Lineare Algebra

Simon Fuhrmann Christian M. Meyer

Axiome der Linearen Algebra

Im Folgenden sei V ein beliebiger K-Vektorraum und P eine Punktmenge. V und P bilden einen affinen Raum. Seien außerdem U_{1} = K^{m×n}, U_{2} = K^{n×ℓ}, U_{3} = K^{ℓ×k} Matrizenräume von V. Punkte

Vektoren antragen: (A1) ∀ v⃗ ∈ V. ∀ P, Q ∈ P.  Q = v⃗ + P
Punktabstand:  (A2) ∀ v⃗ ∈ V. ∀ P, Q ∈ P.  v⃗ = \overline{P Q} = Q − P
Assoziativgesetz:  (A3) ∀ v⃗, w⃗ ∈ V. ∀ P ∈ P.  (w⃗ + v⃗) + P = w⃗ + (v⃗ + P)
Neutralelement:  (A4) ∀ P ∈ P.  0 + P = P

Vektoren

Assoziativgesetz:  (V1) ∀ u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V.  (w⃗ + v⃗) + u⃗ = w⃗ + (v⃗ + u⃗)
Kommutativgesetz: (V2) ∀ v⃗, w⃗ ∈ V.  v⃗ + w⃗ = w⃗ + v⃗
Neutralelement:  (V3) ∃0 ∈ V. ∀ v⃗ ∈ V.  v⃗ + 0 = v⃗
Inverses:  (V4) ∀ v⃗ ∈ V. ∃ − v⃗ ∈ V.  v⃗ + (−v⃗) = 0
Distributivgesetz:  (V5) ∀ v⃗, w⃗ ∈ V. ∀r ∈ K.  r(v⃗ + w⃗) = rv⃗ + rw⃗
Neutralelement:  (V6) ∃ 1 ∈ K. ∀ v⃗ ∈ V.  1v⃗ = v⃗
Distributivgesetz:  (V7) ∀ v⃗ ∈ V. ∀ r, s ∈ K.  (r + s)v⃗ = rv⃗ + sv⃗
Assoziativgesetz:  (V8) ∀ v⃗ ∈ V. ∀ r, s ∈ K.  r(sv⃗) = (rs)v⃗

Skalare

Assoziativgesetz:  (R1) ∀ x, y, z ∈ K  x + (y + z) = (x + y) + z
Neutralelement:  (R2) ∃ 0 ∈ K. ∀ x ∈ K.  0 + x = x
Inverses:  (R3) ∀ x ∈ K. ∃ − x ∈ K.  x + (−x) = 0
Kommutativgesetz: (R4) ∀ x, y ∈ K.  x + y = y + x
Assoziativgesetz:  (R5) ∀ x, y, z ∈ K.  x · (y · z) = (x · y) · z
Neutralelement:  (R6) ∃ 1 ∈ K. ∀ x ∈ K.  1 · x = x
Distributivgesetz:  (R7) ∀ x, y, z ∈ K.  x · (y + z) = x · y + x · z
Distributivgesetz:  (R8) ∀ x, y, z ∈ K.  (y + z) · x = y · x + z · x
Inverses:  (R9) ∀ x ∈ K_{≠0}. ∃ x^{−1} ∈ K.  x · x^{−1} = 1
Kommutativgesetz: (R10) ∀ x, y ∈ K.  x · y = x · y

Matrizen

Distributivgesetz: (M1) ∀ A ∈ U_{1}. ∀ v⃗, w⃗ ∈ K^{n}. A(v⃗ + w⃗) = Av⃗ + Aw⃗
Assoziativgesetz:  (M2) ∀ A ∈ U_{1}. ∀ v⃗ ∈ K^{n}. ∀ r ∈ K. A(rv⃗) = r(Av⃗)
∃ 0 ∈ K. ∀ A ∈ U_{1}.  A0 = 0
Distributivgesetze: (M3) ∀ A ∈ U_{1}. ∀ B, C ∈ U_{2}.  A(B + C) = AB + AC
∀ A, B ∈ U_{1}. ∀ C ∈ U_{2}.  (A + B)C = AC + BC
Assoziativgesetz: (M4) ∀ AU_{1}. ∀ B ∈ U_{2}. ∀ r ∈ K. (rA)B = r(AB) = A(rB)
Assoziativgesetz:  (M5) ∀ AU_{1}. ∀ B ∈ U_{2}. ∀ C ∈ U_{3}. A(BC) = (AB)C
Neutralelemente: (M6) ∃ E_{m} ∈ K^{m×m}. ∀ A ∈ U_{1}. E_{m}A = A
∃ E_{n} ∈ K^{n×n}. ∀ A ∈ U_{1}.  AE_{n} = A

Determinanten

Die Determinante dreier Vektoren u⃗, v⃗, w⃗ ∈ ℝ^{3} ist definiert als: ⟨ u⃗×v⃗| w⃗ ⟩ = det(u⃗, v⃗, w⃗). Allgemein kann man die so genannte Determinantenform als eine Abbildung det: V ⟶ K auffassen, mit A = (a_{1}, ⋯, a_{n}) ↦ |A| = det A = det(a_{1}, ⋯, a_{n}). Axiome:

(D1) ∀ a_{ℓ}, b ∈ V.  det(a_{1}, ⋯, a_{i} + b, ⋯, a_{n}) = det(a_{1}, ⋯ a_{n}) + det(a_{1}, ⋯, b, ⋯ a_{n})
(D2) ∀ a_{ℓ} ∈ V. ∀ r ∈ K. det(a_{1}, ⋯, ra_{j}, ⋯, a_{n}) = r det(a_{1}, ⋯, a_{n})
∀ a_{ℓ} ∈ V. ∀ r ∈ K. det(ra_{1}, ⋯, ra_{j}, ⋯, ra_{n}) = r^{n} det(a_{1}, ⋯, a_{n})
(D3) ∀ a_{ℓ} ∈ V.  det(a_{1}, ⋯, a_{j}, ⋯, a_{j}, ⋯, a_{n}) = 0
(D4) ∃ E_{n} ∈ V.  det(E_{n}) = det(e_{1}, ⋯, e_{n}) = 1
(D5) ∀ a_{ℓ} ∈ V. j ≠ k  det(a_{1}, ⋯, a_{j} + a_{k}, ⋯, a_{n}) = det(a_{1}, ⋯, a_{n})
(D6) ∀ a_{ℓ} ∈ V.  det(a_{1}, ⋯, a_{j}, a_{j+1}, ⋯, a_{n}) = − det(a_{1}, ⋯, a_{j+1}, a_{j}, ⋯, a_{n})

Weitere Eigenschaften von Determinaten

(1) ∀ A, B ∈ K^{n×n}.  det(AB) = det(A) det(B)
(2) ∀ A ∈ K^{n×n}.  det(A) ≠ 0 ⇔ A ist invertierbar
(3) ∀ A ∈ K^{n×n}.  det(A^{−1}) = \frac{1}{det(A)}
(4) ∀ A ∈ K^{n×n}. ∀ r ∈ K. det(rA) = r^{n} det(A)
(5) ∀ A, S ∈ K^{n×n}.  det(S^{−1}AS) = det(A)
(6) ∀ A ∈ K^{n×n}.  det(A) = det A^{t}
(7) ∀ A, S ∈ K^{n×n}.  det(S^{t}AS) = det^{2}(S) det(A)
(8) ∀ a_{ℓ} ∈ V.  det(a_{1}, ⋯, a_{n}) > 0 ⇔ a_{1}, ⋯, a_{n} sind positiv orientiert.
∀ a_{ℓ} ∈ V.  det(a_{1}, ⋯, a_{n}) < 0 ⇔ a_{1}, ⋯, a_{n} sind negativ orientiert.
∀ a_{ℓ} ∈ V.  det(a_{1}, ⋯, a_{n}) = 0 ⇔ a_{1}, ⋯, a_{n} sind linear abhängig.

Determinante von 2 × 2-Matrizen

Die Determinante einer 2 × 2-Matrix berechnet sich aus der Differenz der Produkte von Hauptund Nebendiagonale, also

det ( \begin{matrix}u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{matrix} ) = u_{1}v_{2} − u_{2}v_{1}

Sarrus-Regel

Die Sarrus-Regel zur Bestimmung der Determinante von 3 × 3-Matrix besagt: Die Determinante ergibt sich aus der Subtraktion der Summe aller Nebendiagonalen von der Summe aller Hauptdiagonalen. Die Einträge der Diagonalen werden jeweils multipliziert.

det ( \begin{matrix}u_{1} & v_{1} & w_{1} \\ u_{2} & v_{2} & w_{2} \\ u_{3} & v_{3} & w_{3} \end{matrix} ) = u_{1}v_{2}w_{3} + v_{1}w_{2}u_{3} + w_{1}u_{2}v_{3} − u_{3}v_{2}w_{1} − v_{3}w_{2}u_{1} − w_{3}u_{2}v_{1}

Entwicklung nach Zeilen oder Spalten

Der Minor A^{k∧ℓ} ist die (n−1×n−1)-Matrix, die man durch Weglassen der k-ten Zeile und ℓ-ten Spalte erhält:

Spaltenentwicklung: det(A) = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{i+j} a_{ij} det(A^{i∧j})

Zeilenentwicklung: det(A) = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j} a_{ij} det(A^{i∧j})

Beispiel:  det ( \begin{matrix}8 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & 6 \\ 5 & 9 & 3 \end{matrix} ) = −0 · det ( \begin{matrix}1 & 6 \\ 5 & 3 \end{matrix} ) + 4 · det ( \begin{matrix}8 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} ) − 9 · det ( \begin{matrix}8 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} )

Das Beispiel zeigt, dass das Entwickeln nach Zeilen/Spalten, in denen sich ein Nulleintrag befindet, die Berechnung der Determinante erleichtert.

Vektorprodukt Das Vektor- oder Kreuzprodukt ×: ℝ^{3} × ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} ist wie folgt definiert:

v⃗ × w⃗ = ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}v_{2}w_{3} − v_{3}w_{2} \\ v_{3}w_{1} − v_{1}w_{3} \\ v_{1}w_{2} − v_{2}w_{1} \end{matrix} ) |v⃗ × w⃗| = |v⃗| · |w⃗| · sin φ

Es gelten die folgenden Gesetze:

(G1) ∀ v⃗, w⃗ ∈ ℝ^{3}.  v⃗ × w⃗ = 0  ⇔  v⃗ ∥ w⃗
(G2) ∀ v⃗, w⃗ ∈ ℝ^{3}.  v⃗ × w⃗ = −w⃗ × v⃗
(G3) ∀ v⃗, w⃗ ∈ ℝ^{3}. ∀ r ∈ K. r(v⃗ × w⃗) = (rv⃗) × w⃗ = v⃗ × (rw⃗)
(G4) ∀ u⃗, v⃗, w⃗ ∈ ℝ^{3}. u⃗ × (v⃗ + w⃗) = u⃗ × v⃗ + u⃗ × w⃗
∀ u⃗, v⃗, w⃗ ∈ ℝ^{3}.  (u⃗ + v⃗) × w⃗ = u⃗ × w⃗ + v⃗ × w⃗
Grassmann’scher Entwicklungssatz: ∀ u⃗, v⃗, w⃗ ∈ ℝ^{3}. (u⃗ × v⃗) × w⃗ = ⟨ u⃗ | w⃗ ⟩v⃗ − ⟨ v⃗ | w⃗ ⟩u⃗
Jacobi Identität: ∀ u⃗, v⃗, w⃗ ∈ ℝ^{3}. u⃗ × (v⃗ × w⃗) + v⃗ × (w⃗ × u⃗) + w⃗ × (u⃗ × v⃗) = 0
Lagrange:  ∀ u⃗, v⃗, w⃗, s⃗ ∈ ℝ^{3}. ⟨ u⃗ × v⃗ | w⃗ × s⃗ ⟩ = ⟨ u⃗ | w⃗ ⟩⟨ v⃗ | s⃗ ⟩ − ⟨ v⃗ | w⃗ ⟩⟨ u⃗ | s⃗ ⟩

Spatprodukt Das Spatprodukt berechnet das Volumen des von u⃗, v⃗, w⃗ aufgespannten Spats.

V_{Spat} = ⟨ u⃗ | v⃗ × w⃗ ⟩ = ⟨ u⃗ × v⃗ | w⃗ ⟩ = det(u⃗, v⃗, w⃗)

Koordinatentransformation

Basis α = {a⃗_{1}, a⃗_{2}, …, a⃗_{n}}  mit a_{i} = ∑_{j=1}^{n} s_{ij}b⃗_{j}
Basis β = {b⃗_{1}, b⃗_{2}, …, b⃗_{n}}  mit b_{i} = ∑_{j=1}^{n} t_{ij}a⃗_{j}
Transformation von β nach α:  Transformation von α nach β:
v^{α} = _{α}T_{β}v^{β} = ( \begin{matrix}t_{11} & t_{12} & ⋯ & t_{1n} \\ t_{21} & t_{22} & ⋯ & t_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ t_{n1} & t_{n2} & ⋯ & t_{nn} \end{matrix} )v^{β}  v^{β} = _{β}T_{α}v^{α} = ( \begin{matrix}s_{11} & s_{12} & ⋯ & s_{1n} \\ s_{21} & s_{22} & ⋯ & s_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ s_{n1} & s_{n2} & ⋯ & s_{nn} \end{matrix} )v^{α}

Es gilt _{β}T_{α} = _{α}T_{β}^{−1} beziehungsweise _{α}T_{β} = _{β}T_{α}^{−1}

Punktkoordinatentransformation:  P^{α} = _{α}T_{β}P^{β} + (O_{β})^{α} = _{α}T_{β}P^{β} + O_{β} − O_{α}

Lineare Unabhängigkeit

Die Vektoren b⃗_{1}, b⃗_{2}, …, b⃗_{n} sind linear unabhängig, wenn eine der folgenden Aussagen zutrifft:

(1) ∑_{k=1}^{n} a_{k}b⃗_{k} = 0 hat eine Lösung mit ∑_{k=1}^{n} |a_{k}| ≠ 0
(2) det(b⃗_{1}, b⃗_{2}, …, b⃗_{n}) ≠ 0
(3) ∀ b⃗_{k}. b⃗_{k} ≠ ∑_{i=1}^{n} a_{i}b⃗_{i} mit a_{i} ∈ K und i ≠ k

Eigenwerte und Eigenvektoren

Sei ϕ: V ⟶ W eine lineare Abbildung mit v⃗ ↦ Av⃗. Ein Vektor u⃗ ∈ V heißt Eigenvektor von ϕ (bzw. A) zum Eigenwert λ, falls folgendens gilt:

ϕ(u⃗) = Au⃗ = λu⃗  ⇔  (A − λE)u⃗ = 0

Das Bild des Vektors u⃗ lässt sich also als Streckung darstellen. Der zum Eigenwert λ gehörige Eigenraum E_{λ} ist die Menge aller Eigenvektoren zu λ:

E_{λ} = {u⃗ ∈ V | ϕ(u⃗) = λu⃗} = {u⃗ ∈ V | (A − λE)u⃗ = 0}

Die Dimension des Eigenraums E_{λ_{i}} ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ_{i}. Zwei Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenräumen sind linear unabhängig.

Charakteristisches Polynom

Die Eigenwerte λ_{i} von ϕ sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:

χ_{A}(λ) = ch_{A}(λ) = det(A − λE)

Nach dem Hauptsatz der Algebra gibt es zu ϕ genau n = dim(ϕ) Eigenwerte λ_{i} ∈ ℂ, denn das charakteristische Polynom zerfällt in genau n komplexe Linearfaktoren:

χ_{A}(x) = ∏_{i=1}^{n}(x − λ_{i})^{k_{i}} = 0

Die Zahl k_{i} gibt die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ_{i} an. Die geometrische Vielfachheit ist stets kleiner oder gleich der algebraischen, also gilt: dim(E_{λ_{i}}) ≤ k_{i}

Diagonalisierung

Die Matrix A besitzt bezüglich einer Basis β genau dann Diagonalgestalt, falls β eine Basis aus Eigenvektoren bildet und wenn gilt ∑_{i=1}^{n} dim(E_{λ_{i}}) = dim(A), die Summe der geometischen Vielfachheiten muss also gleich der Dimension der Abbildung sein.

Sei v⃗_{i} ∈ E_{λ_{i}} ein Eigenvektor zu λ_{i}. Die Transformationsmatrix der Basis β ist gegeben durch die Matrix S = (v⃗_{1}, v⃗_{2}, …, v⃗_{n}). Die Diagonalmatrix D zu A ergibt sich aus den Eigenwerten von A: D = diag(λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n}). Diese Form ist bis auf die Reihenfolge der Eigenwerte eindeutig bestimmt. Es gilt:

A = SDS^{−1}  ⇔  D = S^{−1}AS

Besonderheiten

Eine Matrix in Diagonalform bietet einige Vorteile, wie beispielsweise die Berechnung von Matrixpotenzen oder das Bestimmen der Euler’schen Funktion. Für eine beliebige Matrix A und eine invertierbare Matrix S gelten:

(1) Potenzen:  (SAS^{−1})^{n} = SA^{n}S^{−1}
(2) Euler’sche Funktion: exp(SAS^{−1}) = S exp(A)S^{−1}

Insbesondere gilt für eine Diagonalmatrix D:

D^{m} = diag (d_{1}, d_{2}, …, d_{n})^{m} = diag (d_{1}^{m}, d_{2}^{m}, …, d_{n}^{m}) exp(D) = exp(diag(d_{1}, d_{2}, …, d_{n})) = diag(exp(d_{1}), exp(d_{2}), …, exp(d_{n}))

Eine Drehmatrix im ℝ^{2} um den Winkel ω besitzt immer die Eigenwerte λ_{1/2} = e^{±iω} sowie die Eigenvektoren v_{1/2} = (±i, 1)^{t}

Matrizen

Sei A = (a_{k,ℓ})_{k,ℓ} eine n × n-Matrix mit k, ℓ = 1, …, n. Diese Matrix A hat die folgenden Eigenschaften und es existieren die folgenden assozierten Matrizen:

Transponierte Matrix:  A^{t} = (a_{ℓ,k})_{k.ℓ}
Konjugierte Matrix:  \overline{A} = (\overline{a}_{k,ℓ})_{k,ℓ}
Adjungierte Matrix:  A^{∗} = (\overline{a}_{ℓ,k})_{k,ℓ} = \overline{A}^{t}
Inverse Matrix:  ∃ A^{−1}. AA^{−1} = E = A^{−1}A ⇔ det(A) ≠ 0
A ist reell  ⇔ A^{t} = A^{∗}
A ist symmetrisch  ⇔ A = A^{t}
A ist hermitesch  ⇔ A = A^{∗}
A ist normal  ⇔ AA^{∗} = A^{∗}A
A ist orthogonal  ⇔ A^{t} = A^{−1} ⇔ AA^{t} = E = A^{t}A
A ist unitär  ⇔ A^{∗} = A^{−1} ⇔ AA^{∗} = E = A^{∗}A
A ist nilpotent  ⇔ ∃ k ∈ ℕ.  A^{k} = 0
A ist idempotent  ⇔ ∃ k ∈ ℕ.  A^{k} = A
A ist positiv definit  ⇔ ∀ u⃗, v⃗ ∈ V.  u^{t}Av⃗ > 0
A ist positiv semi-definit ⇔ ∀ u⃗, v⃗ ∈ V.  u^{t}Av⃗ ≥ 0
A ist negativ definit ⇔ ∀ u⃗, v⃗ ∈ V. u^{t}Av⃗ < 0
A ist negativ semi-definit ⇔ ∀ u⃗, v⃗ ∈ V.  u^{t}Av⃗ ≤ 0
A ist indefinit  ⇔ ∃ u⃗_{1/2}, v⃗_{1/2} ∈ V.  u_{1}^{t}Av⃗_{1} > 0 und u_{2}^{t}Av⃗_{2} < 0

Inverse Matrizen

Eine Matrix A heißt invertierbar genau dann, wenn det(A) ≠ 0. Für eine 2 × 2-Matrix ergibt sich die folgende Formel:

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) , A^{−1} = \frac{1}{det(A)} ( \begin{matrix}a_{22} & −a_{12} \\ −a_{21} & a_{11} \end{matrix} )

Für beliebige Matrizen kann man den Gauss-Jordan-Algorithmus zur Invertierung verwenden. Hierbei transformiert man die um die Einheitsmatrix erweiterte Matrix A mit Hilfe des Gauss-Algorithmus, bis der linke Teil der Matrix zur Einheitsmatrix geworden ist:

(A | B) ⇝ (E | A^{−1})

Beispiel:

( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⇝ ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & −2 & −3 & 1 \end{matrix} ) ⇝ ( \begin{matrix}1 & 0 & −2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & −\frac{1}{2} \end{matrix} )

⇒ A^{−1} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}−2 & 1 \\ 3 & −1 \end{matrix} )

Abbildungen

Bild und Kern

Der Kern einer Abbildung ϕ: V ⟶ W ist die Menge aller v ∈ V, die auf 0 abbilden. Das Bild einer Abbildung ist die Menge aller Bildpunkte.

Kern(ϕ) = ker(ϕ) = {v ∈ V | ϕ(v) = 0} Bild(ϕ) = im(ϕ) = {ϕ(v) | v ∈ V }

Injektiv, surjektiv, bijektiv

Eine Abbildung ϕ: V ⟶ W hat folgende Eigenschaften:

ϕ ist injektiv ⇔ ∀ v, w ∈ V. ϕ(v) = ϕ(w) ⇒ v = w ⇔ Kern(ϕ) = {0}
ϕ ist surjektiv ⇔ ∀ w ∈ W. ∃ v ∈ V. ϕ(v) = w  ⇔ Bild(ϕ) = W
ϕ ist bijektiv ⇔ ∃ ϕ^{−1}. ϕ^{−1} ∘ ϕ = id_{W}  ⇔ ϕ ist injektiv und surjektiv
⇔ ∃ ϕ^{−1}. ϕ ∘ ϕ^{−1} = id_{V}

Lineare Abbildungen

Sei V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung ϕ: V ⟶ W heißt Linearform oder lineare Abbildung, falls folgendes gilt:

\begin{matrix}(L1) & ∀ v⃗ ∈ V. ∀ r ∈ K. & ϕ(rv⃗) = rϕ(v⃗) \\ (L2) & ∀ v⃗, w⃗ ∈ V. & ϕ(v⃗ + w⃗) = ϕ(v⃗) + ϕ(w⃗) \end{matrix}

Ist V endlichdimensional mit dim V = n, kann man ϕ durch eine n × n-Matrix A angeben so, dass ϕ(v⃗) = Av⃗ für alle v⃗ ∈ V gilt.

Bilineare Abbildungen

Sei V ein K-Vektorraum. Eine bilineare Abbildung oder Bilinearform ist eine Abbildung Φ: V × V ⟶ K für die gilt:

(L1) ∀ v⃗, w⃗ ∈ V. ∀ r ∈ ℝ. Φ(rv⃗, w⃗) = rΦ(u⃗, w⃗)
∀ v⃗, w⃗ ∈ V. ∀ r ∈ ℝ. Φ(v⃗, rw⃗) = rΦ(u⃗, w⃗)
(L2) ∀ u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V.  Φ(u⃗ + v⃗, w⃗) = Φ(u⃗, w⃗) + Φ(v⃗, w⃗)
∀ u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V.  Φ(u⃗, v⃗ + w⃗) = Φ(u⃗, v⃗) + Φ(u⃗, w⃗)

Ist V endlichdimensional mit dim V = n, kann man Φ eindeutig durch eine n×n-Matrix A angeben: (v⃗, w⃗) ↦ v^{t}Aw⃗. Diese Matrix nennt man Gram-Matrix von Φ.

Sesquilineare Abbildungen

Sei V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung Φ: V × V ⟶ K heißt ζ-Sesquilinearform mit einem Automorphismus ζ, falls gilt:

(L1) ∀ v⃗, w⃗ ∈ V. ∀ r ∈ K. Φ(rv⃗, w⃗) = r · Φ(u⃗, w⃗)
∀ v⃗, w⃗ ∈ V. ∀ r ∈ K. Φ(v⃗, rw⃗) = ζ(r) · Φ(u⃗, w⃗)
(L2) ∀ u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V.  Φ(u⃗ + v⃗, w⃗) = Φ(u⃗, w⃗) + Φ(v⃗, w⃗)
∀ u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V.  Φ(u⃗, v⃗ + w⃗) = Φ(u⃗, v⃗) + Φ(u⃗, w⃗)

Ist ζ = id_{K} ergibt sich eine Linearform. Häufig betrachtet man eine Sesquilinearform mit der Involution ζ(x) = x^{∗} über dem Körper der komplexen Zahlen.

Morphismen

Eine strukturhaltende Abbildung zwischen algebraischen Strukturen nennt man Morphismus oder auch Homomorphismus. Die Menge aller Homomorphismen Hom(V, W) ist ein Vektorraum. Im folgenden sei ϕ: V ⟶ W ein Homomorphismus und V ein reeller Vektorraum:

ϕ ist ein Homomorphismus ⇔ ϕ ist eine lineare Abbildung.
ϕ ist ein Isomorphismus  ⇔ ϕ ∈ Hom(V, W) und ϕ ist bijektiv
ϕ ist ein Epimorphismus  ⇔ ϕ ∈ Hom(V, W) und ϕ ist surjektiv
ϕ ist ein Monomorphismus ⇔ ϕ ∈ Hom(V, W) und ϕ ist injektiv
ϕ ist ein Endomorphismus ⇔ ϕ ∈ Hom(V, V)
ϕ ist ein Automorphismus ⇔ ϕ ∈ Hom(V, V) und ϕ ist bijektiv

Transformationen

Sei α: b_{1}, b_{2}, b_{3}, O eine Basis des ℝ^{3} und sei ψ: ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} eine lineare Abbildung mit ψ(v⃗) = Av⃗. Folgende Transformationsmatrizen A sind unter anderem möglich (für r ∈ ℝ):

Identität:  Scherung von b_{1} Richtung b_{3}:  Projektion auf b_{1}, b_{2}:
( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & r \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Zentrische Streckung an O:  Streckung an b_{1}:  Streckung an b_{1}, b_{2}:
( \begin{matrix}r & 0 & 0 \\ 0 & r & 0 \\ 0 & 0 & r \end{matrix} )  ( \begin{matrix}r & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}r & 0 & 0 \\ 0 & r & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Punktspiegelung in O:  Geradenspiegelung an b_{1}:  Ebenenspiegelung an b_{1}, b_{2}:
( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )

Drehung um b_{1}:  Drehung um b_{2}:  Drehung um b_{3}:
( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos ω & − sin ω \\ 0 & sin ω & cos ω \end{matrix} ) ( \begin{matrix}cos ω & 0 & sin ω \\ 0 & 1 & 0 \\ − sin ω & 0 & cos ω \end{matrix} ) ( \begin{matrix}cos ω & − sin ω & 0 \\ sin ω & cos ω & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Affine Abbildungen

Mit Hilfe von affinen Abbildungen kann man Verschiebungen (Translationen) durchführen. Man unterscheidet hier zwischen Verschiebungen mittels affinen beziehungsweise homogenen Koordinaten.

Affine Koordinaten:  ϕ(v⃗) = Av⃗ + P
Homogene Koordinaten: ϕ(˜v⃗) = Ãv⃗

Will man für eine lineare Transformation ϕ eine Basis β verwenden, müssen sowohl das Urbild als auch das Bild transformiert werden. Homogene Koordinaten erlauben hier auch die Wahl eines neuen Ursprungs.

αϕ_{α} = _{α}T_{β} _{β}ψ_{β} _{β}T_{α}

Komplexe Zahlen

Kartesische Darstellung: Die kartesische Darstellung einer komplexen Zahl z ist die Koordinatendarstellung in der Gauß’schen Zahlenebene. Angegeben sind die Komponenten der Realund der Imaginärachse. ∀ a, b ∈ ℝ. z = a + bi ∈ ℂ

(1) ∀ z, w ∈ ℂ.  z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(2) ∀ z, w ∈ ℂ.  z · w = (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(3) ∀ z ∈ ℂ.  \frac{1}{z} = \frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^{2}+b^{2}} + \frac{bi}{a^{2}+b^{2}}
Realanteil von z:  ℜ(z) = a = \frac{1}{2}(z + \overline{z})
Imaginäranteil von z: ℑ(z) = b = \frac{1}{2i}(z − \overline{z})
Betrag von z:  |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{z\overline{z}}

Konjugiert komplexe Zahl: Die zu z konjugierte Zahl \overline{z} erhält man durch Spiegelung von z an der reellen Achse. ∀ a, b ∈ ℝ. \overline{z} = z^{∗} = a − bi ∈ ℂ

(1) ∀ z, w ∈ ℂ. \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}
(2) ∀ z, w ∈ ℂ. \overline{z · w} = \overline{z} · \overline{w}
(3) ∀ z ∈ ℂ.  \overline{\overline{z}} = z^{∗∗} = z

Polardarstellung: Die Polardarstellung einer komplexen Zahl z besteht aus der Länge (Betrag) des Vektors in der Gauß’schen Zahlenebene sowie dem eingeschlossenen Winkel von Vektor und reeller Achse. ∀ z ∈ ℂ. z = |z| · (cos ω + i sin ω) mit ω = arg(z)

(1) ∀ z, w ∈ ℂ.  z + w = |z| · (cos ω + i sin ω) + |w| · (cos γ + i sin γ)
(2) ∀ z, w ∈ ℂ.  z · w = |z| · |w| · ( cos(ω + γ) + i sin(ω + γ))
(3) ∀ z ∈ ℂ. ∀ n ∈ ℕ. z^{n} = |z|^{n} · ( cos(nω) + i sin(nω))

Lösung der Gleichung: z^{n} = |w| · (cos γ + i sin γ)

z_{k} = ^{n} \sqrt{|w|} · ( cos(\frac{γ}{n} + \frac{2πk}{n}) + i sin(\frac{γ}{n} + \frac{2πk}{n}))

Unitäre und euklidsche Räume

Ein unitärer Raum ist eine Struktur, die aus einem Skalarprodukt und einem komplexen Vektorraum besteht. Der euklidsche Raum besteht ebenfalls aus einem Skalarprodukt. Als Vektorraum wird hier allerdings ein reeller Vektorraum verwendet.

Eine Abbildung Φ: V × V ⟶ ℂ, (v, w) ↦ ⟨ v | w ⟩ heißt Skalarprodukt. Es handelt sich um eine Sesquilinearform und ist damit semilinear im 1. Argument und linear im 2. Argument, außerdem ist es hermitesch und positiv definit. Es gelten die folgenden Axiome:

(E1) ∀ v⃗, w⃗ ∈ V.  ⟨ v⃗ | w⃗ ⟩ = \overline{⟨ w⃗ | v⃗ ⟩}
(E2) ∀ v⃗, w⃗ ∈ V. ∀ z ∈ ℂ. ⟨ zv⃗ | w⃗ ⟩ = \overline{z}⟨ u⃗ | w⃗ ⟩
∀ v⃗, w⃗ ∈ V. ∀ z ∈ ℂ. ⟨ v⃗ | zw⃗ ⟩ = z⟨ u⃗ | w⃗ ⟩
(E3) ∀ u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V.  ⟨ u⃗ + v⃗ | w⃗ ⟩ = ⟨ u⃗ | w⃗ ⟩ + ⟨ v⃗ | w⃗ ⟩
∀ u⃗, v⃗, w⃗ ∈ V.  ⟨ u⃗ | v⃗ + w⃗ ⟩ = ⟨ u⃗ | v⃗ ⟩ + ⟨ u⃗ | w⃗ ⟩
(E4) ∀ v⃗ ∈ V.  ⟨ v⃗ | v⃗ ⟩ ≥ 0
∀ v⃗ ∈ V.  ⟨ v⃗ | v⃗ ⟩ = 0 ⇔ v⃗ = 0
∀ v⃗, w⃗ ∈ V.  ⟨ v⃗ | w⃗ ⟩ = 0 ⇔ v⃗ ⊥ w⃗
Satz des Pytagoras:  ∀ v⃗, w⃗ ∈ V.  |v⃗ + w⃗|^{2} = |v⃗|^{2} + |w⃗|^{2} ⇔ v⃗ ⊥ w⃗
Cauchy-Schwarz:  ∀ v⃗, w⃗ ∈ V.  |⟨ v⃗ | w⃗ ⟩| ≤ |v⃗| · |w⃗|
Dreiecksungleichung:  ∀ v⃗, w⃗ ∈ V.  |v⃗ + w⃗| ≤ |v⃗| + |w⃗|
Projektion von w⃗ auf v⃗: ∀ v⃗, w⃗ ∈ V. ∃ w^{∗} ∈ V. w^{∗} = \frac{⟨ v⃗ | w⃗ ⟩}{|v⃗|^{2}} v⃗