Analysis

Die wichtigsten Sätze und Regeln

Christian M. Meyer

Konvergenz

Sei (X, d) ein metrischer Raum, (x_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in X mit lim_{n→∞} x_{n} = x und (f_{n})_{n∈ℕ} eine Funktionenfolge in X mit lim_{n→∞} f_{n} = f.

(x_{n})_{n∈ℕ} ist konvergent  ⇔ ∀ ε > 0. ∃ N_{ε} ∈ ℕ. ∀ ℓ > N_{ε}. d(x_{ℓ}, x) < ε
(f_{n})_{n∈ℕ} ist punktweise konvergent ⇔ ∀ x ∈ X.  lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x)
(f_{n})_{n∈ℕ} ist gleichmäßig konvergent ⇔ ∀ ε > 0. ∃ N_{ε} ∈ ℕ. ∀ ℓ > N_{ε}. d(f_{ℓ}(x), f(x)) < ε

Stetigkeit

Seien (X, d_{X}) und (Y, d_{Y}) metrische Räume, f: X ⟶ Y eine Abbildung und (x_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Folge in X.

f ist stetig  ⇔ ∀ x_{n} ∈ X.  f( lim_{n→∞} x_{n}) = lim_{n→∞} f(x_{n})
f ist stetig in u ∈ X  ⇔ ∀ ε > 0. ∀ x ∈ X. ∃ δ > 0. d_{X}(u, x) < δ ⇒ d_{Y} (f(u), f(x)) < ε
f ist L-Lipschitz-stetig ⇔ ∀ u, v ∈ X.  d_{Y} (f(u), f(v)) ≤ L · d_{X}(u, v)

Differenzierbarkeit

Seien V, W Banachräume, U ⊆ V offen, f: U ⟶ W, r > 0, λ: B_{r}(0) ⟶ W stetig mit λ(0) = 0 und A: V ⟶ W linear.

f ist differenzierbar in u ⇔ ∀ h ∈ U. f(u + h) − f(u) = A(h) + ||h|| · λ(h)

Integrationsregeln

Partielle Integration: ∫_{a}^{b} f′(x) · g(x) dx = [f(x) · g(x)]_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} f(x) · g′(x) dx
Substitution:  ∫_{a}^{b} f(g(x)) · g′(x) dx = ∫_{g(a)}^{g(b)} f(t) dt
Logarithmus-Regel: ∫_{a}^{b} \frac{f′(x)}{f(x)} dx = [ ln |f(x)| ]_{a}^{b}