schreiben l\"asst,
      hei{\ss}t {\bf Regelfunktion}.
      $$f = \liminfty{n} f_n \quad \mbox{f\"ur} \quad f_n \in \fsets{J}{V}$$

      Die Menge der Regelfunktionen ist ebenfalls ein Untervektorraum
      von $\fsetb{J}{V}$, die Menge der beschr\"ankten Funktionen.
      Die stetigen Funktionen sind Teilmenge der Regelfunktionen.

      \begin{figure}[h]
        \begin{center}
        \begin{picture}(200,55)
          \put(100,50){\makebox(0,0){$\fsetb{J}{V}$}}
          \put(100,35){\line(0,1){10}}
          \put(100,25){\makebox(0,0){$\fsetr{J}{V}$}}
          \put(100,10){\line(0,1){10}}
          \put(100,0){\makebox(0,0){$\fsets{J}{V}$}}
        \end{picture}
        \end{center}
        \caption{Funktionsklassen}
      \end{figure}

      \paragraph{Lemma:}
        \marginnote{Lemma \S15.3}
        $\fsetr{J}{V}$ ist ein Banachraum (bez\"uglich der
        $||\cdot||_\infty$-Norm).
        \medskip

      Beweis: Wir zeigen: $\fsetr{J}{V}$ ist {\em abgeschlossen} in
      $\fsetb{J}{V}$, dann ist es nach \S10.11 ein Banachraum.

      Sei also $\series{f}{n}$ eine konvergente Folge mit $\liminfty{n} f_n
      = f \in \fsetb{J}{V}$ und sei $f_n \in \fsetr{J}{V}$ f\"ur alle
      $n$. Zu zeigen: $f \in \fsetr{J}{V}$. Zu jedem $n$ gibt es eine
      Stufenfunktion $g_n$ mit $||f_n - g_n||_\infty < \frac{1}{n}$. Idee:
      Zeige $\liminfty{n} g_n = f$. W\"ahle $N \in \N$ so, dass aus $k \geq N$
      folgt $||f_k-f|| \leq \frac{\varepsilon}{2}$ (f\"ur gegebenes
      $\varepsilon > 0$). Dann gilt
      $$||g_k - f||_\infty = ||g_k - f_k + f_k - f||_\infty \leq
      \underbrace{||g_k - f_k||_\infty}_{< \frac{1}{k}} +
      \underbrace{||f_k - f||_\infty}_{< \frac{\varepsilon}{2}} < \varepsilon$$

    \subsection{Das Riemann-Integral}
      \index{Riemann-Integral}
      \index{Integral, Riemann}
      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S15.4}
        Sei $f\colon J \longrightarrow V$ eine Stufenfunktion zur Zerlegung
        $$s_0 = a < s_1 < s_2 < \dots < s_N = b$$

        sei $f(t) = c_k$ f\"ur alle $t \in ]s_{k-1}, s_k[$, setze
        $$\int_a^b f(t) \dx[t] = c_1(s_1 - s_0) + c_2(s_2 - s_1)
        + \dots + c_N(s_N - s_{N-1})$$

        Die Abbildung $\fsets{J}{V} \longrightarrow V, f \mapsto \int_a^b
        f(t) \dx[t]$ ist linear, denn
        \begin{eqnarray*}
          \int_a^b(f_1 + f_2)(t) \dx[t] &=& \int_a^b f_1(t) \dx[t]
            + \int_a^b f_2(t) \dx[t] \\
          \int_a^b cf(t) \dx[t] &=& c \int_a^b f(t) \dx[t]
        \end{eqnarray*}

        und $L$-Lipschitz-stetig mit $L = b-a$,        denn
        $$||\int_a^b f(t) \dx[t]|| \;\leq\; \int_a^b ||f(t)|| \dx[t]
        \;\leq\; \int_a^b ||f||_\infty \dx[t] \;=\; (b-a) \cdot ||f||_\infty$$

        Ist $\series{f}{n}$ eine Folge von Stufenfunktionen, die gegen die
        Regelfunktion $f$ konvergiert, so konvergiert auch die Folge
        $\int_a^b f_n(t) \dx[t]$ (weil das Integrieren Lipschitz-stetig ist),
        setze $\int_a^b f(t) \dx[t] = \liminfty{n} \int_a^b f_n(t) \dx[t]$.

        Das ist {\bf wohldefiniert} (das hei{\ss}t es h\"angt {\em nicht}
        von der Wahl der Folge ab), denn angenommen
        $$\liminfty{n} f_n = f = \liminfty{n} g_n \quad \mbox{f\"ur}
        \quad f_n, g_n \in \fsets{J}{V}$$

        dann gilt $\liminfty{n} (f_n - g_n) = 0$, damit $\liminfty{n}
        \int_a^b \big(f_n(t) - g_n(t)\big) \dx[t] = 0$, also

        $\liminfty{n} \int_a^b f_n(t) \dx[t] = \liminfty{n} \int_a^b g_n(t)
        \dx[t]$. \hfill $\square$

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S15.5}
        Das Riemann-Integral ist eine Lipschitz-stetige lineare Abbildung,

        $\fsetr{J}{V} \longrightarrow V, f \mapsto \int_a^b f(t) \dx[t]$ und
        es gilt:

      \begin{eqnarray*}
        ||\int_a^b f(t) \dx[t]|| &\leq& \int_a^b ||f(t)|| \dx[t] \;\leq\;
          ||f||_\infty \cdot (b-a) \\
        \int_a^b (f+g)(t) \dx[t] &=& \int_a^b f(t) \dx[t] \;+\;
          \int_a^b g(t) \dx[t]
      \end{eqnarray*}

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S15.6}
        Ist $f\colon J \longrightarrow V$ stetig, $J = [a,b]$, so ist $f$
        {\bf gleichm\"a{\ss}ig stetig}, das hei{\ss}t zu jedem $\varepsilon
        > 0$ gibt es $\delta > 0$ mit:
        $$|s-t| < \delta \quad \Longrightarrow \quad ||f(s) - f(t)|| <
        \varepsilon$$

      Beweis (vergleiche Analysis I \S6.14): Angenommen das w\"are nicht so.
      Dann gibt es ein $\varepsilon > 0$ und $s_n, t_n \in J$ mit
      $|s_n - t_n| < \frac{1}{n}$, $||f(s_n) - f(t_n)|| \geq \varepsilon$.
      Nach Bolzano-Weierstra{\ss}\space d\"urfen wir annehmen, dass
      $\series{s}{n}$, $\series{t}{n}$ konvergieren, $\liminfty{n} s_n
      = \liminfty{n} t_n = t$. Aber $||f(t_n) - f(s_n)|| \geq \varepsilon$.
      Im Grenzwert $n \rightarrow \infty$ ergibt dies aber $||f(t) - f(t)||
      = 0$. (Widerspruch) \hfill $\square$

    \subsection{Regelfunktionen und Integration}
      \paragraph{Satz:}
        \marginnote[Vorlesung\\08.06.2004\\]{Satz \S15.7}
        Auf einem abgeschlossenen Intervall $J = [a, b]$ ist jede stetige
        Funktion $f\colon J \longrightarrow V$ eine Regelfunktion, also
        $\fsetc{J}{V} \subseteq \fsetr{J}{V}$. Insbesondere ist f\"ur jede
        stetige Funktion das Riemann-Integral definiert.
        \medskip

        Beweis: Sei $f\colon J \longrightarrow V$ stetig, sei
        $\varepsilon > 0$. W\"ahle $\delta > 0$ so, dass aus $|s - t| < \delta$
        folgt: $||f(s) - f(t)|| < \varepsilon$ (Das geht nach Satz \S15.6).
        W\"ahle $m \in \N$ so, dass $\frac{b - a}{m} < \delta$, setze
        $s_k = a + k \frac{b - a}{m}$, $k = 0, \dots, m$, setze $c_k = f(s_k)$.

        %  Graph: Stetige Regelfunktionen
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(250,60)
            \put(10,10){\vector(1,0){90}}
            \put(10,10){\vector(0,1){50}}
            \put(20,40){\qbezier(0,0)(18,10)(30,-5)}
            \put(50,35){\qbezier(0,0)(12,-10)(30,5)}
            \put(18,55){\makebox(0,0){$V$}}
            \put(110,10){\makebox(0,0){$\R$}}
            \put(20,7){\line(0,1){6}}
            \put(20,0){\makebox(0,0){$a$}}
            \put(80,7){\line(0,1){6}}
            \put(80,0){\makebox(0,0){$b$}}
            \put(90,45){\makebox(0,0){$f$}}

            \put(20,40){\line(1,0){5}}
            \put(25,42){\line(1,0){5}}
            \put(30,43){\line(1,0){5}}
            \put(35,44){\line(1,0){5}}
            \put(40,43){\line(1,0){5}}
            \put(45,40){\line(1,0){5}}
            \put(50,36){\line(1,0){5}}
            \put(55,33){\line(1,0){5}}
            \put(60,31){\line(1,0){5}}
            \put(65,31){\line(1,0){5}}
            \put(70,33){\line(1,0){5}}
            \put(75,36){\line(1,0){5}}

            \put(160,0){\makebox(100,60){$g(s) = \left\{\begin{array}{ll}
                c_0 & \mbox{f\"ur } s_0 \le s < s_1 \\
                c_1 & \mbox{f\"ur } s_1 \le s < s_2 \\
                \vdots & \\
                c_m & \mbox{f\"ur } s_m = b
              \end{array}\right.$}}
          \end{picture}
          \caption{Stetige Regelfunktionen}
        \end{figure}

        Nach Konstruktion gilt: $|| g(s) - f(s)|| < \varepsilon$ also
        $||g - f||_\infty < \varepsilon$. Damit gilt: $f \in \fsetr{J}{V}$
        \hfill$\square$
        \medskip

        Dieses Verfahren liefert einen Algorithmus zur numerischen Berechnung
        von Integralen (W\"ahle $m$ gro{\ss}).

      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Bemerkung \S15.8}
        Ist $V = \R^n$ und $f(s) = \big(f_1(s), f_2(s), \dots, f_n(s)\big)$
        eine Regelfunktion (zum Beispiel eine stetige Funktion), dann gilt:
        $$\int_a^b f(s) \dx[s] = \left(\int_a^b f_1(s) \dx[s],
        \int_a^b f_2(s) \dx[s], \dots, \int_a^b f_n(s) \dx[s]\right)$$

        denn das stimmt f\"ur Stufenfunktionen, also auch f\"ur
        Regelfunktionen.

      \paragraph{Beispiel:}
        \begin{itemize}
          \item{$V = \R^2,\quad J = [0, 3],\quad f(s) = (s^2, s)$

            $\int_0^3 f(s) \dx[s] = \left(\frac{1}{3} s^3,
            \frac{1}{2} s^2\right) \; \big\vert_0^3 = \left(9,
            \frac{9}{2}\right)$}
          \item{$V = \R^2,\quad J = [a, b],\quad g(s) = \big(\cos(s),
            \sin(s)\big)$

            $\int_a^b g(s) \dx[s] = \big(\sin(s), -\cos(s)\big)
            \; \big\vert_a^b = \big(\sin(b) - \sin(a), \cos(a) - \cos(b)\big)$}
        \end{itemize}

        % Graph: Funktionsgraphen von f und g.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(250,60)
            \put(10,10){\vector(1,0){90}}
            \put(10,10){\vector(0,1){50}}
            \put(18,60){\makebox(0,0){$v_2$}}
            \put(110,10){\makebox(0,0){$v_1$}}
            \put(10,10){\qbezier(0,0)(10,25)(70,30)}
            \put(80,7){\line(0,1){6}}
            \put(80,0){\makebox(0,0){$3$}}
            \put(10,0){\makebox(0,0){$0$}}
            \put(90,40){\makebox(0,0){$f$}}

            \put(135,30){\vector(1,0){90}}
            \put(180,5){\vector(0,1){55}}
            \put(190,60){\makebox(0,0){$v_2$}}
            \put(235,30){\makebox(0,0){$v_1$}}
            \put(180,30){\circle{30}}
            \put(200,15){\makebox(0,0){$g$}}
          \end{picture}
          \caption{Funktionsgraphen von $f$ und $g$}
        \end{figure}

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S15.9}
        Ist $c\colon J \longrightarrow V$ stetig, $a \le t_0 \le b$ und
        $g(s) = \int_{t_0}^s c(t) \dx[t]$, dann ist $g$ stetig differenzierbar
        und $\dot{g} = c$ (dabei setzen wir $\int_{t_0}^s c(t) \dx[t] =
        - \int_s^{t_0} c(t) \dx[t]$, falls $s < t_0$).
        \medskip

        Beweis: $\int_{t_0}^{t + h} c(s) \dx[s] - \int_{t_0}^t c(s) \dx[s]
        = g(t + h) - g(t) = \int_t^{t + h} c(s) \dx[s]$, also:
        \begin{eqnarray*}
          g(t + h) - g(t) - h \cdot c(t) &=& \int_t^{t + h}
            (c(s) - c(t)) \dx[s]
            \smallskip\\
          ||g(t + h) - g(t) - h \cdot c(t)|| &\le&
            \int_t^{t + h} ||c(s) - c(t)|| \dx[s] \\
          &\le& |h| \sup\big\{||c(s) - c(t)|| \:\big\vert\; |s - t| \le h\big\}
        \end{eqnarray*}

        Also folgt $g(t + h) - g(t) - h \cdot c(t) = |h| \lambda(h)$ mit
        $\lambda$ stetig und $\lambda(0) = 0$, also $\dot{g}(t) = c(t)$
        \hfill$\square$
        \medskip

        Insbesondere gilt: $g(b) - g(a) = \int_a^b c(t) \dx[t] =
        \int_a^b \dot{g}(t) \dx[t]$

      \paragraph{Folgerung:}
        Ist $g\colon [a, b] \longrightarrow V$ eine stetig differenzierbare
        Kurve, so gilt:
        $$\int_a^b \dot{g}(s) \dx[s] = g(b) - g(a)$$

        (Wende den Satz auf $c = \dot{g}$ an).

    \subsection{Mittelwertsatz der Integralrechnung}
      \index{Mittelwertsatz, Integration}
      \index{Integration, Mittelwertsatz}
      \paragraph{Lemma:}
        \marginnote{Lemma \S15.10}
        Ist $f\colon J \longrightarrow L(V, W)$ eine Regelfunktion, so gilt:
        $t \mapsto f(t)(v) \in W$ ist ebenfalls eine Regelfunktion (f\"ur
        $v \in V$ fest gew\"ahlt) und
        $$\int_a^b f(t)(v) \dx[t] = \left(\int_a^b f(t) \dx[t]\right)(v)$$

        Beweis: Das ist f\"ur Stufenfunktionen sicher richtig und bleibt im
        Grenzwert auch f\"ur Regelfunktionen richtig.\hfill$\square$

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S15.11}
        Seien $V, W$ Banachr\"aume, $U \subseteq V$ offen und $f\colon U
        \longrightarrow W$ stetig differenzierbar. Sind $u \in U$ und
        $v \in V$ so, dass $u + s v \in U$ f\"ur $0 \le s \le 1$, dann gilt:
        $$f(u + v) - f(u) = \int_0^1 Df(u + s v)(v) \dx[s]
        = \left(\int_0^1 Df(u + s v) \dx[s]\right)(v)$$

        Beweis: Setze $g(s) = f(u + s v), g\colon [0, 1] \longrightarrow V$,
        $\dot{g}(s) = Df(u + s v)(v)$, also $\int_0^1 \dot{g}(s) \dx[s]
        = g(1) - g(0) = f(u + v) - f(u) = \int_0^1 Df(u + s v)(v) \dx[s]$
        \hfill$\square$

      \paragraph{Folgerung:}
        \marginnote{Folgerung \S15.12}
        Seien $V, W$ Banachr\"aume, $U \subseteq V$ offen und $f\colon U
        \longrightarrow W$ stetig differenzierbar. Sind $u \in U$ und
        $v \in V$ so, dass $u + s v \in U$ f\"ur $0 \le s \le 1$, dann gilt:
        $$||f(u + v) - f(u)|| \le ||v|| \cdot R$$
        $$R = \sup\left\{||Df(u + s v)|| \:\big\vert\; 0 \le s \le 1\right\}$$

        Beweis: Der Beweis folgt aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung:
        \begin{eqnarray*}
          ||f(u + v) - f(u)|| &\le& \int_0^1 ||Df(u + s v)(v)|| \dx[s] \\
          &\le& \int_0^1 ||Df(u + s v|| \cdot ||v|| \dx[s]  \\
          &\le& \int_0^1 R \cdot ||v|| \dx[s] = R \cdot ||v||
        \end{eqnarray*}\hfill$\square$

      \paragraph{Bemerkung:}
        Die Abbildung $t \mapsto ||Df(u + t v)||$ ist stetig, also existiert
        solch ein $R$ (siehe Analysis I \S5.9).

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S15.13}
        Ist $V$ ein Banachraum, $U = \left\{f \in L(V, W) \:\big\vert\;
        ||f|| < 1\right\}$ und ist $f \in U$, dann hat die Abbildung
        $v \mapsto v - f(v) = (\id_V - f)(v)$ ein stetiges Inverses
        $g \in L(V, V)$.
        \medskip

        Beweis: Setze $g_n = \sum_{k = 0}^n f^k = \id_V + f + f^2 + \cdots +
        f^n$ (geometrische Summe).

        $(\id_V - f)(\id_V + f + f^2 + \cdots + f^n) = \id_V - f^{n + 1}$ sowie
        $||f^n|| \le ||f||^n$. Es gilt: $\liminfty{n} ||f||^n = 0$ (weil
        $||f|| < 1$), folglich ist $\liminfty{n} f^n = 0$. Aus der Gleichung
        erh\"alt man im Limes $\liminfty{n} (\id_V - f)\sum_{k = 0}^n f^k =
        \id_V$, denn $\series{g}{n}$ ist eine Cauchy-Folge in $L(V, V)$, also
        $\liminfty{n} g_n = \sum_{k = 0}^\infty f^k = g$, also:
        $(\id_V - f) \circ g = \id_V$. Man rechnet genauso nach: $g \circ
        (\id_V - f) = \id_V$, also $g = (\id_V - f)^{-1}$.\hfill$\square$
        \medskip

        \index{Reihen, Neumann'sche}
        \index{Neumann'sche Reihe}
        Man nennt $\suminfty{k = 0} f^k$ die {\bf Neumann'sche Reihe}
        (= geometrische Reihe) zu $f$.
        $$(\id_V - f)^{-1} = \suminfty{k = 0} f^k$$

    \subsection{Der Satz vom lokalen Inversen}
      \index{Lokales Inverse}
      \index{Inverse, lokales}
      \paragraph{Satz:}
        \marginnote[Vorlesung\\11.06.2004\\]{Satz \S15.14}
        Seien $V,W$ Banachr\"aume (zum Beispiel $V,W$ isomorph zu $\R^n$),
        $U \subseteq V$ offen, $f\colon U \longrightarrow W$ stetig
        differenzierbar.

        Sei $u_0 \in U$, setze $T = Df(u_0)\colon V
        \longrightarrow W$. Falls $T$ ein Vektorraumisomorphismus ist, gibt
        es ein $r > 0$ und ein Inverses $g\colon B_r\big(f(u_0)\big)
        \longrightarrow        U$ zu $f$. $g$ ist stetig differenzierbar
        und $Dg(f(u_0)) = T^{-1}$.
        \medskip

        % TODO Graph

        Mit anderen Worten: Die Gleichung $f(x) = y$ l\"asst sich f\"ur
        $y$ nahe $f(u_0)$ nach $x$ auf\/l\"osen.
        \medskip

        Den Beweis zerlegen wir in Einzelschritte:

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S15.15}
        Satz 14 ist richtig, falls $f$ eine stetige lineare Abbildung ist.
        \medskip

        Beweis: Wenn $f$ linear ist, so gilt $Df(u_0)(v) = f(v)$, das
        hei{\ss}t $T = f$ ist ein Vektorraumisomorphismus. Dann ist
        $T^{-1}\colon W \longrightarrow V$ ein Vektorraumisomorphismus
        (lineare Algebra) {\em und} $T^{-1}$ ist stetig,
        denn falls $\dim V$ endlich ist (\S11.11) ist das sicher richtig.
        Es ist auch im Unendlichdimensionalen richtig (Banachs Satz
        von der offenen Abbildung, vergleiche Heuser $\rightarrow$
        Funktionalanalysis). Jedenfalls ist $T^{-1} = f^{-1}$ dann stetig,
        setze $g=T^{-1}$. \hfill $\square$

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S15.16}
        Satz 14 ist in der folgenden Situation richtig:

        Falls $V = W$, $u_0 = 0 = f(u_0)$ und $T = \id_V$.
        \medskip

        Beweis: {\bf (a)} Behauptung: Es gibt ein $r > 0$ so, dass f\"ur $||u||
        \leq r$ folgt: $Df(u)$ hat ein stetiges Inverses. Denn: Die Abbildung
        $u \mapsto Df(u)$ ist stetig, also gibt es ein $r > 0$ so, dass
        folgendes gilt:
        $$||u|| \leq r \quad \Longrightarrow \quad ||Df(u) -
        \underbrace{Df(0)}_{=\id_V}|| < 1$$

        Wegen Satz 13 ist $Df(u)$ invertierbar (Neumann'sche Reihe). \hfill
        $\square$
        \medskip

        {\bf (b)} Setze $p(x) = x - f(x)$, dann gilt $p(0) = 0$ und
        $Dp(0) = D\id_V - Df(0) = 0$. Es gibt also ein $r > 0$ so, dass
        $||Dp(u)|| \leq \frac{1}{2}$ f\"ur $||u|| < r$, und $Df(u)$ hat
        ein stetiges Inverses. Nach Folgerung 12 ist $||p(u)|| \leq
        \frac{1}{2} \cdot r$ f\"ur $||u|| \leq r$.
        \medskip

        {\bf (c)} Behauptung: Ist $||u|| \leq \frac{r}{2}$ so gibt es genau
        ein $u$ mit $||u|| \leq r$ und $f(u) = v$. Denn: Betrachte $q(x) =
        v + p(x) = v + x - f(x)$. F\"ur $||x|| \leq r$ gilt
        $$||q(x)|| \leq \underbrace{||v||}_{\leq \frac{r}{2}}
        + \underbrace{||p(x)||}_{\leq \frac{r}{2}} \leq r$$

        Setze $X = \{x \in V \;\big|\; ||x|| \leq r\}$,
        das ist abgeschlossen in $V$, also vollst\"andig, $q\colon X
        \longrightarrow X$ ist stetig. Es gilt $||q(x) - q(y)|| = ||p(x)
        - p(y)|| \leq \frac{1}{2} \cdot ||x-y||$ (nach Teil (b)). Wir
        k\"onnen Banachs Fixpunktsatz anwenden! $\Longrightarrow$ Es gibt
        genau ein Element $u \in X$ mit $q(u) = u$, das hei{\ss}t
        $v + u - f(u) = u \; \Leftrightarrow \; v = f(u)$.
        \medskip

        {\bf (d)} Setze $g(v) = u$, das ist eine Umkehrfunktion. Warum ist
        $g$ stetig? Denn $v = p(v) + f(v)$ (folgt aus dem Anfang von (b))
        also
        $$||v_1 - v_2|| \leq \underbrace{||p(v_1)-p(v_2)||}_{\frac{1}{2}
        ||v_1 - v_2||} + ||f(v_1)-f(v_2)||$$

        Mit $g(u_1) = v_1$ und $g(u_2) = v_2$ ergibt sich:
        \begin{eqnarray*}
          &||g(u_1)-g(u_2)|| \leq \frac{1}{2} \cdot ||g(u_1) - g(u_2)||
            + ||u_1+u_2|| \\
          &||g(u_1)-g(u_2)|| \leq 2 \cdot ||u_1 - u_2|| \quad \Longrightarrow
          \quad \mbox{$g$ ist stetig}
        \end{eqnarray*}

        {\bf (e)} $g$ ist differenzierbar in jedem Punkt $v_1$ mit $||v_1||
        < \frac{r}{2}$. Denn:

        Setze $g(v_1 + h) = u$, $v_1 + h = f(u)$,
        $g(v_1) = u_1$, $v_1 = f(u_1)$ und $h = f(u) - f(u_1)$.
        \begin{eqnarray*}
          && ||g(v_1 + h) - g(v_1) - Df(u_1)^{-1}(h)|| \\
          & = & ||u-u_1-Df(u_1)^{-1}
          (f(u)-f(u_1))||
          \\
          && \big[ f(u) - f(u_1) = Df(u_1)(u-u_1)+||u-u_1||\lambda(u-u_1) \big]
          \\
          & = & ||u-u_1-Df(u_1)^{-1}(Df(u_1)(u-u_1)+||u-u_1||\lambda(u-u_1))||
          \\
          & \leq & ||Df(u_1)\underbrace{\lambda(u-u_1)}_{\hookrightarrow 0}||
          \cdot \underbrace{||u-u_1||}_{\hookrightarrow 0}
        \end{eqnarray*}

        also ist $g$ differenzierbar in $v_1$ und $Dg(v_1) = Df(u_1)$.
        \medskip

        {\bf (f)} $g$ ist stetig differenzierbar, weil $Df(g(v_1))^{-1}$
        stetig von $v_1$ abh\"angt.
        \medskip

        Damit ist Satz 16 bewiesen.
        \medskip

        Beweis von Satz 14: Setze $\tilde{f}(x) = T^{-1}(f(x+u_0) - f(u_0))$,
        damit ist $\tilde{f}$ stetig differenzierbar, $\tilde{f}\colon
        V \longrightarrow V$, $\tilde{f}(0) = 0$ und $D\tilde{f}(0)
        = T^{-1}Df(u_0) = \id_V$.
        \medskip

        Nach Satz 16 hat $\tilde{f}$ ein lokales Inverses $\tilde{g}$.
        L\"ost man $\tilde{f}$ nach $f$ auf, liefert $\tilde{g}$ ein
        lokales Inverses $g$ zu $f$. \hfill $\square$

      \paragraph{Beispiel:} $f(x) = x^2$, $Df(1)(v) = 2v$ mit $V=\R=W$.

      Satz 14 sagt: $f$ hat ein lokales Inverses, n\"amlich $g(y) = \sqrt{y}$.

    \subsection{Satz \"uber implizite Funktionen}
      \marginnote[Vorlesung\\15.06.2004]{}
      \index{Funktionen, implizite}
      \index{Implizite Funktionen}
      Sind $X, Y, Z$ Banachr\"aume (z.B. $\R^k, \R^\ell, \R^m$),
      $U \subseteq X$ und $V \subseteq Y$ offen, so ist $X \times Y$ ein
      Banachraum und $U \times V \subseteq X \times Y$ offen. Ist
      $f\colon U \times V \longrightarrow Z$ stetig differenzierbar und ist
      $(u, v) \in U \times V$, dann ist
      $$Df(u, v)(x, y) = D_1f(u, v)(x) + D_2f(u, v)(y)$$

      mit $D_1f(u, v)\colon X \longrightarrow Z$ und $D_2f(u, v)\colon Y
      \longrightarrow Z$ oder ganz kompakt:
      $$Df(u, v) = \big(D_1f(u, v), D_2f(u, v)\big)$$
      $$\big(D_1f(u, v), D_2f(u, v)\big) \left(\begin{array}{c}
        x \\
        y
      \end{array}\right) = D_1f(u, v)(x) + D_2f(u, v)(y)$$

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S15.17}
        Seien $X, Y, Z$ Banachr\"aume, $U \subseteq X$ und $V \subseteq Y$
        offen. $f\colon U \times V \longrightarrow Z$ sei stetig
        differenzierbar. Falls $D_2f(u, v)\colon Y \longrightarrow Z$ ein
        Isomorphismus ist, gibt es $U_0 \subseteq U$ offen mit $u \in U_0$
        und eine stetig differenzierbare Funktion $g\colon U_0
        \longrightarrow V$ mit $g(u) = v$ und $f\big(x, g(x)\big) = f(u, v) =
        \mbox{\em const}$ f\"ur alle $x \in U_0$. (Idee: Man will die
        Gleichung $f(x, y) = \mbox{\em const}$ lokal nach $y$ auf\/l\"osen.
        \medskip

        Beweis: Definiere $z_0 = f(u, v)$, $\tilde f\colon U \times V
        \longrightarrow Z$, $\tilde f(u, v) = \big(u, f(u, v)\big)$. Dann
        gilt: $D\tilde f(u, v) \left(\begin{array}{c}
          x \\
          y
        \end{array}\right) = \left(x, Df(u, v)\left(\begin{array}{c}
          x \\
          y
        \end{array}\right)\right) = \left(\begin{array}{cc}
          \id_X      & 0 \\
          D_1f(u, v) & D_2f(u, v)
        \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}
          x \\
          y
        \end{array}\right)$

        Diese Matrix ist invertierbar mit Inverser:
        \smallskip

        $$\left(\begin{array}{cc}
          \id_X & 0 \\
          A     & D_2f(u, v)^{-1}
        \end{array}\right), \quad A = - D_2f(u, v)^{-1} D_1f(u, v)$$
        \smallskip

        Nach Satz \S15.14 hat $\tilde f$ ein lokales Inverses $\tilde p$
        definiert auf $U_0 \times W_0 \subseteq X \times Z$ mit
        $f(u, v) \in U_0 \times W_0$

        $\tilde p(x, z) = \big(x, p(x, z)\big)$. Setze $g(x) = p(x, z_0)$,
        dann ist $g$ stetig differenzierbar und $\big(x, f(x, g(x))\big)
        = \tilde f\big(x, g(x)\big) = \tilde f\big(x, p(x, z_0)\big)
        = \tilde f\big(\tilde p(x, z_0)\big) = (x, z_0)$, also
        $f\big(x, g(x)\big) = z_0 = \mbox{\em const}$\hfill$\square$

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S15.18}
        $X = Y = Z = U = V = \R, \quad f(x, y) = x^2 - y^2$

        $Df(x, y) = \big(D_1f(x, y), D_2f(x, y)\big) = (2x, -2y)$.
        F\"ur $y \ne 0$ ist $D_2f(x, y)$ invertierbar, z.B. in
        $(x, y) = (0, 1)$ ist $D_2f(0, 1) = -2$.

        Es gibt also $g$ mit
        $f\big(x, g(x)\big) = f(0, 1) = -1$, $f\big(x, g(x)\big) =
        x^2 - g(x)^2 = -1$, also $g(x) = \sqrt{1 + x^2}$, $g(0) = 1$

      \paragraph{Erste Anwendung:}
        \marginnote{Anwendung \S15.19}
        {\em Niveaumengen ("`H\"ohenlinien"') reeller Funktionen.}

        Sei $f\colon U \longrightarrow \R$ eine reelle Funktion,
        $U \subseteq V$ offen in einem Banachraum $V$ (z.B. $V = \R^2$).
        Sei $u \in U$ mit $df(u) \ne 0$. Weil $df(u)\colon
        V \longrightarrow \R$ eine lineare Abbildung ist, ist
        $H = \ker\big(df(u)\big) = \{v \in V \mid df(u)(v) = 0\}$ ein
        Untervektorraum von $V$ und als Teilmenge in $V$ abgeschlossen,
        also ebenfalls ein Banachraum. W\"ahle $w \in V$ mit
        $df(u)(w) \ne 0$ (das hei{\ss}t $w \not\in H$), dann l\"asst sich
        jeder Vektor $v \in V$ eindeutig zerlegen in $v = h + s w$
        mit $h \in H$ und $s \in \R$, also $V = H \oplus (\R w)$.
        \medskip

        Schreibe $\tilde f(h, s w) = f(u + h + s w)$, $\tilde f$ ist eine
        reellwertige Funktion, es gilt:
        $$D_1\tilde f(0, 0)(h) = df(u)(h) = 0$$
        $$D_2\tilde f(0, 0)(s) = df(u)(w) \cdot s \ne 0$$

        also ist $D_2\tilde f(0, 0)$ invertierbar und es gibt $g$ mit
        $\tilde f\big(h, g(h)\big) = \tilde f(0, 0)$ f\"ur $h \in H$ nahe
        bei $0$.
        $$\tilde f\big(h, g(h)\big) = f\big(u + h + g(h) \cdot w\big)
        = f\big(p(h)\big) \quad \mbox{mit }p\colon
        U_0 \longrightarrow V, \; U_0 \subseteq H$$

        Also $f \circ p = \mbox{\em const}$, $p$ parameterisiert diese
        Niveaumenge (H\"ohenlinie) nahe $u$.

    \subsection{Extrema mit Nebenbedingungen}
      \paragraph{Definition:}
        \marginnote[Vorlesung\\18.06.2004\\]{Definition \S15.20}
        Sei $U \subseteq V$ offen in einem Banachraum $V$,
        $$q\colon U \longrightarrow \R, \quad f\colon U \longrightarrow \R$$
        $q$ und $f$ stetig differenzierbar.
        Setze $q^{-1}(0) = N = \{u \in U \;|\; q(u)=0 \}$ als Nebenbedingung,
        das sind die Nullstellen von $q$. Ein Punkt $u \in N$ hei{\ss}t
        {\bf Maximum/Minimum} oder {\bf Extremum} von $f$ {\bf mit} der
        {\bf Nebenbedingung} $q=0$, falls f\"ur alle $v \in N$ gilt:
        \bigskip

      \begin{tabular}{lll}
        $f(u) \geq f(v)$ & $\Longleftrightarrow$
           & Maximum von $f$ mit Nebenbedingung\\
        $f(u) \leq f(v)$ & $\Longleftrightarrow$
           & Minimum von $f$ mit Nebenbedingung
      \end{tabular}
      \bigskip

    \subsection{Der Lagrange-Multiplikator}
      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S15.21}
        Sei $U \subseteq V$ offen, $f,q\colon U \longrightarrow \R$ stetig
        differenzierbar, sei $u \in U$ mit $q(u) = 0$ und $dq(u) \neq 0$.
        Wenn $u$ ein Extremum von $f$ mit Nebenbedingung $q = 0$ ist, dann
        gibt es $r \in \R$ mit $df(u) = r \cdot dq(u)$. Die Zahl $r$ hei{\ss}t
        {\bf Lagrange-Multiplikator}. Falls $U \subseteq \R^n$, hei{\ss}t das
        $$\nabla f(u) = r \cdot \nabla q(u) \quad \Longleftrightarrow \quad
        \frac{\partial f}{\partial x_i}(u) = r \cdot
        \frac{\partial q}{\partial x_i}(u)$$

        mit $i = 1, 2, \dots, n$ f\"ur letzteres, welches ein
        Gleichungssystem darstellt.
        \medskip

      Beweis: Weil $dq(u) \neq 0$ und $dq(u)(w) \neq 0$, nach der vorigen
      Diskussion finden wir $g\colon W \longrightarrow \R$, $W \subseteq
      H = \ker\big(dq(u)\big)$, mit $q(u+h+g(h) \cdot w) = 0 = const$
      f\"ur $h \in W$ und $dg(0) = 0$. Ist $u$ ein Extremum von $f$ in $u$,
      so verschwindet die Ableitung der Funktion $h \mapsto f(u+h+g(h)
      \cdot w)$ an der Stelle $h = 0$, also
      \begin{eqnarray*}
        0 &=& df(u) D \underbrace{[h \mapsto u+h+g(h)
          \cdot w](0)(v)}_{v+dg(u)(v) \cdot w} \quad \mbox{f\"ur $v \in H$
          beliebig} \\
        & = & df(u)\big(dg(0)(v) \cdot w\big) + df(u)(v) \quad
          \mbox{das hei{\ss}t $H \subseteq \ker\big(df(u)\big)$}
      \end{eqnarray*}

      Setze $df(u)(w) = r \cdot \underbrace{dq(u)(w)}_{\neq 0}$ mit
      $r = \frac{df(u)(w)}{dq(u)(w)}$.

      Jedes $v \in V$ l\"asst sich schreiben als $v = h + sw$ mit
      $h \in H$,
      \begin{eqnarray*}
        && df(u)(v) = df(u)(h+sw) = df(u)(w) \cdot s \\
        && dq(u)(v) = dq(u)(h+sq) = df(u)(w) \cdot s \\
        & \Rightarrow & df(u)(v) = dq(u)(v) \cdot r \quad \Rightarrow \quad
        df(u) = dq(u) \cdot r \quad \mbox{f\"ur alle $v \in V$}
      \end{eqnarray*} \hfill $\square$

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S15.22}
        $U = \{ (x,y,z) \;|\; x,y,z > 0 \}$, $f(x,y,z) = x+y+z$.

      Nebenbedingung: $xyz = 1$, was ist das Minimum unter dieser
      Nebenbedingung? $q(x,y,z) = xyz - 1$, $\nabla q(yz,xz,xy) \neq 0$ f\"ur
      $x,y,z \in U \; \rightarrow \;$ gut!

      $\nabla f(x,y,z) = (1,1,1)$. Ist $u$ Extremum, gilt $r(yz,xz,xy) =
      (1,1,1)$ also $x=y=z=1$. Man sieht schnell ein: Das ist auch ein
      Minimum von $f$ unter der Nebenbedingung $xyz=1$.

    \subsection{Extrema mit mehreren Nebenbedingungen}
      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S15.23}
        Sei $U \subseteq V$ offen, $f\colon U \longrightarrow \R$ stetig
        differenzierbar und $q_1, q_1, \dots, q_m$ stetig differenzierbare
        Funktionen mit $q_1, q_1, \dots, q_m: U \longrightarrow \R$. Die Menge
        $N$ bezeichnet die Nebenbedingungen:
        $$N = \{ u \in U \;|\;q_1(u) = q_2(u) = \dots = q_m(u) = 0 \}$$

        Auf dieser Menge suchen wir Extrema von $f$,
        das hei{\ss}t $u \in N$ mit:
        $$v \in N \; \Rightarrow \; f(u) \geq f(v) \leadsto\: \mbox{Maximum,}
        \quad f(u) \leq f(v) \leadsto\: \mbox{Minimum}$$

        jeweils mit Nebenbedingung $q_1, q_2, \dots, q_m = 0$.
        \medskip

        Falls $u$ ein Extremum von $f$ mit dieser Nebenbedingung $q_1 = q_2
        = \dots = q_m$ ist, und falls $dq_1(u) \neq 0, dq_2(u) \neq 0, \dots,
        dq_m(u) \neq 0$, so gibt es Zahlen $r_1, r_2, \dots, r_m$ mit
        $df(u) = r_1dq_1(u) + r_2dq_2(u) + \dots + r_mdq_m(u)$. Diese Zahlen
        hei{\ss}en {\bf Lagrange-Multiplikatoren}.
        \medskip

        Beweis: Wie vorher mit $m = 1$.
        \medskip

        In Koordinaten hei{\ss}t das: $U \subseteq \R^n$, $n \leq m$.
        $\nabla f(u) = r_1 \nabla q_1(u) + \dots + r_m \nabla q_m(u)$

        $$\left( \begin{array}{c} \partdiff[f]{x_1}(u) \\
          \vdots \\ \partdiff[f]{x_n}(u) \end{array}
          \right) = \left( \begin{array}{ccc}
          \partdiff[q_1]{x_1}(u) & \cdots & \partdiff[q_m]{x_1}(u) \\
          \vdots & & \vdots \\
          \partdiff[q_1]{x_n}(u) & \cdots & \partdiff[q_m]{x_n}(u)
          \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c}
          r_1 \\ \vdots \\ r_m
          \end{array} \right)$$

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S15.24}
        Sei $A \in \R^n$ eine symmetrische $(n \times n)$-Matrix (das
        hei{\ss}t $A = A^T$ oder $a_{ij} = a_{ji}$ f\"ur alle $i,j$).
        Betrachte
        $$f\colon \R^n \longrightarrow \R, x \mapsto x^TAx
        = \langle x | Ax \rangle = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j$$

        Nebenbedingung: $||x||_2 = 1$, das hei{\ss}t $x^T \cdot x =
        \sum\limits_{i=1}^n x_j^2 = 1$, also $a(x) = x^T \cdot x - 1$,
        gesucht: Extrema. Wir m\"ussen $df$ und $dq$ ausrechnen.
        \begin{eqnarray*}
          f(u+h)-f(u) &=& (u+h)^T A(u+h) - u^TAu = h^TAu + u^TAh + h^TAh \\
          &=& 2u^TAh + h^TAh \quad \mbox{also} \quad df(u)(h) = 2u^TAh \\
          \mbox{also} \; df(u)(h) &=& 2u^TAh \quad \mbox{und} \quad dq(u)(h)
          = 2u^Th
        \end{eqnarray*}
        (vorige Rechnung mit $A = \mathbbm{1}$).
        \index{Eigenwertproblem}
        In einem Extremum mit Nebenbedingung $q=0$ gilt also: $2ru^T = 2u^TA$
        also $ru = Au$, das ist ein {\bf Eigenwertproblem}. Also: Die Extrema
        von $f$ unter der Nebenbedingung $q=0$ sind Einheits-Eigenvektoren.

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote[Vorlesung\\22.06.2004\\]{Satz \S15.25}
        Sei $A \subseteq \R^n$ abgeschlossen und beschr\"ankt (das hei{\ss}t es
        gibt ein $R > 0$ so, dass $||a|| \le R$ f\"ur alle $a \in A$). Falls
        $f\colon A \longrightarrow \R$ stetig ist, gibt es $m, M \in A$ so,
        dass $f(m) \le f(a) \le f(M)$ f\"ur alle $a \in A$. Insbesondere hat
        $f$ ein Maximum und ein Minimum.
        \medskip

        Beweis: Wir zeigen, dass $M \in A$ so existiert. Angenommen, $f$ ist
        nicht nach oben beschr\"ankt, dann gibt es zu jedem $k \in \N$ ein
        $a_k \in A$ mit $f(a_k) \ge k$. Weil $A$ beschr\"ankt ist, ist
        $x_j = \{a_j \mid a = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in A\}$ beschr\"ankt
        f\"ur $j = 1, 2, \dots, n$. Wir finden eine Teilfolge $a_k'$ so, dass
        die Folge $a_{k, 1}$ konvergiert: $a_k' = (a_{k, 1}', a_{k, 2}',
        \dots, a_{k, n}')$. Das machen wir nacheinander f\"ur alle Komponenten,
        dann erhalten wir eine Teilfolge $a_k''$ f\"ur die alle
        Komponentenfolgen konvergieren, also existiert $\liminfty{k} a_k'' =
        \tilde a \in A$. Aber: $f(a_k'') \ge k$ und $\liminfty{k} f(a_k'')
        = f(\tilde a)$. Ein Widerspruch. Also existiert $L = \sup\{f(a) \mid
        a \in A\}$. Zu jedem $k \in \N$ gibt es $a_k \in A$ mit $f(a_k) \ge
        L - \frac{1}{k}$. Wir k\"onnen wie vorher zu einer konvergenten
        Teilfolge $a_k'$ \"ubergehen. $f(a_k') \ge L - \frac{1}{k}$,
        $\liminfty{k} a_k = \tilde a$, $\liminfty{k} f(a_k') = f(\tilde a) = L$.
        Setze $M = \tilde a$, damit sind wir fertig. Die Existenz von $m \in A$
        folgt, indem man die Funktion $-f$ betrachtet.\hfill$\square$
        \medskip

        Insbesondere folgt also: Die Funktion $f(x) = \sprod{x}{Ax}$ hat auf
        der beschr\"ankten Menge $\{x \in \R^n \mid ||x||_2 = 1\}$ ein
        Minimum {\em und} ein Maximum.

      \paragraph{Folgerung:}
        \marginnote{Folgerung \S15.26}
        Jede reelle symmetrische Matrix $A \in \R^{n \times n}$ hat wenigstens
        einen Eigenvektor. (Genauer: $\R^n$ hat sogar eine Basis aus
        Eigenvektoren von $A$).

  % =============== SECTION 16 ===============
  \newpage
  \section{Gew\"ohnliche Differentialgleichungen}
    \index{Differentialgleichungen}

    \subsection{\"Uberblick}
      In einer gew\"ohnlichen Differentialgleichung tauchen nur Ableitungen
      nach {\em einer} reellen Variablen auf, in partiellen
      Differentialgleichungen tauchen dagegen {\em partielle} Ableitungen auf.
      Beispiele:

      \begin{itemize}
        \item{Gew\"ohnliche Differentialgleichung: $\; y' = y^2$}
        \item{Partielle Differentialrechnung: $\; \ppartdiff{x}{x}(x, y) +
          \ppartdiff{y}{y}(x, y) = 0$}
      \end{itemize}

      \marginnote{Paragraph \S16.1}
      Viele Naturgesetze sind Differentialgleichungen, zum Beispiel
      {\bf Newtons Gesetz}: $\vec F = m \cdot \vec a$. Das ist die Bewegung
      eines Teilchens im $\R^3$ in einem Kraftfeld ($\vec F$ gibt das Kraftfeld
      an, $\vec a$ die Beschleunigung).
      \medskip

      Man kann das Gesetz als gew\"ohnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
      (es tauchen 2. Ableitungen auf) schreiben:
      $$F = m \cdot \ddot{c} \qquad \mbox{mit} \qquad
      c\colon \R \longrightarrow \R^3,\; t \mapsto c(t)$$

      Ebenso kann man $F = m \cdot a$ eine gew\"ohnliche Differentialgleichung
      1. Ordnung im $\R^6$ betrachten, indem man eine neue Funktion $v$ mit $
      v = \dot{c}$ definiert. Es ergibt sich: $F = m \cdot \dot{v}$

    \subsection{Das Vektorfeld}
      \index{Vektorfeld}

      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S16.2}
        Sei $V$ ein Banachraum (z.B. $V = \R^n$) und $U \subseteq V$ offen.
        Eine stetige Abbildung $\xi\colon U \longrightarrow V$ hei{\ss}t
        {\bf Vektorfeld} auf $U$. Jedem $u \in U$ wird also stetig ein Vektor
        $\xi(u) \in V$ zugeordnet.

        % Graph: Das Vektorfeld.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(100,60)
            \put(80,50){\makebox(0,0){$U$}}
            \put(50,40){\qbezier(-30,5)(-5,25)(25,0)}
            \put(75,40){\qbezier(0,0)(20,-20)(-10,-40)}
            \put(65, 0){\qbezier(0,0)(-25,-10)(-50,5)}
            \put(15, 5){\qbezier(0,0)(-25,20)(5,40)}

            \put(20,40){\vector(3,2){18}}
            \put(15,30){\vector(2,1){20}}
            \put(40,35){\vector(2,1){20}}
            \put(17,24){\vector(4,1){19}}
            \put(47,30){\vector(4,1){19}}
            \put(15,18){\vector(1,0){20}}
            \put(45,18){\vector(1,0){20}}
            \put(17,13){\vector(4,-1){19}}
            \put(47,13){\vector(4,-1){19}}

            \put(45,18){\circle*{2}}
            \put(45,23){\makebox(0,0){\scriptsize $u$}}
            \put(67,23){\makebox(0,0){\scriptsize $\xi(u)$}}
          \end{picture}
          \caption{Das Vektorfeld}
        \end{figure}

      \paragraph{Beispiel:}
        \begin{itemize}
          \item{$\xi(u) = w_0 \in V \quad$ {\bf (konstantes Vektorfeld)}}
          \item{$\xi(u) = u$}
        \end{itemize}

    \pagebreak
    \subsection{Die Integralkurve}
      \index{Integralkurve}

      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S16.3}
        Eine stetig differenzierbare Kurve $c\colon J \longrightarrow V$
        hei{\ss}t {\bf Integralkurve} (bez\"uglich $\xi$), falls f\"ur
        jedes $t \in J$ gilt: $\dot{c}(t) = \xi\big(c(t)\big)$
        \medskip

        % Graph: Die Integralkurve.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(100,60)
            \put(80,50){\makebox(0,0){$U$}}
            \put(50,40){\qbezier(-30,5)(-5,25)(25,0)}
            \put(75,40){\qbezier(0,0)(20,-20)(-10,-40)}
            \put(65, 0){\qbezier(0,0)(-25,-10)(-50,5)}
            \put(15, 5){\qbezier(0,0)(-25,20)(5,40)}

            \put(20,40){\vector(3,2){18}}
            \put(15,32){\vector(2,1){20}}
            \put(30,30){\vector(2,1){20}}
            %\put(17,24){\vector(4,1){19}}
            %\put(47,30){\vector(4,1){19}}
            \put( 9,17){\qbezier(0,0)(30,20)(57,25)}
            \put(15,18){\vector(1,0){20}}
            \put(45,18){\vector(1,0){20}}
            \put(17,13){\vector(4,-1){19}}
            \put(47,13){\vector(4,-1){19}}

            \put(30,30){\circle*{2}}
            \put(30,34){\makebox(0,0){\scriptsize $u$}}
            \put(55,26){\makebox(0,0){\scriptsize $\xi(c(t)) = \dot{c}(t)$}}
          \end{picture}
          \caption{Die Integralkurve}
        \end{figure}

        Diese Bedingung ist eine gew\"ohnliche Differentialgleichung f\"ur
        $c$, die wir l\"osen wollen. Wir sehen sp\"ater: {\em Jede}
        gew\"ohnliche Differentialgleichung l\"asst sich so formulieren.

      \paragraph{Beispiel:}
        Es werden wieder die Beispiele aus \S16.2 betrachtet:
        \begin{itemize}
          \item{$c(t) = u + t \cdot w_0 \;\Rightarrow\;
            \dot{c}(t) = w_0 = \xi\big(c(t)\big)$}
          \item{$\xi(u) = u \;\Rightarrow\; c(t) = \mbox{\em ?} \qquad$
            (Hier ist die L\"osung noch unklar!)}
        \end{itemize}

    \subsection{Lokaler Fluss}
      \index{Lokaler Fluss}
      \index{Fluss}
      Wir fassen viele Integralkurven in einer Funktion zusammen.

      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S16.4}
        Sei $\xi\colon U \longrightarrow V$ ein Vektorfeld, sei $u \in U$,
        $r > 0$ und sei $U_0 \subseteq U$ eine offene Teilmenge mit
        $u \in U_0$. Eine Funktion $\varphi\colon ]-r, r[ \times U_0
        \longrightarrow U$ mit $(t,v) \mapsto \varphi(t, v)$ hei{\ss}t
        {\bf lokaler Fluss}, falls gilt:

        \begin{itemize}
          \item{$\varphi(0, v) = v$ f\"ur alle $v \in U_0$}
          \item{F\"ur jedes $v \in U_0$ ist die Kurve
            $c_v(t) = \varphi(t, v)$ eine Integralkurve f\"ur $\xi$.}
        \end{itemize}

        Betrachte $c_v(0) = v$ f\"ur $v \in U_0$,
        $\dot{c}_v(t) = \xi\big(c_v(t)\big)$

        % Graph: Lokaler Fluss.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(100,60)
            \put(80,50){\makebox(0,0){$U$}}
            \put(50,40){\qbezier(-30,5)(-5,25)(25,0)}
            \put(75,40){\qbezier(0,0)(20,-20)(-10,-40)}
            \put(65, 0){\qbezier(0,0)(-25,-10)(-50,5)}
            \put(15, 5){\qbezier(0,0)(-25,20)(5,40)}

            \put(32,10){\makebox(0,0){$U_0$}}
            \put(32,25){\circle{50}}

            \put( 9,17){\qbezier(0,0)(30,20)(57,25)}
            \put(30,30){\circle*{2}}
            \put(30,34){\makebox(0,0){\scriptsize $v$}}
            \put(60,35){\makebox(0,0){\scriptsize $c_v$}}

            \put(17,10){\qbezier(0,0)(28,17)(57,20)}
            \put(40,20){\circle*{2}}
            \put(40,24){\makebox(0,0){\scriptsize $w$}}
            \put(70,25){\makebox(0,0){\scriptsize $c_w$}}
          \end{picture}
          \caption{Lokaler Fluss}
        \end{figure}

      \paragraph{Beispiel:}
        $\xi(u) = w_0, \; \varphi(t, v) = v + t \cdot w_0$ ist ein Fluss,
        denn:

        $\varphi(0, v) = v$, $c_v(t) = v + t \cdot w_0$,
        $\dot{c}_v(t) = w_0 = \xi\big(c_v(t)\big)$
        \bigskip

        \index{$r$-Kugel}
        \index{Abgeschlossene $r$-Kugel}
        F\"ur $r > 0$ setze $\overline{B_r}(x) = \{y \in V \mid
        ||y - x|| \le r\}$. Das ist die {\bf abgeschlossene $r$-Kugel} um $v$.

      \paragraph{Satz}
        \marginnote{Satz \S16.5}
        (Lokale Existenz und Eindeutigkeit des Flusses):
        Sei $\xi\colon U \longrightarrow V$ ein $L$-Lipschitz-stetiges
        Vektorfeld und sei $u \in U$, dann gibt es $a, b > 0$ und einen
        lokalen Fluss $\varphi\colon ]-b, b[ \times B_a(u) \longrightarrow U$.
        Ist $\tilde \varphi\colon ]-\tilde b, \tilde b[ \times B_{\tilde a}(u)
        \longrightarrow U$ ein anderer Fluss, so gilt $\varphi(t,v) =
        \tilde \varphi(t, v)$ wann immer:
        $$(t, v) \in \big(]-b, b[ \times B_a(u)\big)
        \cap \big(]-\tilde b, \tilde b[ \times B_{\tilde a}(u)\big)$$

        Also f\"ur alle $(u,v)$ im gemeinsamen Definitionsbereich.
        \medskip

      \marginnote[Vorlesung\\25.06.2004]{}
      Beweis: W\"ahle $1 > a > 0$ so, dass $\overline{B_{2a}}(u) \subseteq
      U$ (zum Beispiel $B_{3a}(u) \subseteq U$). F\"ur $x \in
      \overline{B_{2a}}$ gilt dann $||\xi(x) - \xi(u)|| \leq 2aL$, also
      $||\xi(x)|| \leq ||\xi(u)|| + 2aL = k$. W\"ahle $b > 0$ so, dass
      $b < \frac{a}{k}$ und $b < \frac{1}{L}$. Setze $I = [-b, b]$ und
      $$X_v = \{c\colon I \longrightarrow U \mid \mbox{$c$ stetig, $c(0)
      = v$} \} \quad \mbox{f\"ur $v \in \overline{B_{2a}}(u)$}$$

      Die Menge $X_v$ ist vollst\"andig in der Supremumsnorm.

      Setze $S_v(c)(t) = v + \int_0^t \xi(c(s)) \dx[s]$,
      $S_v(c)(0) = v$,
      $$||S_v(c)(t) - v|| = || \int_0^t \xi(c(s)) \dx[s] || \leq
      \int_0^t ||\xi(c(s))|| \dx[s] \leq |t| \cdot k \leq b \cdot k < a$$

      Das heisst $S_v(c)(t) \in \overline{B_a}(v)$ und $S_v\colon X_v
      \longrightarrow X_v$ ist eine stetige Abbildung. F\"ur
      $c_1, c_2 \in X_v$:
      \begin{eqnarray*}
        && ||S_v(c_1)(t) - S_v(c_2)(t)|| = || \int_0^t \big(\xi(c_1(s)) -
          \xi(c_2(s))\big) \dx[s] || \\
        & \leq & \int_0^t \underbrace{|| \xi(c_1(s))
          - \xi(c_2(s)) ||}_{L \cdot ||c_1(s) - c_2(s)||} \dx[s] \leq
          L \cdot ||c_1 - c_2||_\infty \cdot b
      \end{eqnarray*}

      also $S_v$ ist $Lb$-Lipschitz-stetig und wegen $Lb < 1$ kontrahierend.
      Nach Banachs Fixpunktsatz gibt es $c_v \in X_v$ mit $S_v(c_v) = c_v$.
      $c_v(t) = v+\int_0^t \xi(c_v(s)) \dx[s]$, das ist stetig differenzierbar.
      $$\dot{c}_v(t) = \xi\big(c_v(t)\big), \; c_v(0) = v$$

      Setze $\varphi(t,v) = c_v(t)$, das ist der gew\"unschte Fluss; weil
      $c_v$ ein Fixpunkt ist, ist $c_v$ eindeutig bestimmt nach Banachs
      Fixpunktsatz. \hfill $\square$

    \subsection{Picard-Iteration}
      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Bemerkung \S16.6}
        \index{Picard-Iteration}
        Der Satz liefert einen {\em Algorithmus} zur n\"aherungsweisen
        L\"osung der Differentialgleichung: Setze $c_0(t) = v$,
        $c_1(t) = S_v(c_o)$, $c_2(t) = S_v(c_1)$, $\dots$, $c_{n+1}(t)
        = S_v(c_n)$. Das Verfahren hei{\ss}t {\bf Picard-Iteration}.

      \paragraph{Beispiel:}$U = V = \R$, $\xi(u) = u$, DGL $\dot{c}
      = c = \xi(c)$

        $c_0(t) = v$

        $c_1(t) = v + \int_0^t c_0(s) \dx[s] = v + \int_0^t v \dx[s] = v + vt$

        $c_2(t) = v + \int_0^t (v + vs) \dx[s] = v+vt+\frac{1}{2}vt^2$

        $c_n(t) = v \dot (1 + t + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{6}t^3 + \dots)$
        \medskip

      Das konvergiert gegen $c_v(t) = v \exp(t)$, $\dot{c}_v(t) = v \exp(t)
      = c_v(t)$, $c_v(0) = v$

      \paragraph{Satz}
        \marginnote{Satz \S16.7}
        (gleiche Voraussetzungen und Bezeichnungen wie in Satz \S16.5):
        Die Abbildung $\overline{B_a}(u) \longrightarrow C(I,V), v \mapsto c_v$
        ist Lipschitz-stetig, und der Fluss $\varphi$ ist stetig.
        \medskip

      Beweis: Sei $x,y \in \overline{B_a}(u)$. Dann gilt
      \begin{eqnarray*}
        && ||S_x(c_y)(t)  - c_y(t)|| = ||S_x(c_y)(t) - S_y(c_y)(t)|| \\
        &=&  ||x-y+\int_0^t \big(\xi(c_y(s)) - \xi(c_y(s))\big) \dx[s] ||
        = ||x-y||
      \end{eqnarray*}

      Setze $R = b \cdot L < 1$, dann gilt:
      \begin{eqnarray*}
        & ||S_x^n(c_y) - c_y|| \leq ||S_x^n(c_y) - S_x^{n-1}(c_y)|| +
          ||S_x^{n-1}(c_y) - S_x^{n-2}(c_y)|| \\
        & + \dots \; + ||S_x(c_y) - c_y||
        \leq (R^{n-1} + R^{n-2} + \dots + R + 1) ||x-y|| \\
        & \Longrightarrow ||c_x - c_y||_\infty \leq \frac{1}{1-R} ||x-y||
      \end{eqnarray*}

      Damit ist $\varphi$ stetig:
      \begin{eqnarray*}
        &&||\varphi(t,v) - \varphi(t+t_1, v+v_1)|| \leq ||\varphi(t,v)
          - \varphi(t+t_1,v)||\\
        & + & ||\varphi(t+t_1,v) - \varphi(t+t_1, v+v_1)|| \\
        & = & \underbrace{||c_v(t) - c_v(t+t_1)||}_{
          \stackrel{\mbox{\scriptsize klein f\"ur $t_1$ klein,}}
          {\mbox{\scriptsize weil $c_v$ stetig ist}}}
        + \underbrace{||c_v(t+t_1) - c_{v+v_1}(t+t_1)||}_{
          \stackrel{\mbox{\scriptsize klein f\"ur $t_1$ klein,}}
          {\mbox{\scriptsize wegen oben}}}
      \end{eqnarray*}

    \subsection{Lokale Lipschitz-Stetigkeit}
      \paragraph{Definition:}
        \index{Lipschitz-stetig, lokal}
        \index{Lokale Lipschitz-Stetigkeit}
        \marginnote{Definition \S16.8}
        Eine Abbildung $f\colon U \longrightarrow W$ hei{\ss}t {\bf lokal
        Lipschitz-stetig} falls es zu jedem $u \in U$ ein $r > 0$ und ein
        $L$ gibt, so dass f\"ur alle $x,y \in B_r(u) \cap U$ gilt:
        $$||f(x) - f(y)|| \leq L ||x-y||$$

        Solch eine Abbildung ist stetig, und eine Lipschitz-stetige
        Abbildung ist lokal Lipschitz-stetig.

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S16.9}
        Ist $f\colon U \longrightarrow W$ stetig differenzierbar, dann ist
        $f$ lokal Lipschitz-stetig.
        \medskip

      Beweis: Sei $u \in U$, w\"ahle $\overline{r} > 0$ so,
      dass $B_{\overline{r}}(u) \subseteq U$.
      Weil $f$ stetig differenzierbar ist, gibt es $r \leq \overline{r}$
      so, dass $||Df(x) - Df(u)|| \leq 1$ f\"ur alle $x \in B_r(u)$. Es
      folgt $||Df(x)|| \leq ||Df(u)|| + 1 = L$. Dann gilt f\"ur $x,y \in
      B_r(u)$:
      \begin{eqnarray*}
        &&||f(x) - f(y)|| = || \int_0^1 Df(sx+(1-s)y)(x-y) \dx[s] || \\
        & \leq & \int_0^1 \underbrace{||Df(sx+(1-s)y)||}_{\leq L} \cdot
        ||x-y|| \dx[s] \leq L \cdot ||x-y||
      \end{eqnarray*}

      \paragraph{Beispiel:}$f(x) = x^2$ ist nicht Lipschitz-stetig, aber
        lokal Lipschitz-stetig.
        \bigskip

      \begin{center}\begin{tabular}{ccccc}
        L.S. & $\Rightarrow$ & lokal L.S. & $\Rightarrow$ & stetig \\
        & $\not\Leftarrow$ & $\Uparrow \quad \not\Downarrow$
            & $\not\Leftarrow$ \\
        && stetig differenzierbar
      \end{tabular}\end{center}

      \paragraph{Folgerung:}
        \marginnote{Folgerung \S16.10}
        Ist $\xi$ lokal Lipschitz-stetig (zum Beispiel
        $\xi$ stetig differenzierbar) und ist $u \in U$, dann gibt es einen
        Fluss $\varphi\colon ]-b,b[ \times B_a(u) \longrightarrow U$,
        der lokal eindeutig bestimmt ist.

      \paragraph{Satz}(Existenz von globalen L\"osungen):
        \marginnote{Satz \S16.11}
        Sei $\xi\colon U \longrightarrow V$ ein lokal Lipschitz-stetiges
        Vektorfeld, sei $u \in U$, seien $c_1, c_2$ Integralkurven:

        $c_i\colon J_i \longrightarrow U$, $c_1(0) = u = c_2(0)$.
        Dann gilt:
        $$c_1(t) = c_2(t) \quad \mbox{f\"ur alle $t \in J_1 \cap J_2$}$$

      Beweis: Sei $Q = \{b > 0 \mid c_1(t) = c_2(t) \mbox{ gilt f\"ur alle
      $0 \leq t \leq b$} \}$. Dann ist $Q \neq \emptyset$ nach Satz \S16.5.
      Beachte: Ist $0 \leq \tilde{b} \leq b \in Q \; \Rightarrow \tilde{b}
      \in Q$.
      \bigskip

      \begin{tabular}{lp{10cm}}
        1. Fall: & $Q = ]0, \infty[$ dann $c_1(t) = c_2(t)$ f\"ur {\em alle}
            $t \geq 0$ \\
        2. Fall: & $b = \sup(Q) < \infty$. Wenn die Behauptung falsch
            w\"are, g\"abe es $b_1 \in J_1 \cap J_2$ mit $b_1 > b$.
            Betrachte $\tilde{c}_i(t) = c_i(t+b)$. Das sind zwei
            Integralkurven, $\tilde{c}_1(0) = \tilde{c}_2(0)$. Nach
            Satz \S16.5 gilt $\tilde{c}_1(t) = \tilde{c}_2(t)$ f\"ur
            ein kleines $t > 0$. (Widerspruch)
            \medskip

            Gleiches Argument f\"ur $t < 0$.
      \end{tabular}

      \paragraph{Folgerung:}
        \marginnote{Folgerung \S16.12}
        Ist $\xi\colon U \longrightarrow V$ ein lokal Lipschitz-stetiges
        Vektorfeld und $u \in U$. Setze $J(u) = \cup \{ J \mid \mbox{
        es gibt eine Integralkurve $c\colon J \longrightarrow V$ mit
        $c(0) = u$}\}$
        Das ist ein offenes Intervall, nach Satz \S16.11 gibt es eine
        m\"ogliche L\"osung der Differentialgleichung $\dot{c} = \xi(c)$
        zum Anfangswert $c(0) = u$.

      \subsubsection*{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S16.13}
        \begin{tabular}{lp{10cm}}
          (a) & $U = \R$, $\xi(u) = u$, L\"osung $c_v(t) = v \exp(t)$,
              $J(v) = \R$ f\"ur {\em jedes} $v \in R$. \\
          (b) & $\xi(u) = -u^2$, $U = \R$, $\dot{c}(t) = -c(t)^2$.

              Raten den L\"osung: $c(t) = \frac{1}{t+t_0} = (t+t_0)^{-1}$,
              $c(0) = \frac{1}{t_0}$,

              $\dot{c}(t) = -(t+t_0)^{-2} = \frac{-1}{(t+t_0)^2} = -c(t)^2$
        \end{tabular}
        \bigskip

        Anfangswert: $u = (c_0) = \frac{1}{t_0}$, $u \neq 0$. $c_n(t) =
        \frac{1}{t+\frac{1}{u}}$.
        \bigskip

      \begin{tabular}{ll}
        f\"ur $u > 0$ & $J(u) = ]-\frac{1}{u} \infty[$ \\
        f\"ur $u < 0$ & $J(u) = ]-\infty, -\frac{1}{u}[$ \\
        f\"ur $u = 0$ & $c(t) = 0 = const$
      \end{tabular}

    \subsection{Die klassische Differentialgleichung}
      \marginnote[Vorlesung\\29.06.2004\\]{Paragraph \S16.14}
      Sei $F\colon U \longrightarrow \R^n$ eine lokal Lipschitz-stetige
      (reell- oder vektorwertige) Funktion in mehreren Argumenten mit
      $U \subseteq \R^m$.
      Eine gew\"ohnliche Differentialgleichung im {\em klassischen} Sinne
      sieht so aus:
      $$c^{(k)}(t) = F\big(c(t), \dot{c}(t), \ddot{c}(t), \dots, c^{(k-1)}(t),
      t, p\big) \quad \mbox{mit konstantem Parameter $p$}$$

      Wie passt das zu Fl\"ussen, Integralkurven und Vektorfeldern?
      \medskip

      \marginnote{Paragraph \S16.15}
      Betrachte zuerst den Fall $k = 1$, $\dot{c}(t) = F\big(c(t), t, p\big)$.

      Definiere: $\xi(u_1, s, u_2) = \big(F(u_1, s, u_2), 1, 0\big)$.
      \medskip

      Klassisch: $F\colon U_1 \times I \times U_2 \longrightarrow V$ mit
      $U_1 \subseteq V$ offen, $I \subseteq \R$ ein offenes Intervall mit
      $0 \in I$ und $U_2 \subseteq W$ offen.

      $\xi\colon U_1 \times I \times U_2 \longrightarrow V \times \R
      \times W$, also ist $\xi$ ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld,
      definiert auf der offenen Menge $U_1 \times I \times U_2 \subseteq
      V \times \R \times W$.
      \medskip

      Sei $\tilde{c}$ eine L\"osung der Differentialgleichung
      $\dot{\tilde{c}}(t) = \xi\big(\tilde{c}(t)\big)$.

      Schreibe $\tilde{c} = (c_1, c_2, c_3)$. L\"osung zum Startwert
      $\tilde{c} = (u, 0, p)$:
      \medskip

      $\dot{c}_2(t) = 1, \quad c_2(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad c_2(t) = t$

      $\dot{c}_3(t) = 0, \quad c_3(o) = p \quad \Rightarrow \quad
      c_3(t) = p = const$

      $\dot{c}_1(t) = F\big(c_1(t), c_2(t), c_3(t) \big) = F\big(c_1(t),
      t, p \big)$
      \medskip

      Das hei{\ss}t die erste Komponente $c_1$ der Integralkurve $\tilde{c}
      = (c_1, c_2, c_3)$ ist genau die L\"osung der Differentialgleichung:
      $\dot{c}_1(t) = F\big(c_1(t), t, p \big)$, schreibe $c(t) = c_1(t)$. Die
      Differentialgleichung $\dot{c} = F\big(c,t,p\big)$ hat also eine
      eindeutige L\"osung zum Anfangswert $c(0) = u$.

      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Bemerkung \S16.16}
        Wir haben immer den Fall betrachtet, dass $c(0)$ als Anfangswert
        vorgegeben wurde. Das reicht auch vollkommen aus: Falls man
        $\dot{c}(t) = \xi\big(c(t)\big)$ mit $c(t_0) = u$ l\"osen will,
        setze $\tilde{c} = c(t+t_0)$, dann gilt $\dot{\tilde{c}}(t) =
        \dot{c}(t+t_0)$ (Kettenregel). L\"ost also $\tilde{c}$ die
        Differentialgleichung
        $$\dot{\tilde{c}}(t) = \xi\big(\tilde{c}(t)\big), \quad
        \tilde{c}(0) = u$$

        dann ist $c(t) = \tilde{c}(t-t_0)$ eine Integralkurve
        mit $c(t_0) = \tilde{c}(0) = u$.
        \medskip

      \marginnote{Paragraph \S16.17}
      Eine {\em klassische}
      gew\"ohnliche Differentialgleichung $k$-ter Ordnung
      $$c^{(k)}(t) = F\big(c(t), \dot{c}(t), \dots, c^{(k-1)}(t), t, p\big)$$

      mit den Anfangswerten $c(0) = v_0$, $\dot{c}(0) = v_1$,
      $\dots$, $c^{(k-1)}(0) = v_{k-1}$ und
      $$F\colon U_0 \times U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_{k-1}
      \times I \times \tilde{U} \longrightarrow V \quad \mbox{lokal
      Lipschitz-stetig}$$

      Setze $\xi(u_0, u_1, \dots, u_{k-1}, s, w) = (u_1, u_2, \dots, u_{k-2},
      F(u_1, \dots, w), 1, 0)$

      dann ist $\xi$ ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld:
      $$\xi\colon U_0 \times U_1 \times \cdots \times U_{k-1} \times I
      \times \tilde{U} \longrightarrow \underbrace{V \times \cdots
      \times V}_{\mbox{\scriptsize $k$-St\"uck}} \times \R \times W$$

      Sei $\tilde{c}$ die zugeh\"orige Integralkurve, $\dot{\tilde{c}}(t) =
      \xi(\tilde{c}(t))$, $\tilde{c}(t) = \big(c_0(t), \dots, c_{k-1}(t), t, p
      \big)$ und $\dot{c}_0 = c_1 = c_0^{(1)}$, $\dot{c}_1 = c_2 = c_0^{(2)}$,
      $\dots$, $\dot{c}_{k-2} = c_{k-1} = c_0^{(k-1)}$, $\dot{c}_{k-1} =
      F(c_0, c_1, \dots, c_{k-1}, t, p)$ $\Longrightarrow$
      $c^{(k)}(t) = F\big(c(t), \dot{c}(t), \dots, c^{(k-1)}(t), t, p \big)$,
      $c = c_0$.
      \medskip

      Schlagwort: Eine Differentialgleichung $k$-ter Ordnung wird auf ein
      System von $k$ Differentialgleichungen 1. Ordnung zur\"uckgef\"uhrt.

    \paragraph{Beispiel (a):}
      \marginnote{Beispiel \S16.18}
      $\ddot{c} + c = 0$: $c_1 = c$, $c_2 = \dot{c}_1$,
      $\left(\begin{array}{c} \dot{c}_1 \\ \dot{c}_2 \end{array} \right)
      = \left(\begin{array}{c} c_2 \\ -c_1 \end{array}\right)$ also
      $$\xi(u_1, u_2) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}
      \right) \cdot \left(\begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \end{array}\right), \;
      (\dot{c}_1, \dot{c}_2) = \xi(c_1, c_2)$$

      Das ist eine Differentialgleichung der Form $\xi(u) = A(u)$ mit
      $A\colon V \longrightarrow V$ linear. Man spricht von einer
      {\bf linearen Differentialgleichung}. Hier {\em raten} wir:
      $\sin$ und $\cos$ haben die Eigenschaft $\ddot{c} + c = 0
      \Leftrightarrow \ddot{c} = -c$. Ansatz mit $a,b \in \R$:
      \bigskip

      \begin{tabular}{l}
        $c(t) = \phantom{-} a \cdot \sin(t) + b \cdot \cos(t)$ \\
        $\dot{c}(t) = \phantom{-} a \cdot \cos(t) - b \cdot \sin(t)$ \\
        $\ddot{c}(t) = -a \cdot \sin(t) - b \cdot \cos(t) = -c(t)$
      \end{tabular}
      \bigskip

    Anfangswerte: $c(0) = b$, $\dot{c}(0) = a$.

    Bei einer Differentialgleichung $k$-ter Ordnung gibt man vor: $c(0)$,
    $\dot{c}(0)$, $\dots$, $c^{(k-1)}(0)$, also gibt man $k$ verschiedene
    Anfangswerte vor.

    Zu den Anfangswerten $c(0) = b$, $\dot{c}(0) = a$ ist also
    $c(t) = a \cdot \sin(t) + b \cdot \cos(t)$ die eindeutig bestimmte
    L\"osung. Es gilt: $J(b,a) = \R$.

    \paragraph{Beispiel (b)} f\"ur eine (nicht lineare) Differentialgleichung:
      \marginnote{Beispiel \S16.19}
      $F(u,t) = g(u) \cdot f(t)$ (Differentialgleichung mit getrennten
      Variablen).

      Angenommen, $g$ hat keine Nullstellen, $u \in U \subseteq \R$:
      $$\dot{c}(t) = g\big(c(t)\big) \cdot f(t) \quad \Longrightarrow
      \quad \frac{\dot{c}(t)}{g\big(c(t)\big)} = f(t)$$

      Setze $F(t) = \int_0^t f(s) \dx[s]$, $H(v) = \int_u^v \frac{1}{g(x)}
      \dx$, Anfangswert $c(0) = u$.

      Behauptung: F\"ur die L\"osung $c$ gilt $F(t) = H(c(t))$, denn
      $$f(t) = \frac{d}{dt} \int_u^{c(t)} \frac{1}{g(x)} \dx =
      \frac{d}{dt}\left( \int_0^t \frac{1}{g(c(t))} \cdot \dot{c}(s) \dx[s]
      \right) = \frac{1}{g(c(t))} \cdot \dot{c}(t)$$

      F\"ur $t=0$ haben wir $F(0) = 0 = H(c(0)) = \int_u^v \frac{1}{g(x)}
      \dx = 0$

    \paragraph{Beispiel (c):}$F(u,t) = u^2$ also $g(u) = u^2$, $f(t) = 1$.
      Das ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. $F(t) = t$.
      \begin{eqnarray*}
        H(v) = \int_u^v \frac{1}{x^2} \dx = \left[ -\frac{1}{x}
          \right]_{x=u}^{x=v} = \frac{1}{u} - \frac{1}{v} &\Longrightarrow&
          t = \frac{1}{u} - \frac{1}{c(t)} \\
        \frac{1}{c(t)} = \frac{1}{u} - t = \frac{1}{u} - \frac{ut}{u}
          = \frac{1-ut}{u} &\Longrightarrow& c(t) = \frac{u}{1-ut}
      \end{eqnarray*}

      Das ist die L\"osung der Differentialgleichung.

    \paragraph{Beispiel (d):}
      \marginnote[Vorlesung\\ 02.07.2004]{}
      $\ddot c = F(c)$ (zum Beispiel Newtons Gesetz f\"ur ein
      zeitunabh\"angiges Kraftfeld), $U \subseteq \R$ offen, $F\colon U
      \longrightarrow \R, u \in U$. Ansatz: $V(x) = -\int_u^x F(r) \dx[r]$

      \begin{eqnarray*}
        &\leadsto& \ddot c(t) + \partdiff[V]{x}\big(c(t)\big) = 0 \\
        && \ddot c(t) \dot c(t) + \dot c(t)
          \partdiff[V]{x} \big(c(t)\big) = 0 \\
        &\Rightarrow& \frac{1}{2} \dot c(t)^2 + V\big(c(t)\big) =
          E = \mbox{\em const} \\
        &\Rightarrow& \dot c(t) = \sqrt{2E - 2V(c(t))}
      \end{eqnarray*}

      Das ist der Energieerhaltungssatz (kinetische Energie + potentielle
      Energie = {\em const}), eine Differentialgleichung in getrennten
      Variablen, die wir wie in (c) l\"osen k\"onnen:
      $H(x) = \int_v^x \frac{1}{\sqrt{2E - 2V(r)}} \dx[r]$

    \paragraph{Beispiel (e):}
      $\ddot c = -kc, \quad k > 0$ reelle Konstante (Federgleichung)

      $u = 0 = c(0), \quad \dot c(0) = c_0 > 0$

      Potential: $V(x) = \int_u^x k r \dx[r] = \frac{1}{2} x^2 k$

      $\dot c(t) = \sqrt{2E - c(t)^2 k}, \quad E = \frac{1}{2} c_0^2$

      $\dot c(t) = \sqrt{c_0^2 - c(t)^2 k}, F(t) = t$

      $H(x) = \int_0^x \frac{1}{c_0^2 - k r^2} \dx[r] =
      \frac{1}{\omega} \arcsin(x \frac{\omega}{c_0})$ mit $\omega = \sqrt{k},
      \quad t = \frac{1}{\omega} \arcsin\big(c(t) \frac{\omega}{c_0}\big)$

      $\Rightarrow \sin(\omega t) = c(t) \frac{\omega}{c_0} \Rightarrow
      c(t) = \frac{c_0}{\omega} \sin(\omega t)$

      Diese Funktion l\"ost die Differentialgleichung f\"ur alle $t$.

    \paragraph{Faustregel:} Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz garantiert die
      Existenz und Eindeutigkeit der L\"osung. Mit solchen Tricks und Methoden,
      wie in den Beispielen (d) und (e) sucht man eine L\"osung ohne auf
      Einzelheiten im Definitionsbereich zu achten, sondern pr\"uft ganz zum
      Schluss, ob die gefundene Funktion eine L\"osung ist.

    \paragraph{Weitere Literatur:}
      \begin{itemize}
        \item{Walter, Gew\"ohnliche Differentialgleichungen}
        \item{Braun, Gew\"ohnliche Differentialgleichungen}
      \end{itemize}

  % =============== SECTION 17 ===============
  \newpage
  %\section[Lineare Differentialgleichungen und der globale Fluss]{Lineare
  %    Differentialgleichungen und der\\ globale Fluss}
  \section{Lineare DGL und globaler Fluss}
  %FIXME: Bessere Überschrift?

    \subsection{Der globale Fluss}
      \paragraph{Definition:}
        \index{Fluss, globaler}
        \index{Globaler Fluss}
        \marginnote{Definition \S17.1}
        Wir betrachten eine lokal Lipschitz-stetige Funktion $\xi\colon U
        \longrightarrow V$ mit $U \subseteq V$ offen und $V$ Banachraum. Zu
        $u \in U$ hatten wir das {\em maximale} L\"osungsintervall $J(u)
        \subseteq \R$ zur maximalen Integralkurve $c_u\colon J(u)
        \longrightarrow U$ mit $c_u(0) = u$. Setze $\Omega = \bigcup J(u)
        \times \{u\} \subseteq \R \times U$. Definiere $\varphi\colon \Omega
        \longrightarrow U,\; (t, u) \mapsto \varphi(t, u) = c_u(t)$. Wir nennen
        $\varphi$ den {\bf globalen Fluss} zu $\xi$ und $\Omega$ seinen
        {\bf Definitionsbereich}. F\"ur $(t, u) \in \Omega$ schreibe
        $c_u(t) = \varphi(t, u) = \varphi_t(u)$.

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S17.2}
        \begin{itemize}
          \item{$U = \R,\quad \xi(u) = u,\quad c_u(t) = u e^t = \varphi_t(u),$

            $J(u) = \R \;\Rightarrow\; \Omega = \R \times \R$}
          \item{$U = \R,\quad \xi(u) = -u^2,$

          $J(u) = \left\{\begin{array}{ll}
            ]-\frac{1}{u}, \infty[  & \mbox{falls } u > 0 \\
            ]-\infty, -\frac{1}{u}[ & \mbox{falls } u < 0 \\
            \R & \mbox{falls } u = 0
          \end{array}\right.$}
        \end{itemize}

        % Graph: Globaler Fluss.
        \begin{figure}[h]
          \centering
          \begin{picture}(120,100)
            \put(0,50){\vector(1,0){120}}
            \put(60,0){\vector(0,1){100}}
            \put(60,50){\qbezier(-1,45)(0,0)(-45,1)}
            \put(60,50){\qbezier(1,-45)(0,0)(45,-1)}
            \put(125,50){\makebox(0,0){$t$}}
            \put(60,105){\makebox(0,0){$u$}}
            \put(100,80){\makebox(0,0){$\Omega$}}
            \put(20,18){\line(1,3){11}}
            \put(20,29){\line(1,3){7}}
            \put(20,7){\line(1,3){15}}
            \put(24,7){\line(1,3){15}}
            \put(28,7){\line(1,3){16}}
            \put(32,7){\line(1,3){17}}
            \put(36,7){\line(1,3){20}}
            \put(40,7){\line(1,3){28}}
            \put(44,7){\line(1,3){28}}
            \put(48,7){\line(1,3){28}}
            \put(52,7){\line(1,3){28}}
            \put(56,7){\line(1,3){28}}
            \put(88,91){\line(-1,-3){17}}
            \put(92,91){\line(-1,-3){16}}
            \put(96,91){\line(-1,-3){15}}
            \put(96,80){\line(-1,-3){11}}
            \put(96,69){\line(-1,-3){7}}
          \end{picture}
          \caption{Globaler Fluss}
        \end{figure}

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S17.3}
        Sei $\xi\colon U \longrightarrow V$ lokal Lipschitz-stetig. Sei $(u, t)
        \in \Omega$. Dann gilt
        $$J\big(\varphi_t(u)\big) = \{s - t \mid s \in J(u)\} = J(u) - t$$

        und $\varphi_{s + t}(u) = (\varphi_s \circ \varphi_t)(u) = (\varphi_t
        \circ \varphi_s)(u)$.
        \medskip

        Beweis: Betrachte $c_1(t) = \varphi_t\big(\varphi_s(u)\big)$ und
        $c_2(t) = \varphi_{s + t}(u)$

        $c_1(0) = \varphi_s(u) = c_u(s) = \varphi_s(u) = c_2(0)$

        $\dot c_1(t) = \xi\big(c_1(t)\big)$ und $\dot c_2(t) =
        \xi\big(c_2(t)\big)$

        Mit dem Satz \"uber die Eindeutigkeit der L\"osung folgt:
        $c_1(t) = c_2(t)$\hfill$\square$

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S17.4}
        $\Omega \subseteq \R \times V$ ist offen und $\varphi\colon \Omega
        \longrightarrow U$ ist stetig.
        \medskip

        Beweis: Sei $(t, u) \in \Omega$, sei $Q = \{r > 0 \mid \mbox{f\"ur
        jedes $t \in \;]0, r[$ gibt es $a,b > 0$ mit}$

        $]\,t - b, t + b\,[ \:\times\: B_a(u) \subseteq \Omega \mbox{ und
        $\varphi$ ist stetig in $(t, v)$}\}$. Nach \S16.7 ist $Q \ne \emptyset.$

        1. Fall: $Q = ]0, \infty[ \quad \rightarrow$ OK.

        2. Fall: $Q \ne ]0, \infty[$, also existiert $q = \sup(Q) < \infty$

        Behauptung: $q \not\in J(u) \quad \rightarrow$ OK.

        Angenommen $q \in J(u)$. Setze $\overline u = \varphi_q(u) \in U$, es
        gibt einen lokalen Fluss $\tilde \varphi$ nahe $\overline u$,
        $\tilde \varphi\colon ]-r, r\,[ \times B_r(\overline u) \longrightarrow
        U$. Weiter gibt es $\delta > 0$ so, dass $t \in\: ]q - \delta, q[\:
        \Rightarrow \varphi_t(u) \in B_{\frac{r}{4}}(\overline u)$ (weil
        Integralkurven stetig sind). W\"ahle $t_1 < q$ mit $q - \delta < t_1$
        und $q - t_1 < \frac{r}{4}$. Es gibt dann $s > 0$ mit $\varphi\big(
        ]t_1 - s, t_1 + s[ \times B_{\frac{r}{2}}(\overline u)\big) \subseteq
        B_{\frac{r}{2}}(\overline u)$. F\"ur $t \in\: ]\,t_1 - r, t_1 + r[$
        setze $\psi(t, v) = \tilde \varphi\big(t - t_1, \varphi(t_1, v)\big)
        \Rightarrow \psi(t_1, v) = \varphi(t_1, v)$. Damit ist $\varphi$ doch
        in $(q, u)$ stetig. Ein Widerspruch.\hfill$\square$

    \subsection{Die Exponentialfunktion}
      \index{Exponentialfunktion}

      \paragraph{Definition:}
        \marginnote[Vorlesung\\06.07.2004\\]{Definition \S17.5}
        Es sei $V$ ein Banachraum (z.B. $V = \R^n$), $T\colon V
        \longrightarrow V$ stetig und linear, also $T \in L(V, V)$.
        Setze $g_n(T) = \id_V + T + \frac{1}{2}T^2 + \cdots +
        \frac{1}{n!}T^n = \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k!} T^k$, das ist eine
        stetige lineare Abbildung, $g_n \in L(V, V)$, denn $g_n$ ist
        linear und Summe stetiger Abbildungen.

        W\"ahle $R > 0$, setze $X_R  = \big\{T \in L(V, V) \;\big\vert\:
        ||T|| \le R\big\},\; g_n\colon X_R \longrightarrow L(V, V)$
        ist stetig f\"ur jedes $n \in \N$. Es gilt:
        $$\Big|\Big| g_N(T) - g_{N - \ell}(T) \Big|\Big| = \Big|\Big|
          \sum_{k = N + 1}^{N + \ell} \frac{1}{k!} T^k \Big|\Big|
          \le \sum_{k = N + 1}^{N + \ell} \frac{1}{k!} ||T||^k
          \le \sum_{k = N + 1}^{N + \ell} \frac{1}{k!} R^k$$
        $$\Rightarrow ||g_N - g_{N - \ell}||_\infty \le \sum_{N + 1}^{N + \ell}
        \frac{1}{k!} R^k$$

        Das wird beliebig klein, falls $N$ gro\ss\space
        genug ist. Die Folge $\series{g}{n}$ ist also eine Cauchy-Folge, der
        Grenzwert $\suminfty{k = 0} \frac{1}{k!} T^k = \exp(T) = e^T$ ist
        eine stetige lineare Abbildung $X_R \longrightarrow L(V, V)$. Das gilt
        f\"ur jedes $R > 0$, also ist die Abbildung
        $\exp\colon L(V, V) \longrightarrow L(V, V)$ {\em stetig}.
        \medskip

        Sei $A \in L(V, V)$.
        $$A \int_0^t g_n(sA) \dx[s] = A \int_0^t (A + As + A\frac{s^2}{2}
        + \cdots) \dx[s] = At + \frac{1}{2}At^2 + \cdots = g_{n + 1}(tA) - 1$$

        Im Grenzwert $n \rightarrow \infty$ ergibt das:
        $A \int_0^t e^{As} \dx[s] = e^{At} - 1$

        Die linke Seite ist stetig differenzierbar, also gilt:
        $$\mathrm{\frac{d}{dt}}(e^{At} - 1) = A e^{At} \quad\Rightarrow\quad
        \mathrm{\frac{d}{dt}}e^{At} = A e^{At} = e^{At} A$$

        Betrachte das Vektorfeld $\xi$ auf $L(V, V) \times L(V, V)$ mit
        $\xi(X, Y) = (XY, 0)$. Es ergibt sich die Differentialgleichung
        $(\dot X, \dot Y) = (XY, 0) \Rightarrow Y = Y_0 = \mbox{\em const}$

        L\"osung: $X(t) = X_0 e^{Y_0 t},\; \dot X(t) = X_0 e^{Y_o t} Y_0
        = X(t) Y(t)$ mit $X(0) = X_0 e^{Y_0 \cdot 0} = X_0 \cdot 1 = X_0$

        Der zugeh\"orige globale Fluss ist $\varphi_t(X, Y) = (X e^{tY}, Y)$.
        Nach Satz \S17.3 gilt $\varphi_{s + t} = \varphi_s \circ \varphi_t,\;
        (X e^{(t + s)Y}, Y) = \varphi_s(X e^{tY}, Y) = (X e^{tY} e^{sY}, Y)$.
        Insbesondere gilt: $e^{(s + t) Y} = e^{sY} \cdot e^{tY}$

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S17.6}
        Sei $V$ ein Banachraum, $A \in L(V, V)$ und $s, t \in \R$ beliebig.
        Es gilt stets: $e^{(s + t) A} = e^{sA} \cdot e^{tA}$. Insbesondere
        gilt $e^{sA} \cdot e^{-sA} = \id_V$. Damit ist $e^{sA}$ immer
        {\em invertierbar}.
        \medskip

        Beweis: Siehe oben.\hfill$\square$
        \medskip

        {\bf Achtung:} Es gilt im Allgemeinen {\em nicht}:
        $e^{A + B} = e^A \cdot e^B$.

    \subsection{Homogene lineare Differentialgleichungen}
      \index{Differentialgleichungen, lineare}
      \index{Lineare Differentialgleichungen}
      % FIXME: Overfull hbox
      %\index{Homogene Differentialgleichungen}
      \index{Homogene DGL}

      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S17.7}
        Sei $I \subseteq \R$ ein offenes Intervall (mit $0 \in I$), sei
        $A\colon I \longrightarrow L(V, V)$ lokal Lipschitz-stetig. Die
        Differentialgleichung $\dot c(t) = A(t) \cdot c(t)$ hei{\ss}t
        {\bf homogene lineare Differentialgleichung}.

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S17.8}
        Ist $A \in L(V, V)$ fest, $\alpha\colon I \longrightarrow \R$
        lokal Lipschitz-stetig, $A(t) = A \alpha(t)$, so gilt f\"ur
        $c(t) = e^{\int_0^t \alpha(s) \dx[s] A} c_0$ mit einem festen
        Vektor $c_0 \in V$. Es gilt $c(0) = c_0$, $\dot c(t) = \alpha(t)
        \cdot A \cdot e^{\int_0^t \alpha(s) \dx[s] A} c_0 = A(t) \cdot c(t)$
        \medskip

        Also ist $c$ die Integralkurve dieser Differentialgleichung zum
        Anfangswert $c_0$. Wichtiger Spezialfall: Ist $\alpha = \mbox{\em
        const}$, $\dot c(t) = A c(t)$, so spricht man von einer
        {\bf homogenen linearen Differentialgleichung} mit {\bf
        konstanten Koeffizienten}.

      \paragraph{Beispiel (a):}
        \marginnote{Beispiel \S17.9}
        $f\colon I \longrightarrow \R = V, \quad
        \dot c(t) = f(t) \cdot c(t) \quad\Rightarrow\quad c(t) =
        e^{\int_0^t f(s) \dx[s]}$

        Konkret: $f(t) = t^n,\quad \dot c(t) = t^n \cdot c(t),\quad
        c(t) = e^{\int_0^t s^n \dx[s]} = e^{\frac{1}{n + 1} t^{n + 1}}$

      \paragraph{Beispiel (b):}
        $\ddot c(t) = -c(t),\quad c(t) = c_1(t),\quad \dot c(t) = c_2(t)$

        $\Rightarrow \dot c_2(t) = -c_1(t),\quad \dot c_1(t) = c_2(t)$
        \smallskip

        $\tilde{\dot c}(t) = \left(\begin{array}{c}
          \dot c_1(t) \\
          \dot c_2(t)
        \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}
          c_2(t) \\
          -c_1(t)
        \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}
          0 & 1 \\
          -1 & 0
        \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}
          c_1(t) \\
          c_2(t)
        \end{array}\right) = A \tilde c(t)$
        \medskip

        L\"osung: $\tilde c(t) = e^{At} \tilde c_0$. Was also ist
        $e^{At}$?

        $A^0 = E,\; A^1 = A,\; A^2 = \left(\begin{array}{cc}
          -1 & 0 \\
          0 & -1
        \end{array}\right) = -E,\; A^3 = A^2 A = -A,$

        $A^4 = (A^2)^2 = E,\; A^{4k} = A^k$

        $e^{tA} = E + tA + t^2A^2 \frac{1}{2} + t^3 A^3 \frac{1}{6} + \cdots
        = \left(\begin{array}{cc}
          \suminfty{k = 0} (-1)^k \frac{t^{2k}}{(2k)!} &
          \suminfty{k = 0} (-1)^k \frac{t^{2k + 1}}{(2k + 1)!} \\
          - \suminfty{k = 0} (-1)^k \frac{t^{2k + 1}}{(2k + 1)!} &
          \suminfty{k = 0} (-1)^k \frac{t^{2k}}{(2k)!}
        \end{array}\right)$

        $ =  \left(\begin{array}{cc}
          \cos(t) & \sin(t) \\
          -\sin(t) & \cos(t)
        \end{array}\right)$
        \smallskip

        $\tilde c(t) = e^{At} \tilde c(0)$
        \smallskip

        % Kleine Aenderung wegen einer overfull hbox...
        $ \left(\begin{array}{c}
          c_1(t) \\
          c_2(t)
        \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}
          \cos(t) & \sin(t) \\
          -\sin(t) & \cos(t)
        \end{array}\right)  \left(\begin{array}{c}
          c_1(0) \\
          c_2(0)
        \end{array}\right)$
        und
        % =
        %$\left(\begin{array}{cc}
        %  \cos(t) & \sin(t) \\
        %  -\sin(t) & \cos(t)
        %\end{array}\right)
        $\left(\begin{array}{c}
          c_1(0) \\
          c_2(0)
        \end{array}\right) =
        \left(\begin{array}{c}
          c(0) \\
          \dot c(0)
        \end{array}\right)$
        \smallskip

        Also: $c(t) = c(0) \cos(t) + \dot c(0) \sin(t)$

      \paragraph{Beispiel (c):}
        Sei $A = \left(\begin{array}{cc}
          1 & r \\
          0 & 1
        \end{array}\right)$ eine obere Dreiecksmatrix. Was ist $e^{At}$?
        $A^0 = E,\; A^1 = A,\; A^2 = \left(\begin{array}{cc}
          1 & 2r \\
          0 & 1
        \end{array}\right),\; \dots,\; A^k = \left(\begin{array}{cc}
          1 & kr \\
          0 & 1
        \end{array}\right)$

        $e^{tA} = E + At + \frac{1}{2}A^2t^2 + \cdots = \left(\begin{array}{cc}
          e^t & e^t tr \\
          0 & e^t
        \end{array}\right)$, denn $\suminfty{k = 0} \frac{1}{k!} t^k kr
        = tr \suminfty{k = 0} \frac{1}{k!} t^k$.

    \subsection{Die Exponentialfunktion und Matritzen}
      \marginnote[Vorlesung\\09.07.2004\\]{}
      \begin{eqnarray*}
        \exp\left(\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) t
          \right) & = & \left(\begin{array}{cc} \cos(t) & \sin(t) \\
          -\sin(t) & \cos(t) \end{array}\right) \\
        \exp\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & r \\ 0 & 1 \end{array}\right) t
          \right) & = & \left(\begin{array}{cc} e^t & e^ttr \\ 0 & e^t
          \end{array}\right)
      \end{eqnarray*}

      \marginnote{Paragraph \S17.10}
      Im Allgemeinen ist es schwierig $e^{At}$ f\"ur eine Matrix $A$
      auszurechnen. Es gibt ein paar hilfreiche Regeln:
      \bigskip

      \begin{tabular}{cp{10cm}}
        (i) & Ist $A = \left(\begin{array}{cccc}
          A_1 & 0 & \cdots & 0 \\
          0 & A_2 & \cdots & 0 \\
          \vdots  & \vdots & \ddots & \vdots \\
          0 & 0 & \cdots & A_r \end{array}\right)$ und $A_\ell$
          quadratische Matrix, dann
          $$e^{At} = \left(\begin{array}{cccc}
          e^{A_1t} & 0 & \cdots & 0 \\
          0 & e^{A_2t} & \cdots & 0 \\
          \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
          0 & 0 & \cdots & e^{A_rt} \end{array}\right)$$
          Insbesondere ist $A = \left(\begin{array}{ccc}
          a_{11} & \cdots & 0 \\
          \vdots & \ddots & \vdots \\
          0 & \cdots & a_{nn} \end{array}\right)$ Diagonalmatrix, dann
          $$e^{At} = \left(\begin{array}{ccc}
          e^{a_{11}t} & \cdots & 0 \\
          \vdots & \ddots & \vdots \\
          0 & \cdots & e^{a_{nn}t} \end{array}\right)$$ \\
        (ii) & Ist $v$ ein {\bf Eigenvektor} von $A$, das hei{\ss}t $Av = av$
          und $a \in \R$, $v \neq 0$, dann $e^{At}v = e^{at}v$, insbesondere
          ist $v$ ein Eigenvektor von $e^{At}$ zum {\bf Eigenwert} $e^{at}$.
      \end{tabular}

      \begin{tabular}{cp{10cm}}
        (iii) & Ist $B$ invertierbar, so gilt $(B^{-1}AB)^k = B^{-1}A^kB$,
          also $B^{-1}e^{At}B = e^{B^{-1}AtB}$. Das hei{\ss}t zum Beispiel: Ist
          $D = B^{-1}AB$ eine Diagonalmatrix, $D = \left(\begin{array}{ccc}
          d_1 & \cdots & 0 \\
          \vdots & \ddots & \vdots \\
          0 & \cdots & d_n \end{array}\right)$
          \begin{eqnarray*}
            &\Rightarrow& e^{tD} = e^{tB^{-1}AB} = \left(\begin{array}{ccc}
              e^{td_1} & \cdots & 0 \\
              \vdots & \ddots & \vdots \\
              0 & \cdots & e^{td_n} \end{array}\right) = B^{-1}e^{tA}B \\
            &\Rightarrow& e^{tA} = B \left(\begin{array}{ccc}
              e^{td_1} & \cdots & 0 \\
              \vdots & \ddots & \vdots \\
              0 & \cdots & e^{td_n} \end{array}\right) B^{-1}
          \end{eqnarray*}
      \end{tabular}

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S17.11}
        DGL $y'' + 4y' - 2y = 0$. Umschreiben auf DGL 1. Ordnung:
        $c_2 = \dot{c}_1$, $c_1 = y$, $\dot{c}_2 + 4c_2 - 2c_1 = 0$
        \begin{eqnarray*}
          &\dot{c}_1 = c_2, \quad \dot{c}_2 = 2c_1 - 4c_2 \\\\
          &\underbrace{\left(\begin{array}{c} \dot{c}_1(t) \\ \dot{c}_2(t)
            \end{array}\right)}_{=\dot{c}} = \underbrace{\left(
            \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & -4 \end{array}\right)}_{=A}
            \underbrace{\left(\begin{array}{c} c_1(t) \\ c_2(t)
            \end{array}\right)}_{=c} \qquad \mbox{L\"osung:
            $c(t) = e^{At} c(0)$}
        \end{eqnarray*}

      Suche {\bf Eigenwerte} von $A$: \"Uber das charakteristische Polynom,
      $$\det \left(\begin{array}{cc} 0-x & 1 \\
      2 & -4-x \end{array}\right) = x^2 + 4x - 2$$

      Nullstellen $\lambda_1 = -1 + \sqrt{6}$, $\lambda_2 = -1 - \sqrt{6}$,
      das sind die Eigenwerte von $A$.

      Eigenvektoren: L\"ose $(A-\lambda_i)v_i = 0$, zum Beispiel

      $v_1 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2+\sqrt{6} \end{array}\right)$,
      $v_2 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2-\sqrt{6} \end{array}\right)$.

      Also: $e^{At}v_1 = e^{(-2+\sqrt{6})t} v_1$, $e^{At}v_2 =
      e^{(-2-\sqrt{6})t} v_2$

      $e^{At}(r_1v_1+r_2v_2) = r_1e^{(-2+\sqrt{6})t}v_1 + r_2e^{(-2-\sqrt{6})t}
      v_2 = \left(\begin{array}{c} c_1(t) \\ c_2(t) \end{array}\right)$

      Anfangsbedingung: $c_1(0)$, $c_2(0)$ sind vorgegeben. $r_1v_1 + r_2v_2
      = \left(\begin{array}{c} c_1(0) \\ c_2(0) \end{array}\right)$,
      \begin{eqnarray*}
        &\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -2+\sqrt{6} & -2-\sqrt{6} \end{array}
          \right) \left(\begin{array}{c} r_1 \\ t_2 \end{array}\right) =
          \left(\begin{array}{c} c_1(0) \\ c_2(0) \end{array}\right) \\
        &\left(\begin{array}{c} r_1 \\ r_2 \end{array}\right) =
          \frac{1}{-2 \sqrt{6}} \left(\begin{array}{cc} -2-\sqrt{6} & -1 \\
          2-\sqrt{6} & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}
          c_1(0) \\ c_2(0) \end{array}\right)
      \end{eqnarray*}

      \begin{eqnarray*}
        &\Rightarrow& c_1(t) = r_1e^{(-2+\sqrt{6})t} + t_2e^{(-2-\sqrt{6})t} \\
        &=& \frac{1}{-2 \sqrt{6}} \left(c_1(0)(2+\sqrt{6}) + c_2(0)\right)
          e^{(-2+\sqrt{6})t} \\
        &-& \frac{1}{2\sqrt{6}} \left(c_1(0)(2-\sqrt{6})
          + c_2(0)\right) e^{(-2-\sqrt{6})t}
      \end{eqnarray*}
      mit $c_1 = y, c_2 = y'$, Startwerte $y(0) = c_1(0), y'(0) = c_2(0)$.
      Es folgt:

      {\tiny
      $\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & -4 \end{array}\right)
      = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -2+\sqrt{6} & -2-\sqrt{6}
      \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} -2+\sqrt{6} & 0 \\
      0 & -2-\sqrt{6} \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}
      -2-\sqrt{6} & -1 \\ 2-\sqrt{6} & 1 \end{array}\right)
      \frac{1}{-2 \sqrt{6}}$

      $\Rightarrow e^{At} = -\frac{1}{2 \sqrt{6}}
      \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -2+\sqrt{6} & -2-\sqrt{6}
      \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} e^{(-2+\sqrt{6})t} & 0 \\
      0 & e^{(-2-\sqrt{6})t} \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}
      -2-\sqrt{6} & -1 \\ 2-\sqrt{6} & 1 \end{array}\right)$
      }

      $\dot{c}(t) = A(t)c(t)$

    \subsection{Inhomogene lineare Differentialgleichungen}
      \index{Inhomogene DGL}

      \paragraph{Definition:}
        \marginnote{Definition \S17.12}
        Sei $J \subseteq \R$ ein offenes Intervall mit $0 \in J$, $A\colon
        J \longrightarrow L(V,V)$ und $b\colon J \longrightarrow V$, beide
        lokal Lipschitz-stetig. Die Differentialgleichung
        $$\dot{c}(t) = A(t) c(t) + b(t)$$

        hei{\ss}t {\bf inhomogene lineare Differentialgleichung}.

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote{Satz \S17.13}
        Der Definitionsbereich des globalen Flusses ist $\Omega = J \times V$,
        das hei{\ss}t die L\"osungen sind f\"ur {\em alle} $t \in J$ definiert.
        \medskip

        Beweis: Sei $I \subseteq J$ abgeschlossen und beschr\"ankt mit
        $0 \in I$.

        Sei $R = \sup\{||A(t)|| \mid t \in I \}$ (das existiert,
        weil $I$ abg. und beschr\"ankt ist).

        $F(x,t) = A(t)x + b(t)$, $\;$ $||F(x,t) - F(y,t)|| = ||A(t)(x-y)|| \leq
        R||x-y||$

        Setze $c_0 = v$, $c_{n+1}(t) = \int_0^t F(c_n(s),s) \dx[s] + v \quad$
        (Picard-Iteration)

        $||c_{n+1}(t) - c_n(t)|| = ||\int_0^tF(c_n(s),s) \dx[s] -
        \int_0^tF(c_{n-1}(s),s) \dx[s]|| \leq | \int_0^t R||c_s(s) -
        c_{n-1}(s)|| \dx[s] | \leq R^n \underbrace{|t|^n
        ||c_1-c_0||_\infty}_{=n!}$

        Die $\series{c}{n}$ bilden als stetige Kurven $I \longrightarrow V$
        eine Cauchy-Folge mit Grenzwert $c\colon I \longrightarrow V$ mit
        $c(t) = \int_0^t F(c(s),s) \dx[s] + v$.
        \begin{eqnarray*}
          & \Longrightarrow & \dot{c}(t) = A(t)c(t) + b(t) \quad \mbox{f\"ur
           alle $t \in I$} \\
          && c(0) = v
        \end{eqnarray*}

        Das Argument geht f\"ur jedes abgeschlossene und beschr\"ankte Intervall
        $I \subseteq J$, also f\"ur alle $t \in J$.\hfill$\square$
        \medskip

      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Bemerkung \S17.14}
        Einige elementare Beobachtungen: Sei $F(x,t) = A(t)x + b(t)$,
        die Differentialgleichung $\dot{c}(t) = F(c(t),t)$ hat folgende
        Eigenschaften:

        \begin{enumerate}
          \item{Ist $c_1$ eine L\"osung der homogenen linearen DGL,
            also $\dot c_1(t) = A(t) c_1(t)$ und ist $c_2(t)$ eine L\"osung
            der inhomogenen linearen Differentialgleichung, also
            $\dot c_2(t) = A(t) c_2(t) + b(t)$, so ist $c = c_1 + c_2$
            ebenfalls eine L\"osung der inhomogenen linearen
            Differentialgleichung $\dot c(t) = A(t) c(t) + b(t)$ zum
            Anfangswert $c(0) = c_1(0) + c_2(0)$.}
          \item{Kann die homogene Differentialgleichung {\em eindeutig} l\"osen
            und findet man {\em eine} L\"osung der inhomogenen linearen
            Differentialgleichung, so hat man damit {\em alle} L\"osungen
            der inhomogenen linearen Differentialgleichung zu beliebigen
            Anfangswerten.}
        \end{enumerate}

      \paragraph{Satz:}
        \marginnote[Vorlesung\\13.07.2004\\]{Satz \S17.15}
        Sei $\Phi_t(u)$ die L\"osung des homogenen Problems, das hei{\ss}t
        $c(t) = \Phi_t(u)$ hat die Eigenschaft, dass
        $$\dot c(t) = A(t) c(t) \quad\mbox{ mit }\quad c(0) = u$$

        Dann gilt $\Phi_t(u + v) = \Phi_t(u) + \Phi_t(v)$, weil die
        Differentialgleichung linear ist. Das hei{\ss}t $\Phi_t$ ist eine
        lineare Abbildung mit $\Phi_t\colon V \longrightarrow V$ und
        $\Phi_t$ ist invertierbar.
        \medskip

        Beweis: Ist $\xi\colon V \times J \longrightarrow V \times J$ ein
        Vektorfeld mit $(u, v) \mapsto \big(A(r) u, 1\big)$ und Fluss
        $\varphi_t(u, r) = \big(\tilde \varphi_t(u, r), r + t\big)$ dann
        gilt $\Phi_t(u) = \tilde \varphi_t(u, 0)$ also ist $\Phi_t$
        invertierbar.\hfill$\square$
        \medskip

        Ist $A(t) = \alpha(t) A$ (siehe Beispiel \S17.8), so ist
        $c(t) = e^{\int_0^t \alpha(s) \dx[s] A} u$, das hei{\ss}t in
        dieser Situation ist $\Phi_t = e^{\int_0^t \alpha(s) \dx[s] A}$

      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Bemerkung \S17.16}
        Wir finden {\em eine} L\"osung des inhomogenen Systems mit dem
        folgenden Ansatz:
        $\dot u(t) = \Phi_t^{-1}\big(b(t)\big)$, das hei{\ss}t
        $u(t) = \int_0^t \Phi_t^{-1}\big(b(s)\big) \dx[s]$. Setze
        \begin{eqnarray*}
          c(t) &=& \Phi_t\big(u(t)\big) \\
          \dot c(t) &=&
            \partdiff[\Phi_t]{t}\big(u(t)\big) + \Phi_t \dot u(t)
            = A(t) \Phi_t\big(u(t)\big) + \Phi_t \Phi_t^{-1}\big(b(t)\big) \\
          &=& A(t) c(t) + b(t)
        \end{eqnarray*}

        Damit haben wir eine L\"osung des inhomogenen Systems gefunden.
        Man nennt diesen Ansatz {\bf Variation der Konstanten}.

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S17.17}
        Sei $V = \R^2$, $J = \R$ und $\dot c(t) = A(t) c(t) + b(t)$ mit
        $$A = \left(\begin{array}{cc}
           0 & 1 \\
          -1 & 0
        \end{array}\right),\; b(t) = \left(\begin{array}{c}
          0 \\
          t
        \end{array}\right) \quad \Rightarrow \quad \left(\begin{array}{cc}
          \dot c_1(t) \\
          \dot c_2(t)
        \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}
          c_2(t) \\
          - c_1(t)
        \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}
          0 \\
          t
        \end{array}\right)$$

        {\bf 1. Schritt:} L\"ose die homogene Differentialgleichung
        $\dot c(t) = A(t) c(t)$ vollst\"andig.

        $\Phi_t(u) = e^{\int_0^t A \dx[s]}u = e^{tA} u =
        \left(\begin{array}{cc}
          \cos(t) & \sin(t) \\
          -\sin(t) & \cos(t)
        \end{array}\right) u \quad$ ($e^{At}$ aus Beispiel \S17.9)
        \smallskip

        {\bf 2. Schritt:} Finde {\em eine} L\"osung der inhomogenen linearen
        Differentialgleichung.

        In dieser Situation ergibt sich: $\Phi_s^{-1} = \Phi_{-s}$
        \begin{eqnarray*}
          u(t) &=& \int_0^t \left(\begin{array}{cc}
            \cos(s) & -\sin(s) \\
            \sin(s) & \cos(s)
          \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
            0 \\
            s
          \end{array}\right) \dx[s] = \int_0^t \left(\begin{array}{cc}
            -s \sin(s) \\
            s \cos(s)
          \end{array}\right) \dx[s] \\
          &=& \left(\begin{array}{c}
            t \cos(t) - \sin(t) \\
            t \sin(t) + \cos(t) - 1
          \end{array}\right) \\
          c(t) &=& \Phi_t u(t) = \left(\begin{array}{cc}
            \cos(t) & \sin(t) \\
            -\sin(t) & \cos(t)
          \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}
            t \cos(t) - \sin(t) \\
            t \sin(t) + \cos(t) - 1
          \end{array}\right) \\
          &=& \left(\begin{array}{c}
            t \cos^2(t) - \cos(t) \sin(t) + 2 \sin^2(t) + \sin(t) \cos(t)
              - \sin(t) \\
            -t \sin(t) \cos(t) + \sin^2(t) + t \sin(t) \cos(t) + \cos^2(t)
              - \cos(t)
          \end{array}\right) \\
          &=& \left(\begin{array}{c}
            t - \sin(t) \\
            1 - \cos(t)
          \end{array}\right)
        \end{eqnarray*}

        Das ist eine L\"osung der inhomogenen linearen Differentialgleichung
        zum Anfangswert $(0, 0)$
        \smallskip

        {\bf 3. Schritt:} Allgemeine L\"osung des inhomogenen Problems zum
        Anfangswert $c(0) = v = (v_1, v_2)$.
        \begin{eqnarray*}
          c(t) &=& \Phi_t(v) + \left(\begin{array}{c}
            t - \sin(t) \\
            1 - \cos(t)
          \end{array}\right) \\
          &=& \left(\begin{array}{cc}
            \cos(t) & \sin(t) \\
            -\sin(t) & \cos(t)
          \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}
            v_1 \\
            v_2
          \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}
            t - \sin(t) \\
            1 - \cos(t)
          \end{array}\right) \\
          &=& \left(\begin{array}{c}
            \cos(t) \\
            -\sin(t)
          \end{array}\right) v_1 + \left(\begin{array}{c}
            \sin(t) \\
            \cos(t)
          \end{array}\right) v_2 + \left(\begin{array}{c}
            t - \sin(t) \\
            1 - \cos(t)
          \end{array}\right)
        \end{eqnarray*}

    \subsection{Fundamentalsystem}
      \index{Fundamentalsystem}

      \paragraph{Bemerkung:}
        \marginnote{Bemerkung \S17.18}
        Ist $V = \R^n$ und sind $v_{(1)}, \dots, v_{(n)} \in \R^n$ linear
        unabh\"angige Vektoren, so gilt f\"ur alle $v \in \R^n$ mit
        $v = v_{(1)} r_1 + \cdots + v_{(n)} r_n$:
        $$\Phi_t(v) = \Phi_t(v_{(1)} r_1) + \cdots + \Phi_t(v_{(n)}) r_n =
        c_{(1)}(t) r_1 + \cdots + c_{(n)}(t) r_n$$

        Damit ist $c(t) = r_1 c_{(1)}(t) + \cdots + r_n c_{(n)}(t)$
        L\"osung der homogenen Differentialgleichung zum Anfangswert
        $c(0) = v$. Man nennt $(c_{(1)}, \dots, c_{(n)})$ ein
        {\bf Fundamentalsystem} von L\"osungen der linearen homogenen
        Differentialgleichung.

      \paragraph{Beispiel:}
        \marginnote{Beispiel \S17.19}
        Sei $V = \R$, $J = ]-1, \infty[$ und $2(t + 1)^2 y'' - (t + 1) y' +
        y = 0$. Setze $c_1(t) = y(t),\; c_2(t) = y'(t)$
        \begin{eqnarray*}
          && \left\{\begin{array}{rcl}
            2(t + 1)^2 \dot c_2(t) - (t + 1) c_2(t) + c_1(t) &=& 0 \\
            \dot c_1(t) &=& c_2(t)
          \end{array}\right. \\
          &\Rightarrow& \left\{\begin{array}{rcl}
             \dot c_2(t) &=& -\frac{1}{2} \frac{1}{(t + 1)^2} c_1(t)
                + \frac{1}{2} \frac{1}{1 + t} c_2(t) \\
             \dot c_1(t) &=& c_2(t)
          \end{array}\right.\\
          &\Rightarrow& \left(\begin{array}{c}
            \dot c_1(t) \\
            \dot c_2(t)
          \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}
            0 & 1 \\
            -\frac{1}{2(t + 1)^2} & \frac{1}{2(t + 1)}
          \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}
            c_1(t) \\
            c_2(t)
          \end{array}\right)
        \end{eqnarray*}

        Ansatz: Setze $c_1(t) = (t + 1)^a$ mit $a \in \R, a > 0$, also
        $c_2(t) = a(t + 1)^{a - 1} = \dot c_1(t)$ und
        $\dot c_2(t) = a(a - 1) (t + 1)^{a - 2}$
        \begin{eqnarray*}
          a(a - 1)(t + 1)^{a - 2} &=& \frac{-1}{2(t + 1)^2}(t + 1)^a +
            \frac{a}{2(t + 1)}(t + 1)^{a - 1} \\
          &=& \frac{1}{2} (t + 1)^{a - 2} + \frac{1}{2} a(t + 1)^{a - 2} \\
          \Leftrightarrow\qquad\qquad a(a - 1) &=& \frac{1}{2}(a - 1) \\
          \Rightarrow\qquad\qquad\; a_1 = 1, && a_2 = \frac{1}{2}
        \end{eqnarray*}

        L\"osung: $c_{(1)} = \left(\begin{array}{c}
          t + 1 \\
          1
        \end{array}\right),\quad c_{(2)} = \left(\begin{array}{c}
          \sqrt{t + 1} \\
          \frac{1}{2\sqrt{t + 1}}
        \end{array}\right)$
        \medskip

        Die allgemeine L\"osung der Differentialgleichung ist also von der
        Form
        $$c = \left(\begin{array}{c}
          t + 1 \\
          1
        \end{array}\right) r_1 + \left(\begin{array}{c}
          \sqrt{t + 1} \\
          \frac{1}{2\sqrt{t + 1}}
        \end{array}\right) r_2$$

        Die bisherigen Methoden funktionieren hier nicht, da $A(t)$ nicht
              durch $\alpha(t) \cdot A$ ausdr\"uckt werden kann.
              
  % Verzeichnisse
  \newpage
  \pagenumbering{Roman}
  \pagestyle{myheadings}

  % Literaturverzeichnis
  \markright{LITERATURVERZEICHNIS}
  \section*{Literaturverzeichnis}
  \addcontentsline{toc}{section}{Literaturverzeichnis}
    \subsubsection*{Analysis B\"ucher}
    \begin{itemize}
      \item{Br\"ocker, {\em Analysis 1/2},
        Spektrum Verlag, Heidelberg, 1995.}
      \item{Forster, {\em Analysis 1/2},
        Vieweg: Mathematik Grundkurs, \\
        Braunschweig, 1999.}
      \item{Heuser, {\em Lehrbuch der Analysis. Teil 1/Teil 2},
        Teubner, Stuttgart, 1991.}
      \item{K\"onigsberger, {\em Analysis 1/2}, Springer, Berlin, 1997.}
      \item{Walter, {\em Analysis 1/2}, Springer, Berlin, 1997.}
      \item{Walter, {\em Gew\"ohnliche Differentialgleichungen},
        Springer, Berlin, 1972.}
    \end{itemize}

    \subsubsection*{Allgemeine B\"ucher}
      \begin{itemize}
      \item{Beutelspacher, {\em Das ist o.B.d.A. trivial!} \\
        Eine Gebrauchsanleitung zur Formulierung mathematischer Gedanken
        mit vielen praktischen Tips f\"ur Studierende der Mathematik und
        Informatik. Friedr. Vieweg \& Sohn, Braunschweig, 1997.}
      \item{Courant and Robbins, {\em Was ist Mathematik?},
        Fourth edition, Springer, Berlin, 1992.}
      \item{Ebbinghaus et al., {\em Zahlen}, Springer, Berlin, 1983.}
      \item{Graham, Knuth and Patashnik, {\em Concrete mathematics},
        Addison-Wesley, Reading, MA, 1994.}
      \item{Sch\"onhage-Strassen: {\em Schnelle Multiplikation
        gro{\ss}er Zahlen}, \\
        Computing 7 (1971), Seiten 281-292}
      \item{Knuth, {\em Arithmetik}, Springer, Berlin, 2001.}
    \end{itemize}

  % Abbildungsverzeichnis
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  \pagestyle{headings}
  \listoffigures
  \addcontentsline{toc}{section}{Abbildungsverzeichnis}

  % Stichwortverzeichnis
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  \printindex

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