\documentclass[a4paper]{article}
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% ==================== Content ===============
\title{L\"osen von Differentialgleichungen \\
\normalsize Analysis II f\"ur Informatiker und Wirtschaftsinformatiker}
\author{Simon Fuhrmann}

\begin{document}
  \maketitle
  %\hrulefill

  \section*{\"Ubersicht}
    In der Vorlesung Analysis II SS 04 wurden L\"osungsverfahren f\"ur
    die folgenden Arten von Differentialgleichungen (abgek\"urzt auch DGL)
    behandelt:
    \bigskip
    
    \begin{tabular}{p{3.5cm}l}
      $\dot{c}(t) = \xi\big(c(t)\big)$ 
        & Allgemeine Definition einer gew\"ohnlichen DGL\\[1pt]
      $\dot{c}(t) = g\big(c(t)\big) \cdot f(t)$
        & DGL mit getrennten Variablen \\[1pt]
      $\dot{c}(t) = A(t) \cdot c(t)$ & homogene lineare DGL \\[1pt]
      $\dot{c}(t) = A(t) \cdot c(t) + b(t)$ & inhomogene lineare DGL \\[1pt]
    \end{tabular}
    \bigskip

    DGLs, die nicht in eine der letzten drei Kategorien fallen, k\"onnen
    wir algebraisch so nicht l\"osen. Es kann allerdings das
    Picard-Iterationsverfahren zur numerischen Berechnung verwendet werden.

    Dabei m\"ussen folgende Funktionsdefinitionen beachtet werden:
    \bigskip

    \begin{tabular}{p{3.5cm}l}
      $\makebox[0.5cm][l]{$\xi\colon$} U \longrightarrow V$ 
        & Vektorfeld (mit $U \subseteq V$ offen) \\
      $\makebox[0.5cm][l]{$g\colon$}   V \longrightarrow V$ 
        & ohne zeitabh\"angige Einfl\"usse \\
      $\makebox[0.5cm][l]{$f\colon$}   J \longrightarrow V$ 
        & nicht notwendigerweise linear \\
      $\makebox[0.5cm][l]{$b\colon$}   J \longrightarrow V$ 
        & nicht notwendigerweise linear \\
      $\makebox[0.5cm][l]{$A\colon$}   J \longrightarrow L(V,V)$ 
        & linear und stetig \\
    \end{tabular}
    \bigskip

    Jede homogene lineare DGL kann auch als DGL mit getrennten Variablen 
    dargestellt werden, umgekehrt gilt dies nicht. Auch manche inhomogene
    lineare DGL k\"onnen als DGL mit getrennten Variablen dargestellt
    werden.
  
  \subsection*{Beispiele}
    \begin{tabular}{p{3.5cm}l}
      $\dot{c}(t) = 4t^2 \cdot c(t)$ & Das ist eine DGL mit getrennten
          Variablen. \\
        & Setze $g\big(c(t)\big) = c(t)$, $f(t) = 4t^2$. \\
      $\dot{c}(t) = 2t \cdot c(t)$ & Das ist eine homogene lineare DGL. \\
        & Setze $A(t) = 2t$ \\
      $\dot{c}(t) = 2t \cdot c(t) - t$ & Das ist eine inhomogene lineare DGL. \\
        & Setze $A(t) = 2t$, $b(t) = -t$.
    \end{tabular}
    \bigskip

    Letzteres kann auch als DGL mit getrennten Variablen berechnet werden:
    $$\dot{c}(t) = 2t \cdot c(t) -t \;=\; t \cdot (2c(t) - 1) \quad
    \mbox{setze:} \quad g\big(c(t)\big) = 2c(t) - 1, \quad f(t) = t$$

  \pagebreak
  \subsection*{DGL mit getrennten Variablen}
    \fboxsep 5pt
    \fbox{$\dot{c}(t) = g\big(c(t)\big) \cdot f(t) \quad
      \mbox{Startwert:} \quad c(t_0) = c_0$}

    \begin{itemize}
      \item{Berechne: $F(t) = \int_{t_0}^t f(s) \dx[s]$}
      \item{Berechne: $H(v) = \int_{c_0}^v \frac{1}{g(x)} \dx$}
      \item{Berechne: $c(t)$ aus $F(t) = H\big(c(t)\big)$,
        ersetze also $v$ in $H(v)$ durch $c(t)$}
      \item{Probe: Leite $c(t)$ ab, vergleiche mit $\dot{c}(t)$}
    \end{itemize}

  \subsection*{Homogene lineare DGL}
    \fboxsep 5pt
    \fbox{$\dot{c}(t) = A(t) \cdot c(t) \quad
      \mbox{Startwert:} \quad c(t_0) = c_0$}
  
    \begin{itemize}
      \item{Berechne: $c(t) = \exp\big( \int_{t_0}^t A(s)
        \dx[s] \big) \cdot c_0$}
    \end{itemize}

  \subsection*{Inhomogene lineare DGL}
    \fboxsep 5pt
    \fbox{$\dot{c}(t) = A(t) \cdot c(t) + b(t) \quad
      \mbox{Startwert:} \quad c(t_0) = c_0$}

    \subsubsection*{Schritt 1: Vollst\"andiges L\"osen des homogenen Systems}
      \begin{itemize}
	\item{Berechne: $\Phi_t(c_0) = \exp\big( \int_{t_0}^t A(s)
	  \dx[s] \big) \cdot c_0 \quad$}
      \end{itemize}
    
    \subsubsection*{Schritt 2: Finden einer L\"osung des inhomogenen Systems}
      \begin{itemize}
        \item{Berechne: $\Phi_s^{-1}$ durch Invertieren von $\Phi_t$
	und ersetzen von $t$ durch $s$}
	\item{Berechne: $u(t) = \int_{t_0}^t \Phi_s^{-1}\big(b(s)\big) \dx[s]$}
	\item{Berechne: $\tilde{c}(t) = \Phi_t \big(u(t)\big)$}
      \end{itemize}

    \subsubsection*{Schritt 3: Vollst\"andiges L\"osen des inhomogenen Systems}
      \begin{itemize}
        \item{Berechne: $c(t) = \Phi_t(c_0) + \tilde{c}(t)$}
      \end{itemize}

    \subsection*{Das Picard-Iterationsverfahren}
      \fboxsep 5pt
      \fbox{$\dot{c}(t) = \xi\big(c(t)\big) \quad
        \mbox{Startwert:} \quad c(0) = v$}
    
      \begin{itemize}
        \item{Definiere Startwert der Folge: $c_0(t) = v$}
        \item{Berechne Folgenglieder: $c_{n + 1}(t) = S_v\big(c_n(t)\big) = 
          v + \int_0^t \xi\big(c_n(s)\big) \dx[s]$}
        \item{Die Folge $\series{c}{n}$ konvergiert gegen die L\"osung der
          DGL: $\liminfty{n} c_n(t) = c(t)$}
      \end{itemize}

\end{document}
